專題22.19相似三角形的性質(zhì)與判定綜合專題（分層練習）（綜合練）1．（2020秋·上海虹口·九年級上海市民辦新復(fù)興初級中學?？茧A段練習）如圖，已知在中，點D為邊的中點，點F在邊上，點E在線段的延長線上，且，點M在線段上，且．

（1）求證：．（2）求證：．2．（2023秋·福建莆田·九年級校考開學考試）如圖，在矩形中，與相交于點O．（1）求作的平分線，分別交、于點E、F；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡．不寫作法）（2）在（1）的條件下，若，求證：．3．（2023春·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，四邊形是平行四邊形，點在邊上，點在對角線上，，．（1）求證：；（2）若，，，直接寫出的長．4．（2020秋·上海楊浦·九年級?？茧A段練習）已知：如圖，在菱形中，點分別在邊上，，的延長線交的延長線于點，的延長線交的延長線于點．

（1）求證：．（2）如果，求證：．5．（2023秋·廣東深圳·九年級深圳實驗學校中學部校考開學考試）如圖所示，在等腰三角形中，，點在線段上，點在線段上，且，．求證：（1）；（2）．6．（2023春·河南南陽·九年級?？茧A段練習）如圖，在中，，點為內(nèi)的一個動點，已知，．

（1）求證：；（2）求的值．7．（2023春·浙江嘉興·九年級?？奸_學考試）如圖，已知和，邊交于點F，平分，平分，．（1）求證：；（2）若，，求的長．8．（2023秋·福建莆田·九年級福建省莆田市中山中學?？奸_學考試）如圖所示，點P是的邊的延長線上一點，連結(jié)分別交、于點M、N．

（1）圖中有_________對相似三角形，請寫出其中任意三對相似三角形．（2）求證：．9．（2022秋·江蘇南通·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，已知中，，點D，E分別在邊上，．（1）求證：；（2）若，求點E到的距離．10．（2022秋·江西吉安·九年級?？茧A段練習）如圖，在中，為對角線，過點作交于點，交于點，交的延長線于點．（1）求證：．（2）如果，求證：四邊形是矩形．11．（2023春·山東濟寧·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，H為邊延長線上一點，連接分別交和于M和G兩點．（1）求證：；（2）已知，，求．12．（2022·湖南株洲·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在四邊形中，，，垂足為O，過點D作的垂線交的延長線于點E．

（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，，，求的長．13．（2023春·安徽·九年級專題練習）如圖1，已知四邊形是矩形，點E在的延長線上，．與相交于點G，與相交于點F，．（1）求證：；（2）若，求的長；（3）如圖2，連接，求證：．14．（2023秋·福建福州·九年級福建省福州延安中學?？奸_學考試）如圖，正方形中，點E是邊上一點，連結(jié)，以為對角線作正方形，邊與正方形的對角線相交于點H，連結(jié)．

（1）寫出和的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）求證：（3）連接，若正方形的邊長為6，求出的最小值．15．（2022秋·遼寧鐵嶺·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在四邊形中，，，過點D作，垂足為E，并延長至F，使，連接、、．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，求證：四邊形是矩形．16．（2022秋·河南周口·九年級校聯(lián)考期中）如圖，△ABC中，點D，E分別是BC，AB上的點，CE，AD交于點F，BD＝AD，BE＝EC．（1）求證：△ABD∽△CBE；（2）若CD＝CF，試求∠ABC的度數(shù)．17．（2023春·安徽·九年級專題練習）如圖1，在四邊形中，，，為中點，連接．（1）求證：；（2）如圖2，過點作，垂足為，交于點．①求證：；②若，，求的長．18．（2022秋·遼寧大連·九年級?？计谀┤鐖D，直線分別于x軸，y軸相交于點A、B，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使落在上，得到，將沿射線平移，當點D到達x軸時運動停止．設(shè)平移的距離為m．平移后的圖形在x軸下方部分的面積是S．（1）點A的坐標__________，點B的坐標為_______（2）求S關(guān)于m的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量的取值范圍．19．（2021·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，為正方形對角線上的一點，連接并延長交于點，過作分別交，于，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，點與點關(guān)于直線對稱，連接并延長交直線于點，連接．①設(shè)的度數(shù)為，求的度數(shù)：②猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．20．（2022春·全國·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，AD是角平分線，點E，點F分別在線段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF．（1）求證：△AFE∽△ADC．（2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之間的數(shù)量關(guān)系．21．（2022秋·廣西桂林·九年級桂林市第一中學統(tǒng)考期中）如圖，矩形ABCD中AB＝2，AD＝4，動點F在線段CD上運動（不與端點重合），過點D作AF的垂線，交線段BC于點E．（1）證明：△ADF∽△DCE；（2）當CF＝1時，求EC的長．22．（2023秋·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期末）背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個正方形按如圖1所示的位置擺放（點、、在同一條直線上），小組討論后，提出了下列三個問題，請你幫助解答：（1）如圖2，將正方形繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系為___________，位置關(guān)系為___________．（直接寫出答案）（2）如圖3，把背景中的正方形分別改寫成矩形和矩形，且，，，將矩形繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，求與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（3）在（2）的條件下，小組發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)過程中，的值是定值，請求出這個定值．（直接寫出答案）23．（2022秋·湖南常德·九年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐動手操作如圖1，在中，∠C＝90°，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到．延長ED分別交CB于點F，交AB于點G，連接AF．思考探究（1）∠CAF＝°，∠EAG＝°；（2）若BC＝（+1）AC，則①∠DAG＝°；②＝，請證明你的結(jié)論；開放拓展（3）如圖2，若改變旋轉(zhuǎn)角，已知AC＝3，BC＝4，當∠EAF＝90°時，的面積為．24．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在中，，點為的中點，為上一點．（1）若，點為上一點．①如圖1，，則的值為_______（直接寫出結(jié)果）；②如圖2，若點在的延長線上，在的延長線上．試判斷之間滿足的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（2）如圖3，若于點的延長線交于點．若，請直接寫出的值為______．參考答案1．（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及題干條件證即可求解；（2）連接，由（1）結(jié)論可證，進而即可求解；解：（1）∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴.（2）如圖，連接，∵D為邊的中點，∴，

∵，，∴，∴，∵，∴【點撥】本題主要考查相似三角形證明、等腰三角形的性質(zhì)，正確做出輔助線是解本題的關(guān)鍵.2．（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形即可；（2）由矩形的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)，由角平分線的性質(zhì)可得，可得結(jié)論．（1）解：如圖所示：作法：1．以點為圓心，一定長度為半徑畫弧，與交于兩點，2．再分別以為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于一點，3．連接分別交、于點E、F，線段即為所求；（2）證明：四邊形是矩形，，，，，平分，，，又，．【點撥】本題考查了相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)，基本作圖，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．3．（1）見分析；（2）【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得，從而得到，再由即可得證；（2）由相似三角形的性質(zhì)可得，代入數(shù)值進行計算即可．解：（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，；（2）解：，，，，，，，故答案為：．【點撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（1）見分析；（2）見分析【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可得，，，證明，得到，由平行的性質(zhì)可得，從而得到，再由即可得證；（2）由得，由菱形的性質(zhì)可得，，從而得到，即，得到，進而得到，由全等的性質(zhì)可得，即可得證．解：（1）證明：四邊形是菱形，，，，在和中，，，，，，，，；（2）證明：，，四邊形是菱形，，，，，，，，由（1）得：，，．【點撥】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．5．（1）見分析；（2）見分析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，利用證明即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，進而得到，即可得證．解：（1）證明：，，，，即，在和中，，；（2）證明：，，，，．【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．6．（1）見分析；（2）2【分析】（1）先用周角定義和三角形的內(nèi)角和定理求得，，結(jié)合已知得到，進而利用相似三角形的判定可證得結(jié)論；（2）先利用等腰直角三角形的判定和性質(zhì)得到，利用相似三角形的性質(zhì)得到，設(shè)，進而求得即可求解．（1）解：∵，，∴，∴，，∵，∴，∴；

（2）解：∵在中，，∴，，即是等腰直角三角形，∴，∵，∴，設(shè)，則，∴，∴．【點撥】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、周角定義等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．7．（1）見分析；（2）【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，得到，再根據(jù)，即可得證；（2）證明，列出比例式進行求解即可．（1）解：∵平分，平分，∴，∵，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即：，∴．【點撥】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是證明三角形判定．8．（1）5；，；（2）見分析【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定方法結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）證明得到，再證明得出，從而得到，故可得出結(jié)論．解：（1）圖中有5對相似三角形，為：故答案為：5；（2）∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，又∴，∴，∵，∴又，∴∴，∴，∴【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練證明相似三角形是解答本題的關(guān)鍵．9．（1）見分析；（2）點E到的距離為【分析】（1）由，可得，由，可得，進而可證；（2）如圖，過點E作于M，過點A作于H，過點D作DG⊥AB于G，由，可得，由勾股定理得，則，由，可得，由，可得，由，可得，即，計算求解即可．解：（1）證明：∵，∴，∵，，∴，∵，，∴；（2）解：如圖，過點E作于M，過點A作于H，過點D作于G，

∵，∴，由勾股定理得，∴，又∵，∴，∵，∴，又∵，∴，即，解得，∴點E到的距離為．【點撥】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，外角的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．10．（1）證明見分析（2）證明見分析【分析】（1）由平行四邊形性質(zhì)，結(jié)合相似三角形的判定得到，由相似比變形即可得證；（2）由題中條件，結(jié)合相似三角形的判定得到，再由相似三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)四邊形是平行四邊形，由矩形的判定即可得證．解：（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，，；（2）證明：，，又，，，，，，四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形．【點撥】本題考查平行四邊形及特殊平行四邊形綜合，涉及平行四邊形性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．11．（1）證明見分析；（2）【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)證明即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)證明得到，由全等三角形的性質(zhì)得到，進而由求解即可．解：（1）證明：∵四邊形是菱形，∴，，∵，∴，∴；（2）解：∵四邊形是菱形，∴，∴，由（1）得，，∴，∵，∴，∴，∴；由（1）知，，∴，∴，∴．【點撥】本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．12．（1）證明見分析；（2）【分析】（1）由，，得證，從而結(jié)論得證；（2）設(shè)，，求證，得，于是，求解，進而求得．（1）解：∵，，∴，∴，在四邊形中，，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：在中，，設(shè)，，在平行四邊形中，，，∴，∵,，∴，∴，即，解得（舍棄）或，∴．【點撥】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，由相似三角形得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．13．（1）見分析；（2）；（3）見分析【分析】（1）證明，得出，證得，則結(jié)論得出；（2）證明，得出，即，設(shè)，則有，化簡得，解方程即可得出答案；（3）在線段上取點P，使得，證明，得出，證得為等腰直角三角形，可得出結(jié)論．解：（1）證明：∵四邊形是矩形，點E在的延長線上，∴，又∵，∴，∴，∴，即，故，（2）解：∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，即，設(shè)，則∴，化簡得，解得或（舍去），∴．（3）證明：如圖，在線段上取點P，使得，

在與中，，∴，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴．【點撥】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（1），詳見分析；（2）詳見分析；（3）【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，可證明，即可；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，再證明，可得，即可；（3）證明，可得，從而得到A，F(xiàn)，C三點共線，連接交于點O，當E與C重合時，F(xiàn)與O重合，此時最小，再由勾股定理求出，即可．（1）解：結(jié)論：，證明：∵四邊形，四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴；（2）證明：∵四邊形，四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴；（3）解：∵四邊形，四邊形是正方形，∴，，，∴，，∴，

∴，∴，∴A，F(xiàn)，C三點共線，連接交于點O，當E與C重合時，F(xiàn)與O重合，此時最小，

∵正方形的邊長為6，∴，∴最小值．【點撥】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（1）見分析；（2）見分析【分析】（1）連接，證明，得出，根據(jù)，，得出，，進而得出，，即可求證四邊形是平行四邊形；（2）根據(jù)，得出，即可得出，則，求出，根據(jù)，得出，即可求出四邊形是矩形．解：（1）證明：連接，如圖所示：

在和中，，∴，∴，∵，，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形；（2）證明：∵，，∵，∴，∴，∴，∴，由（1）可得：，，∴，∴，∴四邊形是矩形．【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形對應(yīng)角相等，有一個角為直角是平行四邊形是矩形．16．（1）見分析；（2）【分析】（1）由已知可得∠BAD＝∠BCE，結(jié)合∠B＝∠B，可以得到；（2）設(shè)∠B＝x，則由（1）和已知條件可以得到關(guān)于x的方程，解方程即可得到問題解答．解：（1）證明：∵BD＝AD，BE＝EC∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠BCE

∴∠BAD＝∠BCE而∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE（2）解：設(shè)∠B＝，由（1）可知∠B＝∠BAD＝∠BCE＝，∴∠ADC＝又∵CD＝CF∴∠ADC＝∠DFC＝

∴

∴即【點撥】本題考查相似三角形的綜合問題，熟練掌握三角形相似的判定方法、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及方程思想方法的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．法的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．17．（1）見分析；（2）①見分析②【分析】（1）連接，證明，即可解決問題．（2）①結(jié)合（1）利用角的和差證明，即可解決問題；②證明，可得，然后利用勾股定理求出的長，再證明，得，代入值即可解決問題．解：（1）如圖1所示，連接．

∵，為中點，∴．在和中∴．∴．（2）①∵，，∴，．∵，∴．∴．∴，．∵，∴．∴．∴．∵，，∴，．∴．∴．∵，，∴．∵，∴．∴．∴．②∵，，∴．∴．∵，，∴．∴．∴．∴．∴．∵，，∴．∴．∴．∴．∴．∴的長為．【點撥】本題屬于四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．18．（1），；（2）【分析】（1）分別將，代入函數(shù)求解即可；（2）分兩種情況，當點在軸上方或點在軸下方，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求解即可．解：（1）分別將，代入函數(shù)可得，即，，故答案為：，；（2）解：當點在軸上方時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，，∴，，由平移的性質(zhì)可得，，過點作，如下圖：則，∴，∴，即，解得，則；當點在軸下方時，，，∴又∵∴，∴，即，解得，點D到達x軸時，，此時，即，，，∴，綜上，．【點撥】此題考查了一次函數(shù)與坐標的交點問題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并靈活運行相關(guān)性質(zhì)進行求解．19．（1）見分析；（2）①；②．證明見分析．【分析】（1）作，垂足為，得∠NHB=90°，由四邊形ABCD為正方形，可得∠B=∠NAB=90°，可證四邊形ABHN為矩形，可證即可；（2）①，由點與點關(guān)于直線對稱，與四邊形是正方形，可得，，，在等腰中，，由外角性質(zhì)；②.連接，，由對稱性可知，，由勾股定理，，可證，可得．解：證明：（1）作，垂足為，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B=∠NAB=90°，∠NHB=90°，∴∠B=∠NAB=∠NHB=90°，∴四邊形ABHN為矩形，∴，，，又，，，；（2）①.點與點關(guān)于直線對稱，且四邊形是正方形，，，，在等腰中，，又，；②.證明：連接，，由對稱性可知，即是等腰直角三角形，∴FC，，∵四邊形ABCD為正方形，∴，，，又，，，．【點撥】本題考查正方形性質(zhì)，矩形判定與性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)，等腰直角三角形，三角形外角性質(zhì)，勾股定理，三角形相似判定與性質(zhì)，掌握正方形性質(zhì)，矩形判定與性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)，等腰直角三角形，三角形外角性質(zhì)，勾股定理，三角形相似判定與性質(zhì)．20．（1）證明見分析；（2）EB=2FD．【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)得出∠BAD=∠DAC，再根據(jù)∠EFD=∠BDF得出∠AFE=∠ADC，進而根據(jù)兩角分別相等的三角形相似可證；（2）由（1）中的相似及∠AFE=∠C得出∠AEF=∠AFE，進而根據(jù)等角對等邊得出AE=AF，再根據(jù)及△AFE∽△ADC得出，再由，得出，即可得到結(jié)果．解：（1）∵AD為∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠DAC，∵∠EFD=∠BDF，∴180°-∠EFD=180°-∠BDF，∴∠AFE=∠ADC，又∵∠BAD=∠DAC，∴△AFE∽△ADC；（2）由（1）得，△AFE∽△ADC，∴∠AEF=∠C，∵∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∵，∴，∴，∵，∴，∴EB=2FD．【點撥】本題考查相似三角形的性質(zhì)及判定．第（1）問能根據(jù)角的等量代換得出角相等及熟練掌握相似三角形的判定是解題關(guān)鍵；第（2）問根據(jù)相似得出比例式及根據(jù)比例式得出線段的關(guān)系是解的關(guān)鍵．21．（1）見分析；（2）．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定得出即可；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．解：證明：（1）四邊形是矩形，，．又，，，；（2），，，，，，，，．【點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟悉相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．22．（1），；（2），；（3）260【分析】（1）延長DG交BE于M，交AB于N，證明△DAG≌△BAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到BE⊥DG；（2）設(shè)與交于，與交于點，由比的性質(zhì)求出、的值，由相似三角形的判定證得，由相似三角形的性質(zhì)得出，，根據(jù)三角形和內(nèi)角和定理得出，即；（3）連接EG、BD，由（2）得出，，且，由勾股定理求得、的值，由即可得出結(jié)論．解：（1）延長DG交BE于M，交AB于

N，如圖2，∵四邊形ABCD、四邊形EFGA為正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠GAE＝90°，∴∠DAB－∠BAG＝∠GAE－∠BAG，即∠DAG＝∠BAE，在△DAG和△BAE中，∴△DAG≌△BAE（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，∵∠AND＝∠BNM，∴∠BMN＝∠NAD＝90°，即BE⊥DG，故答案為：；；（2），，理由如下：設(shè)與交于，與交于點，如圖3，∵，，，∴，．∵四邊形和四邊形為矩形，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴．（3）連接EG、BD，如圖3∵，，，∴，．∵四邊形和四邊形為矩形，∴∴，，由（2）證得，∴．【點撥】本題是相似形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握特殊平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（1）45，90；（2）22.5，，證明見分析；（3）【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠CAD＝∠BAE＝90°，AC＝AD，BC＝DE，∠C＝∠ADE＝90°，可證四邊形ACFD是正方形，∠EAG＝90°，可求∠CAF＝45°；（2）①由正方形的性質(zhì)可得∠CAF＝∠AFC＝45°，AC＝CF＝AD＝DF，AF＝AC，可求BF＝AF＝AC，可得∠FAB＝∠FBA＝22.5°，由平行線的性質(zhì)可求∠DAG＝∠FBA＝22.5°，②由平行線的性質(zhì)可求∠DAG＝∠FBA＝22.5°，對頂角性質(zhì)∠AGD=∠BGF，可證△ADG∽△BFG，由相似三角形的性質(zhì)可求＝；（3）由勾股定理可求AB＝5，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求AD＝AC＝3，BC＝DE＝4，AB＝AE＝5，∠C＝∠ADE＝90°，通過證明△ADE∽△FDA，可求AF的長，由三角形的面積公式可求解．解：（1）∵將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AED．∴∠CAD=∠BAE=90°=∠EAG，,∴∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，BC＝DE，∠C＝∠ADE＝90°，∴∠ADF=180°-∠ADE=90°∴∠CAD=∠C＝∠ADF＝90°，∴四邊形ACFD是矩形，∵AC＝AD，∴四邊形ACFD是正方形，∵AF為對角線∴∠CAF=45°，故答案為：45，90；（2）①∠DAG＝22.5°；②＝，①∵四邊形ACFD是正方形，∴∠CAF＝∠AFC＝45°，AC＝CF＝AD＝DF，AF＝AC，∵BC＝（+1）AC，∴BF＝BC-CF=（+1）AC-AC=AC∴BF=AF＝AC，∴∠FAB＝∠FBA，又∵∠CFA＝∠FAB+∠FBA=45°，∴∠FAB＝∠FBA＝22.5°，∵AD∥BC，∴∠DAG＝∠FBA＝22.5°，②∵∠DAG＝∠FBA＝22.5°，∵∠AGD=∠BGF，∴△ADG∽△BFG，∴，（3）∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，∴AB＝，∵將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AED．∴AD＝AC＝3，BC＝DE＝4，AB＝AE＝5，∠C＝∠ADE＝90°，∴∠E+∠EAD＝9