2025-2026學(xué)年甘肅省蘭州市賀陽(yáng)教育集團(tuán)蘭州校區(qū)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A(2,-3)，B(-3,4)，則l的斜率為(

)A.75 B.-57 C.-2.直線l1：2x-3y+5=0與l2：x+y-10=0的交點(diǎn)坐標(biāo)是(

)A.(5,5) B.(2,3) C.(3,7) D.(8,5)3.若A(1,2)，B(-1,0)，C(m,3)三點(diǎn)在同一條直線上，則實(shí)數(shù)m=(

)A.-4 B.-2 C.2 D.44.直線mx+(3m-1)y+1=0必過定點(diǎn)(

)A.(3,1) B.(-3,1) C.(13,1)5.記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1=1A.403 B.913 C.12136.直線l1：y=ax+b與直線l2：y=bx+a(ab≠0,a≠b)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象只可能是(

)A. B. C. D.7.已知直線l1：y=12x+2，直線l2是直線l1繞點(diǎn)P(-2,1)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45A.y=x+3 B.y=13x+53 8.已知A(-2,-1)，B(2,-2)，直線l經(jīng)點(diǎn)P(0,1)，若直線l與線段AB相交，則直線l斜率的取值范圍為(

)A.[-32,1] B.(-∞,-32]∪[1,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.在下列四個(gè)命題中，正確的有(

)A.坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角和斜率

B.直線的傾斜角的取值范圍是[0,π)

C.若一條直線的斜率為1，則此直線的傾斜角為45°

D.若一條直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為10.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=6A.{an}是遞增數(shù)列 B.a10-a1=-14

C.當(dāng)n>4時(shí)，an11.已知直線l1：(a+2)x+3y+4=0，l2：x+ay-4=0，則(

)A.當(dāng)a=0時(shí)，直線l1的一個(gè)方向向量為(2,3)

B.若l1與l2相互平行，則a=-3或1

C.若l1⊥l2，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.點(diǎn)P(2,-6)到直線l：3x+4y-11=0的距離是

.13.數(shù)列{an}滿足an+1=2an(n為正整數(shù))，且a2與14.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,2an+1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

根據(jù)下列條件，分別求出直線的一般式方程：

(1)經(jīng)過點(diǎn)A(2,4)，平行于直線l：3x-y+1=0；

(2)傾斜角是135°，截距是4；

(3)經(jīng)過點(diǎn)A(2,4)，點(diǎn)B(-1,1)；

(4)經(jīng)過點(diǎn)A(2,0)，且在兩坐標(biāo)軸上截距的和為5.16.(本小題15分)

計(jì)算：

(1)已知直線l的傾斜角為π6，求l的方向向量和法向量；

(2)已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)和B(2,3)，求直線l的方向向量和法向量.17.(本小題15分)

已知等差數(shù)列{an}的前四項(xiàng)和為10，且a2，a3，a7成等比數(shù)列．

(1)求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式；

18.(本小題17分)

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=12n2+12n,n∈N+.

(1)求a1，a2的值；

(2)19.(本小題17分)

設(shè)直線l的方程為(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).

(Ⅰ)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程；

(Ⅱ)若l不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(Ⅲ)若直線l交x軸正半軸于點(diǎn)A，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)B，△AOB的面積為S，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A(2,-3)，B(-3,4)，

則l的斜率為4-(-3)-3-2=-75.

故選：2.【答案】A

【解析】解：聯(lián)立方程組2x-3y+5=0x+y-10=0解得x=5y=5，

故l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(5,5).

故選：A.3.【答案】C

【解析】解：因?yàn)镃(m,3)，A(1,2)，B(-1,0)三點(diǎn)在同一條直線上，

所以kAB=kBC，即0-2-1-1=3-0m+1，解得m=2.

故選：C.4.【答案】B

【解析】解：將直線mx+(3m-1)y+1=0整理可得m(x+3y)-y+1=0，

令x+3y=0-y+1=0，解得x=-3，y=1，

即直線恒過定點(diǎn)(-3,1).

故選：B.

將直線方程整理，可得關(guān)于x，y的方程組，求出恒過的定點(diǎn)的坐標(biāo)．

5.【答案】C

【解析】解：Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1=13，a42=a6，

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，由a42=a6得(a1q36.【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查直線的斜截式方程，屬于基礎(chǔ)題．

分別判斷兩條直線的斜率和截距的符號(hào)是否一致即可．【解答】

解：A.l1的斜率a>0，截距b<0，l2的斜率b>0，截距a>0，兩個(gè)圖象不一致，

B.l1的斜率a<0，截距b>0，l2的斜率b>0，截距a>0，兩個(gè)圖象不一致，

C.l1的斜率a>0，截距b<0，l2的斜率b>0，截距a<0，兩個(gè)圖象不一致，

D.l1的斜率a>0，截距b>0，l7.【答案】D

【解析】解：設(shè)直線l1的傾斜角為θ，則tanθ=12，

∵直線l2是直線l1繞點(diǎn)P(-2,1)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到的直線，

∴直線l2的傾斜角為θ+45°，

故直線l2的斜率為tan(θ+45°)=8.【答案】B

【解析】解：A(-2,-1)，P(0,1)，

kPA=1-(-1)0-(-2)=22=1，

B(2,-2)，P(0,1)，

則kPB=1-(-2)0-2=3-2=-32

當(dāng)直線l繞點(diǎn)P從PB位置旋轉(zhuǎn)到與y軸重合時(shí)，

斜率的范圍是(-∞,-32]；

當(dāng)直線l繞點(diǎn)P從與y軸重合旋轉(zhuǎn)到PA位置時(shí)，斜率的范圍是[1,+∞).

故直線9.【答案】BC

【解析】解：A，當(dāng)直線的傾斜角為90°時(shí)，直線沒有斜率，

故坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角和斜率不成立，故A錯(cuò)誤；

B，由直線傾斜角的取值范圍，可知直線的傾斜角的取值范圍是[0,π),故B正確；

C，由題意可得直線的傾斜角的正切值為1，所以直線的傾斜角為45°，故C正確；

D，若直線的傾斜角為90°，則直線斜率不存在，故D錯(cuò)誤．

故選：BC.

10.【答案】CD

【解析】解：因?yàn)閿?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=6，an=an+1+2，

即an+1-an=-2，

故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為6，公差為-2的等差數(shù)列，

故{an}是遞減數(shù)列，a11.【答案】CD

【解析】解：對(duì)于A：當(dāng)a=0時(shí)，l1：2x+3y+4=0，此時(shí)直線的斜率為-23，

所以直線的一個(gè)方向向量為(1,-23)，由于(1,-23)與(2,3)不共線，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：若l1與l2相互平行，則a(a+2)=3，即a2+2a-3=0，解得a=-3或1，

當(dāng)a=1時(shí)，l1：3x+3y+4=0，l2：x+y-4=0，兩直線平行；

當(dāng)a=-3時(shí)，-x+3y+4=0，l2：x-3y-4=0，兩直線重合，不符合條件，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：若l1⊥l2，則a+2+3a=0，解得a=-12.故C正確；

對(duì)于D：因?yàn)?2.【答案】295【解析】解：根據(jù)題意，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，

點(diǎn)P(2,-6)到直線l：3x+4y-11=0的距離d=|6-24-11|32+4213.【答案】1

【解析】解：數(shù)列{an}滿足an+1=2an(n為正整數(shù))，

則數(shù)列{an}為等比數(shù)列，

不妨設(shè)其公比為q，

則q=2，

a2與a4的等差中項(xiàng)是5，

14.【答案】an【解析】解：數(shù)列{an}中，a1=1，2an+1-an+anan+1=0，顯然an≠0，

則有1an+1=2?1an+115.【答案】解：(1)所求直線平行于直線l：3x-y+1=0；

則所求直線斜率為3，

所求直線經(jīng)過點(diǎn)A(2,4)，

故方程為y-4=3(x-2)，整理得3x-y-2=0.

(2)由直線傾斜角是135°得直線斜率為-1，

當(dāng)直線在y軸上截距是4時(shí)，直線方程為y=-x+4，整理得x+y-4=0，

當(dāng)直線在x軸上截距是4，即過點(diǎn)(4,0)時(shí)，直線方程為y=-(x-4)，整理得x+y-4=0，

綜上得，直線方程為x+y-4=0.

(3)由條件得直線的兩點(diǎn)式方程為：y-41-4=x-2-1-2，整理得x-y+2=0.

(4)由題意得，直線在x軸上的截距為2，故在y軸上的截距為3，

【解析】(1)由直線平行可知斜率相等，結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)寫出直線點(diǎn)斜式方程，化為一般式；

(2)截距為4分為在x軸上截距為4和在y軸上的截距為4，根據(jù)條件寫出直線方程；

(3)寫出直線的兩點(diǎn)式方程，化為一般式；

(4)分析直線在x軸、y軸上的截距，寫出直線的截距式方程，化為一般式．

本題主要考查直線方程的求解，屬于基礎(chǔ)題．16.【答案】方向向量為(3m,m)(m≠0)，法向量為(m,-3m)(m≠0)【解析】(1)先證明結(jié)論：若直線l的一個(gè)方向向量為u=(a,b)，其中a2+b2>0，則直線l的一個(gè)法向量可為v=(b,-a).

因?yàn)橹本€l的一個(gè)方向向量為u=(a,b)，其中a2+b2>0，v=(b,-a)，則u?v=ab-ab=0，

所以，直線l的一個(gè)法向量可為v=(b,-a).

因?yàn)橹本€l的傾斜角為π6，則該直線的斜率為k=tanπ6=33，

故直線l的一個(gè)方向向量為a=(3,1)，則直線l的方向向量為ma=(3m,m)(m≠0)，

直線l的法向量為(m,-3m)(m≠0).17.【答案】解：(1)由題意知4a1+6d=10(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d)，解得a1=-2，d=3，或a1=52，d=0，

【解析】(1)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式分別表示出前四項(xiàng)和與a2，a3，a7等比數(shù)列關(guān)系組成方程組求得a1和d，最后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得an.

(2)把(1)中求得18.【答案】a1=1，a2=2；

an【解析】(1)由Sn=12n2+12n,n∈N+，

可得a1=12+12=1,a2=S2-S1=2；

(2)當(dāng)n≥2時(shí)，由Sn=12n2+12n,n∈N+19.【答案】解：(Ⅰ)當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)滿足條件，此時(shí)2-a=0，解得a=2，化為3x+y=0，

當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，則直線斜率為-1，故a+1=1，解得a=0，可得直線l的方程為：x+y+2=0.

綜上所述，直線l的方程為3x+y=0或x+y+2=0.

(Ⅱ)y=-(a+1)x+a-2，

∵l不經(jīng)過第二象限，∴-(a+1)≥0a-2≤0，解得a≤-1.

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,1].

(Ⅲ)令x=0，解得y=a-2<0，解得a<2；

令y=0，解得x=a-2a+1>0，解得a>2或a<-1.

綜上有a<-1.