初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊XJ湖南專用課時(shí)2含30°角的直角三角形的性質(zhì)5.1直角三角形的性質(zhì)定理1.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB邊上的高,∠A=30°,則下列結(jié)論中,正確的

是

(

)

A.AC=2AD

B.CD=2BDC.AD=2BD

D.BC=2BDD知識(shí)點(diǎn)1含30°角的直角三角形的性質(zhì)新教材知識(shí)優(yōu)化練2.(2024株洲天元區(qū)月考)如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,P是BC邊上的

動(dòng)點(diǎn),則AP的長不可能是

(

)

A.3.5

B.4.2

C.5.8

D.7D3.如圖,AC=BC=6cm,∠B=15°,AD⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)D,則AD的長為________.

3cm4.如圖,沿AC方向開山修路,為了加快施工進(jìn)度,要在山的另一邊同時(shí)施工,從AC上

的一點(diǎn)B取∠ABD=150°,BD=500m,∠D=60°.如果要使A,C,E三點(diǎn)在同一直線上,那

么開挖點(diǎn)E與點(diǎn)D之間的距離是

(

)B知識(shí)點(diǎn)2含30°角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用A.200mB.250mC.300mD.350m5.(新情境·生活應(yīng)用)某超市自動(dòng)扶梯的示意圖如圖所示,自動(dòng)扶梯連接的上、下

兩層之間的豎直距離h=6.5m,自動(dòng)扶梯的傾斜角為30°,若自動(dòng)扶梯的運(yùn)行速度v=

0.5m/s,則顧客乘自動(dòng)扶梯上一層樓的時(shí)間為__________s.

26

6.如圖,在△ABC中,AB=AC=4,D為AB的中點(diǎn),DE⊥BC于點(diǎn)E,BE=1.求證:△ABC是

等邊三角形.

知識(shí)點(diǎn)3含30°角的直角三角形的判定證明:因?yàn)锳B=4,D為AB的中點(diǎn),所以BD=

AB=2.因?yàn)镈E⊥BC,BE=1,所以∠DEB=90°,所以∠BDE=30°,所以∠B=90°-∠BDE=60°.又因?yàn)锳B=AC,所以△ABC是等邊三角形.7.如圖,在Rt△ADE中,∠A=90°,B,C分別為AE,DE上的點(diǎn),連接BC,∠CBA=120°,∠D

=30°,AB=2,BC=3,則CD=

(

)

A.5

B.6

C.7

D.8C新中考能力強(qiáng)化練啟發(fā)與線索由題意可判斷△EBC為等邊三角形.8.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于點(diǎn)D,DE⊥AB于點(diǎn)E,若DE=38cm,BC=114cm,則∠B的度數(shù)為

(

)

A.15°

B.30°

C.45°

D.60°B9.如圖,已知∠AOB=60°,點(diǎn)P在OA上,OP=10,點(diǎn)M,N在OB上,PM=PN,若MN=2,則OM

=_________.

4

解析如圖,過點(diǎn)P作PH⊥MN于點(diǎn)H.因?yàn)镻M=PN,所以MH=NH=

MN=

×2=1.在Rt△POH中,∠POH=60°,所以∠OPH=30°,所以O(shè)H=

OP=

×10=5,所以O(shè)M=OH-MH=5-1=4.

10.(新趨勢·跨學(xué)科)一塊光學(xué)棱鏡的直角三角形截面如圖所示,AB所在的面為不透

光的面.已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,現(xiàn)有一束單色光線從CB邊的點(diǎn)E

處垂直射入,到達(dá)AB邊的點(diǎn)D處,恰有CD⊥AB于點(diǎn)D,經(jīng)過反射(即∠CDE=∠CDF)

從AC邊的點(diǎn)F處射出.若光線在棱鏡內(nèi)部經(jīng)過的路徑DF=4.5cm,求這塊棱鏡的直

角三角形截面的高AC.(圖中各點(diǎn)都在同一平面內(nèi))

解:因?yàn)椤螦CB=90°,∠A=30°,所以∠B=60°.因?yàn)镃D⊥AB,所以∠CDB=∠CDA=90°,AC=2CD,所以∠DCB=30°,∠DCA=60°.因?yàn)镈E⊥BC,所以∠BED=90°,所以∠BDE=30°,所以∠CDE=∠CDF=60°,所以△FCD是等邊三角形,所以CD=DF=4.5cm,所以AC=2CD=9cm.11.如圖,∠ABC=60°,AB=8,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC運(yùn)動(dòng),每秒運(yùn)動(dòng)1個(gè)單位長度,

設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0),當(dāng)△ABP為銳角三角形時(shí),求t的取值范圍.

解:如圖1,當(dāng)∠APB=90°時(shí),圖1在Rt△ABP中,∠ABC=60°,所以∠BAP=90°-∠ABC=30°.因?yàn)锳B=8,所以BP=

AB=4.如圖2,當(dāng)∠BAP=90°時(shí),圖2在Rt△ABP中,∠ABC=60°,所以∠APB=90°-∠ABC=30°.因?yàn)锳B=8,所以BP=2AB=16.故當(dāng)4<BP<16時(shí),△ABP為銳角三角形.因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC運(yùn)動(dòng),每秒運(yùn)動(dòng)1個(gè)單位長度,所以當(dāng)△ABP為銳角三角形時(shí),t的取值范圍是4<t<16.12.(新素養(yǎng)·推理能力)(2024張家界期末)如圖,已知∠MON=30°,點(diǎn)A1,A2,A3,…在射

線ON上,點(diǎn)B1,B2,B3,…在射線OM上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4,…均為等邊三角形,

若OA1=1,則△A9B9A10的周長為

(

)

D新情境素養(yǎng)提升練A.128

B.256

C.384

D.768解析因?yàn)椤鰽1B1A2為等邊三角形,所以∠B1A1A2=∠A1B1A2=60°,B1A2=A1B1.因?yàn)椤螧1A1A2=∠MON+∠OB1A1,∠MON=30°,所以∠OB1A1=30°,同理∠A2B2B1=30°.因?yàn)椤螹ON=∠OB1A1=30°,所以A1B1=OA1=1,所以B1A2=1.因?yàn)椤螼B1A2=∠OB1A1+∠A1B1A2

=90