2025年線性代數(shù)矩陣對(duì)角化試題一、單項(xiàng)選擇題（每題3分，共30分）設(shè)n階矩陣A通過初等行變換變?yōu)榫仃嘊，則下列結(jié)論正確的是（）A.r(A)>r(B)B.r(A)=r(B)C.r(A)<r(B)D.無(wú)法判定r(A)與r(B)的關(guān)系設(shè)A為n階方陣且|A|=0，則（）A.A中有一行元素全為零B.A有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)成比例C.A中必有一行為其他行的線性組合D.A的任一行為其他行的線性組合設(shè)A是n階矩陣(n≥2)，A是A的伴隨矩陣，則下列結(jié)論一定正確的是（）A.AA=|A|EB.AA=|A|EC.|A*|=|A|D.(A*)*=|A|^(n-2)A下列不是n維向量組α?,α?,...,α?線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是（）A.存在一組不全為零的數(shù)k?,k?,...,k?使得k?α?+k?α?+...+k?α?=0B.不存在一組不全為零的數(shù)k?,k?,...,k?使得k?α?+k?α?+...+k?α?=0C.向量組的秩等于mD.任意一個(gè)向量都不能用其他向量線性表示設(shè)A為n階矩陣，若矩陣A+E的秩為r，則A的特征值λ=-1的幾何重?cái)?shù)為（）A.1B.n-rC.rD.n四階行列式|a??|中，含a??a??a??a??的項(xiàng)的符號(hào)為（）A.正B.負(fù)C.不確定D.以上都不對(duì)設(shè)A為四階矩陣且|A|=2，則|A*|的值為（）A.2B.4C.8D.16設(shè)A為n階矩陣滿足A2=A，E為n階單位矩陣，則下列結(jié)論正確的是（）A.A=OB.A=EC.若A不可逆，則A=OD.r(A)+r(A-E)=n設(shè)A，B是兩個(gè)相似的矩陣，則下列結(jié)論不正確的是（）A.秩(A)=秩(B)B.特征值相同C.特征矩陣相似D.行列式相同設(shè)A為n階矩陣，則λ=0為A的特征值是A不可逆的（）A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.既非充分又非必要條件D.充分必要條件二、填空題（每題3分，共18分）行列式$\begin{vmatrix}1&2&3&4\2&3&4&1\3&4&1&2\4&1&2&3\end{vmatrix}$的值為__________。設(shè)矩陣A=$\begin{bmatrix}1&2\3&4\end{bmatrix}$，則A?1=__________。二次型f(x?,x?,x?)=x?2+2x?2+3x?2+4x?x?+5x?x?+6x?x?對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣為__________。已知α?=(1,0,0)?,α?=(0,1,0)?,α?=(0,0,1)?是歐氏空間R3的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則向量β=(1,2,3)?在這組基下的坐標(biāo)為__________。已知矩陣A的特征值為1,2,3，則|A2-2A+E|=__________。設(shè)α,β,γ均為3維列向量，記矩陣A=(α,β,γ)，B=(α+β,β+γ,γ+α)。如果|A|=1，則|B|=__________。三、解答題（共52分）（一）基礎(chǔ)計(jì)算題（8分）設(shè)矩陣A=$\begin{bmatrix}1&0&1\2&1&0\-3&2&-5\end{bmatrix}$，求A?1。解析：通過初等行變換法求逆矩陣，構(gòu)造增廣矩陣[A|E]并化為[E|A?1]：$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&1&0&0\2&1&0&0&1&0\-3&2&-5&0&0&1\end{array}\right]\xrightarrow{\text{行變換}}\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-5&2&-1\0&1&0&10&-2&2\0&0&1&5&-2&1\end{array}\right]$$故A?1=$\begin{bmatrix}-5&2&-1\10&-2&2\5&-2&1\end{bmatrix}$。（二）向量組與秩（10分）設(shè)向量組α?=(1,2,3,4)?,α?=(2,3,4,5)?,α?=(3,4,5,6)?,α?=(4,5,6,7)?,α?=(5,6,7,8)?。求該向量組的秩及一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示。解析：對(duì)向量組構(gòu)成的矩陣作初等行變換：$$\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\2&3&4&5&6\3&4&5&6&7\4&5&6&7&8\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\0&-1&-2&-3&-4\0&0&0&0&0\0&0&0&0&0\end{bmatrix}$$秩為2，極大無(wú)關(guān)組為α?,α?。線性表示式：α?=2α?-α?，α?=3α?-2α?，α?=4α?-3α?。（三）線性方程組求解（12分）討論線性方程組$$\begin{cases}x?+x?+x?=1\x?+2x?+ax?=2\x?+4x?+a2x?=4\end{cases}$$解的情況，并在有無(wú)窮多解時(shí)求其通解。解析：增廣矩陣初等行變換得：$$\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\0&1&a-1&1\0&0&(a-1)(a-2)&a-2\end{array}\right]$$當(dāng)a≠1且a≠2時(shí)，唯一解：x?=1-(a-2)/(a-1)，x?=1/(a-1)，x?=1/(a-1)；當(dāng)a=1時(shí)，無(wú)解；當(dāng)a=2時(shí)，無(wú)窮多解，通解為(0,1,0)?+k(-1,0,1)?（k∈R）。（四）矩陣對(duì)角化綜合題（14分）設(shè)矩陣A=$\begin{bmatrix}2&-1&-1\-1&2&-1\-1&-1&2\end{bmatrix}$，（1）求A的所有特征值和特征向量；（2）求正交矩陣P，使得P?1AP為對(duì)角矩陣。解析：（1）特征多項(xiàng)式|A-λE|=-(λ-3)2λ，特征值λ?=λ?=3，λ?=0。λ=3時(shí)，解(A-3E)x=0，基礎(chǔ)解系α?=(1,-1,0)?，α?=(1,0,-1)?，特征向量k?α?+k?α?（k?,k?不全為0）；λ=0時(shí)，解Ax=0，基礎(chǔ)解系α?=(1,1,1)?，特征向量k?α?（k?≠0）。（2）正交化α?,α?得β?=(1,-1,0)?/√2，β?=(1,1,-2)?/√6，單位化α?得β?=(1,1,1)?/√3。令P=(β?,β?,β?)，則P?1AP=diag(3,3,0)。（五）證明題（8分）對(duì)任意n階矩陣A，證明：（1）A+A?為對(duì)稱矩陣，A-A?為反對(duì)稱矩陣；（2）A可表示為一個(gè)對(duì)稱矩陣和一個(gè)反對(duì)稱矩陣之和。證明：（1）(A+A?)?=A?+A=A+A?，故對(duì)稱；(A-A?)?=A?-A=-(A-A?)，故反對(duì)稱。（2）令B=(A+A?)/2，C=(A-A?)/2，則A=B+C，且B對(duì)稱，C反對(duì)稱。四、綜合應(yīng)用題（附加題，20分）設(shè)某線性變換在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣為A=$\begin{bmatrix}1&1\0&1\en