專題8.1直線的方程(舉一反三講義)

【全國通用】

題型歸納

【題型1直線的傾斜角與斜率?1....................................................................................................................................3

【題型2直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍】...........................................................4

【題型3直線的點(diǎn)斜式、斜截式方程】..................................................................7

【題型4直線的兩點(diǎn)式、截距式方程】..................................................................9

【題型5直線的一般式方程］..........................................................................1()

【題型6直線過定點(diǎn)問題】.............................................................................12

【題型7三線能圍成三角形的問題】...................................................................13

【題型8直線方程的綜合應(yīng)用】........................................................................15

1、直線的方程

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

從近幾年的高考情況來看，高考對

(1)理解直線的傾斜角和斜率直線方程的考查比較穩(wěn)定，主要分為兩

的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜2024年全國甲卷(文數(shù))：第方面進(jìn)行考察，一是直線的傾斜角與斜

率的計(jì)算公式10題，5分率、直線方程的求法；二是以直線與圓

⑵根據(jù)確定直線位置的幾何2025年天津卷：第12題，5知識點(diǎn)交叉命題，涉及到點(diǎn)到直線距離，

要素，掌握直線方程的幾種形分與圓相交弦長等問題；多以選擇題、填

式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)空題的形式出現(xiàn)，難度不大；復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)

熟練掌握這些知識內(nèi)容.

知識梳理

知識點(diǎn)1直線的方程

1.直線的傾斜角

(1)傾斜角的定義

①當(dāng)直線/與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線/向上的方向之間所成的角a叫做直線/的傾

斜角.

②當(dāng)直線/與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0。.

(2)直線的傾斜角a的取值范圍為0。忘0<180。.

2.直線的斜率

（1）直線的斜莖

把一條直線的傾斜角Q的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母女表示，即左=tana.

（2）斜率與傾斜角的對應(yīng)關(guān)系

y

1/一

圖示a

0X7T^IT0

傾斜角（范圍）[=0。0°<?<90°?=90090yxVI80。

斜率（范圍）k=0Q0不存在KO

（3）過兩點(diǎn)的直線的斜率公式

過兩點(diǎn)外出，yi），心（*，及）（力大》2）的直線的斜率公式為"="一"

X2-X\

3.直線的方向向量

設(shè)48為直線上的兩點(diǎn)，則下流是這條直線的方向向量.

4.辨析直線方程的五種形式

方程形式直線方程局限性選擇條件

不能表示與x軸垂①已知斜率；②已知

點(diǎn)斜式y(tǒng)—y=k(x—%)

0直的直線一盧

不能表示與X軸垂①已知在y軸上的截

斜截式y(tǒng)-kx\h

直的直線距；②已知斜率

不能表示與X軸、①已知兩個(gè)定點(diǎn)；②己

兩點(diǎn)式y(tǒng)-yi_X—Xi

y軸垂直的直線知兩個(gè)截距

y-2—y\x-2-Xi

不能表示與X軸垂①已知兩個(gè)截距；②已

F=i

截距式Gb直、與y軸垂直、知直線與兩條坐標(biāo)軸

過原點(diǎn)的直線圍成的三角形的面積

求直線方程的最后結(jié)

4x+By+C=0

一般式表示所有的直線果均可以化為一般式

(A,B不全為0)

方程

知識點(diǎn)2求直線方程的一般方法

1.求直線方程的一般方法

直線方程形式的詵擇方法：

①已知一點(diǎn)常選擇點(diǎn)斜式；

②已知斜率選擇斜截式或點(diǎn)斜式；

③已知在兩坐標(biāo)軸上的截距用截距式；

④已知兩點(diǎn)用兩點(diǎn)式，應(yīng)注意兩點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)相等的情況.

⑵待定系數(shù)法

先設(shè)出直線的方程，再根據(jù)已知條件求出未知系數(shù)，最后代入直線方程.

利用待定系數(shù)法求直線方程的步驟：①設(shè)方程；②求系數(shù)：③代入方程得直線方程.

若已知直線過定點(diǎn)力支。,必），則可以利用直線的點(diǎn)斜式、一.廝=〃?（工一汽）求方程，也可以利用斜截式、截

距式等求解（利用點(diǎn)斜式或斜截式時(shí)要注意斜率不存在的情況）.

【方法技巧與總結(jié)】

1.牢記口訣：“斜率變化分兩段，90°是分界線；遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否要討論”.

2.“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，而‘'距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù).應(yīng)注意

過原點(diǎn)的特殊情況是否滿足題意.

3.斜率為A的直線的一個(gè)方向向量為（1次）.

4.涉及直線與線段有交點(diǎn)問題，常根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，利用斜率公式求解.

舉一反三

【題型1直線的傾斜角與斜率】

【例1】（2025?江蘇南通?模擬預(yù)測）直線“"an晟+y-2=0的傾斜角為（）

A.口B.生C.-D.史

510105

【答案】D

【解題思路】先將直線變形成斜截式，再根據(jù)傾斜角的取值范圍結(jié)合直線斜率公式求得即可.

（解答過程】由題意可將原直線方程變形為y=-tang無+2=tan??%+2,

由傾斜角的取值范圍[0m）,所以傾斜角為含即A、B、C錯(cuò)誤.

故選：D.

【變式1-1]（2025高二上?全國?專題練習(xí)）如圖，若直線小L，L的斜率分別為七，七，七，則（）

A.k[<k3Vk2B.k3<k<k2C.kx<k2<k3D.k3<k2<k]

【答案】A

【解題思路】根據(jù)直線傾斜角大小即可判斷三條直線斜率大小關(guān)系.

【解答過程】解：設(shè)直線，1，%，七的傾斜角分別為由，做，。3，

則由圖知0°<?3<?2<90°<%V180°,

所以tana1<0,tana2>tana3>0,

即ki<0,k2>k3>0.

故選：A.

【變式1-2】（2025?上海奉賢?二模）已知8是斜率為一1的直線的傾斜角，計(jì)算sin（。一以=.

【答案】《

（解題思路】根據(jù)正切函數(shù)值求出角進(jìn)而得出正弦值即可.

【解答過程】因?yàn)?。是斜率為?的直線的傾斜角，所以tanO=-l,0G[0,iT）,

所以。=9，

所以sin（6一媒=sin=sin^=y-

故答案為：y.

【變式1-3]（2025?江西萍鄉(xiāng)?一模）已知直線e"/-y（”+I）24-1=0（mGR）的斜率為匕則〃的最大值

為.

【答案】J

4

【解題思路】先求出直線的斜率憶=不/，化簡可得&再利用基本不等式即可求得k的最大值.

（小+1），em4-^+2

【解答過程】k=—~2=——i—<—,—=

（”+1）2/+#22口5+24

當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)取等號，所以A的最大值為;.

4

故答案為:I-

4

【題型2直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍】

【例2】（24-25高二上?福建廈門?期中）已知兩點(diǎn)C（-3,2）,8（2,1）,過點(diǎn)P（0,-1）的直線/與線段4?（含

端點(diǎn)）有交點(diǎn)，則直線/的斜率的取值范圍為（）

A.(—00,-1]U[1,4-co)B.[-1,1]C.(-co,-l)u[l,+oo)D.[-1,l]

【答案】A

【解題思路】求出直線PA、PB的斜率后即可求直線/的斜率的范圍.

【解答過程】如圖所示：

故直線，的取值范圍為(一8,—1]u[1,+8).

故選：A.

【變式2-1](24-25高二上?廣東廣州?期中)已知點(diǎn)力(2,—3),8(-5,—2),若直線，:mx—y+n+1=0與

線段88(含端點(diǎn))有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()

A.卜uB.(-8,一抑艮+8)

C.卜羽D.(-8,_汕向+8)

【答案】B

【解題思路】根據(jù)已知條件及直線的點(diǎn)斜式方程求出定點(diǎn)，直線與線段有交點(diǎn)，結(jié)合圖形可得直線斜率的范

圍，利用直線的斜率公式即可求解.

【解答過程】由nix-y+m+1=0,得y-l=m(x+l),

所以直線僅勺方程恒過定點(diǎn)P(-U)，斜率為m.

因?yàn)?(2,-3),8(-5,-2),

r；r2I.Ij-3-14.-2—13

,kpi}

所以"PA=TTF=_3==Z,

由題意可知，作出圖形如圖所示,

由圖象可知，血2：或771^—土

所以實(shí)數(shù)e的取值范圍為(一8,—芻U[1,+8).

故選：B.

【變式2-2](24.25高二上?貴州貴陽?階段練習(xí))已知直線，：(77i+2)x4-(7H-l)y+m-l=0,若直線Z

與連接4(1,-2),8(2,1)兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，貝〃的傾斜角范圍為()

A-[-P；]B.[%)C.噲司D.[o/]u管,n)

【答案】D

【解題思路】先求出直線1所過定點(diǎn)P的坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合可求出直線1的斜率的取值范圍，即可得出直線Z的傾

斜角的取值范圍.

【解答過程】直線，的方程可化為m(x+y+l)+(2x-y-l)=0,由，可得｛：二_,，

所以,直線，過定點(diǎn)P(0,-1).

設(shè)直線，的斜率為k,直線，的傾斜角為a,則OWaVir

因?yàn)橹本€P4的斜率為二#=-1,直線PB的斜率為

0—1。一2

因?yàn)橹本€I經(jīng)過點(diǎn)P(0,-1),且與線段A8總有公共點(diǎn)，

將力(1,—2)代入方程：(m+2)x+(m—l)y+m-1=0

可得：3=0不成立，4(1,一2)不在直線!上，

所以lv/cWl,即1<tana<1,

因?yàn)?WaVn所以0WaW;或曰<a<u

故直線I的傾斜角的取值范圍是卜用U償m).

故選：D.

【變式2-3](24-25高二上?黑龍江哈爾濱期末)已知點(diǎn)P(l,2),經(jīng)過點(diǎn)尸作直線/,若直線/與連接4(9,1),

8(5,8)兩點(diǎn)的線段(含端點(diǎn))總有公共點(diǎn)，則直線/的斜率％的取值范圍為()

A?牌B.昌3C.D.(_8,一胃咔,+8)

【答案】B

【解題思路】由題意作圖，利用斜率的計(jì)算公式，可得答案.

【解答過程】由題意作圖如下：

設(shè)直線AP的斜率為k”，直線B戶的斜率為跖戶，直線，的斜率為明，

由圖可知心p<k(<kBP,

由力(9,1),8(5,8),P(l,2),貝必/IP=￥=—《，^BP=I-?=4=I>

y-1o5-14L

所以一!w曷三2

oZ

故選：B.

【題型3直線的點(diǎn)斜式、斜截式方程】

【例3】(2025高二?全國?專題練習(xí))過點(diǎn)(1,2)且與直線y=2%-3斜率相等的直線方程為()

A.y-2=2(x-1)B.y-1=-2(x-2)

C.y-2=-2(x-1)D.y-1=2(x-2)

【答案】A

【解題思路】根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到直線方程.

【解答過程】直線斜率為2且過點(diǎn)(1,2),由點(diǎn)斜式方程得y-2=2(x-l).

故選：A.

【變式3-1](24-25高二下?河南?階段練習(xí))若直線小勺方向向量為(3,-⑸，且經(jīng)過點(diǎn)(3,-⑸，則直線!

的方程為()

A.x+V3y=0B.x4-V3y-6=0C.x-V3y=0D.x-V3y-6=0

【答案】A

【解題思路】先根據(jù)方向向量求出斜率，再由點(diǎn)斜式求出直線方程.

【解答過程】因?yàn)橹本€侑勺方向向量為(3,一6)，所以直線的斜率A=言，

所以直線方程為y=-4Q-3)-百，化簡可得x+V3y=0.

?5

故選：A.

【變式3-2](24-25高二上?北京懷柔?期末)已知直線的傾斜角為60。，且過點(diǎn)P(0,l),則直線的方程為()

A.y=^-x-1B.y=^-x+1C.y=V3x-1D.y=x/3x+1

JJ

【答案】D

【解題思路】首先得到直線的斜率，再由斜截式得到直線方程.

【解答過程】因?yàn)橹本€的傾斜角為60。，所以直線的斜率〃=tan6(r=百，

又直線過點(diǎn)P(0,l),所以直線的方程為y=V3x+1.

故選:D.

【變式3-3](24-25高二上?河北張家口?期末)已知直線1過點(diǎn)P(LO)，將直線I繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)子與％軸重合,

則直線，的方程為()

A.y=yx-1B.y=V3(x-1)

C.y=--^(x-1)D.y=-V3(x—1)

J

【答案】D

【解題思路】先求出直線，的傾斜角，再由點(diǎn)斜式即可得出答案.

【解答過程】直線，過點(diǎn)P(l,0),將直線Z繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)g與“軸重合，

所以直線1的傾斜角為g,所以tang=—g,

直線2的方程為：y=-V3(x-l).

故選：D.

【題型4直線的兩點(diǎn)式、截距式方程】

【例4】(24-25高二上?全國?課后作業(yè))已知直線［過點(diǎn)(3,5),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線1的方程

為()

A.x+y+8=0B.5x-3y=0

C.5x-3y=0或x+y-8=0D.5%-3y=0或x+y+8=0

【答案】C

【解題思路】當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，直線方程為；當(dāng)直線，不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為上

25x—3y=02a+a=1,

把點(diǎn)(3,5)的坐標(biāo)代入即可得出.

【解答過程】由題得當(dāng)直線!在坐標(biāo)軸上的截距均為0時(shí)，直線方程為y=即5x-3y=0；

當(dāng)直線，在坐標(biāo)軸上的截距均不為0時(shí)，直線方程可設(shè)為土+1=1,

aa

將(3,5)代入可得Q=8,此時(shí)直線方程為x+y-8=0.

綜上，直線!的方程為5x-3y=0或x+y—8=0.

故選：C.

【變式4?1】(24-25高二上?河北邢臺?階段練習(xí))已知直線I的兩點(diǎn)式為合=言，則()

A.直線1經(jīng)過點(diǎn)(5,2)B.直線Z的斜截式為％二|y-日

C.直線1的傾斜角為銳角D.直線，的點(diǎn)斜式為、-2=：。-5)

【答案】C

【解題思路】根據(jù)兩點(diǎn)式方程可得直線I經(jīng)過兩點(diǎn)(8,9),(2,5),進(jìn)而判斷AD,再將兩點(diǎn)式化為斜截式:y=1%+

個(gè),即可判斷B,得到直線，的斜率為5>0,即可判斷C.

【解答過程】由題意,直線，經(jīng)過兩點(diǎn)(8,9),(2,5),故AD錯(cuò)誤,

將兩點(diǎn)式化為斜截式：y=故B錯(cuò)誤，

JJ

直線，的斜率為：>(),所以直線/的傾斜角為銳角，故C正確.

故選：C.

【變式4?2】(24-25高二上?江蘇南通?期中)經(jīng)過4(2,1)與8(1,2)兩點(diǎn)的直線方程為.

【答案】x+y-3=0

【解題思路】利用兩點(diǎn)式方程可得直線48的方程.

【解答過程】由題意可知，經(jīng)過4（2,1）與8（1,2）兩點(diǎn)的直線方程為先=洛，即x+y—3=0.

故答案為：x+y-3=0.

【變式4-3]（2024?陜西西安?一模）過點(diǎn)P（l,3）,在x軸上的截距和在y軸上的截距相等的直線方程

為.

[答案]y=3%或％+y-4=u

【解題思路】按直線是否過原點(diǎn)，結(jié)合直線的截距式方程求解即得.

【解答過程】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直線y=3%在X軸上的截距和在y軸上的截距相等，則直線方程為y=3%；

當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為±+[=1,則工+三=1,解得Q=4,直線方程為％+y—4=0,

aaaa

所以所求直線方程為y=3x或x+y-4=0.

故答案為：y=3x或％+y-4=0.

【題型5直線的一般式方程】

【例5】（2025高二上?全國?專題練習(xí)）過點(diǎn)（-3,0）和（0,4）,的直線的一般式方程為（）

A.4%+3y+12=0B.4x+3y-12=0

C.4x-3y+12=0D.4x-3y-12=0

【答案】C

【解題思路】根據(jù)題意，利用直線的截距式方程求得直線的方程，再化為?般式方程，即可求解.

【解答過程】由直線過點(diǎn)（-3,0）和（0,4）,可得直線的截距式得直線方程為三+J=1,

T4

整理得4x-3y+12=0,即直線的一般式方程為4x-3y+12=0.

故選：C.

【變式5-1]（24-25高二上?陜西咸陽?期末）直線3y-8％=0的傾斜角為（）

A.30°B.150°C.60°D.120°

【答案】A

【解題思路】根據(jù)直線的一般式得出斜率，再結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系計(jì)算得出傾斜角.

【解答過程】直線3y—Hx=0的斜率為上=鼻

設(shè)傾斜角為d0°<0<180°,

所以弓=tan。，所以。=30°.

故選：A.

【變式5-2］（24-25高二上?江西贛州?期末）對于直線2:遮x-3y+4=0,下列選項(xiàng)正確的是（）

A.直線，傾斜角為々

B.直線I經(jīng)過第四象限

C.直線/在y軸上的截距為一：

D.直線1的一個(gè)方向向量為（3,再）

【答案】D

【解題思路】由直線的斜率和傾斜角的關(guān)系可判斷A；令％=0,求出直線1過點(diǎn)M（0,g）可判斷B和C；根據(jù)

直線過兩點(diǎn)，可求得兩點(diǎn)間的向量，判斷所得向量是否與向量（3,8）共線可判斷D.

【解答過程】設(shè)直線I的傾斜角為a，ae［0,ir）,

對于A,直線，的斜率為一￡=$所以tana=g則a=9故A錯(cuò)誤；

-3336

對于B,當(dāng)％=0時(shí)，y=1,即直線，過點(diǎn)M（0,§,且傾斜角為］

所以直線1經(jīng)過第一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限，故B錯(cuò)誤；

對于C,由B知，直線I在y軸上的截距為京故C錯(cuò)誤；

對于D,當(dāng)y=0時(shí)，％=-竽，即直線1過點(diǎn)N（-卓,0）,

則麗=（竽彳）=竽（3,⑹，所以直線，的一個(gè)方向向量為（3,，⑸，故D正確.

故選：D.

【變式5-3］（24-25高二上?河南?階段練習(xí)）已知直線4%+By+1=0在y軸上的截距是一1,其傾斜角是直

線、G%-y=0的傾斜角的2倍，則（）

A.A=y/3,B=1B.A=-\/3,B=-1

C.A=y/3,B=-1D.A=-V3,B=1

【答案】A

【解題思路】根據(jù)截距的定義，可得所求直線與y軸的交點(diǎn)，根據(jù)直線gx-y=0求得傾斜角，通過斜率定

義，可得答案.

【解答過程】由直線Ax++1=0在y軸上的截距是一1,則直線過（0,-1）,可得4?0+B?（-1）+1=0,

解得8=1：

由直線gx-y=O,設(shè)該直線的傾斜角為a,則tana=g,解得a=60°,

設(shè)直線/U+y+l=0的傾斜角為小斜率為

由￡=2a=120°,貝！Jk=tan/?=tanl20°=—y/3,

由A=-4則一4二一遍，解得力二8.

故選：A.

【題型6直線過定點(diǎn)問題】

[例6](25-26高二上?全國?課后作業(yè))不論m,n為何實(shí)數(shù)，直線(m-n)x+(m+2n)y-3n=0過定點(diǎn)()

A.(1,-1)B.(-1,1)C.(0,0)D.(2,2)

【答案】B

【解題思路】法一*：直線方程(m-n)x+(m+2n)y-3n=0可化為m(x+y)+n(2y-％-3)=0,解方程

組b鼠即可求解；

法二：直線方程(m-n)x+(m+2n)y-3n=0可化為(m-n)(x+1)4-(m+2n)(y-1)=0,解方程組

已二加可求解.

【解答過程】法一：直線方程(771-九)X+(7ZI+2幾)y—3n=0可化為m(x+y)+〃(2y-無一3)=0,

令廉?匕記。，解得能7；,即定點(diǎn)坐標(biāo)為(T1).

法二：直線方程(m—n)x+(m+2n)y—3九=0可化為(m—n)(x+1)+(TH+2n)(y-1)=0,

則解得即定點(diǎn)坐標(biāo)為(一1，1).

故選：B.

【變式6-1](24-25高二下?上海靜安?期中)直線mx+(3m-l)y+l=0必過定點(diǎn)()

A.(3,1)B.(-3,1)C.&1)D.&0)

【答案】B

【解題思路】將直線分離參數(shù)為皿%+3y)+(1—y)=0,令｛:箕，可得定點(diǎn).

【解答過程】根據(jù)題意，直線mx+(377i-l)y+l=0,

即+3y)+(1—y)=0,

令｛工,；,CVi3.

故直線mx+(3m-l)y+1=0必過定點(diǎn)(一3,1).

故選：B.

【變式6-2］(24-25高二上,福建莆田?期中)若直線(3a+2)x+(a-l)y-a=0(aeR)恒過定點(diǎn)4則點(diǎn)力

的坐標(biāo)為()

A-(輔B.(1,3)C.(濱)D.(昊)

【答案】C

【解題思路】將直線化為(3x+y-l)a+2x—y=U,據(jù)此可得定點(diǎn)坐標(biāo).

［解答過程］(3a+2)x+(a-l)y-a=0<=>(3x+y-l)a+2%-y=0,

令F室;2°,解得二i，則所過定點(diǎn)為體。

V=5

故選：c.

【變式6-3］(24-25高二上吶蒙古赤峰?階段練習(xí))已知直線，：5+2次+(血-1)丫+血一1=0,則直線，

恒過定點(diǎn)()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(0,-1)D.(1,0)

【答案】C

【解題思路】變形給定的直線方程，再解方程組求出定點(diǎn).

【解答過程】直線，：m(x+y+l)+2x—y—l=0,由償。?!；；)，解得］:，

所以直線，恒過定點(diǎn)(0,—1).

故選：C.

【題型7三線能圍成三角形的問題】

【例7】(24-25高二上?陜西寶雞?期中)已知三條直線4：y=x+l,Z2:y=-2x4-4,匕如+y+l=。不

能闈成三角形，則實(shí)數(shù)m的取值集合為()

A.{1,-2}B.{1,-2,3}

C.{-1,2,-3}D.{-1,2}

【答案】C

【解題思路】根據(jù)給定條件，求出直線的斜率及直線幾％交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用斜率相等及3條直線共點(diǎn)求出m

值.

【解答過程】直線，I,2/3的斜率分別為自=1也=-2也=一=,縱截距分別為1,4,-1

由{;:寸：〃解得即直線，1/2的交點(diǎn)為的，2),

由直線，1，%13不能圍成三角形，得直線?！ㄘ盎?，2〃%或點(diǎn)4在直線卜上，

則一zn=1或-m=-2或m+2+1=0,解得m=-1或m=2或m=-3,

所以實(shí)數(shù)m的取值集合為{一1,2,-3）.

故選：C.

【變式7-1］（24-25高二上?福建?階段練習(xí)）下面三條直線。:4x+y=4,l2,.mx+y=0,l3:2x-3my=4

不能構(gòu)成三角形，則m的集合是（）

A.B.{4,-1}C.{-1,一強(qiáng),4}D.{-1,一305,4}

【答案】C

【解題思路】三直線不能構(gòu)成三角形時(shí)共有4種情況，即三直線中其中有兩直線平行或者是三條直線經(jīng)過同

一個(gè)點(diǎn)，在這四種情況中，分別求出實(shí)數(shù)m的值.

【解答過程】當(dāng)直線，i：4x+y=4平行于％：mx+y=0時(shí)，m=4.

當(dāng)直線L：4x+y=4平行于q：2x-3my=4時(shí)，m=-

6

當(dāng)0:mx+y=0平行于Z3：2%-3my=4時(shí)，—m=二，無解.

當(dāng)三條直線經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)時(shí)，把直線與，2的交點(diǎn)（一一，聲），代入，3：2x—3/ny=4,

4—m4-m

得2x，——3mx=4,解得：m=-1或m=之，

4-zn4-m3

綜上,滿足條件的m的集合為為{4,一；,一1百.

63

故選：C.

：x

【變式7-2］（24-25高二上?湖南?期末）若三條不同的直線，/ax+y+2=0J2+y-1=0A3:x-y+3=0

不能圍成一個(gè)三角形，則。的取值集合為（）

A.{-1,1}B.{4,1}C.{-pl}D.{4,-1,1）

【答案】D

【解題思路】分線線平行和三線共點(diǎn)討論即可.

【解答過程】若，1〃%，則一。二一1,解得Q=l.若“〃3，則一Q=l，解得Q=-l.

若，I，%，b交于一點(diǎn)，聯(lián)立方程組{：}；；；二）解得得{j：；'

代入ax+y+2=0,得-a+2+2=0,解得。=4,故。的取值集合為{4,一1,1}.

故選：D.

【變式7-3](24-25高二上?全國?課后作業(yè))使三條直線4%4-y-4=O,mx+y=0,2x-3my-4=0不能

圍成三角形的實(shí)數(shù)m的值最多有幾個(gè)()

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

【答案】B

【解題思路】根據(jù)題設(shè)，討論存在兩條直線平行或三條直線交于一點(diǎn)，分別求出對應(yīng)加值，進(jìn)而驗(yàn)證是否滿

足題設(shè)，即可得答案.

【解答過程】要使三條直線不能圍成三角形，存在兩條直線平行或三條直線交于一點(diǎn)，

若+y-4=0,?nx+y=0平行，則即m=4；

若mx+y=0,2x-3my-4=0平行，則/二即無解；

若4%+y—4=0,2%—3zny-4=0平行，貝心=—^―,即血=一；；

2-3m6

lx4-y-4=0

mx+y=0，可得m=;或m=-1；

(2x-3my-4=0

經(jīng)檢驗(yàn)知：mW{-4}均滿足三條直線不能圍成三角形，故機(jī)最多有4個(gè).

6o

故選:B.

【題型8直線方程的綜合應(yīng)用】

【例8】(24-25高二上?寧夏吳忠?期中)己知直線/:(a-l)y=(2。-3)x+1.

(1)求直線，所過定點(diǎn)；

(2)若直線，不經(jīng)過第四象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍：

(3)若直線，與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積最小，求，的方程.

【答案】⑴(1,2)

⑵艮+8)

(3)2%4-y-4=0

【解題思路】(1)由方程變形可得a(2x-y)-3x+y+l=0,列方程組，解方程即可：

(2)數(shù)形結(jié)合，結(jié)合直線圖象可得出關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式，解之即可：

(3)求得直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，可得面積，進(jìn)而利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得最值.

【解答過程】(1)由，:(a-l)y=(2a-3)x+l,即Q(2X-y)-3%+y+1=0,

則[解得所以直線過定點(diǎn)(L2).

(—ox十y十JL—uu-乙

(2)因?yàn)橹本€Z不過第四象限，結(jié)今圖形可知，直線Z的斜率存在，所以QH1,

此時(shí)，直線，的方程可化為^二會工+工，記點(diǎn)4(1,2),則%%=2,

由圖可得0W普工2,解得QN%因此，實(shí)數(shù)Q的取值范圍是［|，+8).

(3)已知直線I:(。-l)y=(2a—3)%+1,且由題意知aHl,

令x=0,得丫=」->0,得a>l,

a-1

令),=o,得X=-i—>0,得av

3—，al

貝Ijs=-X」-X---=T------=-------2~，

2a-13-2a-4a2+10a-6.“a］)+［

所以當(dāng)a=?時(shí)，S取最小值，

此時(shí)直線［的方程為(工一l)y=(2x1-3)x+1,即2%+y-4=0.

【變式8-1］(24-25高二上?山東?階段練習(xí))直線［方程為(m+l)x+y-2?n-3=0(mwR).

(1)證明：無論m為何值，直線1過定點(diǎn)；

(2)已知。是坐標(biāo)原點(diǎn),若直線［分別與％軸正半軸、y軸正半軸交于力，B兩點(diǎn)，當(dāng)^4。8的面積最小時(shí)，求^AOB

的周長及此時(shí)直線，的方程.

【答案】(1)證明見詳解

(2)A48。的周長為6+2通，直線［的方程》+2y-4=0

【解題思路】(1)將直線侑勺方程變形為m(x-2)+x+y-3=0,令二解得即可；

(2)首先求出直線在％、y軸上的截距，即可求出m的范圍，再由面積公式及基本不等式求出面積最小值及此

時(shí)抗的值，從而求出直線I的方程及三角形的周長.

【解答過程】(1)因?yàn)橹本€，的方程(血+l)x+y-2m-3=0,即m(x-2)+X+y-3=0,

令解得

所以直線膽過定點(diǎn)(2,1)；

(2)因?yàn)橹本€/的方程(m+l)x+y-2m-3=0,依題意m+lHO,即7nH-1,

令x=0,得到y(tǒng)=2m+3；令y=0,得到x=個(gè)詈；

(2m4-3>0

令2m+3〉°,解得m>-l,

wi+l

可得s△.書|2m+3||鬻卜黑富，

令執(zhí)+1=￡>0,^]SAABC==2t+^+2>2+2=4,

當(dāng)且僅當(dāng)2".即"仙=-部等號成立

此時(shí)更線/的方程為k+2y-4=0,

旦/(4,0),F(0,2),\AB\=V42+22=2遮，

所以當(dāng)△48。的面積最小時(shí)，△AB。的周長為6+2%，直線/的方程％+2、-4=0.

【變式8-2](24-25高二上?甘肅嘉峪關(guān)?階段練習(xí))已知直線儂過點(diǎn)P(-l,2).

(1)若/不過原點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距和為零，求，的方程；

(2)設(shè)/的斜率1>0,與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A和5,當(dāng)△NOB的面積最小時(shí)，求，的斜截式方程.

【答案】(l)x—y+3=0

(2)y=2x+4

【解題思路】(1)設(shè)，的點(diǎn)斜式方程為y-2=k(x+l),kW0,求出兩坐標(biāo)軸上的截距，求出也即可得解;

(2)求出兩坐標(biāo)軸上的截距，再根據(jù)△力。8的面積結(jié)合基本不等式求出△力。8的面積最小時(shí)k的值，即可得

解.

【解答過程】(1)由題意知，，的斜率存在且不為0,

設(shè)斜率為匕則，的點(diǎn)斜式方程為y—2=k(x+1),

則它在兩坐標(biāo)軸上截距分別為-1-:和k+2,

所以-1-]+k+2=0,解得k=-2(此時(shí)直線過原點(diǎn)，舍去)或k=1,

k

所以，的點(diǎn)斜式方程為y-2=x+l,即x-y+3=0：

(2)由(1)知，力(一(一1,0),8(0,k+2),(/c>0),

所以△A08的面積S=+>.忙+2|=叱/=9+2+檢2F|+2=4,

當(dāng)且僅當(dāng)寺=沏4=2時(shí)，等號成立，

2k

，的點(diǎn)斜式方程為y-2=2(x+1),

所以I的斜截式方程為y=2x+4.

【變式8-3](24-25高二上?福建期中)已知直線1過點(diǎn)力(-3,2),且1的一個(gè)法向量是(4,3).

(1)求直線1的方程：

(2)若直線，與y軸交于點(diǎn)C,將宜線4c繞著點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)C所對應(yīng)的點(diǎn)為D,求直線力。的方程；

(3)在(2)的條件下，求N&4D的角平分線所在的直線方程.

【答案】(l)4x+3y+6=0

(2)3x-4y+17=0

(3)x+7y-11=0

【解題思路】(1)根據(jù)直線的點(diǎn)法式方程可得出直線Z的方程；

(2)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，可得出直線.4C的斜率，分析可知，ADLAC,可得出直線力。的斜率，利用點(diǎn)斜式可得

出直線AD的方程；

(3)設(shè)直線4C的傾斜角為明分析可知，90。VaV135。，則“力。的角平分線所在的直線的傾斜用為a+45。,

利用兩角和的正切公式可求出角平分線所在直線的斜率，再利川點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.

【解答過程】(1)因?yàn)橹本€侑勺一個(gè)法向量是(4,3),

又過點(diǎn)4(—3,2)所以可得直線，的方程為4(x+3)+3(y-2)=0,

化簡得4x+3y+6=0,所以所求直線的方程為4x+3y+6=0.

(2)因?yàn)橹本€1與y軸交于點(diǎn)C,由(1)知用勺方程為4%+3y+6=0,所以。(0,-2),

因?yàn)?(-3,2),所以k/ic=-

將直線HC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)。所對應(yīng)的點(diǎn)為。，

1AC,所以匕犯二*

由點(diǎn)4-3,2)可知直線方程為y-2=；(x+3),即3%-4y+17=0.

(3)設(shè)直線AC的傾斜角為a,因?yàn)閠ana=攵何=一g<一1=tanl35°,

所以，90°<a<135°,則135°va+45°V180°,

所以，N&4O的角平分線所在直線的傾斜角為a+45。,

則的角平分線所在直線的斜率為

k-tan(a+45°)-Sna+tan45°_f__1

"一tan(a+)--y)xi-7

因此，乙乙4。的角平分線所在直線的方程為y—2=—4%+3),即x+7y—ll=0.

過關(guān)測試

一、單選題

1.(2025?天津紅橋?模擬預(yù)測)直線y=x+l的傾斜角為()

A.：BUMD.文

4

【答案】A

【解題思路】由直線的斜截式方程求出直線的斜率，最后根據(jù)直線斜率與直線傾斜角的關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【解答過程】直線y=x+l的斜率為1,則直線y=%+1的傾斜角為今

故選：A.

2.(2025?四川眉山?三模)已知點(diǎn)4(4,2⑸,8(1,8)，若向量屈是直線I的方向向量，則直線，的傾斜角為

()

A.30*B.60*C.120*D.150,

【答案】A

【解題思路】根據(jù)直線的方向向量、斜率公式及傾斜角與斜率的關(guān)系即可求解.

【解答過程】直線的斜率k=嗓更=?

4-13

所以直線加勺傾斜角為30°.

故選：A.

3.（2025?江西新余?一模）已知直線侑勺方程為y=（-。2+1）%+4則直線z的傾斜角的取值范圍為（）

A?陪]B.展）

C?圖U（澗D.同嗚n）

【答案】D

【解題思路】求出直線m勺斜率的取值范圍，利用直線傾斜角與斜率的關(guān)系可得出直線[的傾斜角的取值范圍.

【解答過程】直線，的斜率為Z=—Q2+1工1,設(shè)該直線的傾斜角為。，則tan。41,

又因?yàn)?<0<11,故0€[%]u&"）.

故選：D.

4.（2025,吉林長春?一模）直線x+2y-4=0與直線3x+y-9=0所成角是（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】D

【解題思路】根據(jù)題意，求得兩條直線的斜率，然后由兩直線的夾角公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【解答過程】直線％+2y—4=0斜率七=一5直線3%+丫-9=0斜率七=一3,

設(shè)兩直線的夾角為仇則tan.=|磊卜|初5瑞11,

且0。工"90。,所以。=45。.

故選：B.

5.（2025?新疆烏魯木齊?模擬預(yù)測）如圖，直線人、%、b、〃中，斜率最小的是（）

【答案】B

【解題思路】根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系可得出結(jié)論.

【解答過程】由圖可知，】的傾斜角為銳角，%、，3、〃的傾斜角為鈍角，

則直線的斜率為正數(shù)，直線%、13、〃的斜率均為負(fù)數(shù),

且，2、b、。中，直線。的傾斜角最小，故直線%的斜率最小.

故選：B.

6.(2025,安徽馬鞍山?一模)設(shè)點(diǎn)4(2,1),B(—2,3),若直線ax+y+1=0與線段力B沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

。的取值范圍為()

A.(-oo,-l)B.(-2,1)C.(-1,2)D.(1,+8)

【答案】C

【解題思路】由直線方程可判斷直線的斜率-a和經(jīng)過的定點(diǎn)P(0,-1),結(jié)合題意作圖，需使防&<-?<kiX

成立，解之即得.

【解答過程】由ax+y+l=0可知直線的斜率為-a,且經(jīng)過定點(diǎn)戶(0,-1),

由點(diǎn)八(2,1),8(-2,3)可得直線夕力/8的斜率分別為：k==1,k==-2>

PAN-UPB-Z—U

作圖如下，由圖知，要使直線ax+y+1=0與線段48沒有公共點(diǎn)，

需使。8<-a<kpA，解得一1<a<2.

故選：C.

7.(2024?山東?二模)己知直線，與直線“-丫=0平行，且在y軸上的截距是-2,則直線Z的方程是()

A.x-y+2=0B.x—2y+4=0

C.x—y—2=0D.x4-2y-4=0

【答案】C

【解題思路】依題意設(shè)直線［的方程為x-y+TH=0,代入(0,-2)求出參數(shù)的值，即可得解.

【解答過程】因?yàn)橹本€I平行于直線％-y=0,所以直線1可設(shè)為x-y+m=0,