2025年線(xiàn)性代數(shù)考研強(qiáng)化提高試題一、填空題（每題3分，共30分）設(shè)四階行列式$D=\begin{vmatrix}1&2&3&4\2&3&4&1\3&4&1&2\4&1&2&3\end{vmatrix}$，則$D$的值為_(kāi)_____。已知矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}2&1\4&3\end{pmatrix}$，且$AB=E$（$E$為二階單位矩陣），則$A^{-1}=$______。設(shè)向量組$\alpha_1=(1,2,3)^T$，$\alpha_2=(2,a,6)^T$，$\alpha_3=(3,6,9)^T$線(xiàn)性相關(guān)，則$a$的取值為_(kāi)_____。設(shè)$A$為$3$階矩陣，且$|A|=2$，則$|2A^|=$______（其中$A^$為$A$的伴隨矩陣）。齊次線(xiàn)性方程組$\begin{cases}x_1+2x_2+3x_3=0\2x_1+4x_2+6x_3=0\3x_1+6x_2+9x_3=0\end{cases}$的基礎(chǔ)解系中解向量的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____。設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}1&0&0\0&2&0\0&0&3\end{pmatrix}$，則$A$的特征值為_(kāi)_____。二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+5x_1x_3+6x_2x_3$對(duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)矩陣為_(kāi)_____。設(shè)$A$為$n$階正交矩陣，且$|A|=-1$，則$|A+E|=$______。向量$\alpha=(1,2,3)^T$與$\beta=(4,5,a)^T$正交，則$a=$______。設(shè)$A$為$3$階矩陣，$r(A)=2$，則$A$的伴隨矩陣$A^*$的秩為_(kāi)_____。二、選擇題（每題3分，共30分）設(shè)$A$，$B$為$n$階矩陣，下列運(yùn)算正確的是（）A.$(AB)^T=A^TB^T$B.$|A+B|=|A|+|B|$C.$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$D.$|AB|=|BA|$向量組$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分必要條件是（）A.存在不全為零的數(shù)$k_1,k_2,\cdots,k_s$，使得$k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s\neq0$B.該向量組中任意兩個(gè)向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)C.該向量組的秩等于$s$D.該向量組中存在一個(gè)向量不能由其余向量線(xiàn)性表示設(shè)$A$為$m\timesn$矩陣，非齊次線(xiàn)性方程組$Ax=b$有唯一解的充分必要條件是（）A.$m=n$且$|A|\neq0$B.$r(A)=n$C.$r(A,b)=r(A)=n$D.$r(A,b)=r(A)=m$設(shè)$A$為$n$階矩陣，$\lambda=2$是$A$的特征值，則下列矩陣中必有特征值$4$的是（）A.$A^2$B.$A+2E$C.$A-2E$D.$2A$二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3$的正慣性指數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3設(shè)$A$，$B$為$n$階相似矩陣，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.$|A|=|B|$B.$r(A)=r(B)$C.$A$與$B$有相同的特征向量D.$A$與$B$有相同的特征多項(xiàng)式設(shè)$A$為$3$階矩陣，$A$的特征值為$1,2,3$，則$|A^3-3A^2+2A|=$（）A.0B.6C.12D.24設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}1&1&0\1&1&0\0&0&2\end{pmatrix}$，則與$A$合同的矩陣是（）A.$\begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&2\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}1&0&0\0&-1&0\0&0&2\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}-1&0&0\0&-1&0\0&0&2\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&-2\end{pmatrix}$設(shè)$\alpha_1,\alpha_2$是齊次線(xiàn)性方程組$Ax=0$的基礎(chǔ)解系，則下列向量組中仍為該方程組基礎(chǔ)解系的是（）A.$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1-\alpha_2$B.$\alpha_1+\alpha_2,2\alpha_1+2\alpha_2$C.$\alpha_1,2\alpha_1$D.$\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1-\alpha_2$設(shè)$A$為$n$階正定矩陣，則下列矩陣中不是正定矩陣的是（）A.$A^T$B.$A^{-1}$C.$A+E$D.$A-E$三、計(jì)算題（共60分）（10分）計(jì)算$n$階行列式$D_n=\begin{vmatrix}a&b&b&\cdots&b\b&a&b&\cdots&b\b&b&a&\cdots&b\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\b&b&b&\cdots&a\end{vmatrix}$。（12分）設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2&3\2&1&4\3&4&1\end{pmatrix}$，求：（1）$A$的逆矩陣$A^{-1}$；（2）矩陣方程$AX=\begin{pmatrix}1\0\0\end{pmatrix}$的解。（12分）設(shè)向量組$\alpha_1=(1,1,1,1)^T$，$\alpha_2=(1,1,-1,-1)^T$，$\alpha_3=(1,-1,1,-1)^T$，$\alpha_4=(1,-1,-1,1)^T$，求該向量組的秩及一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線(xiàn)性表示。（14分）設(shè)線(xiàn)性方程組$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\x_1+2x_2+ax_3=2\x_1+4x_2+a^2x_3=4\end{cases}$，討論$a$為何值時(shí)：（1）方程組有唯一解；（2）方程組無(wú)解；（3）方程組有無(wú)窮多解，并求通解。（12分）設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}2&1&1\1&2&1\1&1&2\end{pmatrix}$，求：（1）$A$的特征值與特征向量；（2）正交矩陣$Q$，使得$Q^TAQ$為對(duì)角矩陣。四、證明題（共20分）（10分）設(shè)$A$為$n$階矩陣，且$A^2=A$（冪等矩陣），證明：$r(A)+r(A-E)=n$。（10分）設(shè)$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$是齊次線(xiàn)性方程組$Ax=0$的基礎(chǔ)解系，證明：$\beta_1=\alpha_1+\alpha_2$，$\beta_2=\alpha_2+\alpha_3$，$\beta_3=\alpha_3+\alpha_1$也是該方程組的基礎(chǔ)解系。五、綜合應(yīng)用題（共10分）設(shè)二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+4x_1x_3+6x_2x_3$，（1）寫(xiě)出該二次型對(duì)應(yīng)的矩陣$A$；（2）用正交變換法將該二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出正交變換矩陣$Q$。試題解析要點(diǎn)：行列式計(jì)算：第1題可利用“行和相等”技巧，將第2至n行加到第1行后提取公因式，再通過(guò)初等變換化為上三角行列式。矩陣方程求解：第2題需先計(jì)算$|A|$驗(yàn)證可逆性，再用初等行變換法求$A^{-1}$，進(jìn)而求解$X=A^{-1}\begin{pmatrix}1\0\0\end{pmatrix}$。線(xiàn)性方程組討論：第4題通過(guò)系數(shù)矩陣行列式$|A|=(a-1)(a-2)$分類(lèi)討論，無(wú)窮多解時(shí)需用導(dǎo)出組基礎(chǔ)解系表示通解。特征值與正交對(duì)角化：第5題需先求解特征方程$|\lambdaE-A|=(\lambda-4)(\lambda-1)^2=0$，對(duì)二重特征值$\lambda=1$需驗(yàn)證幾何重?cái)?shù)為2，再用施密特正交化處理特征向量。證明題邏輯：第1題利用矩陣秩的不等式$r(A)+r(B)\geqr(A+B)$及$A(A-E)=O$推導(dǎo)；第2題需驗(yàn)證$\beta_1,\beta_2,\beta_3$線(xiàn)性無(wú)關(guān)且均為解向量。知識(shí)點(diǎn)覆蓋說(shuō)明：行列式：n階行列式計(jì)算（填空題1、解答題1）矩陣：逆矩陣、伴隨矩陣、矩陣方程（填空題2、4，解答題2）向量組