浦東區(qū)2025-2026學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)期中2025.11一、填空題（本大題滿分36分.）本大題共有12題，考生必須在答題紙的相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得3分，否則一律得零分.1.用符號(hào)表示“直線在平面內(nèi)”.【答案】()2.兩異面直線所成角的范圍是.【答案】3.一部共享單車(chē)能依靠其腳撐停穩(wěn)在平整的停車(chē)區(qū)內(nèi)，其涉及的幾何公理是_________.【答案】不共線的三點(diǎn)確定唯一平面4.一個(gè)正四棱柱底面邊長(zhǎng)為2，高為1，則它的表面積是.【答案】165.一個(gè)圓錐的底面半徑為3，高為4，則它的側(cè)面積為.【答案】6.一個(gè)球的半徑為3cm，則它的體積是.【答案】7.若空間三條直線滿足，與相交,則、的位置關(guān)系是.【答案】相交或異面8.在正方體中，體對(duì)角線與底面所成的線面角是.（結(jié)果請(qǐng)用反三角形式表示）【答案】9.三棱錐中，、、三條棱兩兩互相垂直，那么頂點(diǎn)在底面的投影一定是的心.【答案】垂心10.在右圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40，母線長(zhǎng)最短50、最長(zhǎng)80，則斜截圓柱的側(cè)面積S＝.【答案】11.右圖幾何體是圓錐的一部分，其中,.從點(diǎn)QUOTEAA出發(fā)經(jīng)曲面運(yùn)動(dòng)到QUOTEBB的最短路線的距離是.【答案】12.如右圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，長(zhǎng)為2的線段的一個(gè)端點(diǎn)M在棱上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在正方體的底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則的中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)痕跡與正方體從頂點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)面所圍成的幾何體的表面積是.【答案】二、選擇題（本大題滿分12分.）本大題共4題，每題3分.13.“兩條直線異面”的條件是“兩條直線不相交”（）.A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.非充分且非必要【答案】B14.圓柱底面直徑擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，高縮小為原來(lái)的，則體積變?yōu)樵瓉?lái)的（）.A.0.5倍B.1倍C.2倍D.4倍【答案】C15.已知直線、相交，夾角為，交點(diǎn)為.在空間中過(guò)點(diǎn)且與直線、成相同夾角的直線只有3條，則的大小是（）.A.B.C.D.【答案】A16.下列命題是真命題的個(gè)數(shù)是（）.（1）有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱；（2）有兩側(cè)面與底面垂直的棱柱是直棱柱；（3）過(guò)斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形不可能是矩形；（4）所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱.A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)【答案】D三、解答題（本大題滿分52分.）本大題共有5題.17.(本題滿分8分.)?張矩形紙片的規(guī)格為：，把它作為?個(gè)圓柱的側(cè)?，求卷成的圓柱的體積.（精確到，為保證精度，在計(jì)算器使用過(guò)程中不對(duì)值進(jìn)行四舍五入）.【答案】見(jiàn)解析【解析】記圓柱底面周長(zhǎng)為,面積為,半徑為，高為，體積為.，，①以紙片為底面周長(zhǎng)，以為母線（高），卷成圓柱體.②以紙片為底面周長(zhǎng)，以為母線（高），卷成圓柱體.即卷成的圓柱體體積是或.18.（本題滿分10分.第1小題4分,第2小題6分.）如圖，在正方體中，（1）求異面直線與所成角的大小.（2）證明：面.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】連接.正方體,,,四邊形..即異面直線與所成角或其補(bǔ)角.在中，易得，..異面直線與所成角為.（2）證明：連接.四邊形是正方形，………1分面,是面的斜線，是其在面上的投影.且面,由三垂線定理，.………2分同理可得，.………………………1分,,,面,面面…………2分19.(本題滿分10分.第一小題4分,第二小題6分.)如圖，四邊形為正方形，是面外一點(diǎn)，設(shè)平面，且，為中點(diǎn)．（1）證明：平面;（2）求二面角的大小.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）證明：連接,設(shè),…………1分顯然，是的中點(diǎn)，且是中點(diǎn)，是的一條中位線.……1分又平面，不在平面內(nèi)，……1分平面.……………………1分（2）方法一：取中點(diǎn),連接,.………………1分平面，面,.四邊形為正方形，.又，.是等腰直角.又為中點(diǎn)，.……………1分底面,底面，.又四邊形是正方形，.且,面,面,面.面，.,分別是,的中點(diǎn)，,.…………1分且面,面,,是二面角的平面角.…………1分在中，設(shè)，易得，，在中，易得，,,,,在中，易得，，顯然，,,……………1分即二面角的大小是.…………………1分方法二：底面,底面，.又四邊形是正方形，.且,面,面,面.面，面面.二面角的大小是.（用證明方法，邏輯合理、結(jié)果正確，6分全給）20.(本題滿分12分.第1小題6分,第2小題6分.)如圖，某種“籠具”由內(nèi)、外兩層組成，無(wú)下底面，內(nèi)層和外層分別是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱，其中圓柱與圓錐的底面周長(zhǎng)相等，圓柱有上底面，制作時(shí)需要將圓錐的底面剪去，剪去部分和接頭忽略不計(jì)，已知圓柱的底面的周長(zhǎng)為，高為，圓錐的母線長(zhǎng)為.（1）求這種“籠具”的體積（結(jié)果精確到）；（2）現(xiàn)要使用一種紗網(wǎng)材料制作個(gè)“籠具”，該材料的造價(jià)為每平方米元，共需多少元？（結(jié)果精確到分）【答案】（1）（2）【解析】（1）記圓柱的底面半徑為，高為，體積,圓錐的母線長(zhǎng)為，高為，體積,據(jù)題意，可知，.……………1分.…………1分，籠具的體積…………4分（2）記圓柱的側(cè)面積為，底面積為，圓錐的側(cè)面積為..……………………1分.……………………1分.……………………1分籠具的表面積.…………1分50個(gè)籠具造價(jià)為元.…………2分21.(本題滿分12分.第一小題4分,第二小題4分,第三小題4分.)如圖，觀察足球：這是由塊黑皮（正五邊形）和塊白皮（正六邊形）縫合在一起形成的32面體.記面數(shù)為,棱數(shù)為，頂點(diǎn)數(shù)為.作如下研究：（1）數(shù)一數(shù)，能發(fā)現(xiàn)：每塊黑皮相鄰有（）塊白皮，（）塊黑皮.每塊白皮相鄰有（）塊白皮，（）塊黑皮.（2）想一想，用“”“”表示、兩個(gè)量:=（）,=（）.結(jié)合歐拉公式“”，計(jì)算可得=（）,=（）.（3）足球充足氣之后，該32面體可視作近似的球體，假設(shè)棱長(zhǎng)為，請(qǐng)估算足球的直徑.（結(jié)果保留到整數(shù)）（數(shù)據(jù)參考：）【答案】（1）5、0、3、3（2）見(jiàn)解析（3）直徑約為22【解析】（1）5、0、