2025年線性代數(shù)控制理論中的線性代數(shù)試題一、選擇題（每題3分，共30分）設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為(\dot{x}=Ax+Bu)，其中(A)為3階方陣，(B)為3×1矩陣。若系統(tǒng)可控性矩陣([B,AB,A^2B])的秩為2，則系統(tǒng)（）A.完全可控B.不完全可控C.完全可觀D.不完全可觀已知矩陣(A=\begin{bmatrix}0&1\-2&-3\end{bmatrix})，其特征值為（）A.(-1,-2)B.(1,2)C.(-1,2)D.(1,-2)二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2-2x_1x_3+4x_2x_3)對應(yīng)的矩陣為（）A.(\begin{bmatrix}1&1&-1\1&2&2\-1&2&5\end{bmatrix})B.(\begin{bmatrix}1&2&-1\2&2&4\-1&4&5\end{bmatrix})C.(\begin{bmatrix}1&1&-1\1&2&4\-1&2&5\end{bmatrix})D.(\begin{bmatrix}1&2&-1\1&2&2\-1&4&5\end{bmatrix})線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2})，當(dāng)阻尼比(\zeta=0.5)時，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為（）A.等幅振蕩B.衰減振蕩C.單調(diào)衰減D.發(fā)散設(shè)矩陣(A)為3階方陣，且(|A|=3)，則(|2A^{-1}|)的值為（）A.(\frac{8}{3})B.(\frac{2}{3})C.(6)D.(24)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為(\dot{x}=Ax+Bu)，(y=Cx)，若系統(tǒng)完全可觀，則可觀性矩陣([C^T,A^TC^T,(A^T)^2C^T]^T)的秩為（）A.(n)（系統(tǒng)階數(shù)）B.(m)（輸出維數(shù)）C.(p)（輸入維數(shù)）D.(0)下列矩陣中，屬于正交矩陣的是（）A.(\begin{bmatrix}1&1\1&1\end{bmatrix})B.(\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix})C.(\begin{bmatrix}1&2\3&4\end{bmatrix})D.(\begin{bmatrix}0&1\1&0\end{bmatrix})若齊次線性方程組(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=0\x_1+\lambdax_2+x_3=0\x_1+x_2+\lambdax_3=0\end{cases})只有零解，則(\lambda)應(yīng)滿足（）A.(\lambda\neq1)B.(\lambda=1)C.(\lambda\neq-1)D.(\lambda=-1)離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為(x(k+1)=Gx(k)+Hu(k))，其穩(wěn)定性條件是（）A.(G)的特征值均位于單位圓內(nèi)B.(G)的特征值均位于左半復(fù)平面C.(G)的特征值模長均大于1D.(G)的特征值實部均為負(fù)向量組(\alpha_1=(1,2,3)^T)，(\alpha_2=(2,4,6)^T)，(\alpha_3=(3,6,9)^T)的秩為（）A.1B.2C.3D.無法確定二、填空題（每題4分，共20分）已知矩陣(A=\begin{bmatrix}1&2\3&4\end{bmatrix})，則(A)的伴隨矩陣(A^*)為________。線性系統(tǒng)(\dot{x}=\begin{bmatrix}0&1\-2&-3\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0\1\end{bmatrix}u)的可控性矩陣為________，該系統(tǒng)________（填“可控”或“不可控”）。二次型(f(x_1,x_2)=2x_1^2+4x_1x_2+3x_2^2)的矩陣為________，其正定性為________（填“正定”“負(fù)定”或“不定”）。傳遞函數(shù)(G(s)=\frac{s+1}{s^2+3s+2})的極點為________，系統(tǒng)的穩(wěn)定性為________（填“穩(wěn)定”或“不穩(wěn)定”）。向量空間(V={(x_1,x_2,x_3)^T\midx_1+x_2+x_3=0})的一組基為________，維數(shù)為________。三、計算題（每題10分，共50分）求解線性方程組(\begin{cases}x_1+2x_2-x_3=1\2x_1+4x_2-2x_3=2\-x_1+x_2+2x_3=0\end{cases})。解：對增廣矩陣進(jìn)行初等行變換：[\begin{bmatrix}1&2&-1&1\2&4&-2&2\-1&1&2&0\end{bmatrix}\xrightarrow{r_2-2r_1}\begin{bmatrix}1&2&-1&1\0&0&0&0\-1&1&2&0\end{bmatrix}\xrightarrow{r_3+r_1}\begin{bmatrix}1&2&-1&1\0&0&0&0\0&3&1&1\end{bmatrix}]秩(r(A)=r(\overline{A})=2<3)，方程組有無窮多解。令(x_3=t)，則(x_2=\frac{1-t}{3})，(x_1=1-2x_2+x_3=1-2\cdot\frac{1-t}{3}+t=\frac{1+5t}{3})。通解為(x=\begin{bmatrix}\frac{1}{3}\\frac{1}{3}\0\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}\frac{5}{3}\-\frac{1}{3}\1\end{bmatrix})（(t)為任意常數(shù)）。設(shè)矩陣(B=\begin{bmatrix}4&2\-2&1\end{bmatrix})，求其特征值及對應(yīng)的特征向量。解：特征多項式(|\lambdaI-B|=\begin{vmatrix}\lambda-4&-2\2&\lambda-1\end{vmatrix}=(\lambda-4)(\lambda-1)+4=\lambda^2-5\lambda+8)。解得特征值(\lambda_1=\frac{5+\sqrt{7}i}{2})，(\lambda_2=\frac{5-\sqrt{7}i}{2})。對(\lambda_1)，解方程((\lambda_1I-B)x=0)，得特征向量(k_1\begin{bmatrix}2\\lambda_1-4\end{bmatrix})（(k_1\neq0)）；同理，(\lambda_2)對應(yīng)的特征向量為(k_2\begin{bmatrix}2\\lambda_2-4\end{bmatrix})（(k_2\neq0)）。已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(G(s)=\frac{1}{(s+1)^2})，求其單位階躍響應(yīng)，并判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：單位階躍輸入(R(s)=\frac{1}{s})，輸出(Y(s)=G(s)R(s)=\frac{1}{s(s+1)^2})。部分分式分解：(\frac{1}{s(s+1)^2}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}-\frac{1}{(s+1)^2})。拉氏逆變換得(y(t)=1-e^{-t}-te^{-t})（(t\geq0)）。系統(tǒng)極點為(s=-1)（二重根），均位于左半復(fù)平面，故系統(tǒng)穩(wěn)定。設(shè)二次型(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2)，通過正交變換將其化為標(biāo)準(zhǔn)形。解：二次型矩陣(A=\begin{bmatrix}2&1&0\1&2&0\0&0&3\end{bmatrix})。特征值(\lambda_1=3)，(\lambda_2=3)，(\lambda_3=1)。對應(yīng)特征向量(\alpha_1=(1,1,0)^T)，(\alpha_2=(0,0,1)^T)，(\alpha_3=(1,-1,0)^T)。正交化、單位化后得正交矩陣(P)，則標(biāo)準(zhǔn)形為(f=3y_1^2+3y_2^2+y_3^2)。給定系統(tǒng)狀態(tài)方程(\dot{x}=\begin{bmatrix}0&1\-2&-3\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0\1\end{bmatrix}u)，設(shè)計狀態(tài)反饋控制器(u=-Kx)，使閉環(huán)系統(tǒng)極點為(-1)和(-2)。解：設(shè)(K=[k_1,k_2])，閉環(huán)系統(tǒng)矩陣(A-BK=\begin{bmatrix}0&1\-2-k_1&-3-k_2\end{bmatrix})。特征多項式(|\lambdaI-(A-BK)|=\lambda^2+(3+k_2)\lambda+(2+k_1))。期望特征多項式為((\lambda+1)(\lambda+2)=\lambda^2+3\lambda+2)。比較系數(shù)得(3+k_2=3)，(2+k_1=2)，解得(k_1=0)，(k_2=0)。故控制器為(u=0)（注：此處結(jié)果表明原系統(tǒng)極點已滿足要求，無需反饋）。四、綜合應(yīng)用題（每題15分，共30分）某溫度控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：(\dot{x}=\begin{bmatrix}-2&1\0&-1\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}1\1\end{bmatrix}u)，(y=[1,0]x)（1）判斷系統(tǒng)的可控性和可觀性；（2）若系統(tǒng)初始狀態(tài)(x(0)=[1,0]^T)，輸入(u(t)=1(t))（單位階躍），求系統(tǒng)輸出(y(t))。解：（1）可控性矩陣(Q_c=[B,AB]=\begin{bmatrix}1&-2+1\1&0+(-1)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-1\1&-1\end{bmatrix})，秩(r(Q_c)=1<2)，系統(tǒng)不可控。可觀性矩陣(Q_o=\begin{bmatrix}C\CA\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\-2&1\end{bmatrix})，秩(r(Q_o)=2)，系統(tǒng)可觀。（2）(X(s)=(sI-A)^{-1}x(0)+(sI-A)^{-1}BU(s))，(U(s)=\frac{1}{s})。計算得((sI-A)^{-1}=\frac{1}{(s+2)(s+1)}\begin{bmatrix}s+1&1\0&s+2\end{bmatrix})，代入得(X(s)=\frac{1}{s(s+2)(s+1)}\begin{bmatrix}s(s+1)+(s+2)\s(s+1)\end{bmatrix})?；喓?Y(s)=CX(s)=\frac{s^2+2s+2}{s(s+2)(s+1)})，部分分式分解并求逆變換得(y(t)=1-e^{-2t})（(t\geq0)）。設(shè)線性二次調(diào)節(jié)器（LQR）的性能指標(biāo)為(J=\int_0^\infty(x^TQx+u^TRu)dt)，其中(Q=I)（2階單位陣），(R=1)，系統(tǒng)狀態(tài)方程為(\dot{x}=\begin{bmatrix}0&1\0&0\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}0\1\end{bmatrix}u)。求最優(yōu)控制律(u^*)。解：Riccati方程：(A^TP+PA-PBR^{-1}B^TP+Q=0)。設(shè)(P=\begin{bmatrix}p_{11}&p_{12}\p_{12}&p_{22}\end{bmatrix})，代入得：[\begin{bmatrix}0&0\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}p_{11}&p_{12}\p_{12}&p_{22}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}p_{11}&p_{12}\p_{12}&p_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1\0&0\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}p_{11}&p_{12}\p_{12}&p_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\1\end{bmatrix}[0,1]\begin{bmatrix}p_{11}&p_{12}\p_{12}&p_{22}\end{bma