2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之挑戰(zhàn)壓軸題（解答題）：圖形的旋轉(zhuǎn)（10題）

一.解答題（共10小題）

1.（2025?青山區(qū)模擬）如圖是由小正方形組成的9X6網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫作格點(diǎn).△48C的三

個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個(gè)畫圖任務(wù)，畫圖過程用虛線表示，每個(gè)任務(wù)

的畫線不得超過三條.

（1）在圖1中，作上歷iC的角平分線交6c于點(diǎn)。；

（2）已知P是/片上一點(diǎn)，在（1）的基礎(chǔ)上，作點(diǎn)尸關(guān)于力。的對稱點(diǎn)。；

（3）在圖2中，畫線段交4C于點(diǎn)使平分△力8。的面積；

（4）在（3）的基礎(chǔ)上，將點(diǎn)必以點(diǎn)8為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，取旋轉(zhuǎn)角等于N4BC,而出旋轉(zhuǎn)后的

點(diǎn)N.

如圖，在中，48c=90°,AB=BC,尸是直線NC上的一動(dòng)點(diǎn)，將線段8P繞點(diǎn)?逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90°得到PQ.

【操作判斷】

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)。重合時(shí)，連接6。，根據(jù)題意，在圖1中畫出夕。，BD,圖中囚邊形川義）。

的形狀是.

【問題探究】

（2）當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)4C都不重合時(shí)，連接。C,試猜想。。與的位置關(guān)系，并利用圖2證明你的猜

想.

【拓展延伸】

（3）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)兒C都不重合時(shí)，若48=6,AP=5,求。。的長.

1)

AC(P)ARA

B

圖1圖2備用圖

3.(2025春?成都校級月考)。是等邊三角形,點(diǎn)。為線段3C上任意一點(diǎn)，連接力O,E為直線

上一點(diǎn).

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)力為8c中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)七在邊上，連接若力E=l,BE=3,求QE的長;

(2)如圖2,若點(diǎn)E為48延長線上一點(diǎn)，且8￡=CZ),點(diǎn)尸為C8延長線上一點(diǎn)，且/E4D=60°.猜

想線段IEEF,月。之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想：

(3)如圖3,在(1)的條件下，M為線段力。上一點(diǎn)，連接ME,將線段ME繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。

得到線段EM連接A/N.求6N+DM的最小值.

4.(2025春?沐陽縣校級期中)如圖，已知△/8C的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為力(-2,3),4(-3,2),C

(-1,1).

(1)將△48C關(guān)于O點(diǎn)中心對稱，試作出對稱后的△力iSCi，并寫出點(diǎn)力?的坐標(biāo)

(2)在)，軸上找一點(diǎn)〃，使M4+M8最小，在圖中標(biāo)出點(diǎn)M：

5.(2025春?吳江區(qū)月考)如圖，在△XB。中，AB=AC,N8/lC=a,點(diǎn)。是直線8C上一點(diǎn)，連接力。,

將線段4?繞點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段力石，連接CK,DE.

(1)如圖①，當(dāng)a=60°,且點(diǎn)。在線段8C上時(shí)，線段8。和CE之間的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖②，當(dāng)a=9()。，H點(diǎn)。在線段4c上時(shí)，猜想線段80、CD、。石之間的數(shù)量關(guān)系，并加以

6.(2025春?大連月考)如圖，△/AC和△OCE都是等腰直角三角形，其中N4C8=NQCE=90°,AC

=BC,DC=EC,△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn).

(1)如圖1,當(dāng)在△4C8的外部時(shí)，連接力應(yīng)8。交于點(diǎn)。，求證：AO2+BO2=AB2；

(2)如圖2,當(dāng)△CQE旋轉(zhuǎn)到頂點(diǎn)。在△XB。的內(nèi)部時(shí)，連接力。，BD，若/力7)。=135°,求證：

AD2+2CD2=BD2；

(3)若4C=BC=5,DC=EC=4,繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)N4C￡=15°時(shí)，直線?！昱c直

線AC交于點(diǎn)F.

①如圖3,當(dāng)C'E在△力的外側(cè)時(shí)，求/尸的長；

②如圖4,當(dāng)CE在△AC8的內(nèi)部時(shí)，直接寫出/尸的長.

7.(2025?濟(jì)寧一模)如圖，△力8。中，力(1,?3)、C(4,-3).

(1)△山小。是關(guān)于y軸的對稱圖形，則點(diǎn)A的對稱點(diǎn)小的坐標(biāo)足；

(2)將△48C繞點(diǎn)(0,1)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△加&Q，則8點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)歷的坐標(biāo)是

(3)△力山C】與△血比臼是否關(guān)于某條直線成軸對稱？若成軸對稱，則對稱軸的解析式

是.

（3）如圖n,在（2）的條件下，若點(diǎn)P是射線8'￡1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△力夕P沿力尸翻折，得△48''

P，連接夕'。.設(shè)tanN4Z）8''=m,在點(diǎn)尸從點(diǎn),出發(fā)沿射線4,E方向運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)m

取得最大值時(shí)，解決下列問題:

①求夕'。的長;

②直接寫出夕P的長.

【問題拓展】

（4）如圖IH,在（3）的條件下，延長D4至點(diǎn)M使力N=B'P,連接8''N.問在點(diǎn)尸從點(diǎn)8,出

發(fā)沿射線4'E方向運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在以4P,B',N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請

直接寫出4,。的長：若不存在，請說明理由.

10.（2025?東莞市校級模擬）綜合與實(shí)踐.

【主題】用三角形紙片折菱形.

【素材】一張銳角三角形紙片/4C,如圖1.

【要求】以三角形的一個(gè)內(nèi)角作為菱形的一個(gè)內(nèi)角.

【實(shí)踐操作】步驟1：如圖2折疊三角形紙片48C,使48邊和/。邊重合，折痕與原月C相交于點(diǎn)C；

步驟2：如圖3,繼續(xù)折疊折痕力。，使頂點(diǎn)/落到折痕上的點(diǎn)〃處，折痕與原力。相交于點(diǎn)尸；

步驟3：如圖4,展開三角形紙片，兩次折痕力。，E/7相交于點(diǎn)0,連接HF.

【證明計(jì)算】

（1）如圖4,求證：四邊形力￡7"是菱形；

（2）若/也=3,BC=AC=4,以/力為菱形的一個(gè)內(nèi)角，如何折菱形，才能折出一個(gè)面積最大的菱形？

當(dāng)菱形面積最大時(shí)，求菱形的邊長.

圖1圖2圖3圖4

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之挑戰(zhàn)壓軸題（解答題）：圖形的旋轉(zhuǎn)（10題）

參考答案與試題解析

一.解答題（共10小題）

1.（2025?青山區(qū)模擬）如圖是由小正方形組成的9X6網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫作格點(diǎn).△48C的三

個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個(gè)畫圖任務(wù)，畫圖過程用虛線表示，每個(gè)任務(wù)

的畫線不得超過三條.

（1）在圖1中，作NA4c的角平分線交4c于點(diǎn)力：

（2）已知P是上一點(diǎn)，在（1）的基礎(chǔ)上，作點(diǎn)?關(guān)于的對稱點(diǎn)。；

（3）在圖2中，畫線段8M交/C于點(diǎn)"，使平分△X8C的面積；

（4）在（3）的基礎(chǔ)上，將點(diǎn)”以點(diǎn)8為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，取旋轉(zhuǎn)先等于//8C,畫出旋轉(zhuǎn)后的

【考點(diǎn)】作圖-旋轉(zhuǎn)變換；角平分線的定義；三角形的角平分線、中線和高；作圖-軸對稱變換.

【專題】作圖題；幾何直觀.

【答案】見解析.

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義畫出圖形；

（2）如圖1中，在力。上取格點(diǎn)7,連接PT交力。于點(diǎn)/連接4./,延長8/交4C于點(diǎn)。，點(diǎn)。即

為所求；

（3）如圖2中，取力C的中點(diǎn)連接8M即可；

（4）取格點(diǎn)兀J,連接47,TJ,取格點(diǎn)Q,連接E。交7V于點(diǎn)于點(diǎn)N,連接8N即可（可以證明

可得結(jié)論）.

【解答】解：（1）如圖1中，射線即為所求；

（2）如圖1中，點(diǎn)。即為所求；

（3）如圖2中，線段8M即為所求；

（4）如圖2中，線段即為所求.

【點(diǎn)評】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，軸對稱變換，三角形的角平分線，中線和高，角平分線的性質(zhì)，解

題的關(guān)健是理解題意，學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題.

2.（2025?關(guān)嶺縣一模）綜合與探究

如圖，在中，4BC=90°,AB=BC,尸是直線/C上的一動(dòng)點(diǎn)，將線段8P繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90°得到PZ）.

【操作判斷】

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)。重合時(shí)，連接4。，根據(jù)題意，在圖1中畫出P。，BD,圖中四邊形川

的形狀是平行四邊形.

【問題探究】

（2）當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)/,C都不重合時(shí)，連接。C,試猜想。。與8C的位置關(guān)系，并利用圖2證明你的猜

想.

【拓展延伸】

（3）當(dāng)點(diǎn)、P與點(diǎn)A,C都不重合時(shí)，若48=6,AP=5,求CO的長.

【考點(diǎn)】幾何變換綜合題.

【專題】幾何綜合題：推理能力.

【答案】（1）平行四邊形；（2）QC_L8C,證明見解析；（3）5痘±6.

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得6=。，ZZ?CD=90°,進(jìn)而可得力8=8,A8//CD,即可求解;

（2）證明四邊形仍CQ是矩形即可求證；

（3）分點(diǎn)尸在點(diǎn)/I右側(cè)和左側(cè)兩種情況，分別畫出圖形解答即可求解.

VZ/1^C=90°,AB=BC,

工/BCD=NABC,AB=CD,

:?AB〃CD,

???四邊形力8。。是平行四邊形，

故答案為：平行四邊形：

（2）解：DCLBC,證明如下：

如圖2,過點(diǎn)尸作尸EJ_/C交/夕于點(diǎn)已連接E。，則N，PK=90°,

圖2

VZABC=90,AB=BC,

：.ZBAC=ZBCA=45°,

：.ZBAC=ZAEP=45°,

；?AP=EP,

???將線段，〃繞點(diǎn)『逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到ZY>,

:.PD=PB,

VZAPE=ZBPD=90°,

/.N4PE+NEPB=NBPD+/EPB,即NAPB=4EPD,

在△?!08和△￡/>/）中，

PA=PE

AAPB=乙EPD,

PH=PD

:.4APB沿AEPD(SAS),

：?NPAE=NPED=45°,AB=ED,

：?NAED=NAEP+NPED=450+45°=90

AZAED=ZABC=9()°,

:.ED//BC,

?:AB=BC,

：,ED=BC,

???四邊形E8CZ)是平行四邊形，

???乙48。=90°,

???四邊形E4CQ是矩形，

：?NBCD=90°,

:?DCLBC；

(3)解：VZ^C=45°,PE1.AC,

是等腰直角三角形，

:,AE=gP=5?,

當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)4右側(cè)時(shí)，如圖，

由（2）可知，四邊形E8CO是矩形，

：,AB=AE-BE=AE-8=5,反一CD,

,:AB=6,6=5^2-CD,

：.CD=5V2-6；

當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)彳的左側(cè)時(shí)，如圖，

B

同理可得AB=BE-AE=CD-5近，

A6=CD-5V2,

ACD=5V2+6；

綜上，CD的長為5a±6.

【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，矩形的判定和性質(zhì)，全

等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

3.（2025春?成都校級月考）△/18C是等邊三角形，點(diǎn)。為線段8C上任意一點(diǎn)，連接力。，E為直線48

上一點(diǎn).

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)。為8。中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)￡在月3邊上，連接。若4E=1,BE=3,求QE的長；

（2）如圖2,若點(diǎn)￡為力4延長線上一點(diǎn)，且點(diǎn)尸為C4延長線上一點(diǎn)，且NE4D=60°.猜

想線段力凡EF,力。之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（3）如圖3,在（I）的條件下，M為線段力。上一點(diǎn)，連接歷凡將線段繞點(diǎn)石順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°

得到線段EM連接求E/V+DV的最小值.

【考點(diǎn)】幾何變換綜合題.

【專題】綜合題：壓軸題；幾何圖形：運(yùn)算能力；推理能力；創(chuàng)新意識.

【答案】（1）近；（2）AF=AD^EF,理由見詳解；（3）8N4ON的最小值為2，5.

【分析】⑴過點(diǎn)E作所_“。于尸，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到H8C,^BAD=^BAC=30°,

利用直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求得力凡EF、AD,進(jìn)而求得。凡然后利用勾股定理求解即可；

（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等二角形的判定與性質(zhì)分力J證明和△PH&AEW「得

到）=）即可得出結(jié)論；

（3）在4C上截取/G=/E=l,連接EG,則是等邊三角形，證明△/EMg/SGEN得到/E4W

=NEGN=30°,AM=GN,進(jìn)而GN_L/C,則點(diǎn)N在過點(diǎn)G且垂直于力C的直線/上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)8關(guān)

于直線/的對稱點(diǎn)8,，連接夕力交直線/于N,交力8于打，連接8夕交直線/于O,比時(shí)8N+ON

=BN'+DN=B'。的值最小，延長C8,交直線/于點(diǎn)K,連接8'K,過點(diǎn)過點(diǎn)8'作8'J_LCK于

點(diǎn)、J,證明1K為等邊三角形，得出8夕=BK=2,根據(jù)勾股定理求出-8尸二遍,

DB7=]8乃+以2=26即可得出答案.

【解答】解：（1）過點(diǎn)￡作即J?力。于扛如圖，

：.AB=AE+BE=4,

???△48。為等邊三角形，

：.AB=BC=AC=4,

???△〃“?是等邊三角形，點(diǎn)。為4C中點(diǎn)，

：.ADLBC,Z.BAD=^Z-BAC=30°,BD=CD=2,

：.AD=y/AB2-BD2=2?

TN4產(chǎn)E=90°,ZEAF=W,

EF=

：.AF=yJAE2-EF2=^-,

：,DF=AD-AF=^-,

：.DE=y/EF2+DF2=出/+(竽)2=小

(2)AF=AD+EF,理由如下：

在力”上截取力P=4。，連接8P,

A

：.AB=AC,ZABC=ZBAC=ZC=60°,

由條件可知N%8=NO=60°-/BAD,

：,/\PAB^^DAC(SAS),

:?BP=CD,/ABP=/C=6C°,

:?/PBF=6C,

，/PBF=NABC=/EBF,

'：BE=CD,

：?BP=BE,

又BF=BF.

:.△PBF/4EBF(SAS),

:?PF=EF,

：?AF=AP+PF=AD+EF；

(3)在/C上截取/G=4f=l,連接EG,

ZEAG=60o,

△AEG是等邊三角形,

AZAEG=ZAGE=6QQ,AE=EG,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知EA/=EM/MEN=60；

:?/AEM=/GEN=60°+NGEM,

MAEMWAGEN(SAS),

:?NEAM=NEGN=30°,AM=GN,

：?NAGN=NAGE+NEGN=%°,

HPGNA.AC,

???點(diǎn)N在過點(diǎn)G且垂直于彳C的直線/上運(yùn)動(dòng)，

作點(diǎn)4關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)8,，連接8'D交直線I于N,交AB于H,連接88'交直線/于0,則

ZNOB=ZNOB'=90。，OB=OB',BN=B'N,此時(shí)8N+ON=8N'+DN=B'。的值最小，

如圖，延長C&交直線/于點(diǎn)K,連接夕K,過點(diǎn)過點(diǎn)夕作"J上CK于點(diǎn)、J,

；4C=4,AG=AE=\,

:?CG=3,

???NCGK=90°,NGCK=60°,

???/CKG=30°,

:?CK=2CG=6,

：.BK=CK-BC=2,

根據(jù)軸對稱可知：N8'KO=NBKO=32°,KOA.BB',

:.NKRO=60°,N?KB=60°,

K為等邊三角形，

:.BB'=BK=2,

由條件可得8/=2BK=1,

,:DJ=DB+BJ=3,

???。8'=JB儼+印=2代,

即BN+DN的最小值為2百.

【點(diǎn)評】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等腰三

角形的性質(zhì)、利用軸對稱求最短路徑問題等知識，綜合性強(qiáng)，難度較大，熟練掌握相關(guān)知識與聯(lián)系，并

添加輔助線構(gòu)造等邊三角形和全等三角形是解答的關(guān)鍵.

4.(2025春?沐陽縣校級期中)婦圖，已知△/8C的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為/(-2,3),B(-3,2),C

(-1,1).

(1)將△48。關(guān)于。點(diǎn)中心對稱，試作出對稱后的△力歸Ci，并寫出點(diǎn)小的坐標(biāo)(2,-3):

(2)在y軸上找一點(diǎn)使MA+MB最小，在圖中標(biāo)出點(diǎn)M；

【考點(diǎn)】作圖-旋轉(zhuǎn)變換；軸對稱-最短路線問題.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；兒何直觀；應(yīng)用意識.

【答案】(I)(2,-3)：

(2)見解析；

(3)10.

【分析】(1)先求出小(2,-3)、B\(3,-2)、Ci(1,-1),再描點(diǎn)作圖；

(2)作力點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)連接44交y軸于點(diǎn)即時(shí)為所求；

(3)四邊形48出以為矩形，用勾股定理求出此矩形的長與寬，再計(jì)算面積即可.

【解答】解：(1)(-2,3),8(-3,2),C(-1,1),

把4B、。三個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱后的點(diǎn)依次為4(2,-3)、叢(3,?2)、Ci(1,-1).

如圖1所示，

w

故答案為：（2,-3）；

（2）作力點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)H,連接H4交y軸于點(diǎn)",

（3）連接8小，AB\,如圖3所示,

可得四邊形力助閏為矩形，矩形的寬=

矩形的長為AB\=V52+52=5V2,

則S四邊形ABA\B\=AB*AB\=x/2-572=10.

【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)的對稱規(guī)律，軸對稱最短路徑問題，勾股定理，矩形的面積公式，熟練掌握以上

內(nèi)容是解題關(guān)鍵.

5.(2025春?吳江區(qū)月考)如圖，在中，AB=AC,ZBAC=a,點(diǎn)。是直線8c上一點(diǎn)，連接4。,

將線段力。繞點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段4E,連接CE,DE.

(1)如圖①，當(dāng)a=60°,且點(diǎn)。在線段AC上時(shí)，線段4。和CE之間的數(shù)量關(guān)系是BD=CE；

(2)如圖②，當(dāng)a=90°,且點(diǎn)。在線段8C上時(shí)，，猜想線段80、CD、OE之間的數(shù)量關(guān)系，并加以

圖②

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理.

【專題】圖形的全等；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱：幾何直觀.

【答案】(1)BD=CE.

(2)BD2+CD2=DE2,證明見解答.

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)得，AD=AE,ND4E=NBAC=60°,可得N4/O=NC/E,可證明

ACE,即可得8O=C￡

(2)由題意得，/B=/BCA=45：證明△彳8。g△力CE,可得N8=NXCE=45°,BD=CE,則N

DCE=ZDCA+ZACE=90°.在RtaCQE中，由勾股定理得，。產(chǎn)+0。2=。七2,即

【解答】解：(1)???將線段XD繞點(diǎn)I逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段力￡

：.AD=AE,NDAE=NBAC=60°,

:?NBAD=NCAE,

在△48。與△4CE中，

AB=AC

Z.BAD=Z.CAEJ

AD=AE

:.AABD坦4ACE(SAS),

:.BD=CE.

故答案為：BD=CE.

(2)BD2+CD2=DE2.

證明：'：AB=AC,/比1C=9D°,

：.ZB=ZBCA=45°.

由旋轉(zhuǎn)得，AD=AE,ZDAE=ZBAC=90°,

:?/BAD=/CAE,

在△48。與△力CE中，

AB=AC

乙BAD=Z.CAEt

AD=AE

：,/\ABD^^ACE(S/S),

：.ZB=ZACE=45°,BD=CE,

：?NDCE=/DCA+/ACE=90°.

在RtZ\CZ)￡中，由勾股定理得，C￡2+CZ)2=OE2,

:?B0\CD1=DE1.

【點(diǎn)評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角

形的判定與性質(zhì)、勾股定理是解答本題的關(guān)鍵.

6.(2025春?大連月考)如圖，ZX/IB。和△OCE都是等腰直角三角形，其中N4C8=NOCE=90°,AC

=BC,DC=EC,繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn).

222

(1)如圖1,當(dāng)在△/1C8的外部時(shí)，連接5。交于點(diǎn)。，求證：AO+BO=ABi

(2)如圖2,當(dāng)△COE旋轉(zhuǎn)到頂點(diǎn)。在△/18C的內(nèi)部時(shí)，連接力。，BD,若/力。C=135",求證：

力。2+2。'。2=8。2；

(3)若4C=8C=5,DC=EC=4,繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)N4C￡=15°時(shí)，直線。￡與直

線AC交于點(diǎn)?

①如圖3,當(dāng)CE在△力的外側(cè)時(shí)，求力/的長；

②如圖4,當(dāng)CE在△力C8的內(nèi)部時(shí)，直接寫出/尸的長.

【考點(diǎn)】幾何變換綜合題.

【專題】幾何綜合題：運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】(1)證明見解析；

(2)見解析；

15-4連

(3)---；

(4)4V2-5.

【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到NQCE+N4CD=N/JC8+N4CQ,求得N/1CE=NBCD,

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NC4E=NC8。，求得N/O8=9()°,根據(jù)勾股定理得到

(2)如圖2,連接8E,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到/ZCE=N8CZ),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到

AE=BD,求得DE=&CD,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；

(3)過。作C〃J_QE于〃，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到NO=NE=45°,求得NQ#'C=180°-

75°-45°=60°,得到NQC〃=NO=45°,求得%。=2企，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)

論；

(4)過C作CHLDE于H,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到NO=NCEO=45°,Z￡CW=45°.求

得NHb=60°,得到?！?￡〃=%力=2企，根據(jù)直角三侑形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：???△//AC和都是等腰直角三角形，NACB=NDCE=9(1°,

，NDCE+NACD=N4CB+N4CD,

???NACE=NBCD,

,:BC=AC,EC=DC,

:.△ACE9ABCD(SAS),

:.NCAE=NCBD,

*：NC4B+NABC=NCAB+/ABO+NCBO=NCAB+NABO+NCAO=N4BO+NOAB=90°,

:?NAOB=90°,

：,A()1+BO2=AB2；

(2)證明：如圖2,連接8E,

???△力8c和△OCE都是等腰直角三角形，N4CB=NDCE=90°,

：.NDCE-NACD=ZACB-ZACD,

???NACE=NBCD,

'：BC=AC,EC=DC,

:?△ACEB4BCD(SAS),

:?AE=BD,

'：ZDCE=W,CE=CD,

:.DE=V2CD,

■:NADE=NCDA-NCDE=135°-45°=90°,

：,AD2+DE2=AE2,

：.AD2+2CD2=BD2X

(3)解：過C作CHLDE于H,

VZACB=ZDCE=90°,AC=BC,DC=EC,

，ND=NE=45°,

VZJCE=I5°,

AZDCF=75°,

.\ZDFC=180°-75°-45°=60°,

CHIDF,

:?/DHC=/CHF=90°,

：,ZDCH=ZD=45°,

：.CH=DH=竽CO=2a,

VZFC//=30°,

：,CF=2FH,

VC?2=?H2+C772,

,1.>

ACF2=(-CF)2+8,

..CF=—

.,廠_,，L15—4x/6

?.AF—A4Bn-Cr=----------;

(4)解：過C作CHLDE于H,

(圖4)

?；N4CB=NDCE=90°,AC=BC,DC=EC,

:?/D=/CED=45°,NECH=45°.

VZACE=\50,

；?NHCF=60",

VCHIDF,

:?/CHF=90°,

：,CH=EH=苧。E=2或，

VZFC/7=60°,

:,CF=2CH=A五,

JC=4V2-5.

【點(diǎn)評】本題是幾何變換的綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全

等三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

7.（2025?濟(jì)寧一模）如圖，△/3。中，力（1,-1）、8（1,-3）、C（4,-3）.

（1）△/I181C1是關(guān)于y軸的對稱圖形，則點(diǎn)力的對稱點(diǎn)小的坐標(biāo)是（-1,-1）;

（2）將△力BC繞點(diǎn)（0,1）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△加42。2，則B點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)B?的坐標(biāo)是一（4,

n；

（3）△小歷。與△血&C2是否關(guān)于某條直線成軸對稱？若成軸對稱，則對稱軸的解析式與/=-

【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)；坐標(biāo)與圖形變化-對稱.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)及關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征解答即可.

（2）利用網(wǎng)格，將圖形旋轉(zhuǎn)90°,即可得到取的坐標(biāo).

（3）連接△出81a與△/2&C2的對應(yīng)點(diǎn)，對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線即為所求直線.

【解答】解：（1）由圖可知，A的對應(yīng)點(diǎn)小的坐標(biāo)為（-1,-1）.

故答案為：（-1,-1）.

（3）由圖可見，直線過（0,1）和（1,0）,

設(shè)函數(shù)解析式為7=去+方，

將（0,1）和（1,0）分別代入解析式得，

（k+b=0

U=1'

解得kJ

故的函數(shù)解析式為y=

故答案為：y=-x+\.

（3）

【點(diǎn)評】此題考查了坐標(biāo)變化旋轉(zhuǎn)與對稱，作出圖形，根據(jù)對稱與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找到關(guān)鍵點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

8.（2025?武漢模擬）如圖是由小正方形組成的10X6網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，△力8c的三

個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，僅用無刻度直尺在給定的網(wǎng)格中完成下列四個(gè)作圖任務(wù)，每個(gè)任務(wù)的畫線不得超過三

條.

（1）在圖（1）中，將線段84繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°得到線段CO（其中點(diǎn)8與點(diǎn)C對應(yīng)），畫出線段

CD.

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，CD交AB與點(diǎn)、E,在圖（1）的線段力C上取點(diǎn)使得8c.

（3）在圖（2）中，。是邊8c上一點(diǎn)，先將84繞著點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)N4BC的度數(shù)，得到線段8凡畫

出線段4P.

（4）在圖（2）的基礎(chǔ)上，在線段4A上取點(diǎn)。，使得

【考點(diǎn)】作圖■旋轉(zhuǎn)變換；平行線分線段成比例；平行線的判定與性質(zhì)；作圖■軸對稱變換.

【專題】作圖題：幾何直觀.

【答案】見解析.

【分析】（1）旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)O,作出線段即可；

（2）取格點(diǎn)K,Q,P,連接8K,PQ交于點(diǎn)、J,作射線4交彳。于點(diǎn)M,線段即為所求；

（3）取格點(diǎn)K,作射線CK,取格點(diǎn)＜7,L,連接〃交CK于點(diǎn)R,作射線8R取格點(diǎn)7,憶作射線

wr交BR于點(diǎn)、F,線段8Q即為所求.連接尸R交48于點(diǎn)M作射線CN交8廠于點(diǎn)連接PM交

力占于點(diǎn)。，線段。。即為所求.

【解答】解：（1）如圖1中，線段CD即為所求；

（2）如圖1中，線段EW即為所求；

圖1

（3）如圖2中，線段8戶即為所求;

圖2

（4）如圖2中，線段尸。即為所求.

【點(diǎn)評】本題考查作圖■旋轉(zhuǎn)變換，平行線的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，軸對稱變換的性

質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識解決問題.

9.（2025?張店區(qū)一模）綜合與實(shí)踐:

【實(shí)踐操作】

（1）如圖/,將矩形48C。對折，使彳。與8c重合，得到折痕斯，展開后再一次折疊，使點(diǎn)8落在

EF上的點(diǎn)B'處，并使得折痕經(jīng)過點(diǎn)兒得到折痕4M.

【問題提出】

（2）在（1）的條件下，已知力8=4,力。=8,求OW的長.

【問題探究】

（3）如圖II,在（2）的條件下，若點(diǎn)P是射線配E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△/夕夕沿4P翻折，得△48''

P,連接夕'D.設(shè)tan/4Z）夕'=〃?，在點(diǎn)P從點(diǎn)夕出發(fā)沿射線夕上方向運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)機(jī)

取得最大值時(shí)，解決下列問題：

①求夕'。的長:

②直接寫出8,尸的長.

【問題拓展】

（4）如圖III,在（3）的條件下，延長。力至點(diǎn)M使力N=B'尸，連接8,'N.問在點(diǎn)P從點(diǎn)夕出

發(fā)沿射線夕￡方向運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在以4P,B''，N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請

直接寫出"P的長；若不存在，請說明理由.

圖II

【考點(diǎn)】幾何變換綜合題.

【專題】展開與折疊；推理能力.

-竽

【答案】(2)8

(3)①4百；②28一2.

(4)2V3.

【分析】（2）先根據(jù)折疊圖形的軸對稱性質(zhì)判定△/夕8是等邊三角形,并求出N8/A/=30°,再由

三角函數(shù)求出BM的長度，進(jìn)而得到CM的長度.

（3）①先判定點(diǎn)4"的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)〃，取最大值時(shí)確定，4夕'VB"D,在Rt△力QZT中由勾股定理

求得ZT。的長度:

②根據(jù)①的結(jié)論求出N8"4。=6（）°,然后折疊的性質(zhì)求得NR1E=45°,結(jié)合三角函數(shù)由"P=B'

E-尸石求出結(jié)果.

（4）如（3）中圖示，判定點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，A,P,"',N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，此時(shí)夕P

=8'?sin60°,即可求出答案.

根據(jù)折疊圖形的軸對稱性質(zhì)易得：BB'=AB'=AB,△48'8是等邊三角形，ZBAM=yZBAB,

30

473

???BM=43?lan30°二芋.

故CM=BC-BM=8-隼.

(3)①如圖，當(dāng)點(diǎn)尸在射線8'E上時(shí)，點(diǎn)8〃的軌跡在以點(diǎn)力為圓心48為半徑的Be〃上，N8'

AD=NHAD.

BC

\rNAXD

\、

2

當(dāng)點(diǎn)4到。8"的距離d等于。月的半徑43時(shí)，d取最大值.此時(shí)如丁'IB"D.

4/?〃ARf/

在中，〃?=tanN力。8"=生=、.

BDJADZ-AB”

當(dāng)m取最大值時(shí)，力夕'取得最大值A(chǔ)B=4.

B"D=>/AD2-AB2=4A/3.

②由①知cos/夕4)=槳?jiǎng)t/夕4)=60°,

/IU/

：?4B'AB"=/B"AD+/B4B'-N切。=30°.

根據(jù)折疊的性質(zhì)，力產(chǎn)平分N8'AB",^PAB'=15°.

：.ZPAE=60°-15°=45°.

:?B'P=B'￡-PE=JE*tan60°FE?tan450(V3-I)=273-2.

(4)如(3)中圖示，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)上時(shí)，點(diǎn)8"運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)〃，

由垂徑定理得6'E="E=AN,結(jié)合〃4N且N4NE=90°,則四邊形4T〃N為矩形.

???存在以4,，"'，N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形.

此時(shí)8'P=B,E=AB'?sin6(T=2百.

【點(diǎn)評】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識點(diǎn).熟練掌握折疊的性質(zhì)是

解答本題的關(guān)鍵.

10.(2025?東莞市校級模擬)綜合與實(shí)踐.

【主題】用三角形紙片折菱形.

【素材】一張銳角三角形紙片44C,如圖1.

【要求】以三角形的一個(gè)內(nèi)角作為菱形的一個(gè)內(nèi)角.

【實(shí)踐操作】步驟1：如圖2折疊三角形紙片使/出邊和力。邊重合，折痕與原8c相交于點(diǎn)Q：

步驟2：如圖3,繼續(xù)折疊折痕力。，使頂點(diǎn)力落到折痕上的點(diǎn)〃處，折痕與原4C相交于點(diǎn)產(chǎn)；

步驟3：如圖4,展開三角形紙片，兩次折痕力。，E尸相交于點(diǎn)O,連接/ZE,HF.

【證明計(jì)算】

（1）如圖4,求證：四邊形力￡7//是菱形；

（2）若18=3,BC=AC=4,以NX為菱形的一個(gè)內(nèi)角，如何折菱形，才能折出一個(gè)面積最大的菱形？

當(dāng)菱形面積最大時(shí)，求菱形的邊長.

【考點(diǎn)】幾何變換綜合題.

【專題】矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱：推理能力,

【答案】（1）證明見解析:

【分析】（1）由折疊可知由菱形的判定可得出結(jié)論:

（2）當(dāng)力〃最大時(shí)，菱形面枳最大，即以△48。的角平分線4。為菱形的對角線折疊時(shí)，所折疊菱形

BDAFDFABDFBD

的面積最大，證明方=-=77'ADFCs&BAC,得出77=-=77?則可得出答案.

CDCFGFACCFCD

【解答】（1）證明：由折疊可知力￡=￡〃=〃/=E〃，

???四邊形花〃尸是菱形;

（2）解：???四邊形］￡7獷是菱形,

AF.FIAH,OA=OH=^AH.OE=OF=恭凡/F.AO=/FAO=^/RAC,

11

：,OE=OA^n^EAO=

]1111111

Sifup=2/?力H=2x2x-^AHtciTi-^Z.BAC=-^AH^tCLTi-2Z-BAC<-^AD^tcm-^Z.BACt

???當(dāng)4〃最大時(shí)，菱形面積最大,

即以的角平分線力。為菱形的對角線折疊時(shí)，所折登菱形的面積最大,

如圖，

A

:"B=/CAB,

???四邊形力尸是菱形，

：,AE=DE=DF=AF,DF〃AB,DE//AC,

，NHEB=/CAB=ZB,

：.DE=BD=AF=DF=AE,

■:DF//AB,

BDAFDF

~CD='CF=~CF'ADFCs，BAC,

ABDFBD

~AC~~CF~~CD

嗚=DE

4-OE'

12

：.DE=

~7’

???菱形面積最大時(shí)，菱形的邊長方~.

【點(diǎn)評】本題屬于幾何變換綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形

的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識.

考點(diǎn)卡片

1.角平分線的定義

（I）角平分線的定義

從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線.

（2）性質(zhì)：若0。是ZAOB的平分線

則4OC=N8OC=g/AOB^ZAOB=