2025年線性代數(shù)期末考試押題卷（一）一、單項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）設(shè)A、B均為n階方陣，且AB=O，則下列結(jié)論正確的是（）A.A=O或B=OB.|A|=0且|B|=0C.|A|=0或|B|=0D.A+B=O已知向量組α?=(1,2,3)?，α?=(2,4,t)?，α?=(1,3,5)?線性相關(guān)，則t的值為（）A.5B.6C.7D.8設(shè)A為3階矩陣，且|A|=2，則|2A?1|=（）A.1B.2C.4D.8二次型f(x?,x?,x?)=x?2+2x?2+3x?2+4x?x?+2x?x?的矩陣為（）A.(\begin{pmatrix}1&2&0\2&2&1\0&1&3\end{pmatrix})B.(\begin{pmatrix}1&4&0\4&2&2\0&2&3\end{pmatrix})C.(\begin{pmatrix}1&2&1\2&2&0\1&0&3\end{pmatrix})D.(\begin{pmatrix}1&2&0\2&2&2\0&2&3\end{pmatrix})設(shè)A為n階正交矩陣，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.|A|=±1B.A?1=A?C.A的特征值的模為1D.A必為對(duì)稱矩陣二、填空題（每題3分，共15分）行列式(\begin{vmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{vmatrix})的值為________。設(shè)矩陣A=(\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix})，則A的伴隨矩陣A*=________。齊次線性方程組(\begin{cases}x?+x?+x?=0\2x?+x?+3x?=0\3x?+2x?+4x?=0\end{cases})的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為________。已知矩陣A的特征值為1，2，3，則|A3-5A2+7A|=________。設(shè)向量α=(1,2,3)?，β=(4,5,6)?，則α與β的內(nèi)積為________。三、計(jì)算題（共40分）1.（10分）計(jì)算n階行列式[D_n=\begin{vmatrix}a&b&b&\cdots&b\b&a&b&\cdots&b\b&b&a&\cdots&b\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\b&b&b&\cdots&a\end{vmatrix}]解答步驟：將第2至n列加到第1列，提取公因式[a+(n-1)b]，再通過行變換化為上三角行列式，得[D_n=a+(n-1)b^{n-1}]2.（10分）設(shè)矩陣A=(\begin{pmatrix}1&0&1\0&2&0\1&0&1\end{pmatrix})，B=A2-2A+E，求B?1。解答步驟：計(jì)算A2=(\begin{pmatrix}2&0&2\0&4&0\2&0&2\end{pmatrix})，則B=A2-2A+E=(\begin{pmatrix}1&0&1\0&1&0\1&0&1\end{pmatrix})，通過初等行變換求逆矩陣，得[B^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0&-1\0&2&0\-1&0&1\end{pmatrix}]3.（10分）求非齊次線性方程組[\begin{cases}x?+x?+x?+x?=2\2x?+3x?+4x?+5x?=7\4x?+5x?+6x?+7x?=13\end{cases}]的通解。解答步驟：對(duì)增廣矩陣作初等行變換，得行最簡(jiǎn)形矩陣[\begin{pmatrix}1&0&-1&-2&-1\0&1&2&3&3\0&0&0&0&0\end{pmatrix}]導(dǎo)出組基礎(chǔ)解系為ξ?=(1,-2,1,0)?，ξ?=(2,-3,0,1)?，特解η=(-1,3,0,0)?，故通解為[x=η+k?ξ?+k?ξ?\quad(k?,k?∈?)]4.（10分）求矩陣A=(\begin{pmatrix}2&1&1\1&2&1\1&1&2\end{pmatrix})的特征值與特征向量。解答步驟：由|λE-A|=(λ-4)(λ-1)2=0，得特征值λ?=4，λ?=λ?=1。λ=4時(shí)，解(4E-A)x=0，得特征向量k?(1,1,1)?（k?≠0）；λ=1時(shí)，解(E-A)x=0，得特征向量k?(-1,1,0)?+k?(-1,0,1)?（k?,k?不全為0）。四、解答題（共20分）1.（10分）設(shè)向量組α?=(1,1,1)?，α?=(1,2,3)?，α?=(1,3,t)?，問t為何值時(shí)：（1）向量組線性無關(guān)；（2）向量組線性相關(guān)，并求其一個(gè)極大線性無關(guān)組。解答步驟：構(gòu)造矩陣A=(α?,α?,α?)，計(jì)算|A|=t-5。當(dāng)t≠5時(shí)，|A|≠0，向量組線性無關(guān)；當(dāng)t=5時(shí)，r(A)=2，極大無關(guān)組為α?,α?，且α?=2α?-α?。2.（10分）已知二次型f(x?,x?,x?)=x?2+2x?2+tx?2+2x?x?+4x?x?+6x?x?為正定二次型，求t的取值范圍。解答步驟：二次型矩陣A=(\begin{pmatrix}1&1&2\1&2&3\2&3&t\end{pmatrix})，各階順序主子式需滿足：Δ?=1>0；Δ?=1>0；Δ?=t-10>0，解得t>10。五、證明題（10分）設(shè)A為n階矩陣，且A2=A