山東省濟(jì)南市2025年中考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題

1.下列各數(shù)中為負(fù)數(shù)的是（）

A.GB.0C.2D.-1

2.如圖是由幾個(gè)大小相同的小立方塊搭成的幾何體，其主視圖是（）

yy/

__1/

正面

A.~B.?-------------------C.--------------------D.-------------------------------

3.2025年，五一”假期，濟(jì)南市圖書館推出全民閱讀文化市集、集郵展銷等活動(dòng)，累計(jì)接待讀者96110人次,

數(shù)據(jù)96110用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.9.611X103B.96.11X103C.9.611X104D.0.961x10s

4.下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

5.下列運(yùn)算正確的是（）

A235

?m=mB.m6+加2=m3

（加之『-5

C.2m+3n=5mnD.m

6.已知。＞6,則下列不等式一定成立的是（）

—ab

A.a—1<6—1B.一<一C.-a>—bD.2a>a+b

22

7.如圖，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中,點(diǎn)4,B,C,D,￡都在網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則

下列結(jié)論正確的是（）

A.ZDAC>ZEBAB.ZDAC<ZEBA

C.ADAC=AEBAD.ZDAC+ZEBA=60°

8.某學(xué)校食堂準(zhǔn)備了4,B,C,。四種營(yíng)養(yǎng)套餐，如果小明和小亮每人隨機(jī)選擇其中一種營(yíng)養(yǎng)套餐，則他

們恰好選到同一種營(yíng)養(yǎng)套餐的概率是（）

A.yB.-C.：D.—

4323

9.如圖，在V4BC中，按如下步驟作圖：

①在C4和C2上分別截取CM,CN,使CM=CN,分別以點(diǎn)M和N為圓心，以大于〈兒加的長(zhǎng)為半徑作

弧，兩弧在Z/C3內(nèi)交于點(diǎn)。，作射線交43于點(diǎn)。，

②分別以點(diǎn)C和。為圓心，以大于;C。的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)尸和。，作直線尸。交NC于點(diǎn)E,

交BC于點(diǎn)、F.

根據(jù)以上作圖，若40=4,DB=2,BC=3五,則線段/E的長(zhǎng)為（）

C.5D.4^/2

10.已知二次函數(shù)y="+6x+c（a,6,c為常數(shù)，aW0）圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（T〃），且經(jīng)過(guò)（1,0）,（0,加）

兩點(diǎn)，3Vm<4.有下列結(jié)論：

①關(guān)于x的一元二次方程a久2+bx+c-n+1=0（a豐0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

4

②當(dāng)x>-l時(shí)，y的值隨充值的增大而減??；③

④4a-26+c>0；⑤對(duì)于任意實(shí)數(shù)f,總有(t+l)(at—a+b)WO.

以上結(jié)論正確的有()

A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

二、填空題

11.已知一個(gè)正方形的面積為2,則其邊長(zhǎng)為.

12.在一個(gè)不透明的袋中有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球和4個(gè)白球，這些球除顏色外都相同.從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，

這個(gè)球是紅球的概率為.

13.如圖，兩條直線4，6分別經(jīng)過(guò)正六邊形MCDEF的頂點(diǎn)3,C,且乙〃/”當(dāng)4=37。時(shí)，Z2=

14.A,8兩地相距100km,甲、乙兩人騎車同時(shí)分別從/,3兩地相向而行.假設(shè)他們都保持勻速行駛,

甲、乙兩人各自到/地的距離s(km)與騎車時(shí)間f(h)的關(guān)系如圖所示，則他們相遇時(shí)距離工地

15.如圖，正方形紙片23cA中，E是M上一點(diǎn)，將紙片沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)/落在C。上的點(diǎn)G

處，點(diǎn)8落在點(diǎn)〃處，折痕跖交8C于點(diǎn)？若CG=4,EF=A6，則48=

H

三、解答題

16.計(jì)算：（7T-3）O+Qj+|-5|+2sin450-V8.

17.解不等式組｛4宣:三乃9并寫出它的所有整數(shù)解.

18.已知：如圖，在平行四邊形48。中，點(diǎn)、E,尸分別在8c和40上，且/斤=CE.求證:

ZAEB=NCFD.

19.某水上樂(lè)園有兩個(gè)相鄰的水上滑梯，如圖所示，左邊滑梯的長(zhǎng)度為21m,傾斜角為40。，右邊滑梯

的高度DF為11m,傾斜角為32。，支架/C,2VF都與地面垂直，AN,MD都與地面平行，兩支架之間的

距離C尸為3m（點(diǎn)8,C,F,￡在同一條直線上）

（1）求兩滑梯的高度差;

（2）兩滑梯的底端分別為8,E,求BE的長(zhǎng).（結(jié)果精確到0.01m.參考數(shù)據(jù)：sin32°。0.530,

cos32°?0.848,tan32°?0.625,sin40°?0.643,cos40°?0.766,tan40°?0.839)

20.如圖，48是。。的直徑，C為。。上一點(diǎn)，P為。。外一點(diǎn)，OP//AC,且NOAP=90。，連接

PC.

⑴求證：PC與。。相切；

（2）若/O=3,OP=5,求/C的長(zhǎng).

21.某學(xué)校為了更好地開展學(xué)生體育活動(dòng)，組織八年級(jí)學(xué)生進(jìn)行體育測(cè)試（百分制），從中隨機(jī)抽取了部分

學(xué)生的成績(jī)（成績(jī)用無(wú)表示，單位：分），并對(duì)數(shù)據(jù)（成績(jī)）進(jìn)行整理，數(shù)據(jù)分為五組，下面給出了部分信

息:

。.抽取的學(xué)生體育測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)表和不完整的扇形統(tǒng)計(jì)圖如下:

組另U成績(jī)/分人數(shù)(頻數(shù))

A0<x<201

B20<x<405

C40<x<60m

D60<x<8016

E80<x<10020

。組的數(shù)據(jù)60,60,61,62,62,63,63,66,67,67,70,70,71,74,75,79

請(qǐng)根據(jù)以上信息完成下列問(wèn)題:

(1)求隨機(jī)抽取的學(xué)生人數(shù)；

(2)統(tǒng)計(jì)表中的機(jī)=,扇形統(tǒng)計(jì)圖中￡組所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為度；

(3)抽取的八年級(jí)學(xué)生體育測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)為分；

(4)若該校八年級(jí)共有800名學(xué)生參加了此次體育測(cè)試，請(qǐng)你估計(jì)該校八年級(jí)參加此次體育測(cè)試成績(jī)達(dá)到60

分及以上的學(xué)生人數(shù).

22.隨著，體重管理年”三年行動(dòng)的實(shí)施，全民體重管理意識(shí)和技能逐步提升.某健身中心要采購(gòu)甲、乙兩種

型號(hào)的健身器材以滿足群眾的健身需求.據(jù)了解，甲型健身器材的單價(jià)比乙型健身器材的單價(jià)低300元，

用50000元購(gòu)買甲型健身器材的數(shù)量和用56000元購(gòu)買乙型健身器材的數(shù)量相同.

(1)求甲、乙兩種型號(hào)健身器材的單價(jià)各是多少元.

(2)該健身中心計(jì)劃購(gòu)買甲、乙兩種型號(hào)的健身器材共20臺(tái)，且甲型健身器材的購(gòu)買數(shù)量不超過(guò)乙型健身器

材購(gòu)買數(shù)量的3倍，購(gòu)買甲型健身器材多少臺(tái)時(shí)采購(gòu)費(fèi)用最少？最少采購(gòu)費(fèi)用是多少元？

23.一次函數(shù)y=2x+4的圖象與反比例函數(shù)>=：(x>0)的圖象交于點(diǎn)加,6),與x軸交于點(diǎn)瓦與y軸交

于點(diǎn)C.

(1)求加，上的值.

(2)。為反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)且橫坐標(biāo)大于m.

Ap1

①如圖1,若點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為4,連接3,￡為線段上一點(diǎn)，且等=求點(diǎn)￡的坐標(biāo)；

ED2

②如圖2,M為線段上一點(diǎn)，且CN=1,四邊形OMLW是平行四邊形，連接4N,若/BAN=45。,求

點(diǎn)D的坐標(biāo).

⑵如圖1,將二次函數(shù)y=/+6x+c的圖象沿X軸方向平移〃(〃>0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到一個(gè)新函數(shù)的圖象，當(dāng)

0<x<3時(shí)，新函數(shù)的最大值是8,求"的值.

(3)如圖2,將二次函數(shù)了=x2+6x+c的圖象沿直線平移，點(diǎn)N,G的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為4,G,連接/G，，

A'G,線段4G，與HG交于點(diǎn)若tanNBMG=；,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G'的坐標(biāo).

25.在RtZX/BC中，ZABC=90°,AB=6,BC=8,點(diǎn)。為/C的中點(diǎn).在Rt")8E中，ZDBE=90°,

DB=3,BE=4,連接EO并延長(zhǎng)到點(diǎn)尸，使OF=EO,連接/尸.

AD

~AF~------------------

【深入探究】（2）如圖2,若將圖1中的繞點(diǎn)8按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定的角度a（0°<a<90。），連接

AD,CE,AE,CF.

①（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

②當(dāng)四邊形NEC廠的面積最小時(shí)，求線段3的長(zhǎng).

參考答案

1.D2.B3.C4.B5.A6.D7.C8.A9.D

l2300

10.All.V212.-13.9714.—/42y6

15.2+2V5/2V5+2

16.8-V2

解：原式=l+2+5+2x^--2V2

2

=8+近-20

=8-6

17.-2<x<4,整數(shù)解為：-1,0,1,2,3.

解：解不等式①，得x>-2,

解不等式②，得x<4

原不等式組的解集是_2<X<4

，整數(shù)解為-1,0,1,2,3

18.見解析

【詳解】證明：,??平行四邊形N3CO中，AD//BC,

NDAE=ZAEB,

AD//BC,AF=CE,

四邊形/FCE是平行四邊形，

AE//CF,

..NDAE=ZCFD,

ZAEB=ZCFD.

19.(l)2.50m

(2)36.69m

(1)解：在中，

ZACB=90°fZS=40°,

-,-AC=ABxsinZ.B=ABxsin40°?21x0.643=13.503m,

??.AC-DF=13.503—11=2.503?2.50m,

答：兩滑梯高度差為2.50m

(2)解：在RtZ\/5C中，

N4cB=90。，ZB=40。，

??.BC=ABcosZ-B=XBcos40°?21x0.766=16.086m,

在Rt△瓦口中，

ZDEF=90°,z￡)EF=32°,

LLDFDF11Yr,

1?EF=----------=-------?------=17.6m,

tanZ.DEFtan32°0.625

BE=BC+CF+EF=16,086+3+17.6=36,686?36.69m

答：BE長(zhǎng)36.69m.

20.⑴見解析

(2)y

【詳解】(1)證明：如圖，連接OC,

/OAC=/OCA,

???OP//AC,

ZOAC=ZBOP,ZOCA=ZCOP,

ZCOP=ABOP,

在△COP和ASOP中，

(OC=OB

乙COP=乙BOP

IOP=OP

ACOP=ABOP(SAS),

?,.ZOCP=ZOBP=90°,

「?OC1PC,

??.PC與。。相切;

(2)解：如圖，連接/。交。尸于點(diǎn)

△COP9ABOP,

PC=PB,OB=OC,

。尸垂直平分2C,

A0=B0=3,0P=5,ZOBP=90°,

BP=yj0P2-0B2=J52-32=4，

???SnRP^-OB-BP=-OPBD,

*°BP22

ncOBBP3x412

BD=----------=------=——，

OP55

24

BC=2BD=——,

5

48是。。的直徑，

AB=2OA=6,ZACB=90°,

AC=y]AB2—BC2=；62—(空)2=

21.(1)50A

(2)8,144

(3)70

(4)576人

(1)解：5+10%=50(人)

即隨機(jī)抽取的學(xué)生人數(shù)為50人；

(2)解：機(jī)=50-1-5-16-20=8,

20

扇形統(tǒng)計(jì)圖中￡組所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為：—x360°=144°,

故答案為:8,144；

(3)解：將50人成績(jī)從低到高排序，第25和26人的平均分為中位數(shù)，

???1+5+8<25,1+5+8+16>26,

???第25和26人在D組，結(jié)合D組數(shù)據(jù)可得第25和26人成績(jī)均為70分,

抽取的八年級(jí)學(xué)生體育測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)為70分，

故答案為：70；

(4)解：800x———=576(人)

即估計(jì)此次體育測(cè)試成績(jī)達(dá)到60分及以上的學(xué)生人數(shù)為576人.

22.(1)甲型健身器材價(jià)格為2500元，則乙型健身器材的價(jià)格為2800元

⑵購(gòu)買甲型健身器材15臺(tái)，購(gòu)買乙型健身器材5臺(tái)時(shí)，費(fèi)用最低，最低費(fèi)用51500元.

(1)解：設(shè)甲型健身器材價(jià)格為x元，則乙型健身器材的價(jià)格為(x+300)元,

?口?口*上始56000

根4u據(jù)題意，得-5-0-0-0-0

xx+300

解得x=2500,

經(jīng)檢驗(yàn)，X=2500是原方程的根.

此時(shí)x+300=2800,

答：甲型健身器材價(jià)格為2500元，則乙型健身器材的價(jià)格為2800元.

(2)解：根據(jù)題意，甲型健身器材買了。個(gè)，則購(gòu)買乙型健身器材數(shù)量為(20-。)個(gè)，且a<3(20-a)即

a<15,且。為正整數(shù)，

根據(jù)題意，得w=2800(20-a)+2500a=-300a+56000,

由上=-300<0,得卬隨a的增大而減小，

故當(dāng)a=15時(shí)，w取得最小值，且最小值為校=-300x15+56000=51500(元)，

故購(gòu)買甲型健身器材15臺(tái)，購(gòu)買乙型健身器材5臺(tái)時(shí)，費(fèi)用最低，最低費(fèi)用51500元.

23.(1)m=1,k=6

(2)①E,gj,②0(2+0,6-3⑹

(1)解:由題意可知，點(diǎn)留加,6)在一次函數(shù)y=2x+4的圖象上，典|

6=2m+4,解得m=\,

???點(diǎn)/(1,6)在反比例函數(shù)y=〉0)的圖象上，

???6=彳，解得k=6,

則加=1,k=6；

(2)解：①過(guò)點(diǎn)/作軸交于點(diǎn)"過(guò)點(diǎn)E作用WLZ打交于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)。作DN，/以交于點(diǎn)N,

如圖，

則ZAME=ZAND=90°,

：,ME〃ND,

???^MAEs^NAD,

AMME

,,AN~ND'

??,點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4,

???點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為＞=(="|,

AE_1

.而一/，

4E_1

———,

AD3

AMME

??南一而一3'

???X。=4,5=1,

??.DN=3,

則--，解得ME=1,

=1+1=2,

A3

??."=6/D=2，

39

,AN=6——

22

AM1

-------=-3

?.93,解得加/=5，

2

39

則拄=6-5=2，

那么，點(diǎn)E（2,||；

②一次函數(shù)y=2x+4的圖象與y軸交于點(diǎn)c,

令x=0,貝U>=4,

??.C（0,4）,

???CM=1,

過(guò)點(diǎn)。作。尸，45交4N于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)尸作軸于點(diǎn)K,過(guò)點(diǎn)4作/G,歹軸于點(diǎn)G,如圖,

???ZGAC+/ACG=ZACG+ZPCK=90°,

??.ZGAC=ZPCK,

???/BAN=45°,

為等腰直角三角形，

??.AC=CP,

則AGAC-KCP,

???點(diǎn)4（1,6）,C（0,4）

；,AG=CK=T,CG=PK=2,

???CM=1,

???點(diǎn)M與點(diǎn)K重合，OM=3,

二點(diǎn)尸（2,3）,

設(shè)直線/N的解析式為丁=辰+”后*0）,則

(3=2k+b解得I[k=-3

{6=k+b

y=-3x+9,

設(shè)點(diǎn)NQn,-37n+9),

???四邊形OMDN是平行四邊形,

=0+m-0=m,yd=3-3m+9=—3m+12,

則。(m,-37n+12),

???￡)為反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，

-3m+12=—,解得加=2+0，或加=2—行，

m

<D的橫坐標(biāo)大于1,

???加=2+V2，

-3?n+12=-3(2++12=6-3"\/2,

故點(diǎn)￡)(2+^/2/6—3^\/2),

24.(l)y=x2-2x-2,頂點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1,一3)

(2)n=—1+VH

（1）解:將4（3,1）,。（0,-2）代入1犬+―

9+3b+c=1

c=-2

b=-2

解得

c--l"

「?y=x2—2x-2,

,?*y=/—2x-2=(x-1)-3,

二.當(dāng)x=l時(shí)，V取最小值，最小值為-3,

二?頂點(diǎn)G的坐標(biāo)為(L-3).

（2）解：根據(jù)平移規(guī)律可得新拋物線解析式為：y=（%-lf）2-3,

對(duì)稱軸為直線x=〃+l,

H>0,

〃+1>1,

分情況討論：

_31

①當(dāng)1<"+14—時(shí)，即0<〃4—時(shí)，如圖:

22

中軸線x=-y

直線x=3與拋物線交點(diǎn)M縱坐標(biāo)最大，

將x=3,y=8代入解析式得8=(3—1—幾)2—3,

解得〃=2±&1,與矛盾，不合題意；

②一當(dāng)"+1>；3時(shí)，即"〉—1時(shí)，如圖：

22

中軸線》=年

直線元=0與拋物線交點(diǎn)N縱坐標(biāo)最大，

將x=0,歹=8代入解析式得8=(0—1—71)2—3,

解得々=一1一而，與〃矛盾，不合題意；

n2=-1+V1T,符合題意，

綜上可知，n=—1+V1T;

A

(3)解：如圖，作5N,即/交MG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,作MQ夕軸，NPly^f

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,

將2(3,1),8(0,-2)代入得，(3^+^_=1

k=\

解得

b=-2'

直線43的解析式為＞=x-2,

圖象沿直線平移時(shí)，上下與左右平移的距離相等,

設(shè)向上，向右平移入個(gè)單位，

Xz(3+m,l+m),G'^l+m,-3+m),

由平移得44'=GG\AA'//GG',

四邊形H/GG，是平行四邊形，

線段NG，與4G交于點(diǎn)M,

?.?MQ入>軸，2_1_y軸，BNIBM,

NMQB=NBPN=90°,ZMBN=90°,

NQBM+AQMB=90°,AQBM+ZNBP=90°,

ZQMB=NPBN,

RtAQMBsRtJBN,

???tan/5MG=J,

3

,BN_1

一菽

BN_PN_BP1

"俞一詼—詬一『

PN_BP_1

即m-2m+43,

22

解得PN=

m+16

設(shè)直線4G的解析式為y=Ax+6,將4（3+m,l+6），G（l,-3）代入,

一,口人心-力上「q、rm+44m+10

可得/G的解析式為了=——-x--------—,

m+2m+2

m+16）代入，得:m+16m+4m+24m+10

m+26

解得叫=JIU,m2=-V10(舍去)，

..G(1+J10,—3+”1。).

25.(1)90；I；(2)@(1)中的結(jié)論仍然成立，證明見解析；②平

解：???點(diǎn)。為4C的中點(diǎn)，

?.OA=OC,

??,OF=EO,/AOF=/COE,

...AAOFWCOE,

??.NC4F=NC,AF=CE,

??.AF//BC,

??.N45C+NZU尸=180。，

-ZABC=90°,

??.ZDAF=90°；

?/AB=6,