2025年線性代數(shù)居家自測版試題一、單項(xiàng)選擇題（每題3分，共10題，共30分）設(shè)三階行列式(\begin{vmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{vmatrix})的值為（）A.0B.1C.-1D.2設(shè)矩陣(A=\begin{bmatrix}1&2\3&4\end{bmatrix})，則(A^{-1})的伴隨矩陣(A^*)為（）A.(\begin{bmatrix}4&-2\-3&1\end{bmatrix})B.(\begin{bmatrix}-4&2\3&-1\end{bmatrix})C.(\begin{bmatrix}4&-3\-2&1\end{bmatrix})D.(\begin{bmatrix}1&-2\-3&4\end{bmatrix})向量組(\alpha_1=(1,0,0)^T)，(\alpha_2=(0,1,0)^T)，(\alpha_3=(1,1,0)^T)的秩為（）A.1B.2C.3D.0設(shè)(A)為(3\times4)矩陣，且(r(A)=2)，則齊次線性方程組(Ax=0)的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4矩陣(A=\begin{bmatrix}2&1\1&2\end{bmatrix})的特征值為（）A.1,3B.-1,-3C.2,2D.0,4若矩陣(A)與(B)相似，則下列結(jié)論正確的是（）A.(A)與(B)合同B.(A)與(B)等價(jià)C.(A)與(B)有相同的特征向量D.(\vertA\vert\neq\vertB\vert)二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_3^2)的矩陣為（）A.(\begin{bmatrix}1&1&0\1&2&0\0&0&4\end{bmatrix})B.(\begin{bmatrix}1&2&0\0&2&0\0&0&4\end{bmatrix})C.(\begin{bmatrix}1&1&0\1&1&0\0&0&4\end{bmatrix})D.(\begin{bmatrix}1&0&0\0&2&0\0&0&4\end{bmatrix})設(shè)(A)為正交矩陣，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.(\vertA\vert=\pm1)B.(A^T=A^{-1})C.(A)的特征值的模為1D.(A)必為對稱矩陣設(shè)(A)，(B)均為(n)階可逆矩陣，則下列等式成立的是（）A.((AB)^T=A^TB^T)B.((AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1})C.(\vertA+B\vert=\vertA\vert+\vertB\vert)D.(r(A+B)=r(A)+r(B))二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2-3x_3^2)的正慣性指數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3二、填空題（每題4分，共5題，共20分）行列式(\begin{vmatrix}1&2&3\0&4&5\0&0&6\end{vmatrix}=)________。設(shè)矩陣(A=\begin{bmatrix}1&0\2&1\end{bmatrix})，(B=\begin{bmatrix}1&1\0&1\end{bmatrix})，則(AB=)________。線性方程組(\begin{cases}x_1+x_2=1\x_1-x_2=3\end{cases})的解為________。設(shè)向量(\alpha=(1,2,3)^T)，(\beta=(3,2,1)^T)，則(\alpha)與(\beta)的內(nèi)積(\langle\alpha,\beta\rangle=)________。二次型(f(x_1,x_2)=x_1^2+4x_1x_2+3x_2^2)的標(biāo)準(zhǔn)形為________（用正交變換法）。三、計(jì)算題（每題10分，共5題，共50分）計(jì)算四階行列式(D=\begin{vmatrix}1&2&3&4\2&3&4&1\3&4&1&2\4&1&2&3\end{vmatrix})。設(shè)矩陣(A=\begin{bmatrix}1&2&3\2&2&1\3&4&3\end{bmatrix})，求(A^{-1})。解線性方程組(\begin{cases}x_1+x_2+2x_3=1\2x_1+3x_2+5x_3=2\3x_1+4x_2+7x_3=3\end{cases})，并寫出其通解。設(shè)矩陣(A=\begin{bmatrix}0&-1&1\-1&0&1\1&1&0\end{bmatrix})，求其特征值和對應(yīng)的特征向量。用配方法化二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3)為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的可逆線性變換。四、解答題（每題15分，共4題，共60分）設(shè)向量組(\alpha_1=(1,1,1)^T)，(\alpha_2=(1,2,3)^T)，(\alpha_3=(1,3,t)^T)，問：（1）當(dāng)(t)為何值時(shí)，向量組線性無關(guān)？（2）當(dāng)(t)為何值時(shí)，向量組線性相關(guān)？并求出此時(shí)向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組。設(shè)矩陣(A=\begin{bmatrix}1&-1&1\2&4&-2\-3&-3&5\end{bmatrix})，（1）求(A)的特征值和特征向量；（2）判斷(A)是否可對角化，若可對角化，求出可逆矩陣(P)和對角矩陣(\Lambda)，使得(P^{-1}AP=\Lambda)。已知線性方程組(\begin{cases}x_1+2x_2+kx_3=1\2x_1+kx_2+8x_3=3\end{cases})，（1）當(dāng)(k)為何值時(shí)，方程組無解？（2）當(dāng)(k)為何值時(shí)，方程組有唯一解？（3）當(dāng)(k)為何值時(shí)，方程組有無窮多解？并求通解。設(shè)二次型(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+3x_3^2+4x_2x_3)，（1）寫出二次型的矩陣(A)；（2）求正交矩陣(Q)，使得(Q^TAQ)為對角矩陣；（3）判斷二次型的正定性。五、證明題（每題