線段的垂直平分線人教版八年級(jí)上冊(cè)如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸.這時(shí)，我們也說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對(duì)稱.軸對(duì)稱圖形復(fù)習(xí)回顧像這樣，把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn).兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對(duì)稱導(dǎo)入新課ABL

在某公路L的同側(cè)，有兩個(gè)化工廠A、B，為了便于兩廠的工人看病，市政府計(jì)劃在公路邊上修建一所醫(yī)院，使得醫(yī)院到兩個(gè)工廠的距離相等，問醫(yī)院的院址應(yīng)選在何處？公路

理解線段垂直平分線的性質(zhì)和判定。

能用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線,能夠運(yùn)用尺規(guī)作圖的方法解決簡單的作圖問題。

能運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)和判定解決實(shí)際問題。學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)素養(yǎng)理解軸對(duì)稱圖形和兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱這兩個(gè)概念的區(qū)別與聯(lián)系，探索軸對(duì)稱現(xiàn)象共同特征.課標(biāo)要求

你能用不同的方法驗(yàn)證這一結(jié)論嗎？

如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3……是l上的點(diǎn)，請(qǐng)猜想點(diǎn)P1，P2，P3

……到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之間的數(shù)量關(guān)系.相等．

ABlP1P2P3線段的垂直平分線的性質(zhì)定理知識(shí)點(diǎn)1知識(shí)精講觀察演示，動(dòng)手操作:仔細(xì)觀察折紙過程，回答問題.OP_________AB，PA____PB.垂直平分=猜想證明：

ABPCl已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點(diǎn)P在l上．求證：PA=PB．線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)的距離相等∵l⊥AB.

∴∠PCA=∠PCB=900．又

AC=CB，PC=PC.∴△PCA≌△PCB（SAS）∴

PA=PB．題設(shè)結(jié)論∵CA=CB，l⊥AB.∴PA=PB．幾何語言表述線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．歸納總結(jié)如圖，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分線交BC于D，AC的垂直平分線交BC與E，則△ADE的周長等于___．ABCDE8解：∵AD⊥BC，BD=DC.

∴AD是BC的垂直平分線.

∴AB=AC．

∵點(diǎn)C在AE的垂直平分線上.

∴AC=CE．如圖，AD⊥BC，BD=DC，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，AB，AC，CE的長度有什么關(guān)系？AB+BD與DE有什么關(guān)系？ABCDE

∴AB=AC=CE．

∵AB=CE，BD=DC.

∴AB+BD=CD+CE．即AB+BD=DE．反過來，如果PA=PB，那么點(diǎn)P是否在線段AB的垂直平分線上呢？點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．已知：如圖，PA=PB．求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．PABC線段的垂直平分線的判定定理知識(shí)點(diǎn)2如圖，用一根木棒和一根彈性均勻的橡皮筋，做一個(gè)簡易的“弓”，“箭”通過木棒中央的孔射出去，怎樣才能保持射出去的箭的方向與木棒垂直呢？為什么？如果PA=PB，那么點(diǎn)P是否在線段AB的垂直平分線上呢？角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上線段垂直平分線的判定探索并證明角平線的性質(zhì)角平線的判定題設(shè)結(jié)論題設(shè)結(jié)論類比數(shù)學(xué)思想線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)的距離相等垂直平分線的性質(zhì)題設(shè)結(jié)論與線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上垂直平分線的判定題設(shè)結(jié)論C已知：如圖，PA=PB．求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．證明：如圖，作PC⊥AB則∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中.∴

Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴

AC=BC．又

PC⊥AB∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上

PA=PB

PC=PCPAB猜想與線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上∵

PA=PB∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上幾何語言表述這些點(diǎn)能組成什么幾何圖形？

你能再找一些到線段AB兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)嗎？能找到多少個(gè)到線段AB兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)？

在線段AB的垂直平分線l上的點(diǎn)與A，B的距離都相等；反過來，與A，B的距離相等的點(diǎn)都在直線l上，所以直線l可以看成與兩點(diǎn)A，B的距離相等的所有點(diǎn)的集合．PABCl試一試：例

如圖，已知：在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且OB＝OC，求證：AO⊥BC.證明：∵OB＝OC

∴點(diǎn)O在BC的垂直平分線上.又AB＝AC

∴點(diǎn)A在BC的垂直平分線上即A，O均在BC的垂直平分線上.

∴AO⊥BC.線段垂直平分線的判定定理的應(yīng)用素養(yǎng)考點(diǎn)例.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于D，若△DBC的周長為35cm，則BC的長為(

).A.5cmB.10cmC.15cmD.17.5cmC【分析】∵△DBC的周長為BC＋BD＋CD＝35cm.又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD.故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm.∴BC＝35－20＝15(cm).故選C.【點(diǎn)睛】利用線段垂直平分線的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)線段之間的相互轉(zhuǎn)化，從而求出未知線段的長．1.如圖①所示，直線CD是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)P為直線CD上的一點(diǎn)，且PA=5，則線段PB的長為（）.A.6B.5C.4D.32.如圖②所示，在△ABC中，BC=8cm,邊AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E,

△BCE的周長等于18cm,則AC的長是

.B10cm如何用尺規(guī)作圖的方法經(jīng)過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線？CABDKFE作法：（1）任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K和點(diǎn)C在AB的兩旁.（2）以點(diǎn)C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)

D和E.（3）分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，大于

的長

為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F.（4）作直線CF.直線CF就是所求作的垂線.過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線知識(shí)點(diǎn)3（1）為什么任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K與點(diǎn)C在直線兩旁？（2）為什么要以大于

的長為半徑作弧？（3）為什么直線CF就是所求作的垂線？探究新知想一想如圖，求作點(diǎn)P，使PA＝PB，且點(diǎn)P到∠MON兩邊的距離相等．解：(1)作∠MON的角平分線；(2)作線段AB的垂直平分線與∠MON的平分線交于點(diǎn)P，那么，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn).1.如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，且分別交BC，AC于點(diǎn)D和E，∠B=60°，∠C=25°，則∠BAD為（）.A．50° B．70° C．75° D．80°2.如圖，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，∠B=70°，∠FAE=19°，則∠C=

度．B24有時(shí)我們感覺一（兩）個(gè)平面圖形是軸對(duì)稱的，如何驗(yàn)證呢？ABCA′B′C′

通過折疊，如果這（兩）個(gè)圖形能夠互相重合，則這（兩）個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形.不折疊圖形，你能準(zhǔn)確地作出軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸嗎？線段垂直平分線的畫法知識(shí)點(diǎn)4問題1：問題2：有時(shí)我們感覺兩個(gè)平面圖形是軸對(duì)稱的，如何驗(yàn)證呢？

如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱，你能作出這條直線嗎？AB分析：我們只要連接點(diǎn)A和點(diǎn)B，作出線段AB的垂直平分線，就可得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的對(duì)稱軸.為此作出到點(diǎn)A，B的距離相等的兩點(diǎn)，即線段AB的垂直平分線上的兩點(diǎn)，從而作出線段AB的垂直平分線.畫一畫例.如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱，你能作出這條直線嗎？分析：我們只要連接點(diǎn)A和點(diǎn)B，作出線段AB的垂直平分線，就可以得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的對(duì)稱軸.為此作出到點(diǎn)A，B距離相等的兩點(diǎn)，即線段AB的垂直平分線上的兩點(diǎn)，從而作出線段AB的垂直平分線.

這個(gè)作法實(shí)際上就是線段垂直平分線的尺規(guī)作圖.我們也可以用這種方法確定線段的中點(diǎn).同樣，對(duì)于軸對(duì)稱圖，只要找到任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作出對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線，就得到此圖形的對(duì)稱軸.例如，圖中的五角星,我們可以找出一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)A和A'，連接AA'，作出線段AA'的垂直平分線l，則Ⅰ就是這個(gè)五角星的一條對(duì)稱軸.類似地，你能作出這個(gè)五角星的其它對(duì)稱軸嗎?為了扶持某地區(qū)的農(nóng)業(yè)發(fā)展，市政府決定興修水利.如圖,在一河流的同一側(cè)有兩個(gè)村A、B，現(xiàn)要在河邊建一蓄水閘門便于往兩村輸水進(jìn)行農(nóng)業(yè)灌溉,要求這一蓄水閘門到兩村的距離相等,你能幫助確定蓄水閘門的位置嗎?則:點(diǎn)C為蓄水閘門的位置

如圖，A，B是路邊兩個(gè)新建小區(qū)，要在公路邊增設(shè)一個(gè)公共汽車站.使兩個(gè)小區(qū)到車站的路程一樣長，該公共汽車站應(yīng)建在什么地方？AB分析：增設(shè)的公共汽車站要滿足到兩個(gè)小區(qū)的路程一樣長，應(yīng)在線段AB的垂直平分線上，又要在公路邊上，所以找到AB垂直平分線與公路的交點(diǎn)即可.公共汽車站例

如圖，已知點(diǎn)A、點(diǎn)B以及直線l.(1)用尺規(guī)作圖的方法在直線l上求作一點(diǎn)P，使PA＝PB.(保留作圖痕跡，不要求寫出作法)；(2)在(1)所作的圖中，若AM＝PN，BN＝PM，求證：∠MAP＝∠NPB.MNABl利用線段的垂直平分線的性質(zhì)作圖素養(yǎng)考點(diǎn)解：(1)如圖所示：(2)在△AMP和△BNP中，∵AM=PN，AP＝PB，PM＝BN.

∴△AMP≌△PNB(SSS)，∴∠MAP＝∠NPB.MNABlP如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于AB長為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)D，E，則直線DE是（）.A．∠A的平分線B．AC邊的中線C．BC邊的高線D．AB邊的垂直平分線D例

如圖，某地有兩所大學(xué)和兩條交叉的公路．圖中點(diǎn)M，N表示大學(xué)，OA，OB表示公路，現(xiàn)計(jì)劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學(xué)的距離相等，到兩條公路的距離也相等，你能確定出倉庫P應(yīng)該建在什么位置嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出你的設(shè)計(jì)．(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡.)ONMAB利用作圖解決實(shí)際問題素養(yǎng)考點(diǎn)ONMAB方法總結(jié)：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在兩點(diǎn)連線的垂直平分線上.兩線的交點(diǎn)即為所求.解：如圖所示：P電信部門要修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔，如圖，按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等，發(fā)射塔應(yīng)修建在什么位置？在圖上標(biāo)出它的位置.解：如圖所示，兩條高速公路相交的角的角平分線和AB的垂直平分線的交點(diǎn)P1與P2點(diǎn).下圖中的五角星有幾條對(duì)稱軸？如何作出這些對(duì)稱軸呢？AB作法：（1）找出五角星的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)A和B，連接AB．（2）作出線段AB的垂直平分線l．則l就是這個(gè)五角星的一條對(duì)稱軸．l

用同樣的方法，可以找出五條對(duì)稱軸，所以五角星有五條對(duì)稱軸．作軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸知識(shí)點(diǎn)5歸納總結(jié)方法總結(jié)：對(duì)于軸對(duì)稱圖形，只要找到任意一組對(duì)稱點(diǎn)，作出對(duì)稱點(diǎn)所連線段的垂直平分線，即能得此圖形的對(duì)稱軸.例

如圖，△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線l對(duì)稱，請(qǐng)用無刻度的直尺作出它們的對(duì)稱軸.解：延長BC、B'C'交于點(diǎn)P，延長AC，A'C'交于點(diǎn)Q，連接PQ，則直線PQ即為所要求作的直線l.ABCA′B′C′lPQ作軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸素養(yǎng)考點(diǎn)歸納總結(jié)方法總結(jié)：①過成軸對(duì)稱圖形的兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線（或延長線）交點(diǎn)的直線是這個(gè)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸.②如果成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形對(duì)稱點(diǎn)連線（或延長線）相交，那么交點(diǎn)必定在對(duì)稱軸上.作出下列圖形的一條對(duì)稱軸.和同學(xué)比較一下，你們作出的對(duì)稱軸一樣嗎？如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于

AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN分別交BC，AC于點(diǎn)D，E．若AE=3cm，△ABD的周長為13cm，則△ABC的周長為（

）.A．16cm B．19cm C．22cm D．25cmB1．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于點(diǎn)D，若△DBC的周長為35cm，則BC的長為(

).A．5cm

B．10cm

C．15cm

D．17.5cm基礎(chǔ)鞏固題C2.如果一個(gè)三角形兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)在第三邊上，那么這個(gè)三角形是(

).A．銳角三角形

B．鈍角三角形C．直角三角形

D．不能確定CC3．如圖，CD是AB的垂直平分線，若AC＝1.6cm，BD＝2.3cm，則四邊形ACBD的周長為

cm.7.84.如圖，在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，且BC＝BD＋AD，則點(diǎn)D在線段__________的垂直平分線上．AC解析：∵BC=BD+AD.又∵BC=BD+DC.∴AD=DC.∴點(diǎn)D在線段AC的垂直平分線上.5.尺規(guī)作圖要求：Ⅰ、過直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線；Ⅱ、作線段的垂直平分線；Ⅲ、過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線；Ⅳ、作角的平分線．如圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖.則正確的配對(duì)是（）.A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ.

B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ.C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ.

D．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ.D①

②③④6.如圖，已知線段AB的垂直平分線CP交AB于點(diǎn)P，且AP=2PC，現(xiàn)欲在線段AB上求作兩點(diǎn)D，E，使其滿足AD=DC=CE=EB，對(duì)于以下甲、乙兩種作法：甲：分別作∠ACP、∠BCP的平分線，分別交AB于D、E，則D、E即為所求；乙：分別作AC、BC的垂直平分線，分別交AB于D、E，則D、E兩點(diǎn)即為所求．下列說法正確的是（）.A．甲、乙都正確B．甲、乙都錯(cuò)誤C．甲正確，乙錯(cuò)誤D．甲錯(cuò)誤，乙正確DAPBC7.如圖，與圖形A成軸對(duì)稱的是哪個(gè)圖形？畫出對(duì)稱軸．A.B.C.D.

8.如圖，角是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？

角是軸對(duì)稱圖形，角平分線所在的直線就是角的對(duì)稱軸.1.如圖，點(diǎn)A，B，C表示某公司三個(gè)車間的位置，現(xiàn)要建一個(gè)倉庫，要求它到三個(gè)車間的距離相等，則倉庫應(yīng)建在什么位置？能力提升題答：△ABC

三邊垂直平分線的交點(diǎn)上.2.如圖，已知E為∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為C，D.求證：OE垂直平分CD.

證明：∵E在∠AOB的平分線上，ED⊥OB于D，EC⊥OA于C.∴ED＝EC在Rt△EDO和Rt△ECO中，ED＝EC，OE＝OE.∴Rt△EDO≌Rt△ECO.（HL）∴OD