浙江省環(huán)大羅山聯(lián)盟2025-2026學年高二上學期11月期中考試數(shù)學試題一、單選題1．下列拋物線中，焦點坐標為的是（

）A． B．C． D．2．已知直線l的一個方向向量為，則直線l斜率為（

）A． B． C．3 D．3．已知空間向量，，，若向量，，共面，則實數(shù)的值為（

）A． B．2 C． D．04．“”是“直線與直線互相垂直”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．若，，則直線不經(jīng)過的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．若圓：與圓：相交，則a的取值范圍（

）A． B． C． D．7．已知，是橢圓的兩個焦點，是橢圓上的一點，，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．如圖，在棱長為2的正方體中，M，N分別為，的中點，O為底面ABCD的中心，點S在正方體的表面上運動，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（）

A．點S可以是棱的中點 B．點S的軌跡是矩形C．點S軌跡所圍成的圖形面積為 D．點S軌跡的長度為二、多選題9．下列命題正確的是（

）A．若，則B．若空間向量，，，滿足，，則C．若構(gòu)成空間的一個基底，則，，必共面D．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則10．下列說法正確的是（

）A．若直線傾斜角越大，則斜率越大B．經(jīng)過點且在軸和軸上截距相等的直線有條C．若直線l經(jīng)過點、，則直線的傾斜角是D．直線的傾斜角θ的取值范圍是11．已知曲線C：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線C關(guān)于原點對稱B．直線與曲線C有公共點C．曲線C上任一點的橫坐標的取值范圍是D．曲線C上任一點與原點距離的取值范圍是三、填空題12．直線的方程為（a為常數(shù)）恒過定點.13．已知點、、，則點C到直線AB的距離為.14．已知O為坐標原點，雙曲線C：的上焦點為F，下頂點為A，過F作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若，則C的漸近線方程為.四、解答題15．如圖，已知四面體的所有棱長都等于2，分別是棱的中點.

(1)求與；(2)求的長.16．已知點，直線，圓：.(1)過點作圓的切線l，求直線l的方程；(2)若在圓上至少存在三個點到直線的距離為，求的取值范圍.17．已知在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線T：的焦點為F，點A在T上，點，其中.(1)若直線AF斜率為1，且與T的另一個交點為B，求的面積；(2)經(jīng)過點P作直線l交T于D、C兩點，若點Q是點P關(guān)于y軸的對稱點，且A是線段DQ的中點，證明：.18．平面內(nèi)沿著等腰直角的腰AC作底角的等腰，，如圖1.將沿AC翻折至，如圖2.

(1)當平面平面ABC時，（?。┳C明：；（ⅱ）若G是的重心，求BG與平面ABC所成角的正弦值.(2)求二面角的余弦值的最小值.19．如圖1，圓C：，點，P是圓C上任意一點，線段AP的垂直平分線和直線CP相交于點Q.當點P在圓上運動時，點Q的軌跡為E.

(1)求軌跡E的方程；(2)過點C且與x軸不重合的直線l與E相交于M，N兩點.設(shè)點，記直線BM，BN的斜率分別為，，求的值；(3)過點作直線l交E于G，H兩點（G在上方），設(shè)點，，若直線GS與HR相交于點T，證明：動點T在某定直線上.

參考答案1．D【詳解】若拋物線焦點坐標為，則標準方程為，且，則標準方程為，故選：D.2．B【詳解】因為直線l的一個方向向量為，所以直線l斜率，故選：B3．A【詳解】因為向量，，共面，所以可設(shè)，其中，則，解得.故選：A4．A【詳解】“直線與直線互相垂直”的充要條件為：或.因為“”是“或”的充分不必要條件，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件.故選：A5．A【詳解】由，得，又，，則直線的斜率，在軸上的截距，所以直線經(jīng)過第二、三、四象限，不經(jīng)過第一象限.故選：A6．B【詳解】因為圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則圓心距為，由與相交得，，解得.故選：B.7．C【詳解】設(shè)，由橢圓的定義得，由余弦定理得．又，當且僅當時，取最大值，于是，所以，可得，又，．即橢圓離心率的取值范圍為.故選：C8．C【詳解】在正方體中，以點為坐標原點，分別以方向為軸、軸、軸正方向，建立空間直角坐標系，因為該正方體的棱長為2，分別為的中點，則，，，，所以，設(shè)，則，因為，所以所以，即，令，當時，；當時，；取，

連接，則，則，，所以，，又，且平面平面，所以平面，所以，為使，必有點平面，又點在正方體的表面上運動，所以點的軌跡為正三角形，故B錯誤；因此點不可能是棱的中點，故A錯誤；正三角形邊長為，則面積為，故C正確；點軌跡的長度為，故D錯誤；故選：C9．AC【詳解】對于A：若，則，故A正確；對于B：若，，則或與共面但不共線，故B錯誤；對于C：因為，所以，，必共面，故C正確；對于D：因為直線的方向向量為，平面的法向量為，所以，所以，則或，故D錯誤.故選：AC10．BD【詳解】對于A選項，當傾斜角為時，斜率為，當傾斜角為時，斜率為，A錯；對于B選項，若直線過原點，設(shè)直線方程為，則有，此時直線的方程為，若直線不過原點，設(shè)直線方程為，即，則有，此時直線方程為.綜上所述，經(jīng)過點且在軸和軸上截距相等的直線有條，B對；對于C選項，直線的傾斜角滿足，因為為任意角，所以不一定有，C錯；對于D選項，直線的傾斜角為，則，因為，所以，D對.故選：BD.11．ACD【詳解】對A：用代替，代替，可得，即，與原方程一致，故曲線關(guān)于原點對稱.故A正確；對B：當時，，由，所以方程無解，即直線與曲線C無公共點.故B錯誤；對C：把曲線方程看成關(guān)于的一元二次方程，，因為該方程有解，所以.故C正確；對D：因為，當且僅當或時取等號；又，所以，當且僅當或時取等號.綜上，，即曲線C上任一點與原點距離的取值范圍是.故D正確.故選：ACD12．【詳解】由，即，令，解得，所以直線恒過定點.故答案為：13．/【詳解】因為，，所以，所以.所以點C到直線AB的距離為.故答案為：14．【詳解】由題意，，雙曲線的漸近線為，如圖，

設(shè)點在上，則，故，所以，則，故，所以，故，所以C的漸近線方程為故答案為：15．(1)，(2)【詳解】（1）因為分別是棱的中點，所以是的中位線，則，得到，同理可得，而四面體的所有棱長都等于2，得到，故.（2）因為分別是棱的中點，所以，而，同理可得，可得，故.16．(1)(2)【詳解】（1）由圓，可得，圓心，半徑.∴在圓C上，又，∴切線的斜率，∴過點P的圓C的切線方程是，即.（2）由題可知圓心到直線的距離，∴，∴.17．(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由題意知拋物線的焦點為，直線的方程為l：，聯(lián)立拋物線T和直線l的方程：，得.設(shè)，，由韋達定理得，，.（2）設(shè)直線l：，，，，不妨設(shè)，因為A是D，Q中點，所以，得，即.由，所以，即，所以，結(jié)合，所以.18．(1)（i）證明見解析；（ii）(2)【詳解】（1）（?。叩妊苯侨切?，，∴，∴，

又∵平面平面ABC，平面平面，∴平面KAC，∵平面KAC，∴.（ⅱ）以A為原點，AB，AC分別為x軸和y軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系，因為平面平面ABC，所以z軸平面KAC

則，，，，，所以，，又平面ABC法向量可取，所以，所以BG與平面ABC所成角的正弦值為.（2）作，垂足O，在平面ABC中，過O作，因，OM，平面KOM，則平面KOM.則由（1），，設(shè)，，以O(shè)為原點，OM，OC分別為x軸和y軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則點K在平面xOz內(nèi)，

，，，，，所以，，，設(shè)平面KAC一個法向量為，則，即，取，則得；平面KBC的一個法向量為，則，即，取，則得，設(shè)二面角的平面角為，且為銳角所以，令，則由得，則，于是，當且僅當即時等號成立，所以二面角的余弦值的最小值為.19．(1)(2)(3)