導(dǎo)數(shù)同構(gòu)

知識梳理

裔考微學(xué)

方法技巧總結(jié)二：同構(gòu)式的基本概念與導(dǎo)數(shù)壓軸題

1、同構(gòu)式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達(dá)式

2、同構(gòu)式的應(yīng)用:

(1)在方程中的應(yīng)用：如果方程/(4)=0和/(b)=0呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則a力可視為

方程/(x)=O的兩個根

(2)在不等式中的應(yīng)用：如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為

一個函數(shù)，進(jìn)而和函數(shù)的單調(diào)性找到聯(lián)系.可比較大小或解不等式.〈同構(gòu)小套路〉

①指對各一邊，參數(shù)是關(guān)鍵；②常用“母函數(shù)”：f(x)=xe\/(x)=ex±x；尋找”親

戚函數(shù)”是關(guān)鍵；

③信手拈來湊同構(gòu)，湊常數(shù)、廠參數(shù)；④復(fù)合函數(shù)(親戚函數(shù))比大小，利用單調(diào)性

求參數(shù)范圍.

(3)在解析幾何中的應(yīng)用：如果力(西,必),8(芍，)2)滿足的方程為同構(gòu)式，則48為

方程所表示曲線上的兩點,特別的，若滿足的方程是直線方程，則該方程即為直線的方

程

(4)在數(shù)列中的應(yīng)用：可將遞推公式變形為“依序同構(gòu)”的特征，即關(guān)于與

(q的同構(gòu)式，從而將同構(gòu)式設(shè)為輔助數(shù)列便于求解

3、常見的指數(shù)放縮：ex>x+l(x=0);ex>ex(x=V)

1x

4、常見的對數(shù)放縮：1——<Inx<x-l(x=l);lnx<-(x=e)

xe

f\

5、常見三角函數(shù)的放縮：xe0,—,sinx<x<tanx

y

6、學(xué)習(xí)指對數(shù)的運算性質(zhì)時，曾經(jīng)提到過兩個這樣的恒等式：

(1)當(dāng)。>0且arl,%>0時，有d0g尸二x

(2)當(dāng)。>0且歐式1時，有l(wèi)ogQ。*二X

再結(jié)合指數(shù)運算和對數(shù)運算的法則，可以得到下述結(jié)論(其中x>0)

(3)xe*=ex,lnx;x+lnx=ln^xex)

(4)—=exlnx:x-lnx=ln—

xx

(5)x2ex=ex,2hlx;x+21nx=ln^x2exj

x2hxx2[DX

(6)—=e-—=e

x2'V

Y

再結(jié)合常用的切線不等式/〃X4X-1,InxV—,e'之r+Le'之ex等，可以得到更多的

e

結(jié)論，這里僅以笫(3)條為例進(jìn)行引申：

(7)xex=ex4lnx>x+lnx+l；x+lnx=ln(xex)<xex-l

xx,lnxxx1

(8)xe=e>e(x+lnx).x^\nx-\n^Xe]<—=xe

7、同構(gòu)式問題中通常構(gòu)造親戚函數(shù)誦^與黑卜母常見模型有：

Inx-

?ax>logx=>exln<>>---=>xln￡7exlna>xlnx=lnxe,nx=>xlna>lnx=>67>e*;

aIna

@e^>^2-^=>>Inx=>2x-e1*>xlnx=>2x->Inx?e,nx=>2x>Inx=>2>-；

2e

@em+ar>ln(x+l)+x+l=+In(x+1)=>ax>In(x+1)

8、乘法同構(gòu)、加法同構(gòu)

(1)乘法同構(gòu)，即乘x同構(gòu),如|11。產(chǎn)°>1|)工0%||1。，”>111小*」

xxx

(2)加法同構(gòu)，即加x同構(gòu)，如a>logaxoa+x>log。x+x=a?+logax?

(3)兩種構(gòu)法的區(qū)別：

①乘法同構(gòu)，對變形要求低，找親戚函數(shù)我隸與用心怎易實現(xiàn)，但構(gòu)造的函數(shù)初與

翼加蘇均不是單調(diào)函數(shù):

裔考微學(xué)

y

故選：B

例3.(2024?陜西榆林?高二校考期末)已知mb,ce(0,l),且Q—5=In?！猯n5,

耳一耳=111新Thiq，靖?3=In4Thl3,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.b<c<aB.a<c<bC.a<h<cD.c<h<a

【答案】C

1x-\

【解析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=x-lnx(xw(0,4<?))=>f(x)=\--=------,

XX

當(dāng)0<x<l時，/'(x)<0J(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)囂多I時，/Q)>0,/(x)單調(diào)遞增，

￡7-5=lna-ln5=>^-lna=5-ln5=>f(a)=/(5)，

A-4=ln/>-ln4=>6-lnA=4-ln4=>f(b)=/(4),

c-3=lnc-ln3=>c-lnc=3-ln3=>/(c)=/(3),

因為5>4>3〉1,所以/(5)>/(4)>/(3),即/S)>/(b)>/(c),

而a,b,CG(0,1),所以a<b<c，

故選：C

變式1.(2024?河南?高二校聯(lián)考期中)己知。二0.51n2,。=0.4。1157n2}

Q

c=-(ln3-ln2),則a,b，c的大小順序是()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<h<aD.a<c<b

【答案】D

,5,9

t,InIn

【解析】因為a一竽，b=g。=一^，

24

構(gòu)造函數(shù)/(x)=叱,(x>0)，其導(dǎo)函數(shù)/(X)=

令/，(1)=1^=0,解得：竄二也列表得：

X（。，《）e(?,+8)

裔考微學(xué)

y

/'(x)+0-

極大值

T1J

/(x)e

所以/（x）=叱在（0,e）上單增.

o5—J,即avcv/>

因為0＜2（一〈一〈e,所以

42

故選:D.

變式2.（2024全國?高三專題練習(xí)）已知0＜、＜》＜兀，且e'sinx=c'siny,其中e為自然

對數(shù)的底數(shù)，則下列選項中一定成立的是（）

A.cosx+cosy<0B.cosx+cosy>0

C.COST>sinD.sinx>siny

【答案】B

【解析】構(gòu)造/（x）=詈，0-,則/（力=詈＞0恒成立,

cosx-sinx

則/'(x)=

e

cosx-sinx益

當(dāng)0<x<：時，cosx>sinx,/'(x)----------->0.

ex

cosx-sinx八

當(dāng)一vxv兀時，cosx<sinx,/'(x)=-----------<U

ex

所以/（?=詈在（0,；n|單調(diào)遞增，在

，兀單調(diào)遞減,

因為0<x<y<7t,所以0<xv-<y<7i，0<ex<ey'

4

又變￡=典？＞0所以0＜sinx＜si”，D錯誤,

exey

因為0vxv不vyv兀，所以cosx=Jl-sin?x>O'|cosj|=^l-sin2y，

所以cosx>|cosy|,所以cosx+cosy>0.A錯誤,B正確.

令g(x)=/(x)-/(尸)則g(：)=

=0.

(sinx-cosx)e*-e

cosx-sinxsinx-cosx

g'(x)二x-----------+-----------

~~e

e

裔考微學(xué)

y

當(dāng)0<x<兀時,g'(x)>0恒成立,

因為/(')=/(力

所以四-%>￡,

24

因為九)在住T單調(diào)遞減,

所以y>E-x,即

因為Q(X)=COSX在(0,兀)上單調(diào)遞減，

所以cosxv8s(1-歹)=siny,C錯誤

故選：B

變式3.(2024?江西贛州?高二江西省信卡中學(xué)?？茧A段練習(xí))己知函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)/(x)滿

足/(幻+。+1)/'。)>0對篡經(jīng)就恒成立，且實數(shù)x,歹滿足(x+l)/(x)—(y+l)/(y)>0.

則下列關(guān)系式恒成立的是()

A-備,瑪沁D.x-y>sinx-siny

【答案】D

【解析】令g(x)=(x+l)/(x),則g'(x)=/(x)+(x+l)/(/)>0,

所以函數(shù)氏(x)單調(diào)遞增,

又(x+>0，所以a+l)/(x)>(y+l)/(y),

所以x>J,

1111,11

對于A,當(dāng)％廠，2時,故A錯誤;

；一+1劭產(chǎn)+1學(xué)蕾《1y+1

對于B,由指數(shù)函數(shù)的單周性可得故B錯誤;

裔考微學(xué)

y

對于c,當(dāng)&=飄y=-w,4=°*4=4=-^此時=■>=■，故C錯誤：

eeeee

對于D,令人(x)=x-sinx,則〃(x)=l-cosxNO,所以函數(shù)〃(x)單調(diào)遞增，所以

x-sinx>y-sin)^x-y>sinx-siny,故D正確.

故選：D.

題型二：同構(gòu)變形

例4.(2024?全國?高三專題練習(xí))對下列不等式或方程進(jìn)行同構(gòu)變形，并寫出相應(yīng)的同構(gòu)

函數(shù).

(l)bg2X-h2b20；

(2)e2Ax--lnVx>0：

a

m

⑶丁欣-蘆>0;

(4)?+1)>2x+-Inx：

(5)aln(x-l)+2(x-l)>ar+2ex；

(6)x+alnx+cx>xa(x>l)：

⑺e”-2x-lnx=0：

(8)x2ex+lnx=0-

【解析】⑴顯然x>0,則log2X-A?2h20cxlogzXN收DhQQogzX)4〉豆米產(chǎn),

f(x)=x2x.

(2)顯然x>0,則

e2Ajc一■-In\/x>0<=>c2Ax>—Inxo2Axe加>xlnx<=>2Axe2Ax>(Inx)*，g(x)=xex.

42A

mm

(3)顯然x>0,WJx2lnx-/wex>0<=>xlnx>—ex<=>lnx+ln(lnx)>—+ln—>

xxx

h(x)=x4Inx.

(4)顯然x>0，則。(c^+1)>2(x+—Jlnxoarc^+ax>2x2lnx+2lnx=x2Inx2+lnx2

x

oar-e4"+or>Inx24"+ln”w(x)=xcx+x.

(5)aln(x-1)+2(x-1)>ar+2ex<=>aln(x-l)+2(x-l)>alnex+2ex,v(x)=alnx+2x.

裔考微學(xué)

y

(6)x>Lx+alnx+ex>xa<=>x+exoex-lnex>xfl-lnxa,r(x)=x-\nx.

(7)ex-2x-lnx=0oer-x=x+lnx<=>ex+lnex=x4Inx，^(x)=x+Inx.

(8)x2ex+Inx=0oxex=-^^-oxex=—In—<=>exInex=—In—,^(x)=xlnx.

XXXXX

題型三：零點同構(gòu)

例5.(2024?全國?高三專題練習(xí))設(shè)蒼”R,滿足ja-"2x+sm(x-l)=3,則日產(chǎn)

(y-1)+2y+sin(>>-l)=l

()

A.0B.2C.4D.6

【答案】B

(x-1)5+2x+sin(x-l)=3(x-1)5+2(x-l)+sin(x-l)=1

【解析】?\''可化為：\；J；/；/

(y-l)+2j+sin(j^-1)=1(j-1)+2(y-l)+sin(_v-l)=-1

記/(x)=xS+2x+sinx,定義域為R.

因為/[x)=5x、2+cosx>0,所以/(x)在R上單調(diào)遞增.

又/(-x)=(rJ+2x(7)+sin(-x)=-(x5+2x+sinx)=-/(x),

所以/(x)為奇函數(shù).

所以由慌二;3

可得：工=14羅=1匚&所以羅下第=2.

故選：B

例6.(2024?全國?高二專題練習(xí))在數(shù)學(xué)中，我們把僅有變量不同，而結(jié)構(gòu)、形式相同的兩

個式子稱為同構(gòu)式，相應(yīng)的方程稱為同構(gòu)方程，相應(yīng)的不等式稱為同構(gòu)不等式.若關(guān)于。

的方程比。2=e4和關(guān)于b的方程/InB-2)=?3久力cR')可化為同構(gòu)方程，則出)的值為

()

A.&B.eC.fct森D.i

【答案】A

【解析】對。六2二/兩邊取自然對數(shù)，得lna+”6?,

對b(\n/>-2)=c"?兩邊取自然對數(shù)，得出Hin(ln方-2)=34-],

即lnZ?-2+ln(ln/>-2)=32-3@,

y

因為方程①②為兩個同構(gòu)方程，所以34-3=6,解得兔=3,

設(shè)p(x)=lnx+x,X>O，則，"(x)=Ll>0,

X

所以在(0,+00)上單調(diào)遞增，

所以方程*(?=6的解只有一個，

所以a=ln6-2,fjlrWoh=(lnA-2)/>=A(lnA-2)=eJXJ1=c8.

故選：A

例7.(2024?安徽池州?高三池州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(力二號和

g(x)=12￡有相同的最大值從

ax

(1)求仇

(2)證明；存在直線^二〃?，其與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，尹旦

從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.

【解析】⑴/(x)=—=

exex

當(dāng)〃>0時，當(dāng)二多I時，/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)近41時，/'(力>0,/(工)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)X=1時，函數(shù)/(x)有最大值，即/(x)a=/(l)=g；

e

當(dāng)avO時,當(dāng)N41時,八x)>OJ(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)時,/'(力<0,/(“單調(diào)遞減,

所以當(dāng)國匚1時，函數(shù)/(、)仃最小值，沒有最大值，不符合題意,

1-lnx

由g(x)=——=>g'(x)=

axax2

當(dāng)a>0時,當(dāng)工>e時，g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)0<x<e時，g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增,

所以當(dāng)鬻=副寸，函數(shù)g(x)有最大值，即g(x)a=g(e)=」~；

ae

當(dāng)a”時,當(dāng)x>e時，g")>O,g(x)單調(diào)遞增,

裔考微學(xué)

y

當(dāng)0<x<e時，g'(x)<O,e(x)單調(diào)遞減,

所以當(dāng)年=招時，函數(shù)g(x)有最小值，沒有最大值，不符合題意,

于是有g(shù)=Lna=±],.

eae

?：a>O,:.a=\b=-

ye

(2)由(1)知，兩個函數(shù)圖象如下圖所示:

由圖可知：當(dāng)直線》二刑經(jīng)過點版時，此時直線丁二加與兩曲線y=/(x)和y=g(x)恰好

有三個交點，不妨設(shè)0"<1<%2<。<%3

xX,inx,Inx,

R—=—=--=--=m

xXjt

e'ex2玉

由能=>/(%)=/(1叫),又不<l,lnx2<lne=L

2

e'x2e

又當(dāng)X(=(-8,1)時，/(x)單調(diào)遞增，所以玉二hu2,

又於二g=翳=/㈤二八[叫)又覆>1,1叫>[1>6=1,

又當(dāng)X?l,+oo)時，/(X)單調(diào)遞減,所以Z=l叫，

x3_lnx3_x2_1x2_x2_1

x2\nx2\nx2m'玉lnx2m'

于是有上=二=>XR=E

%x2

變式4.(2024?安徽安慶?高三校聯(lián)考階段練習(xí))在數(shù)學(xué)中，我們把僅有變量不同，而結(jié)構(gòu)、

形式相同的兩個式子稱為同構(gòu)式，相應(yīng)的方程稱為同構(gòu)方程，相應(yīng)的不等式稱為同構(gòu)不等

式.若關(guān)于a的方程〃/=e6和關(guān)于人的方程方伽方-2)=^可化為同構(gòu)方程.

(1)求而的值；

(2)已知函數(shù)/(x)=x(lnx+，).若斜率為人的直線與曲線y=/'(x)相交于』(不,乂)，

裔考微學(xué)

y

8(工2，%XX1<工2)兩點，求證：。［〈:〈占

【解析】(1)對=d兩邊取自然對數(shù)，得］n〃+a=6(l),

對如"-2)=/，@方￡的兩邊取自然對數(shù),^lnA+ln(lnA-2)=3A-l,

即Inb—2+ln(ln6-2)=34—3(2).,

因為(1)(2)方程為兩個同構(gòu)方程,所以34—3=6，解得￡口力，

設(shè)dx)=lnx［x,x>0,則oYRnl+l〉。，

x

所以dx)在(0,+8)單調(diào)遞增，所以方程加x)=6的解只有一個，

所以a=ln力一2，所以而二(lnb-2州=伙后力—2)=e3x3'=e8,

故4力二.

(2)由(1)知：y(x)=x(lnxl=x(^nx1x3)=xlnxlx,xG(0,l<?).

P

所以/(x)=Inx+2,2=/C/a)=1x2，X,

ZTXzf

_2-1

要證不<-<x2,即證明演V#斗一<z，等價于1<3—<—,

klnx2-lnx,1n五x,

石

令,,則只要證明］,嘴勺1嗎￡即可,

由行1知，ht>Q，故等價于證lnt</—1v/1n/(/>1).

設(shè)g(1)=/—lTn?，>l),MgV)=l-->O(/>l)，即g(。在。,+8)單調(diào)遞增，

故g?)>g(l)=O，即?

設(shè)/?(/)=/ln/-(/-lX/>1)則A'(0=^/>0(/>1),即力(1)在(1,+8)單調(diào)遞增,

故砥)>力。)=0即手-1磴￡觸停。

由上可知1仇</-1</桁?/>1)成立，則王〈工〈4

變式5.(2024?上海浦東新?高一上海南匯中學(xué)?？计谀吃O(shè)函數(shù)/(力的定義域為門，若函

數(shù)/(x)滿足條件：存在力仁山，使/。)在依例上的值域為［胸,癡］(其中加?0』),

則稱/(x)為區(qū)間上的“解倍縮函數(shù)”.

裔考微學(xué)

y

(1)證明：函數(shù)/(x)=F為區(qū)間匕』上的”;倍縮函數(shù)”；

(2)若存在■詞Q11.使函數(shù)/(力=1%(2、+/)為同您]上的g倍縮函數(shù)”，求實數(shù)/的取值

范圍;

(3)給定常數(shù)％>0,以及關(guān)于x的函數(shù)/(x)=l,是否存在實數(shù)。，旗。<6),使/(x)為區(qū)

X

間M可上的“I倍縮函數(shù)”若存在，請求出。力的值；若不存在，請說明理由.

【解析】⑴函數(shù)/(X)=N在R上單調(diào)遞增，則/⑴二9在區(qū)間卜整]上的值域為

22

口觸411,1、111

顯然有—=—x(—),—=—X—,

842842

所以函數(shù)/(X)=/為區(qū)"I[-A81J|--的，，；倍縮函數(shù)”.

(2)因為函數(shù)〃=2'+/在R上單調(diào)遞增，當(dāng)〃>。時，函數(shù)y=log2〃在(0，+°°)上單調(diào)遞

增,

因此函數(shù)/(x)=bg2(2'+。是定義域上的增函數(shù)，

因為函數(shù)/(x)=bg2(2、+/)為但闿上的g倍縮函數(shù)”，則函數(shù)/(X)在匕的值域為

[-a-b],

2f2

f(a)=\a]

于是得《:，即4岫。)是方程/(x)=乙的兩個不等實根,

加=；b2

則方程1082(2'+/)=、02'+/=22'<=>(及產(chǎn)_(板『+/=0有兩個不等實根,

2

令(板>=2>0，則關(guān)于Z的?元二次方程或一尊內(nèi)-①有兩個不等的正實根，

A=l-4/>0

1>0,解得當(dāng)0</<!時，函數(shù)/(x)恒有意義,

因此?

八44

/>0

所以實數(shù)/的取值范圍是(()」).

4

(3)常數(shù)2〉0,函數(shù)/(工)=1一七的定義域為(-<?,0)11(0,”)，并且/。)20,

X

y

假定存在實數(shù)。,他”)，使〃x)為區(qū)間的赤|上的“1倍縮函數(shù)”，

則函數(shù)/(X)在區(qū)間但闿匕的值域為同司，由[。力仁(-8,0)U(0,+oo),及?〃u[0,+8)知

Ovacb，

因為函數(shù)歹=1—七在阮川上單調(diào)遞增，即1一1G-：41—1,

若l,vOvl-1,即0<"a<4則函數(shù)/(x)在區(qū)間|級同上的值域中有數(shù)0,矛盾,

若1-±40，即0<Q<Hh當(dāng)XG口片時，/(燈=t-1在網(wǎng)/上單調(diào)遞減,

hx

--1=a

f(a)=bk-b—ab

有，即I?,整理得?kZ顯然無解’

13)=a工』

a

若1”之0，^k<a<h^當(dāng)xc,,旬時，f(x)=\〃在儂戲|上單調(diào)遞增,

ax

,即a,b(a<乃是方程/(x)=X的兩個不等實根且〃>k，

而方程1一、=XU>X2-X+A=0,于是得方程4(工)二爐一X+〃=0在閡I嚙上有兩個不等實

根，

A=l-4A>0

從而|gS)="N°,解得無vL而2>0,即有OVAVL

144

->k

12________

解方程/7+%=0得：上正走11Y亙，

1222

所以當(dāng)OvAv；時，存在實數(shù)。力(。<與，使/(x)為區(qū)間回司上的“1倍縮函數(shù)”，

1-J1-41於1+J1-4I

a=----------0=---------,

22

當(dāng)看生3時，不存在實數(shù)。,收<3,使/(X)為區(qū)間依切.的“1倍縮函數(shù)”.

4-

變式6.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=h)(x+l)-x+L

⑴求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間;

⑵設(shè)函數(shù)g(x)="T+lna,若函數(shù)"(x)=/(x)-g(x)有兩個零點，求實數(shù)”的取值范

圍.

裔考微學(xué)

y

【解析】(1)函數(shù)的定義域為{x|x>—1},

，(x)=Ay—l=U，")>0,—l<x<0;，(x)<0,x>0.

函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0)；單減區(qū)間為(0,+8).

(2)要使函數(shù)尸(x)=/(x)-g(x)有兩個零點,即/(x);g(x)有兩個實根,

即ln(x+l)-x+l=aeJ-x+ln。有兩個實根.

即e、'ba+x+Ea=ln(x+L)+x+L

整理為e>癡。+x+山Q=e””“)+ln(x+1),

設(shè)函數(shù)萬(x)=e'+x,則上式為力(x+lna)=Mm(x+l))，

因為〃(x)=e'+l>0恒成立，所以Mx)=，+x單調(diào)遞增，所以x+ln”ln(x+l).

所以只需使也。=|11^+1)-X有兩個根，設(shè)A/(x)=ln(x+l)-x.

由(1)可知，函數(shù)”(X))的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0)：單減區(qū)間為(0,+8)，

故函數(shù)A/(x)在落二?處取得極大值，"(“a="(0)=0.

當(dāng)上、T時，A/(x)->-<o：當(dāng):時，

要想In。=ln(x+l)-x有兩個根，只需InovO，解得：

所以〃的取值范圍是(()/).

變式7.(2024?全國?統(tǒng)考而考真題)已知函數(shù)/(x)=e'-ar和g(x)=ar-lnx有相同的最小

值.

⑴求。；

(2)證明：存在直線,二就其與兩條曲線y=/(x)和y=R(x)共有三個不同的交點，并且從

左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

【解析】(1)/(勸=1-汝的定義域為凡而八x)=e”-a,

若。40,則八x)>0?此時/⑶無最小值，故Q〉0.

g(x)=ax-\nx的定義域為(0,+8),而g'(x)=a--=竺」.

y

當(dāng)x<Ina時，/'(x)<0，故/(x)在(T?Jna)上為減函數(shù),

當(dāng)x>lna時，/'(x)>0，故/CO在(ln4,+oo)上為增函數(shù),

故/(x)mm=/(Ea)=4-4lna

當(dāng)Ovxv1時，g'(x)<0故g(x)在上為減函數(shù),

aka)

當(dāng)、>■!"時，g'(X)>0,故g(x)在(L+s］上為增函數(shù)，

因為/(x)=e*-a和g(x)=?Tnx有相同的最小值，

故1一加1=4一alna,整理得到^--=Ina.其中。>0,

a\+a

/、4一19(\21—/—1

設(shè)g(a)=-------lna,a>0則g(0)=7------2一一=-7------

6V71+a(1+a)aa(l+a)

故g(a)為(0,+e)上的減函數(shù),而g⑴=0,

\-a

故g(a)=O的唯--解為器=1，故=In。的解為曖nL

1+tz

綜上，跺=1.

(2)［方法一］：

由(1)可得/(x)=c，—x和g(x)=x-lnx的最小值為1—lnl=l-lnl=l.

當(dāng)》34時，考慮小—X二方的解的個數(shù)、X—出工二加勺解的個數(shù).

設(shè)S(x)=e"—x—從y(x)=ex-L

當(dāng)?shù)趀?時，S")<0,當(dāng)x>0時,y(x)>o,

故S(x)在(-8,。)上為減函數(shù)，在(0,+8)上為增函數(shù),

所以8(%二5(0)=~<0，

而S(—力)=eb>0，S伍)二d—2力，

設(shè)〃(b)=J—26,其中/洌，貝"僅)二不—2>0,

故〃伍)在(L+8)上為增函數(shù),故〃?>i/⑴=e-2>0,

裔考微學(xué)

y

故S(b)>0,故S(x)=O-x-b有兩個不同的零點,即e”T=6的解的個數(shù)為2.

設(shè)7(x)=x-lnx-從7r(x)=--

當(dāng)ovxvi時,r(x)<o.當(dāng)蘇<1時,r(x)>o,

故r(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+8)上為增函數(shù)，

所以7'(?箱=7'(1)=14<。

而*e)=eGo,7,(efe)=efc-2Z>>0,

7'(x)=Alnx-b有兩個不同的零點即x—Inx=加勺解的個數(shù)為2.

當(dāng)然二L由(1)討論可得x—Inx二氏c'—x=人僅有一個解，

當(dāng)品￡1時,由⑴討論可得x—lnx=Ae、T=b均無根，

故若存在直線尸二務(wù)與曲線y=/(x)、y=g(x)有三個不同的交點，

則

設(shè)力(x)=e*+hix-2x,其中x>0.故"(x)=e、+,-2,

設(shè)s(x)=e*-x-l,x>01則s'(x)=e*-l>0,

故s(%)在(0,十《?)」一為增函數(shù)，故s(x)>s(O)=O即e*>工+1，

所以〃(x)>x+：-l22-1>0,所以〃(x)在(0,+力)上為:曾函數(shù)，

而力(l)=e—2>0,力(；)=e?-3-,ve—3-/<0，

故〃(x)

在

(0,+8)上有且只有一個零點X。，且：

C

當(dāng)0<x</時，h(x)<OEPez-X<x-InXM/(x)<g(x),

當(dāng)x〉/時，h(x)>O.!|JeJ-x>x-lnx^/(x)>g(x),

因此若存在直線產(chǎn)e與曲線y=/(x)、y=g(x)有三個不同的交點，

故8=/仇)=8仇)>1,

裔考微學(xué)

y

此時e*-x二方有兩個不同的根玉,毛(玉<0<%)，

此時x-lnx=萬仃兩個不同的根//4(0<毛<1<乙)，

故e*'—玉=力，e%-工0=氏x4-\nx4-^=0,x0-Inx0-/)=0

所以X4一方二111%4即e/b=*4即。""一(、4一")一方二0.

故z-方為方程e、-x二B的解，同理X。一方也為方程e、-x二B的解

又爐一不二方可化為d=4十方即x「ln(玉+/))=。即(玉+8)Tn(X［+方)-6=0,

故玉+6為方程x-lnx=加勺解，同理工+力也為方程x—Inx=加勺解，

所以{占,/}={4-6/4-斗，而機N..

故"［即%+七=2%

〔玉=兀-6

I方法二卜

由(1)［知，f(x)=ex-x^g(x)=x-lnx,

且/(X)在(9,0)上單調(diào)遞減，在(0,+00)上單調(diào)遞增：

g(x)在能0匕單調(diào)遞減，在《“電匕單調(diào)遞增，且/⑴1n“8。焉=1?

①各或時，此時/(X)m"K(X)…=1>氏顯然￥二曲與兩條曲線尸/(X)和尸g(x)

共有0個交點，不符合題意；

②》=1時，此時/(x)mm=g(X)mmT=A

故丁二題與兩條曲線y=/(、)和歹二以外共有2個交點，交點的橫坐標(biāo)分別為0和1：

③象時，首先，證明以二加J曲線y=/(x)有2個交點，

即證明&x)=/(x)-b有2個零點，F(xiàn)\x)=八4)=/一1,

所以W(XRE(YO,0)匕單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又因為尸(-6)=->0,A(0)=l-/)<0,鞏b)=d_2h>。,

(令?方)=/-助，Ml\h)=^-2>0,1(h)>/(I)=e-2>0)

所以"(x)=/(x)-b在(-8,0)上存在且只存在1個零點，設(shè)為不，在(0,+8)上存在且只存

在1個零點，設(shè)為0.

裔考微學(xué)

y

其次,證明》=善與曲線和y=g(x)有2個交點,

即證明G(x)=g(x)—b有2個零點，a(x)=g，(x)=】—：，

所以G(x)(O,l)上單調(diào)遞減，在也上單調(diào)遞增，

又因為G(e")=/>0,G(l)=l-Z><0,G(力)="ln力>0,

(令〃(b)=b-ln2b,貝IJ〃'(Z>)=］一1>0,//(/>)>//(I)=1-In2>0)

h

所以G(x)=g(x)-b在飄。上存在且只存在1個零點，設(shè)為.碼,在。,+8)上存在且只存在1

個零點，設(shè)為七.

再次，證明存在力，使得%二%:

因為“(毛)=<7(玉)=0，所以/>=*-X?=玉-InXj,

若x2=%,則浮一/二匕-1|1七，即十一2%+出玉=0，

所以只需證明"-2x+lnx=0在(0,1)上有解即可，

即K0=e-2x+hix在儂0上有零點,

因為屋■)=，-4-3<0，9(l)=e-2>0,

所以奴x)=e'-2x+lnx在苑1)上存在專點，取,零點為,兩，令!=再=/即可，

此時取力

則此時存在直線yuA，其與兩條曲線J=/(X)和》二以七)共有三個不同的交點，

最后證明玉+X4=2x0,即從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，

因為F(x,)=g)=F(x0)=0=G(z)=3%)=GM

所以/==尸(InQ

又因為*(x)在(-oo,0)上單調(diào)遞減，X,<0,0<x0<WInx0<0,所以玉二lnxo，

同理,因為尸(4)=G(*)=G(X4)，

又因為G(x)在｛(十旗j上單調(diào)遞增，/>0即/》卜演為1，所以七二1,

又因為e"-2x0+Inx0=0?所以X)+x《=e"+lnx0=2x0，

即直線￥=%與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

裔考微學(xué)

y

變式8.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=ar(l-lnx)和g(x)=等有相同的最

大值，并且曲二e.

⑴求a,Z>；

(2)證明：存在直線了W南，其與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，且從

左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.

【解析】(1)/'(x)=a(l-lnx)+oxH=-alnx,XG(0,+OO).

若Q<0,則x￡((),l)時/。)<0,XC(1J8)時八x)>0.

所以/(X)在定義域內(nèi)先減后增，無最大值.

若可=辦則/(x)=0,最大值為0,但不滿足而二e.

若。>0，令，(x)=O,得x=l.

當(dāng)0<x<l時/中)>0,/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；

當(dāng)?shù)陬篒時，(力<0,/(?在(1,+8)上單調(diào)遞減.

所以x=l時/(x)取得最大值，最大值為/(l)=a

xe(o收)

若b<0，則xc(0,e)時gr(x)<0,xe(e,+8)時gr(x)>0.

所以g(x)在定義域內(nèi)先減后增，無最大值.

若辦二0,則g(x)=0,最大值為0,但不滿足而二e.

若人>0,令g'(x)=0,得怎匕翻

當(dāng)0<x<e時,gf(x)>0-g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增：

裔考微學(xué)

y

當(dāng)X＞e時,gz(x)＜0,g(x)在(e,+8)上單調(diào)遞減.

所以x二e時g(x)取得最大值，最大值為g(c)=±

e

ah=ef1

b，解得I：.

a-—[o=e

(2)由I(1)知：/(x)=x(l—Inx)在(0,1)匕單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

g(x)=萼在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+?)上單調(diào)遞減，且/卜)皿=8卜)-=1,f(x)

有唯一的零點c,g(x)有唯一的零點1.

它們的大致圖像如圖所示，設(shè)曲線/(x)與g(x)在上交于點4

當(dāng)直線￥二為經(jīng)過點力時，直線要二套與曲線/(x)還有另一個交點4,

設(shè)8(X,A),A(x?k),xf,不妨設(shè)直線y二無與曲線g(x)還有另一個交點C(x7),

eln—eln—

則玉(l—lnxJ=X2(1Tnx2)=h則xjn：=2,故—L=2①，同理得一^_=左②，

玉乙

由①?知，三與二是直線第=忐與曲線g(x)交點的橫坐標(biāo)，故。是存在的.

畫感

「門elnx,elnx,.,ee

因為不＜々且—~=一二~=卜,所以一＞一,又X＜匕，

所以￡=々，里門期，從而有后二毛玉，故結(jié)論成立.

X2%

變式9.(2024?江蘇常州?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)〃力=士和廉司二乜㈣有相同

ex

的最大值.

⑴求實數(shù)詢的值；

(2)證明：存在直線產(chǎn)f叫其與兩曲線y=/(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，并且從左

裔考微學(xué)

y

到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.

-me^x1-mx

【解析】(1)/(x)=

e-2mxe-血

當(dāng)mVOW,/(力顯然無最小值，舍去.

當(dāng)加>0時，令/'(%)=0=>工=’,/(同在(-%、)上單調(diào)遞增:

上單調(diào)遞減;

1

1

=唐w=L'

1股eme

xx-“(叫二1，(叫,易知心0令g")=0=>e

x=-

g")二m

x

當(dāng)o<x<￡時，g[x)>o,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>￡時，g'(x)vO,g(x)單調(diào)遞減;

m

,、(\mm1.

???g(x)a=g\—=-=-,?■?—=—=>m=l

\m)eeeme

m

(2)/(X)在(roj)單調(diào)潴增；(1,+8)上單調(diào)遞減；「./(x)1Mx=/(l)=L

e

g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增：(e,+8)上單調(diào)遞減：

???g(x)a=g(e)=-,/.F(x)=4--

eex

當(dāng)xe(0,l］時,?(x)>0：當(dāng)xc(l,e］時，"(x)在@出」一單調(diào)遞減;

v^(l)=->0,?(e)=4--<0.

*(x)在(l,e)上有唯一的零點鼻

YInx

當(dāng)工>e時，F(xiàn)(X)=4vO,尸(x)無零點.

ex

綜上，存在唯一的理￡。曾)使尸(玉))=0,

即/(X)與g(x)有唯一的交點卜0，/。0))，

令〃=/(X。)=g(X。)，構(gòu)造“(X)=/(X)-f(x0),

顯然p(x)與/(X)單調(diào)性相同，且&0)=-±<0/(1)=1-3>(),.?.//(X)在(0,1)上有一

個零點不，另一個零點為端,

裔考微學(xué)

y

構(gòu)造G(x)=g(x)-g(x°bG(x)與g(x)單調(diào)性相同,

..(\2>

且G(e)」一些>0,G工<0,

ex。^InxJJ

((丫、

，G(x)一個零點為遍，另一個零點x2we,魯.

Ig)

故存在直線5=用勺7=/卜)和y=g(x)共有三個不同的交點玉多/2(演</<工2)，.

且由^二年=詈，而°<不<1，0<1叫<1有/(X)在相◎單調(diào)遞增：/(xj=/0nx.)

二〉引bi%

且由今=g=悟"，而%>1,1期2>1，由/(X)在0,+00)上單調(diào)遞減；，

ex?e

/(x0)=/(lnr2),

.1x.Inx,xx02

.?.%二|叱,.?.由心=--=>—=—=>v2=x0,

e'ZX。％

.?.從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.

題型四：利用同構(gòu)解決不等式恒成立問題

例8.(2024?全國?高三專題練習(xí))完成下列各問

(1)己知函數(shù)/(x)=xe'-a(x+lnx),若/(x)NO恒成立，則實數(shù)〃的取值范圍是

______9*

(2)已知函數(shù)/(x"*-a(x+hu+l),若/(力之0恒成立，則正數(shù)〃的取值范圍是

______9*

(3)已知函數(shù)/(x)=xe'+e-a(x+lnx+l),若/(x)N0恒成立，則正數(shù)〃的取值范圍是

______5

(4)已知不等式》?“-。("1)之時對任意正數(shù)工恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是

______9*

(5)已知函數(shù)/(x)=連，_4山7-1('>1),其中力>0,若/(x”0恒成立，則實數(shù)〃

與b的大小關(guān)系是；

(6)已知函數(shù)/(x)-hur-l,若/(x)、。恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是:

裔考微學(xué)

y

(7)已知函數(shù)若/(x)20恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是

(8)已知不等式音-12去+1叭，對Vxe(O,+8)恒成立，則k的最大值為

(9)若不等式or+xeR-liu-120對X〉0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是；

【答案】0?a?e；0<a<l：0<6f<e：面修］：a<b\

c

a>-；e-1:族三L.

ee

【解析】解析：