2025年線性代數(shù)李群李代數(shù)中的矩陣表示試題一、選擇題（每題5分，共30分）設(shè)$\boldsymbol{A}\in\text{SO}(3)$為三維旋轉(zhuǎn)矩陣，其對應(yīng)的李代數(shù)元素為$\boldsymbol{\phi}\in\mathfrak{so}(3)$，則以下關(guān)于指數(shù)映射$\exp(\boldsymbol{\phi}^\wedge)$的結(jié)論正確的是（）A.$\exp(\boldsymbol{\phi}^\wedge)$的行列式為$-1$B.$\exp(\boldsymbol{\phi}^\wedge)=\boldsymbol{I}+\boldsymbol{\phi}^\wedge+\frac{1}{2!}(\boldsymbol{\phi}^\wedge)^2+\cdots$C.當$\boldsymbol{\phi}=(0,0,\theta)^T$時，$\exp(\boldsymbol{\phi}^\wedge)$等價于沿$z$軸旋轉(zhuǎn)$-\theta$的矩陣D.$\exp(\boldsymbol{\phi}^\wedge)=\exp(-\boldsymbol{\phi}^\wedge)^T$下列矩陣中不屬于特殊正交群$\text{SO}(3)$的是（）A.$\begin{pmatrix}1&0&0\0&\cos\theta&-\sin\theta\0&\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}0&-1&0\1&0&0\0&0&-1\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}\cos\theta&0&\sin\theta\0&1&0\-\sin\theta&0&\cos\theta\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}0&0&1\0&1&0\-1&0&0\end{pmatrix}$設(shè)$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$為二階特殊線性李代數(shù)（跡為0的實矩陣全體），則其一組基可選為（）A.$\begin{pmatrix}1&0\0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\1&0\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}0&1\1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&-i\i&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&0\0&-1\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&0\0&-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\1&0\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1&0\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\1&0\end{pmatrix}$關(guān)于李括號運算，下列等式成立的是（）A.$[\boldsymbol{X},\boldsymbol{Y}]=[\boldsymbol{Y},\boldsymbol{X}]$（交換律）B.$[\boldsymbol{X},[\boldsymbol{Y},\boldsymbol{Z}]]+[\boldsymbol{Y},[\boldsymbol{Z},\boldsymbol{X}]]+[\boldsymbol{Z},[\boldsymbol{X},\boldsymbol{Y}]]=\boldsymbol{0}$（雅可比恒等式）C.$[\boldsymbol{X},\boldsymbol{Y}+\boldsymbol{Z}]=[\boldsymbol{X},\boldsymbol{Y}]+[\boldsymbol{Z},\boldsymbol{X}]$（分配律）D.$[\boldsymbol{X},\boldsymbol{X}]=\boldsymbol{X}^2$（冪等性）設(shè)$\boldsymbol{A}\in\text{GL}(n,\mathbb{R})$為一般線性群元素，其對應(yīng)的李代數(shù)$\mathfrak{gl}(n,\mathbb{R})$中的矩陣$\boldsymbol{X}$滿足$\boldsymbol{A}=\exp(\boldsymbol{X})$，則$\boldsymbol{A}^{-1}$對應(yīng)的李代數(shù)元素為（）A.$\boldsymbol{X}$B.$-\boldsymbol{X}$C.$\boldsymbol{X}^T$D.$\boldsymbol{X}^{-1}$在$\text{SU}(2)$群的伴隨表示中，生成元$\boldsymbol{\sigma}_1=\begin{pmatrix}0&1\1&0\end{pmatrix}$的表示矩陣滿足（）A.$\text{tr}(\text{Ad}(\boldsymbol{\sigma}_1))=0$B.$\det(\text{Ad}(\boldsymbol{\sigma}_1))=2$C.$\text{Ad}(\boldsymbol{\sigma}_1)^2=\boldsymbol{I}$D.$\text{Ad}(\boldsymbol{\sigma}_1)$與$\boldsymbol{\sigma}_1$相似二、填空題（每題5分，共30分）設(shè)$\boldsymbol{\phi}=(a,b,c)^T\in\mathbb{R}^3$，其對應(yīng)的反對稱矩陣$\boldsymbol{\phi}^\wedge=\begin{pmatrix}0&-c&b\c&0&-a\-b&a&0\end{pmatrix}$，則$(\boldsymbol{\phi}^\wedge)^3=$________（用$\boldsymbol{\phi}$表示）。$\text{SE}(3)$群（特殊歐氏群）的元素可表示為$\begin{pmatrix}\boldsymbol{R}&\boldsymbol{t}\\boldsymbol{0}^T&1\end{pmatrix}$，其中$\boldsymbol{R}\in\text{SO}(3)$，$\boldsymbol{t}\in\mathbb{R}^3$。若$\boldsymbol{g}_1=\begin{pmatrix}\boldsymbol{R}_1&\boldsymbol{t}_1\\boldsymbol{0}^T&1\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{g}_2=\begin{pmatrix}\boldsymbol{R}_2&\boldsymbol{t}_2\\boldsymbol{0}^T&1\end{pmatrix}$，則$\boldsymbol{g}_1\boldsymbol{g}_2=$________。李代數(shù)$\mathfrak{so}(3)$的結(jié)構(gòu)常數(shù)$c_{ijk}$由李括號$[\boldsymbol{e}i,\boldsymbol{e}j]=\sum{k=1}^3c{ijk}\boldsymbol{e}_k$定義，其中$\boldsymbol{e}_1=\begin{pmatrix}0&0&0\0&0&-1\0&1&0\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{e}_2=\begin{pmatrix}0&0&1\0&0&0\-1&0&0\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{e}3=\begin{pmatrix}0&-1&0\1&0&0\0&0&0\end{pmatrix}$，則$c{123}=$________。設(shè)$\boldsymbol{R}=\begin{pmatrix}0&-1&0\1&0&0\0&0&1\end{pmatrix}\in\text{SO}(3)$，則通過對數(shù)映射$\log(\boldsymbol{R})$得到的旋轉(zhuǎn)向量$\boldsymbol{\phi}=$________（方向向量單位化，角度取$[0,\pi]$）。復(fù)數(shù)域上的一般線性群$\text{GL}(n,\mathbb{C})$的李代數(shù)$\mathfrak{gl}(n,\mathbb{C})$是________維線性空間，其維數(shù)等于________。設(shè)$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}$，則$\boldsymbol{A}$在$\text{GL}(2,\mathbb{R})$中的指數(shù)映射$\exp(\boldsymbol{A})$的一階近似（當$\boldsymbol{A}$為無窮小量時）為________。三、計算題（每題15分，共60分）1.旋轉(zhuǎn)矩陣與李代數(shù)的轉(zhuǎn)換已知旋轉(zhuǎn)向量$\boldsymbol{\phi}=(\frac{\pi}{2},0,0)^T$，對應(yīng)的反對稱矩陣為$\boldsymbol{\phi}^\wedge$。（1）計算指數(shù)映射$\boldsymbol{R}=\exp(\boldsymbol{\phi}^\wedge)$，并驗證$\boldsymbol{R}\in\text{SO}(3)$；（2）若$\boldsymbol{R}'=\boldsymbol{R}\cdot\exp((0,0,\frac{\pi}{3})^\wedge)$，求$\boldsymbol{R}'$對應(yīng)的李代數(shù)元素$\boldsymbol{\phi}'$（使用BCH近似：當$\boldsymbol{\phi}_1,\boldsymbol{\phi}_2$為小量時，$\log(\exp(\boldsymbol{\phi}_1^\wedge)\exp(\boldsymbol{\phi}_2^\wedge))^\vee\approx\boldsymbol{\phi}_1+\boldsymbol{\phi}_2+\frac{1}{2}[\boldsymbol{\phi}_1,\boldsymbol{\phi}_2]^\vee$）。2.$\text{SU}(2)$群的矩陣表示設(shè)$\text{SU}(2)$群由行列式為1的$2\times2$酉矩陣組成，其生成元為泡利矩陣$\boldsymbol{\sigma}_1=\begin{pmatrix}0&1\1&0\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{\sigma}_2=\begin{pmatrix}0&-i\i&0\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{\sigma}_3=\begin{pmatrix}1&0\0&-1\end{pmatrix}$。（1）證明任意$\boldsymbol{U}\in\text{SU}(2)$可表示為$\boldsymbol{U}=\exp(-i\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{\sigma}/2)$，其中$\boldsymbol{\theta}=(\theta_1,\theta_2,\theta_3)^T\in\mathbb{R}^3$；（2）計算$\boldsymbol{U}=\exp(-i\frac{\pi}{4}\boldsymbol{\sigma}_3)$的具體形式，并求其特征值。3.李括號與結(jié)構(gòu)常數(shù)考慮李代數(shù)$\mathfrak{so}(2)$，其元素為$2\times2$反對稱矩陣：$\boldsymbol{X}=\begin{pmatrix}0&-a\a&0\end{pmatrix},a\in\mathbb{R}$。（1）證明$\mathfrak{so}(2)$是阿貝爾李代數(shù)（李括號為零）；（2）設(shè)$\mathfrak{g}$是由基$\boldsymbol{e}_1=\begin{pmatrix}0&1&0\-1&0&0\0&0&0\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{e}_2=\begin{pmatrix}0&0&1\0&0&0\-1&0&0\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{e}3=\begin{pmatrix}0&0&0\0&0&1\0&-1&0\end{pmatrix}$張成的李代數(shù)，計算結(jié)構(gòu)常數(shù)$c{12k}$（$k=1,2,3$），并寫出$[\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2]$的表達式。4.伴隨表示的矩陣形式設(shè)$\boldsymbol{g}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{R}&\boldsymbol{t}\\boldsymbol{0}^T&1\end{pmatrix}\in\text{SE}(3)$，其對應(yīng)的李代數(shù)元素為$\boldsymbol{\xi}=(\boldsymbol{\rho},\boldsymbol{\phi})^T\in\mathfrak{se}(3)$（其中$\boldsymbol{\rho}\in\mathbb{R}^3$為平移部分，$\boldsymbol{\phi}\in\mathfrak{so}(3)$為旋轉(zhuǎn)部分）。伴隨表示$\text{Ad}(\boldsymbol{g})$定義為$\text{Ad}(\boldsymbol{g})\boldsymbol{\xi}^\wedge=\boldsymbol{g}\boldsymbol{\xi}^\wedge\boldsymbol{g}^{-1}$，其中$\boldsymbol{\xi}^\wedge=\begin{pmatrix}\boldsymbol{\phi}^\wedge&\boldsymbol{\rho}\\boldsymbol{0}^T&0\end{pmatrix}$。（1）證明$\text{Ad}(\boldsymbol{g})$可表示為分塊矩陣$\begin{pmatrix}\boldsymbol{R}&\boldsymbol{0}\\boldsymbol{t}^\wedge\boldsymbol{R}&\boldsymbol{R}\end{pmatrix}$；（2）若$\boldsymbol{R}=\begin{pmatrix}0&-1&0\1&0&0\0&0&1\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{t}=(1,0,0)^T$，計算$\text{Ad}(\boldsymbol{g})$作用于$\boldsymbol{\xi}=(0,1,0,0,0,\frac{\pi}{4})^T$的結(jié)果。四、證明題（每題20分，共40分）1.李群同態(tài)的性質(zhì)設(shè)$f:G\toH$是李群同態(tài)（即$f$是群同態(tài)且光滑），其誘導(dǎo)的李代數(shù)同態(tài)為$\mathfrak{f}:\mathfrak{g}\to\mathfrak{h}$。證明：（1）對任意$\boldsymbol{X}\in\mathfrak{g}$，有$f(\exp(\boldsymbol{X}))=\exp(\mathfrak{f}(\boldsymbol{X}))$；（2）若$f$是李群同構(gòu)（雙射同態(tài)），則$\mathfrak{f}$是李代數(shù)同構(gòu)。2.$\text{SO}(3)$與$\text{SU}(2)$的覆蓋映射證明映射$\pi:\text{SU}(2)\to\text{SO}(3)$，$\pi(\boldsymbol{U})\boldsymbol{v}=\boldsymbol{U}\boldsymbol{v}\boldsymbol{U}^\dagger$（其中$\boldsymbol{v}=v_1\boldsymbol{\sigma}_1+v_2\boldsymbol{\sigma}_2+v_3\boldsymbol{\sigma}_3$為泡利矩陣的實線性組合，視為$\mathbb{R}^3$中的向量）是滿同態(tài)，且其核$\ker(\pi)={\boldsymbol{I},-\boldsymbol{I}}$，其中$\boldsymbol{I}$為$2\times2$單位矩陣。五、應(yīng)用題（每題25分，共50分）1.機器人位姿的李代數(shù)優(yōu)化在SLAM中，相機位姿用$\text{SE}(3)$群元素$\boldsymbol{T}=\begin{pmatrix}\boldsymbol{R}&\boldsymbol{t}\\boldsymbol{0}^T&1\end{pmatrix}$表示，目標函數(shù)為$\min_{\boldsymbol{T}}\sum_{i=1}^n|\boldsymbol{T}\boldsymbol{p}_i-\boldsymbol{q}_i|^2$，其中$\boldsymbol{p}_i,\boldsymbol{q}_i$為空間點的世界坐標與觀測坐標。（1）寫出$\boldsymbol{T}$對應(yīng)的李代數(shù)元素$\boldsymbol{\xi}=(\boldsymbol{\rho},\boldsymbol{\phi})^T$，并將$\boldsymbol{T}\boldsymbol{p}_i$表示為關(guān)于$\boldsymbol{\xi}$的指數(shù)映射形式；（2）使用擾動模型（左擾動$\delta\boldsymbol{\xi}$）推導(dǎo)目標函數(shù)對$\boldsymbol{\xi}$的梯度（提示：$\frac{\partial}{\partial\delta\boldsymbol{\xi}}|\exp(\delta\boldsymbol{\xi}^\wedge)\boldsymbol{T}\boldsymbol{p}_i-\boldsymbol{q}_i|^2\approx2(\boldsymbol{T}\boldsymbol{p}_i-\boldsymbol{q}_i)^T\boldsymbol{J}_r(\boldsymbol{\phi})\delta\boldsymbol{\xi}$，其中$\boldsymbol{J}_r$為右雅可比矩陣）。2.量子力學中的李代數(shù)表示在量子力學中，角動量算符$\hat{J}_x,\hat{J}_y,\hat{J}_z$滿足李代數(shù)$\mathfrak{su}(2)$的對易關(guān)系：$[\hat{J}_i,\hat{J}j]=i\epsilon{ijk}\hat{J}_k$。設(shè)$j=\frac{1}{2}$的表示空間基為$|+\rangle=\begin{pmatrix}1\0\end{pmatrix},|-\rangle=\begin{pmatrix}0\1\end{pmatrix}$，其表示矩陣為$\hat{J}_i=\frac{\hbar}{2}\boldsymbol{\sigma}_i$。（1）計算$\hat{J}^2=\hat{J}_x^2+\hat{J}_y^2+\hat{J}_z^2$在該基下的矩陣形式，并證明$|+\rangle,|-\rangle$是$\hat{J}^2$和$\hat{J}_z$的共同本征向量；（2）若體系的哈密頓量為$\hat{H}=\omega\hat{J}_z$，求其本征值與時間演化算符$\hat{U}(t)=\exp(-i\hat{H}t/\hbar)$。參考答案與評分標準（簡要提示）一、選擇題B2.B3.C4.B5.B6.A二、填空題$-(\boldsymbol{\phi}\cdot\boldsymbol{\phi})\boldsymbol{\phi}^\wedge$2.$\begin{pmatrix}\boldsymbol{R}_1\boldsymbol{R}_2&\boldsymbol{R}_1\boldsymbol{t}_2+\boldsymbol{t}_1\\boldsymbol{0}^T&1\end{pmatrix}$3.14.$(1,0,0)^T\cdot\frac{\pi}{2}$5.$n^2$6.$\boldsymbol{I}+\boldsymbol{A}$三、計算題（1）$\boldsymbol{R}=\begin{pmatrix}1&0&0\0&0&-1\0&1&0\end{pmatrix}$，驗證$\boldsymbol{R}^T\boldsymbol{R}=\boldsymbol{I}$且$\det(\boldsymbol{R})=1$；（2）$\boldsymbol{\phi}'\approx(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{6},0)^T$。（1）利