2026高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)：函數(shù)的周期性與對(duì)

稱(chēng)性講義含答案

屬裁名導(dǎo)熬,晶熬的周期轆鳥(niǎo)對(duì)賽做餅義

目錄

題型一函數(shù)的周期性.................................................................1

題型二函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性.................................................................3

題型三函數(shù)的奇偶性、周期性與對(duì)稱(chēng)性綜合.............................................6

課后提升訓(xùn)練........................................................................9

題型一函數(shù)的周期性

【知識(shí)點(diǎn)解析】

1.函數(shù)的周期性

一般地,對(duì)于函數(shù)V=/(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)力取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，Ac+T)=

fM都成立,那么就把函數(shù)。=/(x)稱(chēng)為周期函數(shù),非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

由周期函數(shù)的定義可知，周期T并不唯一.若所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，我們便稱(chēng)它為函數(shù)的最小

正周期.

①若函數(shù)/3)滿(mǎn)足+a)=/Q)，則函數(shù)/(。)的周期T=a.

②若函數(shù)/(①)滿(mǎn)足+a)=f(x-a),則函數(shù)/Q)的周期T=2a.

③若函數(shù)/Q)滿(mǎn)足+a)=_f(x),則函數(shù)/Q)的周期T=2a.

④若函數(shù)/(/)滿(mǎn)足/e+。)=卷，則函數(shù)/3)的周期T=2a.

⑤若函數(shù)/(/)滿(mǎn)足/(c+a),則函數(shù)/Q)的周期T=2a.

/(⑼

【例題分析】

1.(25—26高三上?內(nèi)蒙古呼和浩特?開(kāi)學(xué)考試)設(shè)/(0是定義在R上且周期為2的函數(shù)，當(dāng)時(shí),

/3)=5-2-則/(學(xué))=().

D

A.一/B,-17-i

2.(2025?廣東梅州?模擬預(yù)測(cè))設(shè)/⑺是定義在R上且周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)24%&3時(shí)，/⑺="一

+6,則/(—1)=()

A.4B.0C.2D.-1

4

3.(25—26高三上?江蘇南通?開(kāi)學(xué)考試)定義在R上的函數(shù)/(力是周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，

/(捫=3—43則/(￡)=()

A.213.1C.-2D.-1

4.(25—26高三上?廣東深圳?階段練習(xí))已知/(0是奇函數(shù)，函數(shù)y=/Q+l)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí),

/3)=妨則/(2025)=()

A.-1B.0C.1D.2

5.(25-26高三上?江蘇南京?開(kāi)學(xué)考試)已知/(4)是定義在H上的函數(shù)，f(x+1)=一/3).當(dāng)2&I<3時(shí),

/(①)=5-2力，則/(5)=()

A.-5B.-1C.1D.4

6.(25—26高三上?海南省直轄縣級(jí)單位?階段練習(xí))已知定義在凡上的函數(shù)沙=/3)滿(mǎn)足/3)=/3+4),

且〃2)=2,則/(10)=.

7.(24-25高一下?貴州黔南?階段練習(xí))若函數(shù)y=/(外是衣上的周期為3的偶函數(shù)，且〃-1)=3,則

/(2023)=.

8.(25—26高三上?福建龍巖航段練習(xí))已知定義在打上的/&)函數(shù)滿(mǎn)足/他+2)=/(功，且/(3)=2,則

/(2025)的值為.

9.(24—25高二下?山東泰安?期末)已知/(0是定義在"上且周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)OVaVI時(shí)，/e)二

2，，則/傳)=.

1().(24—25高二下?江西南昌?期末)已知了心)的定義域?yàn)樽闱?(出+3)=-4，當(dāng)0〈出《3時(shí)，/3)=

COSTTX,則/(2020)=.

...........?

題型二函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性

【知識(shí)點(diǎn)解析】

2.函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性

①若函數(shù)/3）滿(mǎn)足/（a+x）=f（a-x），則函數(shù)/（⑼關(guān)于x=a對(duì)稱(chēng).

②若函數(shù)/（，）滿(mǎn)足/（Q+x）+f（Q—c）=0,則函數(shù)/（c）關(guān)于（Q,0）對(duì)稱(chēng).

③若函數(shù)/（①）滿(mǎn)足/（Q十x）=f（b-x），則函數(shù)/（⑼關(guān)于c=儀芋對(duì)稱(chēng).

④若函數(shù)/（,）滿(mǎn)足/（a+4）+f（b-0=0,則函數(shù)/3）關(guān)于（粵:0）對(duì)稱(chēng).

⑤若函數(shù)/㈤滿(mǎn)足/（a+x）4-/（6-0=小,則函數(shù)/㈤關(guān)于（字，華）對(duì)稱(chēng).

【例題分析】

11.（24—25高二下?遼寧?期末）若曲線/⑺=工?;關(guān)于點(diǎn)（1，-2）中心對(duì)稱(chēng)，則Q=（）

OI1

A.3B,4C.-3D.-4

12.（24—25高二下?山東煙臺(tái)?期末）若函數(shù)/①）=/+Q/+6的圖象關(guān)于點(diǎn)（2,0）對(duì)稱(chēng)，則實(shí)數(shù)Q的值為

（）

A.-3B.3C.-6D.6

13.（24—25高二下.遼寧鞍山?期中）已知函數(shù)/（0）=4/-曰/+2]+4，則函數(shù)片/（￡）的圖像對(duì)稱(chēng)中

<524

心是（）

A.（常）B.（2,卷）C.（f.l）D.（1,f）

14.（2025?安徽馬鞍山?模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)/（c）=In攵苦+c的圖象關(guān)于（2,2）對(duì)稱(chēng)，且QWI,則實(shí)數(shù)Q=

x+L

（）

A.-5B.-1C.0D.5

15.（2025?四川?三模）已知函數(shù)/包）=砂—￡,則函數(shù)“=/3+2）+2的圖象（）

A.關(guān)于點(diǎn)（-2,2）對(duì)稱(chēng)B.關(guān)于點(diǎn)（2,—2）對(duì)稱(chēng)

C.關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)D.關(guān)于直線x=-2對(duì)稱(chēng)

16.（24-25高一下?北京?期中）函數(shù)夕=-^4的圖象的對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)是

17.（25-26高三上?上海靜安?階段練習(xí)）若函數(shù)f（x）=安甘的對(duì)稱(chēng)中心是（4,一3），則a+。=____.

Jb"lU

18.（24—25高二下?安徽阜陽(yáng)?期末）已知函數(shù)/（宓）=加工+。-工的圖象關(guān)于直線宏=舊2對(duì)稱(chēng)，則。的值為

22.(24-25高三上?江蘇淮安?階段練習(xí))已知函數(shù)/(2)=77」.

J十J

(1)求/(())與/⑵,/(-1)與"3)的值;

(2)由(1)中求得的結(jié)果，猜想/(2)與/(2—c)的關(guān)系并證明你的猜想：

(3)求/(—2020)+/(-2019)+???+/(())+/(1)+/(2)+…+/⑵)21)+，(2022)的值.

q..................

題型三西敷的寺制性、周期性與對(duì)稱(chēng)性球合

【知識(shí)點(diǎn)解析】

1.奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性的定義

性質(zhì)核心定義關(guān)鍵特征

奇偶性奇函數(shù)：/(一①)=-/(x)對(duì)稱(chēng)性的特殊情況

偶函數(shù)：/(一/=/3)

周期性存在非零常數(shù)T,使/Q+T)=/(0，函數(shù)圖像沿c軸平移T后重合

最小的正T稱(chēng)為“最小正周期"

對(duì)稱(chēng)性軸對(duì)稱(chēng):存在直線x=a,使得/(a+o)=f(a-x)圖像的“翻折不變性”(軸對(duì)稱(chēng))

中心對(duì)稱(chēng):存在點(diǎn)(。,6),使得/(。+力)+/(a-x)=25或“旋轉(zhuǎn)不變性”(中心對(duì)稱(chēng))

2.核心關(guān)系推導(dǎo)

⑴已知函數(shù)/(c)為偶函數(shù)，關(guān)于直線c=Q對(duì)稱(chēng),則周期T=2|a|.

(2)已知函數(shù)為奇函數(shù)，關(guān)于直線/=。對(duì)稱(chēng)，則周期T=4|Q|.

(3)已知函數(shù)/(%)為偶函數(shù),關(guān)于點(diǎn)(。,0)對(duì)稱(chēng),則周期T=4\a\.

(4)已知函數(shù)/(⑼為奇函數(shù),關(guān)于點(diǎn)(。,0)對(duì)稱(chēng),則周期T=21al.

【例題分析】

23.(25—26高二上?湖北武漢?階段練習(xí))已知函數(shù)/(N),M㈤的定義域?yàn)镠,滿(mǎn)足M(4-0+/Q)=9,A1

30

3)—/3-2)=3,若夕="3)的圖像關(guān)于直線c=2對(duì)稱(chēng)，且M(2)=4,則()

t=l

A.92B.-205C.100D.-19

24.(25—26高三上?江蘇揚(yáng)州?開(kāi)學(xué)考試)已知/(c)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)gQ)=(z—l)/(⑼的圖象

2026

關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng),且滿(mǎn)足g(-l)=4,則Z/(k)=()

fc=l

A.2B.-4C.2026D.-4052

25.(25—26高三上?山西長(zhǎng)治?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(0的定義域?yàn)閮?(°+1)為奇函數(shù)，/(]-2)為偶函數(shù)，

當(dāng)cW[1,2]時(shí),/3)=。出2+6,若/(0)4-/(3)=6,則v=/Q)—m(0<m<6)在工€(0,8)內(nèi)所有的零

點(diǎn)之和為()

A.16B.12C.8D.4.

26.(25-26高三上?廣東?開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/(c)的定義域?yàn)镽,函數(shù)g=/Q+l)是偶函數(shù)，函數(shù)y=：

.............6

(c+1)/(￡)的圖象關(guān)于直線①=一^■對(duì)稱(chēng)，若當(dāng)［0,1］時(shí)，/(2)=以則岑/⑴()

A.-1B.0C.1D.2

27.(25-26高三上?安徽?階段練習(xí)?多選)已知/Q),g3)均為定義域?yàn)锳的奇函數(shù)，且/3)+gQ+1)=c,

則()

A.g(l)=0B.g(2025)=0

C./(2025)=0D.°(°)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱(chēng)

28.(25—26高三上?重慶?階段練習(xí)?多選)己知函數(shù)/(⑼為定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)VcWH,都有f(①)

=/(2-乃，旦/(⑼在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，則下列說(shuō)法正確的是()

A./(2)=0B./(x)的一個(gè)周期為4

C./(4)+/(4)=°D.f(x)在區(qū)間(5,6)上單調(diào)遞增

29.(25—26高三上?四川綿陽(yáng)?階段練習(xí)?多選)定義在尺上的函數(shù)/(為滿(mǎn)足/(1+乃=/(1一/)，且/(1+2)

為奇函數(shù)，已知當(dāng)時(shí)JQ)=e，-L則下列結(jié)論正確的是()

A./Q+4)=f(x)B.f(x)在區(qū)間［9,11］上單調(diào)遞減

C?七1)〈7好)D-E202/5(i)=e-l

0rf=l

30.(25-26高三上?河北保定?階段練習(xí).多選)已知/(c),g(c)均為定義域?yàn)椤鞯钠婧瘮?shù)，且/(c)+

g［c+l)=c/lj()

A.g⑴=0B.g(2025)=0

C./(2025)=0D.g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱(chēng)

31.(25-26高三上?寧夏銀川?開(kāi)學(xué)考試?多選)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/Q)滿(mǎn)足〃4—3i)=/(3z—2),

/(41一1)為奇函數(shù)，/(0)=—1,則()

A./Q)是周期為8的函數(shù)B./(%—3)為偶函數(shù)

102

C.7(1)+/(5)=1D.Z/G)=1

i=l

32.(25—26高三上.黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)?多選)已知函數(shù)f㈤,g(x)定義域均為A,g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)

(1,0)對(duì)稱(chēng),且滿(mǎn)足f(l+i)+g(-c)=4,/(c-3)+g?=44iJ()

A.函數(shù)/Q)的圖象關(guān)于i=T對(duì)稱(chēng)B.g(0是周期為4的函數(shù)

2025

C-Zg(k)=lD.g=g(c+l)是奇函數(shù)

*;=1

33.(25-26高三上?陜西漢中?階段練習(xí)?多選)已知函數(shù)/(。)，9(工)的定義域均為A,3)=7⑺，

g{x}關(guān)于直線1=-3對(duì)稱(chēng)，且jQ)+g(—①-3)=2,若g(—3)=1,貝U()

A./(())=1B./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)傳,0)中心對(duì)稱(chēng)

C./(x)是偶函數(shù)D./(0)4-/(1)4-/(2)+???+/(2025)=-1

34.(25—26高三上?河北衡水?階段練習(xí)挈選)已知函數(shù)/(乃是定義在^上的奇函數(shù)，/3+1)是偶函數(shù),

當(dāng)1￡[0,1],/3)=d+/,則下列說(shuō)法中正確的有()

A.函數(shù)/(%)關(guān)于直線4=1對(duì)稱(chēng)B.4是函數(shù)”①的周期

C./(2025)+/(2026)=0D.方程/⑸=|ln創(chuàng)恰有4不同的根

35.(24—25高二下?吉林長(zhǎng)春?期末)已知函數(shù)”0的定義域?yàn)閹?滿(mǎn)足/(%+1)為奇函數(shù)，/年+2)為偶函

2026

數(shù),且/(0)=1,則Ef(k)=.

K=I

36.(24-25高二下?吉林白山?期末)已知〃c+l)是定義在R上的奇函數(shù)，且/3+4)=42-乃，當(dāng)

(1,3]時(shí)，/(乃=^-2,，則/(2025)4-/(2026)=

37.(25-26高三上?山東濰坊?階段練習(xí))已知函數(shù)/(①)的定義域?yàn)锳,且滿(mǎn)足/(1+c)=-/(l-x)J(rr+2)

為偶函數(shù)，當(dāng)①W[l,2]時(shí),/3)=謁+卮，若/(0)+f(3)=5,則f噂)=

38.(25—26高三上?山東臨沂?階段練習(xí))已知函數(shù)/3)的定義域?yàn)榉睬?3+2)-2為奇函數(shù)，/(3/+1)

2026

為偶函數(shù)，/⑴=0,則力也)=.

k=l

...........?

課后提升訓(xùn)練

1.(2025?湖南?一模)已知/(c)是定義在R上的奇函數(shù)，/包+1)為偶函數(shù)，且當(dāng)c6［0,1］時(shí)，/(c)=

則函數(shù)g(c)=/(乃;在［-5,4)11(4,13］上所有零點(diǎn)的和為()

O2X—4

A.16B.24C.32D.48

2.(25—26高三上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí))已知函數(shù)/廿)滿(mǎn)足/3+1)為奇函數(shù)，/(。2c—1)為偶函數(shù)，則下

列一定成立的是()

A./(-3)=0B./(0)=0C./(2)=0D./(4)=0

3.(25-26高三上?江西?階段練習(xí))已知函數(shù)/心)滿(mǎn)足/(1+1)—/(1—1)=3,且2/=/(2+2)+1為奇函

數(shù)，則/(2026)=()

A.3037B.3034C.3035D.3036

4.(25—26高三上?新疆?階段練習(xí))定義在H上的奇函數(shù)f(⑼滿(mǎn)足“⑼=/(2-x)，當(dāng)iG(0,1］時(shí)，/(⑼=

1+log22,則/(2026)-/(2025)的值為()

A.log-2B.1C.-1D.-2

5.(25-26高三上?山西?階段練習(xí))己知函數(shù)/(乃的定義域?yàn)镽,其圖象關(guān)于直線1=一3對(duì)稱(chēng)且/Q+3)

=/3-3),當(dāng)i€［0,3］時(shí)，/(工)=2，+2i—lL則下列說(shuō)法不正確的是()

A.函數(shù)八⑼為偶函數(shù)B.函數(shù)/(任)在［-6,-3］上單調(diào)遞增

C.函數(shù)/(⑼的圖象關(guān)于直線①=3對(duì)稱(chēng)D./(2026)=-7

6.(25—26高三上?福建莆田?階段練習(xí))定義在R上的函數(shù)/(①)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且有/(乃=

2f(卷)，當(dāng)時(shí)，恒有人刈)&/(g)，則/(卷)=()

A］R_Lp_LD_J_

,128,6432,16

7.(25-26高工卜.安徽阜陽(yáng)?階段練習(xí)?多選)已知定義在R卜的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為°(°),若

f(2工+2)為奇函數(shù)，g(o+l)+g(l—0)=2,則()

A.函數(shù)/(⑼的圖象關(guān)于點(diǎn)⑵0)對(duì)稱(chēng)B.函數(shù)g(c)的圖象關(guān)于直線1=5對(duì)稱(chēng)

C.4是函數(shù)g(rr)的一個(gè)周期D.￡g(2k-l)=200

8.(2025?湖北黃岡?一模?多選)定義在兄上的函數(shù)”1)和9(為，/(4+2)為奇函數(shù)，g(⑼為偶函數(shù)，旦

f(%+l)+g(3—c)=4,則()

A.g(2)=2B./(6)=0

C./(x)的圖象關(guān)于z=4對(duì)稱(chēng)D.8為g(z)的一個(gè)周期

9.(25—26高三上?四川綿陽(yáng)?階段練習(xí)?多選)已知函數(shù)/目)定義域?yàn)樾∑鋵?dǎo)函數(shù)為9(0,且/(2—7)+

/(①)=2,g(3—2工)+9(1+2/)=1,則下列說(shuō)法正確的是()

A./(c)一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為(1,1)B.g(rr)的一個(gè)周期為2

C.g{x)的圖象關(guān)于1=5對(duì)稱(chēng)D.?=

n=IZ

10.(25-26高三上?河南商丘?開(kāi)學(xué)考試?多選)若/(①+1)為奇函數(shù)，且/(3—①)=/(l+c),則下列說(shuō)法正確

的是()

A./(1)=0B./(c)的一個(gè)周期為2

2026

c./(x-4)=/(x)D,匯/(我+1)=0

k=l

11.(25—26高三上?江蘇淮安?階段練習(xí)?多選)設(shè)定義在R上的函數(shù)/(⑼與g(切的導(dǎo)函數(shù)分別為廣(為和

/(a?),且/Q+2)=g(2—°)+2/3)=g<0+2),且gQ)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)，則()

A./(3)=3B.gr(2—x)+g，(z+4)=0

C.g(4-c)=gQ+2)D.fQ+8)gQ+8)=/(rc)gQ)

COS2y%V()

12.(25-26高三上?河北衡水?階段練習(xí))已知函數(shù)/⑸=3/(2025)=

/Q—4),rrX)

13.(25—26高三上?上海?開(kāi)學(xué)考試)已知定義在H上的奇函數(shù)/(⑼滿(mǎn)足+c)=/(1-0，當(dāng)/￡(0,1)

時(shí)，/(X)二2工-1,則/(log228)=.

14.(25—26高三上?山東泰安?階段練習(xí))定義在/?上的偶函數(shù)?1),滿(mǎn)足/(了+2)-/(￡)=〃1),則以下判

斷正確的是.

20

①/⑴=0；②/(I-⑼+/(l+z)=0；③/(1+2/)=/(1-20④匯/⑴=10.

￡=1

15.(25-26高二上?湖南長(zhǎng)沙?開(kāi)學(xué)考試)已知/(乃是定義在△上的奇函數(shù)，/(。+2)為偶函數(shù)，且當(dāng)OVc

42時(shí)，/(%)=log2(2x),則/(2025)=.

16.(25—26高三上?上海?階段練習(xí))已知/(口是^上的奇函數(shù)，八2)=2,且對(duì)任意3；€&都有/(2+6)=

fix)+/(3)成立,則/(2026)=.

............即

17.(25-26高三上?山西長(zhǎng)治?階段練習(xí))已知/(c)=In注；+bx^ax+a.

JL/

(1)證明:曲線0=/(乃是中心對(duì)稱(chēng)圖形；

⑵若b=o時(shí)，r(⑼>o恒成立，求。的最小值；

(3)若/Q)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,—2)對(duì)稱(chēng)，且/3)>—2的解集為{引0VZV1},求b的取值范圍.

18.(25—26高三上?湖南邵陽(yáng)?階段練習(xí))已知函數(shù)/(乃=溫7.

(1)判斷函數(shù)/(%)的單調(diào)性，并利用定義證明；

(2)求證:函數(shù)2/=/3)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)中心對(duì)稱(chēng);

(3)若對(duì)V電，的￡R，旦①1十x-2>2，恒有f(xi)十/(①2)-十rn>0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

19.(25—26高三上?江蘇鹽城?階段練習(xí))函數(shù)/3)滿(mǎn)足對(duì)任意方GR,都有/Q+2)=/(-c+2),且/⑸的

圖象關(guān)于直線1=1對(duì)稱(chēng)，當(dāng)土€［2,3)時(shí)，/(z)=2(化—2)：)且函數(shù)g=八%)一|10go創(chuàng)恰有2025個(gè)零

點(diǎn).

(1)證明：函數(shù)/(①)為周期函數(shù)；

(2)求整數(shù)Q的值.

20.(25-26高三上?江蘇南通?開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/(c)的定義域?yàn)镽,當(dāng)?shù)腣g時(shí)，/(?)&/(82)，函數(shù)

g{x)的周期為2,當(dāng)［—1,1］時(shí),g(x)=a?+1.

⑴若/(⑼在［0,1］上滿(mǎn)足/(0)=0,/(切+/(1-°)=1/2)=2/借),求/(今)：

(2)若/(⑼的圖象有一條平行于y軸的對(duì)稱(chēng)軸，證明：/(乃是常函數(shù)：

(3)若/M)>0,函數(shù)人Q)=/Q)g(乃是周期函數(shù)，證明：/Q)是常函數(shù).

.............國(guó)

占率易,戳「占裁的用崩鉞層時(shí)暮噬將義

目錄

題型一西數(shù)的周期性........................................................1

題型二西數(shù)的對(duì)稱(chēng)性........................................................4

題型三西數(shù)的奇倜性、周期性與對(duì)爵性球合....................................9

課后提升調(diào)練............18

函數(shù)的周期性

【知識(shí)點(diǎn)解析】

1.函數(shù)的周期性

一般地，對(duì)于函數(shù)U=/Q),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)6取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，/(c+T)=

/(x)都成立,那么就把函數(shù)g=/(。)稱(chēng)為周期函數(shù),非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

由周期國(guó)數(shù)的定義可知，周期T并不唯一.若所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，我們便稱(chēng)它為函數(shù)的最小

正周期.

①若函數(shù)/3)滿(mǎn)足+a)=f(x),則函數(shù)/e)的周期T=a

②若函數(shù)/(⑼滿(mǎn)足/(c+a)=f(x-a),則函數(shù)/(c)的周期T=2Q.

③若函數(shù)/(，)滿(mǎn)足+。)=~f(x),則函數(shù)/(⑼的周期T=2a.

]

4；若函數(shù)/(4)滿(mǎn)足+。)=則函數(shù)/(力的周期T=2Q.

/㈤

1

⑤若函數(shù)/(c)滿(mǎn)足/(①+。)=，則函數(shù)73)的周期T=2Q.

/3)

【例題分析】

1.(25-26高三上?內(nèi)蒙古呼和浩特?開(kāi)學(xué)考試)設(shè)/(c)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，當(dāng)2時(shí),

加)=5-2①，則/(%=().

D-1

【答案】4

【詳解】當(dāng)23時(shí)，/㈤=5—2%,而/(c)的周期為2,

所以/(學(xué))=/(2+*=/(*=5—2X?=4?

故選：A

2.(2025?廣東梅州?模擬預(yù)測(cè))設(shè)“r)是定義在R上且周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)2W443時(shí)，f(z)=①2—

+6,則/(—1)=()

A.--B.0C.2D.—1

4

【答案】B

【詳解】???/(])是定義在R上且周期為2的奇函數(shù)，

A/(-l)=-/(l)=-/(l+2)=-/(3),

V當(dāng)2&C&3時(shí)，/(4)=①2—5c+6,??J(3)=32—5x3+6=0,

??J(T)f3)=0.

故選：A

3.(25-26高三上?江蘇南通?開(kāi)學(xué)考試)定義在R上的函數(shù)/(⑼是周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)O&c&l時(shí)，

，)=3-43則/信)=()

A.2B.1C.-2D.-1

【答案】B

【詳解】函數(shù)/3)是周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)O&c&l時(shí)，/(0=3—4工，

?l/(y)=/(y+2)=/(i)=3-4^=3-2=l.

故選：B.

4.(25-26高二上?廣東深圳?階段練習(xí))已知/位)是奇函數(shù)，函數(shù)y=f(1十1)是偶函數(shù)，當(dāng)上G時(shí)，

/(①)=啰,則/(2025)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【詳解】由題意有/(一])=一/(乃，又函數(shù)y=f(c+1)是偶函數(shù)，所以〃l—c)=/(l+c),

即/(2+切=/(-/),所以/(2+c)=-/(2),所以/(i+4)=-/(x+2)=/(/),

所以函數(shù)/(x)是周期為4的周期函數(shù)，所以/(2025)=/(I)=-/(-1)=1,

故選：C.

5.(25-26高三上?江蘇南京?開(kāi)學(xué)考試)已知/(①)是定義在R上的函數(shù)，+1)=—/3).當(dāng)2&。V3時(shí)，

/U)=5-2X,M/(5)=()

A.-5B.-1C.1D.4

【答案】B

【詳解】已知/Q+1)=—/3),則fix+2)=-f(x+1)=/(x),

所以函數(shù)/(⑼的一個(gè)周期為2.

所以f(5)=f(5—2X2)=f(l),

因?yàn)?1)=-f(x)，令z=1,則/(2)=-7(1),

當(dāng)24%V3時(shí)，/(c)=5-2①，則/(2)=5—2x2=1,

所以/(5)=/(1)=_/(2)=_1.

故選：R

6.(25—26高三上?海南省直轄縣級(jí)單位?階段練習(xí))已知定義在/?上的函數(shù)2/=/(2)滿(mǎn)足/(叼=/3+4),：

且/(2)=2,則/(10)=.；

【答案】2

............B

【詳解】由f(x)=/3+4)可得V=f(x)為周期函數(shù)，且周期為4,

/(IO)=/(2+2x4)=/(2)=2,

故答案為：2.

7.(24-25高一下?貴州黔南?階段練習(xí))若函數(shù)g=/(0是R上的周期為3的偶函數(shù)，且〃—1)=3,則

/(2023)=.

【答案】3

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(⑹是凡上的周期為3的偶函數(shù)，

所以/(①十3)=/(①)，/(一⑼=/(%),

又2023=674x3+1,

所以7(2023)=/⑴=/(-1)=3,

故答案為：3.

8.(25—26高三上?福建龍巖?階段練習(xí))已知定義在凡上的/(,)函數(shù)滿(mǎn)足/3+2)=/(乃，且/(3)=2,則

/(2025)的值為.

【答案】2

【詳解】因?yàn)?(.r)函數(shù)滿(mǎn)足〃A+2)=f(T.),

所以函數(shù)/(x)是周期為2的周期函數(shù)，

所以/(2025)=/(3+1011X2)=/(3)=2,

故答案為：2.

9.(24-25高二下?山東泰安?期末)已知/(⑼是定義在R上且周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)OVrrVl時(shí)，/(力=

2一則/(')=.

【答案】-方

【詳解】囚為函數(shù)的周期為2的奇函數(shù)，

所以/得)=_/(一告)-3+2)=T")=-24=-0

乙乙乙N

故答案為：一

10.(24-25高二下?江西南昌?期末)己知/㈤的定義域?yàn)镽,且/(%+3)=-白，當(dāng)0Vi43時(shí)，/(/)=

fw

cosTTc,貝I]/(2020)=

【答案】1

【詳解】因?yàn)閒(x+3)=一下彳，則/(①+6)=-=/(不)，

fW/Q+3)

可知/3)的一個(gè)周期為6,

又因?yàn)楫?dāng)0V%43時(shí)，/Q)=cosTra;,

所以/(2020)=/(336x6+4)=〃4)=一木「1.

COS7T

故答案為：1.

題型二函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性

【知識(shí)點(diǎn)解析】

2.函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性

①若函數(shù)/（①）滿(mǎn)足/（Q+x）=f（a-x）,則函數(shù)/（⑼關(guān)于x=a對(duì)稱(chēng).

②若函數(shù)/（，）滿(mǎn)足/（Q+x）+f（Q—c）=0,則函數(shù)/（c）關(guān)于（Q,0）對(duì)稱(chēng).

③若函數(shù)/Q）滿(mǎn)足/（Q十x）=f（b-X）,則函數(shù)/（⑼關(guān)于C=儀芋對(duì)稱(chēng).

④若函數(shù)/（,）滿(mǎn)足/（Q+x）+f（6—0=o,則函數(shù)/Q）關(guān)于（粵to）對(duì)稱(chēng).

⑤若函數(shù)/（，）滿(mǎn)足/（Q+x）+f（b-2）=館,則函數(shù)/Q）關(guān)于（字，華）對(duì)稱(chēng).

【例題分析】

11.（24—25高二下?遼寧?期末）若曲線/⑺=工?;關(guān)于點(diǎn)（1，-2）中心對(duì)稱(chēng)，則Q=（）

OI1

A.3B,4C.-3D.-4

【答案】。

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/Q）的定義域?yàn)閰^(qū),且曲線/（乃=U—關(guān)于點(diǎn)（1，-2）中心對(duì)稱(chēng)，

JI-1

所以/⑴—=-2,即a=-4.

故選：。.

12.（24—25高二下?山東煙臺(tái)?期末）若函數(shù)/（%）=爐+。/+匕的圖象關(guān)于點(diǎn)（2,0）對(duì)稱(chēng)，則實(shí)數(shù)。的值為

（）

A.-3B.3C.-6D.6

【答案】C

【詳解】依題意，函數(shù)f⑺=d++》的圖象關(guān)于點(diǎn)（2,0）對(duì)稱(chēng)，

所以/（2-1）=―/（2+i）,即/（2-⑼+/（2+c）=0,

即（2—x）3+a（2—x）~+b+（2+c）'+a（2+x）2+6=0,

即（6+Q）優(yōu)2+4（1+6+8=0恒成立,

所以（H：0乂…解得。=-61）=16.

故選：C

13.（24—25高二下?遼寧鞍山?期中）已知函數(shù)/（0=/爐一,/+22+］，則函數(shù)^=〃叼的圖像對(duì)稱(chēng)中

心是（）

A.（哈）B?(2,昔)C.(fl)D信翁）

【答案】。

【詳解】任意取函數(shù)/Q)上一點(diǎn)(Q,6),則/(a)=?！ㄒ粚?dǎo)出+2Q+：="

J24

對(duì)于4,點(diǎn)(a,b)關(guān)于點(diǎn)(l,T費(fèi))成中心對(duì)成的點(diǎn)為點(diǎn)(2——b),

彤—0)=得(2“)3一,(2_城+2(2—。)++=_93+92+2，故斗錯(cuò)誤;

oZ4oZ1Z

對(duì)于6,點(diǎn)(a,b)關(guān)于點(diǎn)(2，U)成中心對(duì)成的點(diǎn)為點(diǎn)(4—Q,[—b),

JL4U

f(4—a)=-^-(4—a)3--^-(4—a)2+2(4—a)+：=--^-a3+-^-a2—6a+-y，故6錯(cuò)誤：

?324324

對(duì)于。，點(diǎn)(a,6)關(guān)「點(diǎn)(■!■/)成中心對(duì)成的點(diǎn)為點(diǎn)(3一%2一與，

/(3—。)=4(3—0)3一日(3—&)2+2(3-00+4=—4。3+需2-2(1+1=2一優(yōu)故0正確：

o24324

對(duì)于D,點(diǎn)、(a,b)關(guān)于點(diǎn)(,，或")成中心對(duì)成的點(diǎn)為點(diǎn)(微—。，言—b),

/(號(hào)―。)=i■既—Q)'—"!■居—QJ+Z^—Q)+[=_E+/_等Q+普,故。錯(cuò)誤.

故選：C.

14.(2025?安徽馬鞍山?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)/(%)=In韋+1的圖象關(guān)于(2,2)對(duì)稱(chēng)，且QW1,則實(shí)數(shù)。=

6+i

()

A.-5B.-1C.0D.5

【答案】4

【詳解】函數(shù)f(⑼=ln至苦+e有意義，則至苦>0,由/Q)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,2)對(duì)稱(chēng)，

1x+i

得/3)的定義域關(guān)于數(shù)2對(duì)稱(chēng)，由一1不在/3)的定義域內(nèi)，得5不在/3)的定義域內(nèi)，

則一a=5,即a=-5,此時(shí)/(/)=In①？+x,xE(—co,—1)U(5,4-co),

x+1

f(4—x)+f(x)—In-1+4-c+In~+x=In?+：+In+4=4,

?.)X0i1X、)XiL

因此函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,2)對(duì)稱(chēng)，符合題意，

所以a=-5.

故選：A

15.(2025?四川?三模)已知函數(shù)八乃=笈，一為則函數(shù)u=/Q+2)+2的圖象()

A.關(guān)于點(diǎn)(一2,2)對(duì)稱(chēng)B.關(guān)于點(diǎn)(2,—2)對(duì)稱(chēng)

C.關(guān)于直線工=2對(duì)稱(chēng)D.關(guān)于直線x=-2對(duì)稱(chēng)

【答案】力

【詳解】因?yàn)?(—X)=(-X)3—(―X)=—3TJ+X=-f(x)，則/(①)為奇函數(shù)，

所以/Q)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

函數(shù)2/=/Q+2)+2的圖象可由/Q)的圖象先向左平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到,

：所以函數(shù)g=/(c+2)+2的圖象關(guān)于點(diǎn)(一2,2)對(duì)稱(chēng).

：故選：A

：16.(24—25高一下?北京?期中)函數(shù)￡=鼾、的圖象的對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)是

ZX—L-------

Q..............

【答案】傳4）

（-M+l_2-c

【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)“=/（①：=，則/（1-2）=

2x—1l2（l-x）-ll-2x

因?yàn)?（'）+/（-%）=法+惠=1，

所以函數(shù)y=f1的圖象的對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)為）

2x—l'22,

故答案為：（十,白）

乙乙

17.（25—26高三上?上海靜安?階段練習(xí)）若函數(shù)/⑸=磔的對(duì)稱(chēng)中心是（4,-3）,則a+b=

c十0

【答案】-7

（）（而）

【詳解】因?yàn)?（2）="=1_Qc+b—1+_1+Q6

x+bx+b-x+b'

所以該函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為（一A。），

由已知可知函數(shù)/（/）=竿?的對(duì)稱(chēng)中心是（4,-3）,

x+b

所以1°，=>o+b=-7,

la=-3

故答案為：一7

18.（24—25高二下?安徽阜陽(yáng)?期末）已知函數(shù)/（1）=加工+-工的圖象關(guān)于直線￡=11】2對(duì)稱(chēng)，則0的值為

【答案】J/0.25

4

【詳解】已知函數(shù)f（x）=ae*+e-工的圖象關(guān)于直線z=ln2對(duì)稱(chēng)，則/（ln2+x）=/（ln2—x）,

,n2+l（h*2+x）

代入函數(shù)得：ae+e-=。於.+e-dn2-x）,

即2加一工+^-ex=2ae1+Je/移項(xiàng)整理得：（2Q-：/一工=（2。-J）e\

貝］2Q—/=0,解得a=-i-.

故答案為：二

4

19.（2025?江西?三模）若函數(shù)/Q）=a?2T62-工的圖象關(guān)于直線力=1對(duì)稱(chēng)，則立=_____.

Q

【答案】4

【詳解】由題意知，對(duì)任意恒有〃切=〃2—⑼成立，

即0?2工+62一工=0?22-1+力?2工一2恒成立，化簡(jiǎn)得（40一6）（21-2刁=0,

故只能4a—b=0,又aWO,則傳■=4.

a

故答案為：4.

20.（24—25高一上?上海?期末）若函數(shù)/（c）=若的對(duì)稱(chēng)中心是（-2,-1），則。+力=

①+0--------

【答案】1:

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f（①）=%三"的對(duì)稱(chēng)中心是（一2,—1）,

"IU

.............6

所以f