2025年線性代數(shù)空間想象能力試題一、填空題（每小題5分，共30分）已知三維空間中向量α=(1,2,3)，β=(2,-1,1)，則向量α在β上的投影向量為________。設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{pmatrix})，則齊次線性方程組(Ax=0)的解空間維數(shù)為________。若四階行列式(D=\begin{vmatrix}a&b&c&d\b&a&d&c\c&d&a&b\d&c&b&a\end{vmatrix})，則(D)的值為________。三維空間中，過點(diǎn)((1,0,2))且與平面(2x-y+3z=4)垂直的直線方程為________。設(shè)向量組(\alpha_1=(1,1,1)^T)，(\alpha_2=(1,2,3)^T)，(\alpha_3=(1,k,9)^T)線性相關(guān)，則常數(shù)(k=)________。二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+5x_1x_3+6x_2x_3)的矩陣為________。二、選擇題（每小題5分，共30分）下列向量組中，線性無(wú)關(guān)的是（）A.((1,2,3)^T,(2,4,6)^T,(3,6,9)^T)B.((1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(1,1,0)^T)C.((1,2,3)^T,(4,5,6)^T,(7,8,9)^T)D.((1,0,1)^T,(0,1,1)^T,(1,1,0)^T)設(shè)矩陣(A)為3階方陣，且(|A|=2)，則(|-2A^*|=)（）A.-16B.-8C.8D.16齊次線性方程組(\begin{cases}x_1+2x_2+3x_3=0\2x_1+4x_2+6x_3=0\3x_1+6x_2+9x_3=0\end{cases})的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3三維空間中，平面(x+y+z=1)與直線(\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{1})的位置關(guān)系是（）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.直線在平面上設(shè)矩陣(A)與(B)相似，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.(|A|=|B|)B.(r(A)=r(B))C.(A)與(B)有相同的特征向量D.(A)與(B)有相同的特征值二次型(f(x_1,x_2)=x_1^2+4x_1x_2+3x_2^2)的標(biāo)準(zhǔn)形為（）A.(y_1^2-y_2^2)B.(y_1^2+y_2^2)C.(-y_1^2-y_2^2)D.(-y_1^2+y_2^2)三、計(jì)算題（每小題15分，共60分）1.向量組相關(guān)性與秩已知向量組(\alpha_1=(1,2,-1,1)^T)，(\alpha_2=(2,0,t,0)^T)，(\alpha_3=(0,-4,5,-2)^T)，(\alpha_4=(-3,-6,9,-3)^T)，求：（1）當(dāng)(t)為何值時(shí)，該向量組線性相關(guān)？（2）當(dāng)向量組線性相關(guān)時(shí)，求其一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并將其余向量用最大無(wú)關(guān)組線性表示。解析：（1）將向量組按列排成矩陣(A)，作初等行變換：[A=\begin{pmatrix}1&2&0&-3\2&0&-4&-6\-1&t&5&9\1&0&-2&-3\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&2&0&-3\0&-4&-4&0\0&t+2&5&6\0&-2&-2&0\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&2&0&-3\0&-2&-2&0\0&0&t-3&6\0&0&0&0\end{pmatrix}]當(dāng)(t=3)時(shí)，(r(A)=3<4)，向量組線性相關(guān)。（2）當(dāng)(t=3)時(shí)，最大無(wú)關(guān)組為(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)，且(\alpha_4=3\alpha_1-\alpha_2+0\alpha_3)。2.線性方程組求解設(shè)非齊次線性方程組(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\x_1+2x_2+ax_3=2\x_1+4x_2+a^2x_3=4\end{cases})，討論(a)為何值時(shí)方程組有唯一解、無(wú)解、無(wú)窮多解，并在無(wú)窮多解時(shí)求通解。解析：系數(shù)行列式(|A|=\begin{vmatrix}1&1&1\1&2&a\1&4&a^2\end{vmatrix}=(a-1)(a-2))。當(dāng)(a\neq1)且(a\neq2)時(shí)，(|A|\neq0)，方程組有唯一解。當(dāng)(a=1)時(shí)，增廣矩陣(\overline{A}\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&1&1\0&1&0&1\0&0&0&1\end{pmatrix})，(r(A)=2\neqr(\overline{A})=3)，無(wú)解。當(dāng)(a=2)時(shí)，(\overline{A}\rightarrow\begin{pmatrix}1&1&1&1\0&1&1&1\0&0&0&0\end{pmatrix})，通解為(x=(0,1,0)^T+k(0,-1,1)^T)（(k\in\mathbb{R})）。3.矩陣特征值與特征向量設(shè)矩陣(A=\begin{pmatrix}2&-1&1\0&3&-1\0&-1&3\end{pmatrix})，求(A)的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量。解析：特征方程(|\lambdaE-A|=\begin{vmatrix}\lambda-2&1&-1\0&\lambda-3&1\0&1&\lambda-3\end{vmatrix}=(\lambda-2)(\lambda-2)(\lambda-4)=0)，特征值(\lambda_1=2)（二重），(\lambda_2=4)。當(dāng)(\lambda=2)時(shí)，((2E-A)x=0)的基礎(chǔ)解系為((1,0,0)^T,(0,1,1)^T)，特征向量為(k_1(1,0,0)^T+k_2(0,1,1)^T)（(k_1,k_2)不全為0）。當(dāng)(\lambda=4)時(shí)，((4E-A)x=0)的基礎(chǔ)解系為((0,-1,1)^T)，特征向量為(k_3(0,-1,1)^T)（(k_3\neq0)）。4.二次型與正定矩陣判斷二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+4x_2x_3)是否正定，并求其正慣性指數(shù)。解析：二次型矩陣(A=\begin{pmatrix}1&1&1\1&2&2\1&2&3\end{pmatrix})，各階順序主子式：(\Delta_1=1>0)，(\Delta_2=\begin{vmatrix}1&1\1&2\end{vmatrix}=1>0)，(\Delta_3=|A|=1>0)，故正定。特征方程(|\lambdaE-A|=(\lambda-1)(\lambda-1)(\lambda-4)=0)，正慣性指數(shù)為3。四、證明題（20分）設(shè)向量組(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)線性無(wú)關(guān)，證明向量組(\beta_1=\alpha_1+\alpha_2)，(\beta_2=\alpha_2+\alpha_3)，(\beta_3=\alpha_3+\alpha_1)也線性無(wú)關(guān)。證明：設(shè)(k_1\beta_1+k_2\beta_2+k_3\beta_3=0)，即((k_1+k_3)\alpha_1+(k_1+k_2)\alpha_2+(k_2+k_3)\alpha_3=0)。由(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)線性無(wú)關(guān)，得(\begin{cases}k_1+k_3=0\k_1+k_2=0\k_2+k_3=0\end{cases})，系數(shù)行列式(\begin{vmatrix}1&0&1\1&1&0\0&1&1\end{vmatrix}=2\neq0)，故(k_1=k_2=k_3=0)，從而(\beta_1,\beta_2,\beta_3)線性無(wú)關(guān)。五、應(yīng)用題（20分）在三維空間中，求由平面(