2025年線性代數(shù)線性變換專題試題一、單項(xiàng)選擇題（每題3分，共30分）設(shè)矩陣(A)通過初等行變換變?yōu)榫仃?B)，記(r(A))和(r(B))分別為矩陣(A)和(B)的秩，則下列結(jié)論正確的是（）A.(r(A)>r(B))B.(r(A)=r(B))C.(r(A)<r(B))D.無法判定設(shè)(A)為(n)階方陣且(|A|=0)，則（）A.(A)中有一行元素全為零B.(A)有兩行（列）元素對應(yīng)成比例C.(A)中必有一行為其他行的線性組合D.(A)的任一行為其他行的線性組合設(shè)(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2)是線性變換，(T(x,y)=(2x-y,3x+2y))，則(T)在標(biāo)準(zhǔn)基(\varepsilon_1=(1,0)^T,\varepsilon_2=(0,1)^T)下的矩陣是（）A.(\begin{bmatrix}2&-1\3&2\end{bmatrix})B.(\begin{bmatrix}2&3\-1&2\end{bmatrix})C.(\begin{bmatrix}-1&2\2&3\end{bmatrix})D.(\begin{bmatrix}3&2\2&-1\end{bmatrix})下列不是(n)維向量組(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m)線性無關(guān)的充分必要條件是（）A.存在一組不全為零的數(shù)(k_1,k_2,\dots,k_m)使得(k_1\alpha_1+\dots+k_m\alpha_m=0)B.不存在一組不全為零的數(shù)(k_1,k_2,\dots,k_m)使得(k_1\alpha_1+\dots+k_m\alpha_m=0)C.向量組的秩等于(m)D.任一向量都不能用其他向量線性表示設(shè)(A)是(n)階矩陣（(n\geq2)），(A^*)是(A)的伴隨矩陣，若(r(A)=n-1)，則(r(A^*)=)（）A.1B.(n-1)C.(n)D.0設(shè)(A)為四階矩陣且(|A|=2)，則(|A^*|=)（）A.2B.4C.8D.16設(shè)(A,B)是兩個(gè)相似的矩陣，則下列結(jié)論不正確的是（）A.(r(A)=r(B))B.(|A|=|B|)C.(A)與(B)的特征矩陣相似D.(A)與(B)的特征向量相同設(shè)(\lambda)為(n)階矩陣(A)的特征值，則(\lambda^2+2\lambda)是矩陣（）的特征值A(chǔ).(A^2+2A)B.(A^2-2A)C.(A+2E)D.(A^2)設(shè)線性變換(T)在基(\varepsilon_1,\varepsilon_2)下的矩陣為(\begin{bmatrix}1&2\3&4\end{bmatrix})，則在基(\eta_1=\varepsilon_1+\varepsilon_2,\eta_2=\varepsilon_1-\varepsilon_2)下的矩陣是（）A.(\begin{bmatrix}5&-1\1&-3\end{bmatrix})B.(\begin{bmatrix}2&1\4&3\end{bmatrix})C.(\begin{bmatrix}3&1\7&5\end{bmatrix})D.(\begin{bmatrix}4&1\2&3\end{bmatrix})設(shè)(A)為實(shí)對稱矩陣，則下列說法正確的是（）A.(A)的特征值一定為整數(shù)B.(A)的特征向量一定正交C.(A)一定可對角化D.(A)的行列式一定大于零二、填空題（每題3分，共18分）設(shè)(A=\begin{bmatrix}1&2\3&4\end{bmatrix})，定義線性變換(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2)為(T(\alpha)=A\alpha)，則(T)的核空間(\ker(T))的維數(shù)是________。設(shè)三維線性空間(V)的線性變換(T)在基(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)下的矩陣為(\begin{bmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9\end{bmatrix})，則(T(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3)=)________。二次型(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_1x_3+8x_2x_3)對應(yīng)的對稱矩陣是________。已知矩陣(A)的特征值為(1,2,3)，則(|A^2-2E|=)________。設(shè)向量組(\alpha_1=(1,2,3)^T,\alpha_2=(2,3,4)^T,\alpha_3=(3,4,5)^T)，則該向量組的秩是________。設(shè)(A)是秩為2的4階矩陣，則齊次線性方程組(Ax=0)的解空間維數(shù)是________。三、計(jì)算題（共52分）1.（10分）設(shè)矩陣(A=\begin{bmatrix}1&0&1\1&1&0\0&1&1\end{bmatrix})，求(A)的逆矩陣(A^{-1})。解：通過初等行變換法，構(gòu)造增廣矩陣([A|E])：[[A|E]=\begin{bmatrix}1&0&1&1&0&0\1&1&0&0&1&0\0&1&1&0&0&1\end{bmatrix}]第二行減去第一行：(R_2=R_2-R_1)[\begin{bmatrix}1&0&1&1&0&0\0&1&-1&-1&1&0\0&1&1&0&0&1\end{bmatrix}]第三行減去第二行：(R_3=R_3-R_2)[\begin{bmatrix}1&0&1&1&0&0\0&1&-1&-1&1&0\0&0&2&1&-1&1\end{bmatrix}]第三行除以2：(R_3=\frac{1}{2}R_3)[\begin{bmatrix}1&0&1&1&0&0\0&1&-1&-1&1&0\0&0&1&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{bmatrix}]第一行減去第三行，第二行加上第三行：[\begin{bmatrix}1&0&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\0&1&0&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\0&0&1&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{bmatrix}]因此，(A^{-1}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1&1&-1\-1&1&1\1&-1&1\end{bmatrix})。2.（12分）設(shè)向量組(\alpha_1=(1,2,3,4)^T,\alpha_2=(2,3,4,5)^T,\alpha_3=(3,4,5,6)^T,\alpha_4=(4,5,6,7)^T)，求該向量組的秩及一個(gè)極大無關(guān)組，并將其余向量用極大無關(guān)組線性表示。解：將向量組按列構(gòu)造矩陣，進(jìn)行初等行變換：[\begin{bmatrix}1&2&3&4\2&3&4&5\3&4&5&6\4&5&6&7\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{行變換}}\begin{bmatrix}1&2&3&4\0&-1&-2&-3\0&0&0&0\0&0&0&0\end{bmatrix}]矩陣的秩為2，極大無關(guān)組為(\alpha_1,\alpha_2)。由行變換結(jié)果可知：(\alpha_3=2\alpha_2-\alpha_1)，(\alpha_4=3\alpha_2-2\alpha_1)。3.（14分）設(shè)矩陣(A=\begin{bmatrix}4&-2&1\-2&4&-2\1&-2&4\end{bmatrix})，求：（1）(A)的特征值與特征向量；（2）正交矩陣(P)，使得(P^{-1}AP)為對角矩陣。解：（1）特征多項(xiàng)式(|A-\lambdaE|)：[|A-\lambdaE|=\begin{vmatrix}4-\lambda&-2&1\-2&4-\lambda&-2\1&-2&4-\lambda\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-4)(\lambda-7)]特征值為(\lambda_1=1,\lambda_2=4,\lambda_3=7)。對(\lambda=1)：解((A-E)x=0)，得基礎(chǔ)解系(\xi_1=(2,2,1)^T)；對(\lambda=4)：解((A-4E)x=0)，得基礎(chǔ)解系(\xi_2=(-1,0,1)^T)；對(\lambda=7)：解((A-7E)x=0)，得基礎(chǔ)解系(\xi_3=(1,-2,1)^T)。（2）將特征向量單位化：[\eta_1=\frac{1}{3}(2,2,1)^T,\eta_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1)^T,\eta_3=\frac{1}{3}(1,-2,1)^T]令(P=(\eta_1,\eta_2,\eta_3))，則(P^{-1}AP=\text{diag}(1,4,7))。4.（16分）設(shè)線性變換(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3)滿足：[T(1,0,0)^T=(1,1,0)^T,\quadT(0,1,0)^T=(1,0,1)^T,\quadT(0,0,1)^T=(0,1,1)^T]（1）求(T)在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣(A)；（2）求(T)的像空間(\text{Im}(T))與核空間(\ker(T))的維數(shù)；（3）判斷(T)是否可逆，并說明理由。解：（1）矩陣(A)的列向量為(T(\varepsilon_1),T(\varepsilon_2),T(\varepsilon_3))：[A=\begin{bmatrix}1&1&0\1&0&1\0&1&1\end{bmatrix}]（2）(r(A)=2)，故(\dim(\text{Im}(T))=2)。由維數(shù)公式：[\dim(\ker(T))=3-\dim(\text{Im}(T))=1]（3）(|A|=0)