2025年線性代數(shù)證明題專項訓練試題一、線性方程組解的結構證明（15分）題目：設$\eta^$是非齊次線性方程組$Ax=b$的一個特解，$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_r$是對應齊次線性方程組$Ax=0$的基礎解系，證明向量組$\eta^,\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_r$線性無關。證明：定義法：假設存在常數(shù)$k_0,k_1,k_2,\cdots,k_r$，使得$$k_0\eta^*+k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_r\xi_r=0\quad(1)$$方程兩邊左乘矩陣$A$：由于$A\eta^=b$，$A\xi_i=0\(i=1,2,\cdots,r)$，代入上式得：$$k_0A\eta^+k_1A\xi_1+\cdots+k_rA\xi_r=k_0b=0$$因為$b\neq0$（否則方程組為齊次），故$k_0=0$。代入$k_0=0$至式(1)：$$k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_r\xi_r=0$$由于$\xi_1,\cdots,\xi_r$是基礎解系，必線性無關，因此$k_1=k_2=\cdots=k_r=0$。結論：所有系數(shù)均為零，故$\eta^*,\xi_1,\cdots,\xi_r$線性無關。二、矩陣可逆性證明（15分）題目：設$A$為$n$階方陣，且滿足$A^2-3A+2E=O$，證明$A-4E$可逆，并求其逆矩陣。證明：構造方程：由已知$A^2-3A=-2E$，需將$A-4E$表示為乘積形式。設$$(A-4E)(A+aE)=A^2+(a-4)A-4aE$$對比$A^2-3A+2E$，得：$$\begin{cases}a-4=-3\-4a=2\end{cases}\impliesa=1$$代入得$(A-4E)(A+E)=A^2-3A-4E=(-2E)-4E=-6E$。驗證可逆性：由$(A-4E)\left(-\frac{1}{6}(A+E)\right)=E$，根據(jù)可逆定義，$A-4E$可逆，且$$(A-4E)^{-1}=-\frac{1}{6}(A+E)$$三、向量組線性相關性證明（20分）題目：設向量組$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性無關，證明向量組$\beta_1=\alpha_1+\alpha_2$，$\beta_2=\alpha_2+\alpha_3$，$\beta_3=\alpha_3+\alpha_1$線性無關。證明：定義法：設$k_1\beta_1+k_2\beta_2+k_3\beta_3=0$，代入$\beta_i$表達式：$$(k_1+k_3)\alpha_1+(k_1+k_2)\alpha_2+(k_2+k_3)\alpha_3=0$$系數(shù)方程組：由于$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性無關，系數(shù)必全為零：$$\begin{cases}k_1+k_3=0\k_1+k_2=0\k_2+k_3=0\end{cases}$$行列式判斷：系數(shù)矩陣行列式$$\begin{vmatrix}1&0&1\1&1&0\0&1&1\end{vmatrix}=1(1-0)-0+1(1-0)=2\neq0$$方程組僅有零解$k_1=k_2=k_3=0$，故$\beta_1,\beta_2,\beta_3$線性無關。四、特征值與特征向量證明（20分）題目：設$A$是$n$階正交矩陣，且$|A|=-1$，證明$\lambda=-1$是$A$的特征值。證明：正交矩陣性質(zhì)：$A^TA=E$，且$|A|=-1$。特征方程：需證$|A+E|=0$（即$\lambda=-1$滿足$|A-\lambdaE|=0$）。變形$|A+E|$：$$|A+E|=|A+A^TA|=|A(E+A^T)|=|A|\cdot|(E+A)^T|=|A|\cdot|A+E|$$（因$|A^T|=|A|$，$|E+A^T|=|(A+E)^T|=|A+E|$）代入$|A|=-1$：$$|A+E|=-|A+E|\implies2|A+E|=0\implies|A+E|=0$$因此$\lambda=-1$是$A$的特征值。五、二次型正定性證明（20分）題目：設$A$為$n$階正定矩陣，證明$A^{-1}$，$A^*$（伴隨矩陣）均為正定矩陣。證明：（1）$A^{-1}$正定對稱性：$(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}=A^{-1}$，故$A^{-1}$對稱。特征值：設$A\alpha=\lambda\alpha$（$\lambda>0$，因$A$正定），則$A^{-1}\alpha=\lambda^{-1}\alpha$，特征值$\lambda^{-1}>0$。因此$A^{-1}$正定。（2）$A^*$正定對稱性：$(A^)^T=(A^T)^=A^$，故$A^$對稱。特征值：$A^*=|A|A^{-1}$，$|A|>0$（正定矩陣行列式為正），$A^{-1}$特征值$\lambda_i^{-1}>0$，故$A^$特征值$|A|\lambda_i^{-1}>0$。因此$A^$正定。六、秩的不等式證明（20分）題目：設$A$為$m\timesn$矩陣，$B$為$n\timesp$矩陣，證明$r(AB)\geqr(A)+r(B)-n$。證明：構造分塊矩陣：考慮分塊矩陣的初等變換$$\begin{pmatrix}E_n&O\O&AB\end{pmatrix}\xrightarrow{r_1+Br_2}\begin{pmatrix}E_n&B\O&AB\end{pmatrix}\xrightarrow{c_2-Ac_1}\begin{pmatrix}E_n&B\-A&O\end{pmatrix}$$秩不變性：初等變換不改變秩，故$$r\begin{pmatrix}E_n&O\O&AB\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}E_n&B\-A&O\end{pmatrix}$$左側秩為$n+r(AB)$，右側秩$\geqr\begin{pmatrix}B\O\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}E_n\-A\end{pmatrix}=r(B)+r(A)$。整理不等式：$$n+r(AB)\geqr(A)+r(B)\impliesr(AB)\geqr(A)+r(B)-n$$七、綜合證明題（30分）題目：設$A$為$n$階方陣，且$A^2=A$（冪等矩陣），證明：（1）$r(A)+r(E-A)=n$；（2）$A$可對角化。（1）證明$r(A)+r(E-A)=n$不等式1：由$A(E-A)=O$，得$r(A)+r(E-A)\leqn$（秩的性質(zhì)：$AB=O\impliesr(A)+r(B)\leqn$）。不等式2：$r(A)+r(E-A)\geqr(A+(E-A))=r(E)=n$。綜合：$n\leqr(A)+r(E-A)\leqn$，故$r(A)+r(E-A)=n$。（2）證明$A$可對角化特征值：由$A^2=A$，得特征值$\lambda$滿足$\lambda^2=\lambda\implies\lambda=0$或$1$。特征子空間維數(shù)：$\lambda=1$的特征子空間：$r(A-E)=r(E-A)=n-r(A)$，故維數(shù)為$n-r(E-A)=r(A)$。$\lambda=0$的特征子空間：維數(shù)為$n-r(A)$。幾何重數(shù)之和：$r(A)+(n-r(A))=n$，等于階數(shù)，故$A$可對角化。八、附加題：線性空間證明（20分）題目：設$V$是$n$維線性空間，$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$是$V$的一組基，證明向量組$\beta_1=\alpha_1$，$\beta_2=\alpha_1+\alpha_2$，$\cdots$，$\beta_n=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n$也是$V$的一組基。證明：基的判定：需證$\beta_1,\cdots,\beta_n$線性無關且生成$V$。線性無關：設$k_1\beta_1+\cdots+k_n\beta_n=0$，即$$(k_1+\cdots+k_n)\alpha_1+(k_2+\cdots+k_n)\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n=0$$因$\alpha_1,\cdots,\alpha_n$是基，系數(shù)全為零，解得$k_1=\cdots=k_n=0$，故無關。生成$V$：對任意$\alpha\inV$，可表為$\alpha=a_1\alpha_1+\cdots+a_n\al