2025年線性代數(shù)供應(yīng)鏈管理中的優(yōu)化問題試題一、案例分析題（30分）（一）電子產(chǎn)品制造商A公司庫(kù)存優(yōu)化案例背景：A公司是一家全球化電子產(chǎn)品制造商，2025年面臨芯片短缺、物流成本上漲及多區(qū)域倉(cāng)庫(kù)協(xié)同效率低下等問題。公司現(xiàn)有3個(gè)區(qū)域倉(cāng)庫(kù)（北京、上海、廣州），需向5個(gè)銷售區(qū)域（華北、華東、華南、西南、西北）配送智能手機(jī)，各倉(cāng)庫(kù)庫(kù)存量、單位運(yùn)輸成本及區(qū)域需求量如下表所示（單位：萬元/萬部，萬部）：倉(cāng)庫(kù)庫(kù)存量華北華東華南西南西北北京1201.21.82.53.02.2上海1501.91.01.52.83.5廣州1002.31.61.12.03.2需求量-8090706050問題：建立線性規(guī)劃模型，以最小化總運(yùn)輸成本為目標(biāo)，確定各倉(cāng)庫(kù)向各銷售區(qū)域的配送量（假設(shè)運(yùn)輸量為連續(xù)變量）。若因物流車輛限制，上海倉(cāng)庫(kù)向華東區(qū)域的配送量需為整數(shù)（單位：萬部），模型應(yīng)如何調(diào)整？說明調(diào)整后模型的類型及求解難點(diǎn)。若2025年第三季度廣州倉(cāng)庫(kù)因臺(tái)風(fēng)導(dǎo)致庫(kù)存量降至60萬部，且西南區(qū)域需求突增20萬部，使用對(duì)偶理論分析原最優(yōu)解的變化趨勢(shì)。（二）食品加工企業(yè)B公司生產(chǎn)計(jì)劃優(yōu)化案例背景：B公司生產(chǎn)速凍水餃和湯圓兩種產(chǎn)品，2025年原材料（面粉、豬肉、蔬菜）價(jià)格波動(dòng)顯著。每萬箱水餃需消耗面粉2噸、豬肉1.5噸、蔬菜1噸，利潤(rùn)3萬元；每萬箱湯圓需消耗面粉1.8噸、豬肉0.5噸、蔬菜1.2噸，利潤(rùn)2.5萬元。每月原材料最大供應(yīng)量為面粉300噸、豬肉150噸、蔬菜200噸。問題：構(gòu)建線性規(guī)劃模型，確定兩種產(chǎn)品的最優(yōu)月產(chǎn)量，以最大化總利潤(rùn)。若豬肉價(jià)格上漲導(dǎo)致湯圓單位利潤(rùn)降至2萬元，且蔬菜供應(yīng)因季節(jié)性短缺減少至180噸，使用靈敏度分析判斷最優(yōu)解是否發(fā)生變化。公司計(jì)劃新增一條生產(chǎn)線，可將湯圓產(chǎn)能提升20%，但需每月固定成本5萬元，從線性規(guī)劃角度是否應(yīng)實(shí)施該方案？二、模型構(gòu)建與計(jì)算題（40分）（一）運(yùn)輸問題建模與求解（20分）場(chǎng)景：某跨境電商平臺(tái)2025年拓展東南亞市場(chǎng)，需從中國(guó)（深圳、廣州）、越南（胡志明市）、泰國(guó)（曼谷）三個(gè)倉(cāng)庫(kù)向新加坡、馬來西亞、菲律賓三個(gè)國(guó)家發(fā)貨。已知各倉(cāng)庫(kù)到目的國(guó)的單位運(yùn)費(fèi)（美元/箱）、庫(kù)存量及需求量如下：倉(cāng)庫(kù)庫(kù)存量（箱）新加坡馬來西亞菲律賓深圳5000121518廣州4000101416胡志明市30008912曼谷35009710需求量（箱）-600050004500要求：建立整數(shù)規(guī)劃模型，確保運(yùn)輸量為整數(shù)箱，目標(biāo)是最小化總運(yùn)費(fèi)（提示：使用0-1變量表示倉(cāng)庫(kù)是否啟用，固定成本為1000美元/啟用倉(cāng)庫(kù)）。若新加坡海關(guān)限制中國(guó)倉(cāng)庫(kù)的貨物進(jìn)口量不超過3000箱，模型需增加何種約束？用矩陣形式表示該約束條件。（二）供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)（20分）場(chǎng)景：某新能源企業(yè)計(jì)劃2025年在歐洲新建電池生產(chǎn)基地，候選地點(diǎn)為德國(guó)（柏林）、法國(guó)（里昂）、匈牙利（布達(dá)佩斯），需滿足德國(guó)、法國(guó)、意大利、西班牙四國(guó)需求。已知建廠固定成本（億歐元/年）、單位生產(chǎn)成本（歐元/個(gè)）及各國(guó)需求量如下：候選地固定成本單位成本德國(guó)法國(guó)意大利西班牙柏林81200.51.22.02.5里昂61101.00.61.52.2布達(dá)佩斯51001.81.51.01.3需求量（萬個(gè)）--80605040要求：構(gòu)建混合整數(shù)規(guī)劃模型，確定是否在候選地建廠及產(chǎn)量分配，目標(biāo)是最小化年總成本（含固定成本、生產(chǎn)成本及運(yùn)輸成本）。若布達(dá)佩斯工廠因政策限制，年產(chǎn)量不得超過100萬個(gè)，且德國(guó)需求量的50%必須由本地工廠供應(yīng)，模型需如何調(diào)整？三、綜合應(yīng)用題（30分）（一）動(dòng)態(tài)庫(kù)存控制（15分）背景：某醫(yī)藥企業(yè)2025年推出新冠疫苗升級(jí)版，需制定季度庫(kù)存計(jì)劃。已知季度需求量分別為Q1：100萬劑，Q2：150萬劑，Q3：200萬劑，Q4：120萬劑。每萬劑疫苗的生產(chǎn)成本為50萬元，庫(kù)存持有成本為季度利率8%，缺貨成本為10萬元/萬劑。問題：建立多周期動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型，確定各季度生產(chǎn)量（假設(shè)生產(chǎn)量可連續(xù)調(diào)整），最小化總成本（含生產(chǎn)、庫(kù)存、缺貨成本）。若Q2出現(xiàn)突發(fā)疫情，需求量增至200萬劑，使用線性代數(shù)中的矩陣變換方法，更新各季度的最優(yōu)生產(chǎn)量。（二）綠色供應(yīng)鏈優(yōu)化（15分）背景：2025年“雙碳”政策下，某汽車制造商需優(yōu)化零部件運(yùn)輸方案，降低碳排放。現(xiàn)有兩種運(yùn)輸方式：公路運(yùn)輸（單位碳排放20kg/噸·公里，成本1.2元/噸·公里）和鐵路運(yùn)輸（單位碳排放8kg/噸·公里，成本0.8元/噸·公里）。從供應(yīng)商到工廠的運(yùn)輸距離為500公里，每月需運(yùn)輸零部件10000噸，鐵路運(yùn)輸能力上限為6000噸。問題：構(gòu)建線性規(guī)劃模型，在滿足碳排放量不超過1200噸/月的前提下，最小化運(yùn)輸成本。若碳關(guān)稅政策出臺(tái)，碳排放超過1000噸后，超額部分需繳納500元/噸的碳稅，模型應(yīng)如何修改？用目標(biāo)函數(shù)表示該調(diào)整。四、理論分析題（20分）結(jié)合2025年供應(yīng)鏈數(shù)字化趨勢(shì)，分析線性代數(shù)在供應(yīng)鏈優(yōu)化中的局限性（如數(shù)據(jù)維度爆炸、非線性成本函數(shù)），并提出兩種改進(jìn)思路（如引入機(jī)器學(xué)習(xí)與線性模型的混合算法）。比較線性規(guī)劃與整數(shù)規(guī)劃