“一線三等角”模型微專(zhuān)題8模型概述

“一線三等角”模型是指有三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線上的相似

模型，也叫“K字”模型.三個(gè)等角可以是銳角、鈍角或直角.特別地，

當(dāng)三個(gè)等角為直角時(shí)也稱為“一線三垂直”模型或“三垂”模型.模型一

“一線三等角”模型——銳角、鈍角模型特征圖示模型分析同側(cè)型（當(dāng)

點(diǎn)C在線段

BD上時(shí)）銳角

已知：∠B＝∠ACE＝∠D＝α.結(jié)論：①△ABC∽△CDE；②全等型：若AC＝CE，則

△ABC≌△CDE；③若直線AB與直線DE相交于點(diǎn)

F，則當(dāng)α＜90°時(shí)，∠BFD＝

180°－2α，則當(dāng)α＞90°時(shí)，

∠BFD＝2α－180°鈍角

模型特征圖示模型分析穿越型（當(dāng)

點(diǎn)C在線段

BD的延長(zhǎng)線

上時(shí)）銳角

已知：∠1＝∠2＝∠3＝α.結(jié)論：①△ABC∽△CDE；②全等型：若AC＝CE，則

△ABC≌△CDE；③若直線AB與直線DE相交于點(diǎn)

F，則當(dāng)α＜90°時(shí)，∠BFD＝

180°－2α，當(dāng)α＞90°時(shí)，

∠BFD＝2α－180°鈍角

模型練習(xí)1.

（2025陜西）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)

F在AD上，EF⊥EC，則△CEF的面積為（

C

）A.10B.8C.5D.4C2.

如圖，點(diǎn)D是等邊三角形ABC的邊AB上一點(diǎn)，且AD∶DB＝1∶2，現(xiàn)

將△ABC折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，折痕為EF，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊

AC，BC上，則CE

∶CF的值為

?.

模型特例模型特征若C為BD的中點(diǎn)，連接AE銳角

鈍角

模型分析已知：∠B＝∠ACE＝∠D＝α.結(jié)論：△ABC∽△CDE∽△ACE模型練習(xí)3.

如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)

B，C重合），滿足∠DEF＝∠B，且點(diǎn)D，F(xiàn)分別在邊AB，AC上.（1）求證：△BDE∽△CEF；證明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.

∵∠BDE＝180°－∠B－∠DEB，∠CEF＝180°－∠DEF－∠DEB，又∵∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF.

∴△BDE∽△CEF.

（2）當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：FE平分∠DFC.

模型二

“一線三垂直”模型全等型相似型模型分析同側(cè)型

已知：∠1＝∠2＝∠3＝∠DBE＝90°.結(jié)論：①相似型：△ABD∽△CEB；②全等型：若BD＝BE，則

△ABD≌△CEB穿越型模型應(yīng)

用“一線三垂直”模型常應(yīng)用于正方形、矩形、平面直角坐標(biāo)

系、圓等與直角有關(guān)的圖形中.解題時(shí)若遇“一線三直角”

可直接應(yīng)用此模型，若遇“一線兩直角”或“一直角”，則

考慮補(bǔ)形構(gòu)造此模型模型練習(xí)4.

（2024內(nèi)蒙古）如圖，點(diǎn)A（0，－2），B（1，0），將線段AB平

移得到線段DC，若∠ABC＝90°，BC＝2AB，則點(diǎn)D的坐標(biāo)

是

?.（4，－4）

A.

B.

C.

D.

A

6.

（2025宜賓二模）如圖，點(diǎn)C在線段BD上，且AB⊥BD，

DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE，求證：BD＝AB＋DE.

8.

（2024煙臺(tái)）在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝

BC，D為直線BC上任意一點(diǎn)，連接AD.

將線段AD繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)?/p>

向旋轉(zhuǎn)90°得線段ED，連接BE.

【嘗試發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，線段BE與CD的數(shù)量關(guān)系

為

?；

【類(lèi)比探究】（2）當(dāng)點(diǎn)D在