2025年高三數(shù)學立體幾何專項訓練（附答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知直線l平行于平面α，直線m?α，則l與m的位置關(guān)系是(A)相交(B)平行(C)異面(D)以上三種情況均有可能2.設(shè)直線l1：x=1，直線l2：y=2，則l1與l2所成角的余弦值為(A)0(B)1/2(C)√2/2(D)√3/23.已知點A(1,2,3)，點B(2,-1,5)，則向量AB與z軸正方向的夾角的余弦值為(A)3/√39(B)3/√55(C)4/√39(D)4/√554.已知正方體的棱長為a，則其體對角線的長度為(A)a√2(B)a√3(C)a√5(D)2a5.已知三棱錐D-ABC的底面ABC是邊長為a的正三角形，點D到平面ABC的距離為2a，則三棱錐D-ABC的體積為(A)a^3/4(B)a^3/6(C)a^3/12(D)a^3/246.已知平面α和平面β相交于直線l，點P在平面α內(nèi)，點Q在平面β內(nèi)，且P、Q兩點到直線l的距離都相等，則PQ與l的位置關(guān)系是(A)相交(B)平行(C)異面(D)以上三種情況均有可能7.已知圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則其側(cè)面積為(A)πrl(B)πr^2(C)πl(wèi)^2(D)π(r+l)8.已知球O的半徑為R，球心O到平面α的距離為d(d<R)，則球O與平面α的位置關(guān)系是(A)相交(B)相切(C)相離(D)以上三種情況均有可能二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上。9.已知直線l1：x+y-1=0，直線l2：2x-y+3=0，則l1與l2所成角的正切值為_______。10.已知正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)面與底面的夾角為45度，則其側(cè)棱長為_______。11.已知長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則其對角線長為_______。12.已知圓錐的底面半徑為1，母線長為√2，則其內(nèi)切圓的半徑為_______。三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。13.(本小題滿分12分)在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為a的正三角形，側(cè)面AA1B1B垂直于底面ABC，且AA1=2a。求：(1)AB1與平面ABC所成角的正弦值；(2)二面角A-BB1-C的平面角的余弦值。14.(本小題滿分12分)已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為CC1的中點，F(xiàn)為A1D1的中點。求：(1)異面直線AE與CF所成角的余弦值；(2)直線AF與平面A1B1CD所成角的正弦值。15.(本小題滿分12分)在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1。求：(1)點A到平面PBC的距離；(2)二面角P-BC-A的平面角的余弦值。16.(本小題滿分14分)已知圓錐的底面半徑為r，母線長為l(l>r>0)，過圓錐的軸截面作一個截面，截面與底面的夾角為θ(0<θ<π/2)。求：(1)截面將圓錐分成兩部分體積之比；(2)當θ為何值時，截面的面積最??？17.(本小題滿分14分)在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=2，底面ABC是邊長為2的等邊三角形。點D為PC的中點，點E為BC的中點。求：(1)異面直線AD與BE所成角的余弦值；(2)三棱錐D-ABE的體積。18.(本小題滿分14分)已知球O的半徑為R，球內(nèi)有一個內(nèi)接正四棱錐P-ABCD，棱錐的底面ABCD是正方形，頂點P在球的表面上。求：(1)正方形ABCD的邊長；(2)棱錐P-ABCD的體積。試卷答案一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.B解析：由直線與平面平行的性質(zhì)知，l與m平行或異面。當直線l與直線m不在同一平面內(nèi)時，l與m異面；當直線l與直線m在同一平面內(nèi)時，l與m平行。因此，l與m的位置關(guān)系是平行或異面。2.C解析：直線l1的方向向量為(1,0,0)，直線l2的方向向量為(0,1,0)。兩向量的夾角余弦值為cosθ=(1*0+0*1+0*0)/(√1^2+0^2)*(√0^2+1^2+0^2)=0/(1*1)=0。因此，l1與l2所成角的余弦值為√2/2。3.B解析：向量AB=(2-1,-1-2,5-3)=(1,-3,2)。向量AB與z軸正方向的方向向量為(0,0,1)。兩向量的夾角余弦值為cosθ=(1*0+(-3)*0+2*1)/(√1^2+(-3)^2+2^2)*(√0^2+0^2+1^2)=2/(√14*1)=2/√14=3/√55。因此，向量AB與z軸正方向的夾角的余弦值為3/√55。4.B解析：正方體的體對角線可看作是底面正方形的對角線與一個棱的延長線的交點構(gòu)成的線段。底面正方形的對角線長為√2a，體對角線構(gòu)成一個直角三角形，其中直角邊為√2a和a，斜邊為體對角線。由勾股定理得，體對角線的長度為√((√2a)^2+a^2)=√(2a^2+a^2)=√3a。因此，正方體的體對角線的長度為a√3。5.B解析：三棱錐D-ABC的體積V=(1/3)*底面積*高=(1/3)*(1/2*a*a*sin60°)*2a=(1/3)*(1/2*a^2*(√3/2))*2a=a^3/6。因此，三棱錐D-ABC的體積為a^3/6。6.B解析：由于P、Q兩點到直線l的距離都相等，且P在平面α內(nèi)，Q在平面β內(nèi)，根據(jù)平面幾何的性質(zhì)，PQ與l平行。7.A解析：圓錐的側(cè)面積公式為πrl，其中r為底面半徑，l為母線長。因此，圓錐的側(cè)面積為πrl。8.A解析：當球心O到平面α的距離d小于球半徑R時，球O與平面α相交。因此，球O與平面α的位置關(guān)系是相交。二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中橫線上。9.1解析：直線l1的方向向量為(1,1)，直線l2的方向向量為(2,-1)。兩向量的夾角正切值為tanθ=(1*(-1)-1*2)/(1*2+1*(-1))=-3/1=-3。l1與l2所成角的正切值為|tanθ|=3。因此，l1與l2所成角的正切值為1。10.√6解析：側(cè)面與底面的夾角為45度，意味著側(cè)面上的高與側(cè)棱構(gòu)成一個45度的角。側(cè)面上的高為底面邊長的一半，即1。由勾股定理得，側(cè)棱長為√(1^2+1^2)=√2。因此，正四棱錐的側(cè)棱長為√6。11.√(a^2+b^2+c^2)解析：長方體的對角線構(gòu)成一個直角三角形，其中直角邊為長、寬、高，斜邊為對角線。由勾股定理得，對角線的長度為√(a^2+b^2+c^2)。因此，長方體的對角線長為√(a^2+b^2+c^2)。12.1/√2解析：圓錐的底面半徑為1，母線長為√2，側(cè)面展開圖是一個扇形，扇形的弧長為圓錐底面周長2π，扇形的半徑為圓錐的母線長√2。內(nèi)切圓的半徑r滿足r=(扇形面積-內(nèi)切圓面積)/(扇形弧長)=(πr√2/2-πr^2/2)/(2π)=(√2-1)/2*r。解得r=1/√2。因此，圓錐的內(nèi)切圓的半徑為1/√2。三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。13.(本小題滿分12分)(1)解：取AB中點O，連接AO，BO。因為ABC是正三角形，所以AO⊥BC，BO⊥BC。又因為側(cè)面AA1B1B垂直于底面ABC，所以AO⊥平面ABC，BO⊥平面ABC。因此，∠ABO是AB1與平面ABC所成角。在直角三角形ABO中，AO=(√3/2)a，BO=a/2，AB=a。由勾股定理得，cos∠ABO=BO/AB=(a/2)/a=1/2。因此，AB1與平面ABC所成角的正弦值為√3/2。(2)解：過點A作AH⊥BB1，垂足為H。連接CH。因為側(cè)面AA1B1B垂直于底面ABC，所以AH⊥平面ABC。又因為BC⊥AH，BC⊥AB，所以BC⊥平面ABAH。因此，∠ACH是二面角A-BB1-C的平面角。在直角三角形ABH中，AH=AB*sin45°=a*(√2/2)=(√2/2)a。在直角三角形ACH中，AC=√2a，AH=(√2/2)a。由勾股定理得，cos∠ACH=AH/AC=((√2/2)a)/(√2a)=1/2。因此，二面角A-BB1-C的平面角的余弦值為1/2。14.(本小題滿分12分)(1)解：連接A1B，交AB于O。連接CO，F(xiàn)。因為E為CC1的中點，F(xiàn)為A1D1的中點，所以CF平行于BD。因此，∠AEF是異面直線AE與CF所成角。在直角三角形A1AD中，A1D=AD=1，AA1=2。由勾股定理得，A1A=√(1^2+2^2)=√5。在直角三角形A1AB中，A1B=√(A1A^2+AB^2)=√(5+1)=√6。在直角三角形A1BD中，BD=√(A1B^2-A1D^2)=√(6-1)=√5。在三角形AEF中，AE=√2，EF=1/2*A1D=1/2，EF平行于A1D。由勾股定理得，AF=√(AE^2+EF^2)=√(2+1/4)=√(9/4)=3/2。因此，異面直線AE與CF所成角的余弦值為cos∠AEF=EF/AE=1/2/(√2/2)=1/√2。(2)解：過點A作AH⊥平面A1B1CD，垂足為H。連接CH。因為AH⊥平面A1B1CD，所以AH⊥CD，AH⊥BC。又因為CD⊥BC，所以CH⊥BC。因此，∠ACH是直線AF與平面A1B1CD所成角。在直角三角形A1AD中，A1D=AD=1，AA1=2。由勾股定理得，A1A=√5。在直角三角形A1AB中，A1B=√6。在直角三角形A1BD中，BD=√5。在直角三角形AHD中，AH=AD*sin60°=1*(√3/2)=(√3/2)。在直角三角形ACH中，AC=√2，AH=(√3/2)。由勾股定理得，sin∠ACH=AH/AC=((√3/2))/(√2)=√6/4。因此，直線AF與平面A1B1CD所成角的正弦值為√6/4。15.(本小題滿分12分)(1)解：過點A作AH⊥PC，垂足為H。連接DH。因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC。又因為AB⊥BC，所以BC⊥平面PAB。因此，BC⊥PA。因此，∠PHC是直角三角形PHC的直角。在直角三角形PAB中，PA=2，AB=1。由勾股定理得，PB=√(PA^2+AB^2)=√(4+1)=√5。在直角三角形PBC中，PB=√5，BC=1。由勾股定理得，PC=√(PB^2+BC^2)=√(5+1)=√6。在直角三角形PHC中，PH=PC*sin∠PHC=√6*(√2/2)=√3。在直角三角形PAD中，AD=2，PA=2。由勾股定理得，PD=√(AD^2+PA^2)=√(4+4)=2√2。在直角三角形PHD中，HD=PD*sin∠PHD=2√2*(√3/2)=√6。因此，點A到平面PBC的距離為√6。(2)解：過點P作PH⊥BC，垂足為H。連接AH。因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC。又因為AB⊥BC，所以BC⊥平面PAB。因此，BC⊥PA。因此，∠PHA是二面角P-BC-A的平面角。在直角三角形PAB中，PA=2，AB=1。由勾股定理得，PB=√5。在直角三角形PHB中，PB=√5，PH=1。由勾股定理得，HB=√(PB^2-PH^2)=√(5-1)=2。在直角三角形PHA中，PA=2，AH=HB=2。由勾股定理得，cos∠PHA=AH/PA=2/2=1。因此，二面角P-BC-A的平面角的余弦值為1。16.(本小題滿分14分)(1)解：設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為r，母線長為l。由勾股定理得，h=√(l^2-r^2)。過圓錐的軸截面作一個截面，截面與底面的夾角為θ。設(shè)截面將圓錐分成兩部分體積之比為V1/V2。當θ=π/2時，截面經(jīng)過圓錐的頂點，V1=0，V2=V，V1/V2=0。當θ<π/2時，截面與底面的夾角為θ，截面將圓錐分成兩部分，一部分是圓錐P-ABC，另一部分是圓錐P-DEF。圓錐P-ABC的高為h，底面半徑為r，母線長為l。圓錐P-DEF的高為h1，底面半徑為r1，母線長為l1。由相似三角形得，r1/r=h1/h，l1/l=h1/h。因此，r1=(h1/h)*r，l1=(h1/h)*l。圓錐P-DEF的體積V1=(1/3)*π*r1^2*h1=(1/3)*π*((h1/h)*r)^2*h1=(1/3)*π*r^2*(h1^3/h^2)。圓錐P-ABC的體積V2=(1/3)*π*r^2*h-V1=(1/3)*π*r^2*h-(1/3)*π*r^2*(h1^3/h^2)。V1/V2=(1/3)*π*r^2*(h1^3/h^2)/((1/3)*π*r^2*h-(1/3)*π*r^2*(h1^3/h^2))=(h1^3/h^2)/(h-h1^3/h^2)=h1^3/(h^3-h1^3)=(h/l)^3/(1-(h/l)^3)=(l^3/h^3)/(1-l^3/h^3)=l^3/(h^3-l^3)。因此，截面將圓錐分成兩部分體積之比為l^3/(h^3-l^3)。(2)解：設(shè)截面的面積為S。由題意得，S=(1/2)*l1*r1*sinθ=(1/2)*((h1/h)*l)*((h1/h)*r)*sinθ=(1/2)*(h1^2/h^2)*lr*sinθ。由相似三角形得，r1/r=h1/h，l1/l=h1/h。因此，r1=(h1/h)*r，l1=(h1/h)*l。截面的面積S=(1/2)*(h1^2/h^2)*lr*sinθ=(1/2)*(l^2/h^2)*r^2*sinθ。由勾股定理得，h=√(l^2-r^2)。S=(1/2)*(l^2/(l^2-r^2))*r^2*sinθ=(1/2)*(l^2*r^2/(l^2-r^2))*sinθ。當θ=π/2時，S=(1/2)*(l^2*r^2/(l^2-r^2))=(1/2)*(l^2*r^2/(l^2-r^2))=(1/2)*(l^2*r^2/(l^2-r^2))。當θ<π/2時，S=(1/2)*(l^2*r^2/(l^2-r^2))*sinθ。要使S最小，sinθ必須最小，即θ=0。但是θ=0時，截面退化為一條線段，不符合題意。因此，當θ=π/2時，截面的面積最小。17.(本小題滿分14分)(1)解：連接AC。因為E為BC的中點，所以BE平行于AC。因此，∠AED是異面直線AD與BE所成角。在直角三角形PAC中，PA=2，AC=2。由勾股定理得，PC=√(PA^2+AC^2)=√(4+4)