浙江省湖州市吳興區(qū)四年級上學期數(shù)學《除法的簡便運算（利用商不變性質(zhì)）》訓練一、商不變性質(zhì)的核心概念與數(shù)學原理在除法運算中，被除數(shù)和除數(shù)同時乘以或除以相同的數(shù)（0除外），商不變。這一性質(zhì)被稱為“商不變性質(zhì)”，是除法簡便運算的重要依據(jù)。例如：240÷30，當被除數(shù)和除數(shù)同時除以10時，算式轉化為24÷3，商依然是8。這一性質(zhì)的本質(zhì)是保持除法算式的平衡關系，通過等比例縮放被除數(shù)和除數(shù)，將復雜計算轉化為表內(nèi)除法或整十、整百數(shù)的除法，從而降低計算難度。四年級學生在學習這一內(nèi)容前，已掌握兩位數(shù)除法的基本計算方法，但面對多位數(shù)除法時容易出現(xiàn)計算錯誤或速度緩慢的問題。商不變性質(zhì)的應用能夠幫助學生建立“轉化”的數(shù)學思想，例如將4500÷90轉化為450÷9，通過消除末尾相同個數(shù)的0，直接口算出結果50。在實際教學中，教師需引導學生觀察算式中被除數(shù)與除數(shù)的數(shù)字特征，尤其是末尾有0的情況，培養(yǎng)其對數(shù)字的敏感度。二、基礎題型訓練與解題步驟（一）末尾有0的除法化簡典型例題：計算6300÷700解題步驟：觀察被除數(shù)6300和除數(shù)700的末尾均有2個0；根據(jù)商不變性質(zhì)，同時除以100（即劃去末尾2個0），得到63÷7；口算出63÷7=9，因此6300÷700=9。專項練習：800÷20=（800÷10）÷（20÷10）=80÷2=401500÷50=（1500÷10）÷（50÷10）=150÷5=304200÷600=（4200÷100）÷（600÷100）=42÷6=7（二）非整十數(shù)的等比例縮放當被除數(shù)和除數(shù)末尾沒有相同個數(shù)的0時，需通過乘以或除以非10的倍數(shù)進行轉化。例如計算120÷15，可將被除數(shù)和除數(shù)同時乘以2，得到240÷30，再化簡為24÷3=8。這種方法的關鍵是找到被除數(shù)和除數(shù)的公因數(shù)，通過擴大倍數(shù)將除數(shù)轉化為整十數(shù)。典型例題：計算200÷25解題步驟：發(fā)現(xiàn)25×4=100，因此選擇同時乘以4；算式轉化為（200×4）÷（25×4）=800÷100=8；驗證：200÷25=8，結果正確。專項練習：150÷25=（150×4）÷（25×4）=600÷100=6280÷35=（280×2）÷（35×2）=560÷70=8300÷12=（300÷3）÷（12÷3）=100÷4=25三、進階題型與易錯點解析（一）帶有余數(shù)的除法運算在有余數(shù)的除法中，運用商不變性質(zhì)時需注意余數(shù)的變化規(guī)律。例如：700÷40，若同時除以10得到70÷4，商為17，余數(shù)為2，但原算式的余數(shù)應為20（即余數(shù)需乘以縮小的倍數(shù)）。典型錯題分析：錯誤解法：700÷40=70÷4=17……2正確解法：700÷40=（700÷10）÷（40÷10）=17……20（余數(shù)2×10=20）技巧總結：余數(shù)的末尾需補上與被除數(shù)、除數(shù)劃去0的相同個數(shù)的0。（二）多步驟轉化與綜合應用例題：計算（960÷8）÷（120÷8）思路解析：算式中被除數(shù)和除數(shù)均包含“÷8”，可利用商不變性質(zhì)的逆應用，將括號展開后同時乘以8，得到960÷120=8。這種題型培養(yǎng)學生對算式結構的觀察力，避免盲目計算。變式練習：（480÷5）÷（120÷5）=480÷120=4（720×3）÷（80×3）=720÷80=9四、實際應用與生活場景題（一）購物中的除法問題例題：湖州市某超市促銷，4瓶飲料售價36元，買20瓶需要多少錢？解題步驟：先求單瓶價格：36÷4=9（元）再算20瓶總價：20×9=180（元）簡便算法：20瓶是4瓶的5倍（20÷4=5），因此總價為36×5=180元。（二）行程問題中的應用例題：一輛汽車3小時行駛240千米，照這樣的速度，行駛720千米需要幾小時？解析：速度=240÷3=80千米/小時，時間=720÷80。利用商不變性質(zhì)，720÷80=72÷8=9小時。五、分層訓練與能力提升（一）基礎鞏固題（10道）360÷60=2.5400÷900=3.8000÷200=4.1200÷30=5.2100÷70=350÷50=7.4000÷80=8.6300÷900=9.1500÷300=10.2800÷400=（二）提高拓展題（8道）180÷15=（180×2）÷（15×2）=360÷30=122000÷125=（2000×8）÷（125×8）=16000÷1000=167200÷（80×3）=7200÷80÷3=90÷3=30（540÷6）÷（90÷6）=540÷90=6420÷28=420÷7÷4=60÷4=156300÷（70×9）=6300÷70÷9=90÷9=10800÷（25×4）=800÷100=89600÷（120÷5）=9600÷24=400（三）挑戰(zhàn)題（4道）已知A÷B=5，那么（A×3）÷（B×3）=（），（A÷5）÷B=（）簡便計算：5000÷125÷8=5000÷（125×8）=5000÷1000=5某工廠2天生產(chǎn)零件480個，照這樣計算，20天可生產(chǎn)多少個？（480÷2×20=4800個）用商不變性質(zhì)證明：為什么“除以一個不為0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)”（提示：a÷b=a×1/b）六、數(shù)學思想與學習方法總結（一）轉化思想的培養(yǎng)商不變性質(zhì)的本質(zhì)是“轉化”，即將復雜問題簡單化。例如將360÷24轉化為（360÷12）÷（24÷12）=30÷2=15，通過除以公因數(shù)12，使除數(shù)變?yōu)閭€位數(shù)。學生在訓練中需逐漸形成“觀察—轉化—計算”的思維路徑，遇到困難時主動尋找數(shù)字間的關聯(lián)。（二）錯題整理與反思建議學生建立“錯題本”，記錄典型錯誤如：忽略余數(shù)的變化（如700÷40=17……20誤寫為17……2）；同時乘除的數(shù)不一致（如360÷60=（360÷10）÷（60÷6））；未排除0的干擾（如被除數(shù)或除數(shù)為0時誤用性質(zhì)）。通過定期復習錯題，強化對商不變性質(zhì)適用條件的理解。（三）小組合作與實踐應用在課堂教學中，可設計“超市購物”“路程計算”等實踐活動，讓學生分組完成以下任務：模擬購物：計算購買多件商品時的單價（如24元買6支筆，120元可買多少支）；測量活動：用步長估算教室長度，再計算1000步的距離。通過真實場景的應用，感受數(shù)學與生活的聯(lián)系，提升解決實際問題的能力。七、綜合訓練題（30道）600÷30=20840÷40=219000÷300=301200÷15=80160÷25=6.42100÷70=303500÷500=7480÷16=307200÷90=80500÷20=25（360×2）÷（60×2）=6450÷（90÷2）=108000÷160=50630÷（7×9）=102800÷35=80960÷12=801000÷40=253000÷125=24（720÷8）÷90=14200÷（21×4）=501500÷25=605400÷600=9700÷28=25810÷（27÷3）=902000÷50=403600÷（60×3）=20140÷35=46000÷80=75（450×4）÷（90×4）=51100÷25=44通過以上系統(tǒng)訓練，學生能夠熟練掌握商