2025年線性代數(shù)歐氏空間與正交變換試題一、填空題（每題3分，共15分）設歐氏空間(\mathbb{R}^3)中向量(\alpha=(1,2,-1))，(\beta=(3,1,0))，則內積(\langle\alpha,\beta\rangle=)，向量(\alpha)的長度(|\alpha|=)。已知(\alpha_1=(1,0,1))，(\alpha_2=(1,1,0))是歐氏空間(\mathbb{R}^3)中的一組線性無關向量，用施密特正交化方法將其化為正交向量組得______。設(A)是3階正交矩陣，且(|A|=1)，則(A^{-1}=)，(|A^*|=)（其中(A^*)為伴隨矩陣）。歐氏空間(\mathbb{R}^n)中正交變換(T)在標準正交基下的矩陣(A)滿足條件______，若(|A|=-1)，則該正交變換稱為______（填“第一類”或“第二類”）。二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3)對應的對稱矩陣為______，其正慣性指數(shù)為______。二、選擇題（每題3分，共15分）下列命題中正確的是（）A.歐氏空間中任意兩個正交向量組都線性無關B.正交矩陣的特征值必為1或-1C.若(A)是正交矩陣，則(A+E)可逆D.歐氏空間中的對稱變換在標準正交基下的矩陣是對稱矩陣設(T)是(\mathbb{R}^2)上的正交變換，其矩陣為(A=\begin{pmatrix}0&1\-1&0\end{pmatrix})，則(T)表示的幾何變換是（）A.繞原點旋轉90°B.關于x軸對稱C.繞原點旋轉-90°D.關于直線(y=x)對稱已知向量組(\alpha_1=(1,1,1))，(\alpha_2=(1,2,3))，(\alpha_3=(1,4,9))是歐氏空間(\mathbb{R}^3)中的一組基，則該基的度量矩陣為（）A.(\begin{pmatrix}3&6&14\6&14&36\14&36&98\end{pmatrix})B.(\begin{pmatrix}3&6&14\6&14&36\14&36&97\end{pmatrix})C.(\begin{pmatrix}3&6&14\6&14&35\14&35&98\end{pmatrix})D.(\begin{pmatrix}3&6&13\6&14&36\13&36&98\end{pmatrix})設(A)是n階正交矩陣，且(|A|=-1)，則下列矩陣中不是正交矩陣的是（）A.(A^T)B.(A^2)C.(A^*)D.(2A)歐氏空間(\mathbb{R}^n)中，下列變換是正交變換的是（）A.(T(\alpha)=\alpha+\beta)（其中(\beta)是固定非零向量）B.(T(\alpha)=k\alpha)（其中(k)為非零常數(shù)）C.(T(\alpha)=A\alpha)（其中(A)是正交矩陣）D.(T(\alpha)=\alpha-\langle\alpha,\beta\rangle\beta)（其中(\beta)是單位向量）三、計算題（共40分）（10分）在歐氏空間(\mathbb{R}^4)中，已知向量組(\alpha_1=(1,1,0,0))，(\alpha_2=(1,0,1,0))，(\alpha_3=(-1,0,0,1))，(\alpha_4=(1,-1,-1,1))。（1）判斷該向量組是否為標準正交基；（2）若不是，將其化為標準正交基。（10分）設矩陣(A=\begin{pmatrix}a&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\frac{1}{2}&b&\frac{1}{2}\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&c\end{pmatrix})是正交矩陣，求(a,b,c)的值，并判斷(A)是第一類還是第二類正交矩陣。（10分）已知二次型(f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+3x_2^2+3x_3^2+4x_2x_3)，（1）寫出二次型對應的矩陣(A)；（2）求正交變換(x=Qy)，將二次型化為標準形；（3）指出二次型的秩和正慣性指數(shù)。（10分）在歐氏空間(\mathbb{R}^3)中，設(V)是由向量(\alpha_1=(1,0,1))，(\alpha_2=(1,1,-1))張成的子空間，求向量(\beta=(1,2,3))在(V)上的正交投影及到(V)的距離。四、證明題（共30分）（10分）設(\alpha,\beta)是歐氏空間中的任意向量，證明：(|\alpha+\beta|^2+|\alpha-\beta|^2=2|\alpha|^2+2|\beta|^2)，并說明其幾何意義。（10分）證明：n維歐氏空間中的正交變換(T)一定是可逆變換，且其逆變換也是正交變換。（10分）設(A)是n階實對稱矩陣，且(A^2=E)，證明：存在正交矩陣(Q)，使得(Q^TAQ=\begin{pmatrix}E_r&O\O&-E_{n-r}\end{pmatrix})，其中(r)是矩陣(A+E)的秩。參考答案及解析一、填空題5，√6解析：(\langle\alpha,\beta\rangle=1×3+2×1+(-1)×0=5)，(|\alpha|=\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{6})。(\beta_1=(1,0,1))，(\beta_2=(\frac{1}{2},1,-\frac{1}{2}))解析：(\beta_1=\alpha_1=(1,0,1))(\beta_2=\alpha_2-\frac{\langle\alpha_2,\beta_1\rangle}{|\beta_1|^2}\beta_1=(1,1,0)-\frac{1×1+1×0+0×1}{1+0+1}(1,0,1)=(\frac{1}{2},1,-\frac{1}{2}))(A^T)，1解析：正交矩陣滿足(A^{-1}=A^T)，(|A^*|=|A|^{n-1}=1^{2}=1)。(A^TA=E)，第二類解析：正交變換在標準正交基下的矩陣為正交矩陣，行列式為-1時稱為第二類正交變換。(\begin{pmatrix}1&2&3\2&2&0\3&0&3\end{pmatrix})，3解析：二次型矩陣的對角線元素為平方項系數(shù)，(a_{ij}=a_{ji})為交叉項系數(shù)的一半；通過特征值法或配方法可得正慣性指數(shù)為3。二、選擇題D解析：A項：正交向量組若含零向量則線性相關；B項：正交矩陣特征值的模為1，可為復數(shù)；C項：當(A=-E)時，(A+E=O)不可逆；D項正確。C解析：矩陣(\begin{pmatrix}0&1\-1&0\end{pmatrix})表示繞原點旋轉-90°（或順時針旋轉90°）。A解析：度量矩陣(G=(g_{ij}))，其中(g_{ij}=\langle\alpha_i,\alpha_j\rangle)，計算得：(g_{11}=1+1+1=3)，(g_{12}=1×1+1×2+1×3=6)，(g_{13}=1×1+1×4+1×9=14)(g_{22}=1+4+9=14)，(g_{23}=1×1+2×4+3×9=36)，(g_{33}=1+16+81=98)D解析：正交矩陣的乘積、轉置、伴隨矩陣仍是正交矩陣，但數(shù)乘后((2A)^T(2A)=4A^TA=4E\neqE)。C解析：A項為平移變換（非線性），B項為位似變換（僅當k=±1時正交），C項正確，D項為正交投影（不是滿射）。三、計算題（1）不是標準正交基解析：計算內積(\langle\alpha_1,\alpha_2\rangle=1×1+1×0+0×1+0×0=1≠0)，故不正交。（2）標準正交基為：(\gamma_1=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0,0))，(\gamma_2=(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{2}{\sqrt{6}},0))，(\gamma_3=(-\frac{1}{\sqrt{12}},\frac{1}{\sqrt{12}},\frac{1}{\sqrt{12}},\frac{3}{\sqrt{12}}))，(\gamma_4=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2}))解析：通過施密特正交化和單位化過程逐步計算。(a=-\frac{1}{2})，(b=-\frac{1}{2})，(c=-\frac{1}{2})，第二類正交矩陣解析：由正交矩陣行向量正交且模為1：第一行模為1：(a^2+(-\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^2=1\Rightarrowa=±\frac{1}{2})第一行與第二行正交：(a×\frac{1}{2}+(-\frac{1}{2})b+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=0)解得(a=-\frac{1}{2})，(b=-\frac{1}{2})，(c=-\frac{1}{2})，行列式(|A|=-1)。（1）(A=\begin{pmatrix}2&0&0\0&3&2\0&2&3\end{pmatrix})（2）正交變換(x=Qy)，其中(Q=\begin{pmatrix}1&0&0\0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\0&-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix})，標準形(2y_1^2+y_2^2+5y_3^2)（3）秩=3，正慣性指數(shù)=3解析：特征值為2,1,5，均為正數(shù)。正交投影為((\frac{5}{3},\frac{4}{3},\frac{1}{3}))，距離為(\frac{2\sqrt{6}}{3})解析：設投影向量(\gamma=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2)，由(\beta-\gamma)與(\alpha_1,\alpha_2)正交得方程組，解得(k_1=\frac{4}{3})，(k_2=\frac{1}{3})，距離(|\beta-\gamma|=\sqrt{(1-\frac{5}{3})^2+(2-\frac{4}{3})^2+(3-\frac{1}{3})^2}=\frac{2\sqrt{6}}{3})。四、證明題證明：(|\alpha+\beta|^2+|\alpha-\beta|^2=\langle\alpha+\beta,\alpha+\beta\rangle+\langle\alpha-\beta,\alpha-\beta\rangle)(=(|\alpha|^2+2\langle\alpha,\beta\rangle+|\beta|^2)+(|\alpha|^2-2\langle\alpha,\beta\rangle+|\beta|^2))(=2|\alpha|^2+2|\beta|^2)幾何意義：平行四邊形對角線的平方和等于四邊平方和。證明：正交變換(T)在標準正交基下的矩陣(A)是正交矩陣，(|A|≠0)，故(T