第十四章14.3全等三角形角的平分線第

1

課時(shí)角的平分線線段相等、角相等全等三角形的性質(zhì)和判定作用證明三角形全等性質(zhì)判定新課導(dǎo)入證明三角形全等→線段相等OP＝OP（公共邊）△OPM≌

△OPN(SAS)PM＝PNOM＝ON問(wèn)題

1 如圖，OC

是∠AOB

的平分線，P

是

OC

上的任意一點(diǎn)，M，N分別是

OA，OB上∠的PO點(diǎn)M，＝我∠們P研ON究

PM

與

PN

的關(guān)系．研究幾何圖形的關(guān)系時(shí)，

我們往往關(guān)注其中的一些特殊情況．

下圖中，當(dāng)

OM

與

ON

滿足什么關(guān)系時(shí)，PM＝PN？AMPCBNO∠POM＝∠PON追問(wèn) 反過(guò)來(lái)，如果M，N

分別是∠AOB

的邊

OA，OB

上的點(diǎn)，OM＝ON，點(diǎn)

P在∠AOB

的內(nèi)部，PM＝PN，那么點(diǎn)

P在∠AOB

的平分線上嗎？證明三角形全等→角相等△OPM≌ △OPN（SSS）OP＝OP，OM＝ON，PM＝PN∠POM＝∠PON問(wèn)題

2

由上述結(jié)論，你能想到如何作一個(gè)角的平分線嗎？AMPCBNOABO作法：（1）以點(diǎn)

O

為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交

OA

于點(diǎn)

M，交

OB

于點(diǎn)

N；（2）分別以點(diǎn)

M，N

為圓心，大于的內(nèi)部相交于點(diǎn)

C；（3）作射線

OC，則射線

OC

為∠AOB的平分線．MNC追問(wèn) 請(qǐng)任意作一個(gè)角∠AOB，用直尺和圓規(guī)作出∠AOB

的平分線

OC．12

MN

的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB為什么？問(wèn)題

3

如圖，OC

是∠AOB

的平分線．點(diǎn)

P1，P2，P3，…在

OC

上，過(guò)點(diǎn)

P1，P2，P3，…

分別畫(huà)

OA

與

OB

的垂線，垂足分別為

D1

與

E1、D2

與

E2、D3

與

E3……．分別比較

P1D1

與P1E1、P2D2

與

P2E2、P3D3

與

P3E3……，你有什么發(fā)現(xiàn)？性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.追問(wèn) 1 你能通過(guò)嚴(yán)格的邏輯推理證明這個(gè)結(jié)論嗎？A證明：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.（1）明確“已知”和“求證”如果一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上，那么這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.（2）畫(huà)圖與符號(hào)表示已知：OC

是∠AOB的平分線，點(diǎn)

P

在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為

D，E．求證：PD=PE．（3）分析與寫(xiě)證明過(guò)程O(píng)C

是∠AOB

的平分線PD⊥OA，PE⊥OB∠POD＝∠POE∠PDO＝∠PEO＝90°OP＝OP(公共邊)△OPD≌

△OPEPD＝PEA(AAS)證明：∵ OC

是∠AOB的平分線，∴ ∠AOC＝∠BOC．∵ PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°．在△OPD

和△OPE

中，∠AOC＝∠BOC，∠PDO＝∠PEO＝90°，OP＝OP，∴ △OPD≌ △OPE（AAS）．∴ PD＝PE．A追問(wèn)

2 由角的平分線的性質(zhì)的證明過(guò)程，你能概括出證明幾何命題的一般步驟嗎？明確命題中的已知和求證；根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示已知和求證；經(jīng)過(guò)分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫(xiě)出證明過(guò)程．性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．A符號(hào)語(yǔ)言： 點(diǎn)在角的平分線上∵ OP

是∠AOB

的平分線，PD⊥OA，PE⊥OB，∴ PD＝PE．垂線段相等追問(wèn)

3 角的平分線的性質(zhì)的作用是什么？可以直接用角的平分線的性質(zhì)得出角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的垂線段相等．新知探究AD

平分∠BACDE⊥AB，DF⊥ACBD＝CDDE＝DFRt△BED≌ Rt△CFD（HL）角的平分線的性質(zhì)例 已知：如圖，在△ABC

中，AD

是它的角平分線，且

BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為

E，F(xiàn)．求證：EB＝FC．△BED≌

△CFD例 已知：如圖，在△ABC

中，AD

是它的角平分線，且

BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為

E，F(xiàn)．求證：EB＝FC．證明：∵ AD是∠BAC

的平分線，且

DE⊥AB，DF⊥AC，∴ DE＝DF（角的平分線的性質(zhì)）．在

Rt△BED和

Rt△CFD

中，BD＝CD，DE＝DF，∴ Rt△BED≌ Rt△CFD（HL）．∴ EB＝FC．1.

如圖，在直線

MN

上求作一點(diǎn)

P，使點(diǎn)

P

在∠AOB的內(nèi)部，且點(diǎn)

P

到射線

OA

和

OB

的距離相等．點(diǎn)

P

在∠AOB

的平分線上解：如圖所示，點(diǎn)

P

即為所求．點(diǎn)

P

在直線

MN

上OAB

P M N課堂練習(xí)2.

如圖，OC

是∠AOB

的平分線，點(diǎn)

P

在

OC

上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為

D，E．點(diǎn)

F，G

分別在

OA，OB

上，DF＝EG，連接

PF，PG．求證

PF＝PG．證明：∵ OC

是∠AOB

的平分線，PD⊥OA，PE⊥OB，∴ PD＝PE．∵ PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDF＝∠PEG＝90°．在△PDF

和△PEG

中，DF＝EG，∠PDF＝∠PEG，PD＝PE，∴ △PDF≌ △PEG（SAS）．∴ PF＝PG．回顧本節(jié)課的內(nèi)容，請(qǐng)思考以下問(wèn)題：如何作一個(gè)角的平分線？本節(jié)課是通過(guò)什么方式探究角的平分線的性質(zhì)的？角的平分線的性質(zhì)具有什么作用？你能舉例說(shuō)明證明一個(gè)幾何命題的一般過(guò)程嗎？課堂小結(jié)（1）如何作一個(gè)角的平分線？ABO作法：（1）以點(diǎn)

O

為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交

OA

于點(diǎn)

M，交

OB

于點(diǎn)

N；（2）分別以點(diǎn)

M，N

為圓心，大于的內(nèi)部相交于點(diǎn)

C；（3）作射線

OC，則射線

OC

為∠AOB的平分線．MNC12

MN

的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB（2）本節(jié)課是通過(guò)什么方式探究角的平分線的性質(zhì)的？角的平分線的性質(zhì)具有什么作用？從特殊情形入手觀察數(shù)量關(guān)系 位置關(guān)系作用：可以直接用角的平分線的性質(zhì)得出角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的垂線段相等．通過(guò)操作發(fā)現(xiàn)規(guī)律用邏輯推理證明（3）你能舉例說(shuō)明證明一個(gè)幾何命題的一般過(guò)程嗎？對(duì)頂角相等那么這兩個(gè)角相等．相交于點(diǎn)

O，∠AOC

與∠BOD是對(duì)頂角．求證：∠AOC＝∠BOD．（1）明確已知和求證 （2）畫(huà)圖與符號(hào)表示如果兩個(gè)角是對(duì)頂角， 已知：直線

AB

與直線

CD∴ ∠AOD＋∠BOD＝180°.∵ ∠COD是平角，∴ ∠AOC＋∠AOD＝180°．∴ ∠AOC＝∠BOD.（3）分析與寫(xiě)證明過(guò)程證明：∵

∠AOB是平角，DAOCB教科書(shū)習(xí)題

14.3

第

4，5

題．課后任務(wù)第十四章14.3全等三角形角的平分線第

2

課時(shí)問(wèn)題 到角兩邊的距離相等的點(diǎn)一定在角的平分線上嗎？猜想：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．追問(wèn) 你能按照上節(jié)課學(xué)習(xí)的證明一個(gè)幾何命題的步驟，來(lái)證明你的猜想嗎？新課導(dǎo)入證明：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．（1）明確已知和求證如果一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的內(nèi)部，它到角兩邊的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在角的平分線上．（2）畫(huà)圖與符號(hào)表示已知：點(diǎn)

P

在∠AOB

的內(nèi)部，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分別為

E，F(xiàn)，PE＝PF．求證：點(diǎn)

P

在∠AOB

的平分線上．BAEOPF（3）分析與寫(xiě)證明過(guò)程PE⊥OA，PF⊥OB點(diǎn)P

在∠AOB

的平分線上∠OEP＝∠OFP＝90°OP=OPPE=PFRt△EOP≌

Rt△FOP∠EOP＝∠FOP（HL）BAEOPF新知探究證明：連接

OP．∵ PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分別為

E，F(xiàn)，∴ ∠OEP＝∠OFP＝90°．在Rt△EOP和

Rt△FOP

中，OP＝OP，PE＝PF，∴ Rt△EOP≌ Rt△FOP（HL）．∴ ∠EOP＝∠FOP．∴ OP

是∠AOB

的平分線，即點(diǎn)

P

在∠AOB

的平分線上．BAEOPF綜合角的平分線的性質(zhì)和上述結(jié)論來(lái)看：F角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．所以在角的內(nèi)部，角的平分線（頂點(diǎn)除外）可以看成到角兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合．E例題精講MCBP例 如圖，△ABC

的角平分線

BM，CN

相交于點(diǎn)

P．求證：點(diǎn)

P

到三邊AB，BC，CA

的距離相等；A△ABC

的三條角平分線交于一點(diǎn)．想一想要證點(diǎn)

P

到三邊

AB，BC，CA

的距離相等，先要作什么輔助線？DNFEAMCP例 如圖，△ABC

的角平分線

BM，CN

相交于點(diǎn)

P．求證：（1）點(diǎn)

P

到三邊

AB，BC，CA

的距離相等；（2）△ABC

的三條角平分線交于一點(diǎn)．想一想要證三條角平分線交于一點(diǎn)，目前已知角平分線

BM，CN

相交于點(diǎn)P，則還需證明什么？DNFB E點(diǎn)

P

在∠A

的平分線上∵ BM

是△ABC

的角平分線，點(diǎn)P

在

BM上，∴ PD＝PE．同理

PE＝PF．∴ PD＝PE＝PF．即點(diǎn)P到三邊

AB，BC，CA的距離相等．（2）由（1）知，點(diǎn)

P

到

AB，CA

的距離相等，∴ 點(diǎn)

P在∠A

的平分線上．∴ △ABC

的三條角平分線交于一點(diǎn)．證明：（1）過(guò)點(diǎn)P

作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分別為D，E，F(xiàn)．AMCBPDNFE1.

如圖，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分別為

B，E，AB＝CE，AB，CE

相交于點(diǎn)

F，連接DF．求證：FD平分∠BFE．A課堂練習(xí)CBDEF證明：∵ AB⊥CD，CE⊥AD，∴ ∠ABD＝∠CED＝90°．在△ABD

和△CED

中，∠ABD＝∠CED，∠ADB＝∠CDE，AB＝CE，∴ △ABD≌ △CED（AAS）．∴ BD＝ED．又 DB⊥FB，DE⊥FE，∴ FD平分∠BFE．ACBDEFACBD2.