2025年線性代數(shù)人文素養(yǎng)融合試題一、選擇題（每題5分，共25分）《九章算術(shù)》中"方程術(shù)"記載："今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？"若將此問題表示為矩陣形式，下列選項正確的是（）A.$\begin{bmatrix}3&2&1\2&3&1\1&2&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\y\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}39\34\26\end{bmatrix}$B.$\begin{bmatrix}3&2&1\2&3&1\1&2&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\y\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}26\34\39\end{bmatrix}$C.$\begin{bmatrix}1&2&3\2&3&1\3&2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\y\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}39\34\26\end{bmatrix}$D.$\begin{bmatrix}3&1&2\2&3&1\1&2&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\y\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}39\34\26\end{bmatrix}$1939年華羅庚在西南聯(lián)大講授線性代數(shù)時，將矩陣初等變換比喻為"調(diào)兵布陣"。若矩陣$\begin{bmatrix}1&0&0\0&1&0\a&b&1\end{bmatrix}$代表"部隊增援"變換，矩陣$\begin{bmatrix}k&0&0\0&1&0\0&0&1\end{bmatrix}(k>0)$代表"兵力倍增"變換，則先增援后倍增的復(fù)合變換矩陣是（）A.$\begin{bmatrix}k&0&0\0&1&0\a&b&1\end{bmatrix}$B.$\begin{bmatrix}k&0&0\0&1&0\ka&kb&1\end{bmatrix}$C.$\begin{bmatrix}k&0&0\0&1&0\a&b&k\end{bmatrix}$D.$\begin{bmatrix}1&0&0\0&1&0\ka&kb&k\end{bmatrix}$敦煌莫高窟第61窟《五臺山圖》中繪制的唐代寺廟群，其布局呈現(xiàn)正交變換特性：若以某寺廟為坐標(biāo)原點，相鄰寺廟坐標(biāo)滿足$\begin{cases}x'=x\cos\theta-y\sin\theta\y'=x\sin\theta+y\cos\theta\end{cases}$。當(dāng)$\theta=90^\circ$時，此變換對應(yīng)的矩陣的特征值是（）A.$1,-1$B.$i,-i$（虛數(shù)單位）C.$0,1$D.$2,0$北宋沈括《夢溪筆談》記載"隙積術(shù)"（高階等差數(shù)列求和），其數(shù)學(xué)思想與現(xiàn)代線性代數(shù)中下列概念最接近的是（）A.矩陣的秩B.特征向量C.線性空間D.行列式展開2023年我國量子計算機"九章三號"實現(xiàn)255個光子操縱，其量子態(tài)演化可表示為幺正矩陣變換。幺正矩陣$U$滿足$U^HU=I$（$U^H$為共軛轉(zhuǎn)置），下列矩陣中不屬于幺正矩陣的是（）A.$\begin{bmatrix}0&1\-1&0\end{bmatrix}$B.$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1&1\1&-1\end{bmatrix}$C.$\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}$D.$\begin{bmatrix}1&2\3&4\end{bmatrix}$二、填空題（每題5分，共25分）李善蘭在1859年翻譯《代數(shù)學(xué)》時，將"matrix"譯為"矩陣"，取"矩形陣列"之意。若某$3$階矩陣$A$的元素$a_{ij}$滿足$a_{ij}=i+j$（$i,j=1,2,3$），則$\det(A)=$______。故宮太和殿的柱網(wǎng)布局呈$9\times9$方陣（象征"九五至尊"），若將每根柱子的直徑視為矩陣元素，進(jìn)行初等行變換時"兩行互換"對應(yīng)______（建筑術(shù)語），"某行乘非零數(shù)"對應(yīng)______（建筑術(shù)語）。徐光啟與利瑪竇合譯《幾何原本》時提出"欲前后更置之不可得"，描述的是向量組的______性質(zhì)；當(dāng)代"北斗"衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)通過______個線性無關(guān)的衛(wèi)星信號向量確定三維空間位置。范仲淹《岳陽樓記》中"不以物喜，不以己悲"體現(xiàn)的心境，與矩陣______變換（填"初等"或"相似"）的特性相通——該變換改變矩陣形式但保持______不變（填數(shù)學(xué)概念）。2024年巴黎奧運會跳水比賽中，運動員空中翻轉(zhuǎn)可視為三維空間旋轉(zhuǎn)變換。繞$z$軸旋轉(zhuǎn)$\alpha$角的旋轉(zhuǎn)變換矩陣$R_z(\alpha)$的跡$\text{tr}(R_z(\alpha))=$______，此值反映旋轉(zhuǎn)過程中______的守恒性（填物理量）。三、計算題（共30分）（15分）鄭和下西洋船隊編制問題：已知明代鄭和船隊由寶船、馬船、糧船三類船只組成，其承載關(guān)系滿足：①3艘寶船+2艘馬船=1艘糧船+1000人②2艘寶船+3艘糧船=4艘馬船+600人③1艘馬船+4艘糧船=2艘寶船+1800人（1）建立線性方程組模型，用矩陣形式表示；（2）通過初等行變換求解各類船只的載客量；（3）若船隊共有20艘船，且寶船數(shù)量是馬船的2倍，總載客量不超過10000人，求糧船數(shù)量的取值范圍。（15分）《千里江山圖》色彩調(diào)配問題：王希孟創(chuàng)作《千里江山圖》時使用了石青（C）、石綠（G）、赭石（H）三種礦物顏料，其配色方案滿足：遠(yuǎn)山色：$C_1=0.7C+0.2G+0.1H$近山色：$C_2=0.3C+0.6G+0.1H$水面色：$C_3=0.2C+0.3G+0.5H$（1）寫出配色變換矩陣$M$，其中$[C_1,C_2,C_3]^T=M[C,G,H]^T$；（2）計算$M$的特征值與特征向量，解釋最大特征值對應(yīng)的特征向量的藝術(shù)含義；（3）若現(xiàn)存古畫中遠(yuǎn)山色向量為$[0.6,0.3,0.1]^T$（RGB值歸一化），使用最小二乘法反求原始顏料配比$[C,G,H]^T$。四、證明題（10分）"茍日新，日日新，又日新"出自《禮記·大學(xué)》，體現(xiàn)持續(xù)革新的思想。在線性代數(shù)中，若矩陣序列$A_n$滿足$A_{n+1}=A_n+A_n^T$（$A_1$為實矩陣），證明：（1）所有$A_n$都是對稱矩陣；（2）若$A_1$可逆，則存在正整數(shù)$k$使得$A_k$正定；（3）結(jié)合上述結(jié)論，闡述"革新"與"對稱"在個人成長中的辯證關(guān)系。五、應(yīng)用題（10分）"一帶一路"貿(mào)易網(wǎng)絡(luò)建模：某區(qū)域有5個國家通過貿(mào)易協(xié)定形成經(jīng)濟共同體，其貿(mào)易額矩陣$T=(t_{ij})_{5\times5}$（單位：億美元）滿足：$t_{ij}=t_{ji}$（貿(mào)易雙向性）$\sum_{j=1}^5t_{ij}=100$（每個國家年貿(mào)易總額為100億美元）第3國與第5國的貿(mào)易額是第1國與第2國的2倍（1）說明$T$是半正定矩陣；（2）若$T$的秩為3，求其零空間維數(shù)并解釋經(jīng)濟意義；（3）設(shè)計一個"貿(mào)易均衡指數(shù)"，用矩陣特征值表示并說明合理性。人文元素解析本試題設(shè)計貫穿三條人文主線：歷史維度：從《九章算術(shù)》方程術(shù)到華羅庚西南聯(lián)大教學(xué)案例，構(gòu)建跨越兩千年的數(shù)學(xué)文化脈絡(luò)。選擇題第1題還原古代線性方程組表述，填空題第1題致敬李善蘭翻譯貢獻(xiàn)，計算題第1題重現(xiàn)鄭和船隊管理智慧，使抽象的矩陣運算成為歷史場景的"數(shù)學(xué)考古"。藝術(shù)維度：將敦煌壁畫、故宮建筑、《千里江山圖》等文化遺產(chǎn)轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)問題。第3題的正交變換對應(yīng)唐代建筑布局，第5題的旋轉(zhuǎn)變換解析跳水運動美學(xué)，計算題第2題通過特征值分析傳統(tǒng)顏料配比，實現(xiàn)"藝術(shù)可視化"到"數(shù)學(xué)可計算"的轉(zhuǎn)化?？萍季S度：量子計算、北斗導(dǎo)航、貿(mào)易網(wǎng)絡(luò)等現(xiàn)代場景的融入，展現(xiàn)線性代數(shù)的現(xiàn)實生命力。第5題幺正矩陣對應(yīng)量子態(tài)演化，應(yīng)用題構(gòu)建"一帶一路"貿(mào)易模型，體現(xiàn)"古為今用"的學(xué)科發(fā)展觀。證明題將《大學(xué)》革新思想與矩陣序列收斂性結(jié)合，實現(xiàn)傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的哲學(xué)對話。教學(xué)意義闡述認(rèn)知重構(gòu)：打破"數(shù)學(xué)=公式推導(dǎo)"的刻板印象，通過"問題情境-數(shù)學(xué)建模-人文闡釋"三階教學(xué)，使學(xué)生理解線性代數(shù)是描述規(guī)律的通用語言。如故宮柱網(wǎng)布局與正交矩陣的關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生建立"空間變換"的直觀認(rèn)知。價值塑造：在特征值計算中滲透"本質(zhì)不變"的哲學(xué)思想，在貿(mào)易網(wǎng)絡(luò)模型中培養(yǎng)全球化視野。證明題第（3）問要求結(jié)合矩陣正定化過程，論述個人成長中"革新"與"堅守"的辯證關(guān)系，實現(xiàn)知識傳授與價值引領(lǐng)的統(tǒng)一。能力遷移：通過最小二乘法復(fù)原古畫顏料配比（計算題第2題）、設(shè)計貿(mào)易均衡指數(shù)（應(yīng)用題第3題）等開放性問題，培養(yǎng)學(xué)生"用數(shù)學(xué)解決非數(shù)學(xué)問題"的跨界能力。試題中建筑、藝術(shù)、經(jīng)濟等多領(lǐng)域案例，為不同專業(yè)學(xué)生提供知識遷移的錨點。文化自信：系統(tǒng)呈現(xiàn)中國古代數(shù)學(xué)成就與現(xiàn)代科技突破的傳承關(guān)系。從《九章算術(shù)》到"九章三號"量子計算機的命名呼應(yīng)，從徐光啟翻譯《幾何原本》到當(dāng)代