專(zhuān)題06三角恒等變換與解三角形

目錄

明晰學(xué)考要求.................................................................1

基礎(chǔ)知識(shí)梳理.................................................................1

考點(diǎn)精講講練.................................................................3

考點(diǎn)一：利用三角恒等變換公式求值..........................................................3

考點(diǎn)二：三角恒等變換與三角函數(shù)綜合........................................................6

考點(diǎn)三：利用正余弦定理解三角形............................................................9

考點(diǎn)四：正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用..............................................................13

實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練................................................................16

明晰學(xué)考要求期

1、了解兩角和與差的余弦、正弦、正切公式的推導(dǎo)過(guò)程；

2、能利用兩角差與和的余弦、正弦、正切公式進(jìn)行求值、計(jì)算;

3、能利用余弦、正弦、正切的二倍角公式求值、計(jì)算；

4、了解正弦定理，能利用正弦定理解三角形；

5、了解余弦定理，能利用余弦定理解三角形；

6、能利用正弦定理、余弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

基礎(chǔ)知識(shí)梳理0

1、兩角和與差的余弦、正弦、正切公式

(1)兩角和與差的余弦公式：

簡(jiǎn)記公式

C(a+0cos(a+2)=cosacos夕一sinasin^；

C(a-/)cos(?一。)=cosacos￡+sinotsin/?；

(2)兩角和與差的正弦公式

簡(jiǎn)記公式

S(a+0sin(a+S)=sinacos^+cosasin^

S(a-￡)sin(a-。)=sinacos￡—cosasin^

(3)兩角和與差的正切公式

簡(jiǎn)記符

公式使用條件

號(hào)

7T

tana+tan、a,B，a+4均不等于防i+]

T(a+￡)tan(aB)1—tanatan￡

(k￡Z)

jr

tana-tan：a,0,a一4均不等于左兀+1

T(a—￡)tan(aB)1+tanottan0

(舊)

2、二倍角公式

(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式

記法公式

S2asin2a=2sinacosa

C2acos2a=cos2ot-sin2?=1-2sin2(z=2cos2ot-1

八2tana

T2atan2a—，

1-tan2a

(2)注意余弦的二倍角公式的逆用：l-2sin2(x=cos2a,2cos2ct-l=cos2a,1+cos2a=2cos2ot；

1—cos2a=2sin2a等.

3、輔助角公式

asinx+bcosx=g^P^sin(x+9).其中tan(P=^9所在象限由a和6的符號(hào)確定.

4、正弦定理

(1)正弦定理：三角形的各邊與它所對(duì)角的正弦的比相等，即在AABC中，角A,B,C所對(duì)

的邊分別為a,b,c,則⑥=熹=―=2R(R為△ABC的外接圓的半徑).

Sill/ASillLJSillL

(2)正弦定理變形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=27?sinC；

.,a.gb._c

smA=；7^,sinsinC=^3，

5、余弦定理

（1）余弦定理：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的

余弦的積的兩倍，

即在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為mb,c,

則a2=h2+c1—2bccosA,

b2=a2-\-c2—2accosB,

c2=a2-\-b2—2abeosC.

Z72+c2—（22（22+c2-Z?26Z2+Z?2—c2

（2）推法：cosA=------------,cosB=-------------,cosC=-------------.

考點(diǎn)精講精練

考點(diǎn)一：利用三角恒等變換公式求值

【典型例題】

例題1.（2024高二上?江蘇揚(yáng)州?學(xué)業(yè)考試）化簡(jiǎn)8543。8513。+5皿43。511113。，得（）

1

A.-B.—C.—D.cos56°

222

【答案】C

【分析】逆用余弦函數(shù)的和差公式即可得解.

【詳解】cos43°cos13°+sin43°sin13°=cos（43°-13°）=cos30°=-3

2.

故選：c.

例題2.（2023高三上?江蘇徐州?學(xué)業(yè)考試）已知=；貝1Jcos(2a_1]=()

1

A.-B.--C.-D.——

8842

【答案】B

【分析】用二倍角公式即可求解.

【詳解】cos^2tz-y^=cos=2cos[a-^J]-1=,

故選：B

3

例題3.（2023高三?江蘇?學(xué)業(yè)考試）在VABC中，已知cos2A—,則sinA=()

「V5

A.且iBD,正

5-I55

【答案】D

【分析】確定sinA>0,再利用二倍角公式計(jì)算得到答案.

【詳解】Ae(0,7t),sinA>0,cos2A=1—2sin2A=——,解得sinA=2個(gè)

故選：D

itan

例題4.（2024高三上?江蘇南京?學(xué)業(yè)考試），/「。二：”是“巴上竺二11”的（）

4tana

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要

條件

【答案】C

【分析】化簡(jiǎn)四也=11得tan2a=1,再根據(jù)充分、必要條件的知識(shí)判斷即可.

tana4

2tana

+tana.3

\tan2a+tanal-tan2a________3atan?-tana

【詳解】因?yàn)閠an3a=tan(2a+a)=-------------------

1-tan2atana2tan?—一tan2a

-----------------2-----?CC

1-tana

匚匚2tan3。3-tan2a-

所以-----=-------z—=11，

tana1-3tana

解得tan2a=7.

4

所以“tan?a=J，，是，，理友=11”的充要條件.

4tana

故選：C.

【即時(shí)演練】

1.sin30°cos600+cos30°sin60°=()

A.—B.—C.1D.2

22

【答案】C

【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式求得正確答案.

［詳解］sin30°cos600+cos30°sin60°=sin(30°+60°)=sin90°=1.

故選：C

ctan150+tan450貽/士口/、

2.――有的值是()

1-tan15tan45

Bc

…-4-TD.招

【答案】D

【分析】利用正切的和角公式，計(jì)算即可.

,、注tan15°+tan45°““八’八門(mén)

【詳解】--------------=tan(15+45)=tan60=<3A.

1-tan15°tan45°v)

故選：D

3.(2024江蘇省揚(yáng)州市學(xué)業(yè)水平考試模擬)已知cos(5-a]=2cos(?+a),且tan(a+Q)=；,則tan/7

的值為()

A.-7B.7C.1D.-1

【答案】B

【分析】由了誘導(dǎo)公式得sina=-2cosa,由同角三角函數(shù)的關(guān)系可得tana=-2,

再由兩角和的正切公式tan(a+Q)=魯”曾烏，將tana=-2代入運(yùn)算即可.

1—tan(Xtanp

【詳解】解：因?yàn)閏os1]-。2cos(4+a),

所以sina=-2cosa,即tana=-2,

又tan(a+p)=g,

tana+tan/?_1

、1-tancrtanp3

解得tan4二7,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了誘導(dǎo)公式及兩角和的正切公式，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬中檔題.

4.已知角a是第一象限角，cosa=|,則cos[a+|J=()

3-4后

10

C4A/3-33+4有

1010

【答案】B

【分析】

根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和余弦公式求解即可.

3

【詳解】因?yàn)榻恰Ｊ堑谝幌笙藿?，COS6Z=-,

I------------4

所以sina=A/1-COS2a--,

g、i（兀）兀..兀134括3-4A/3

所以cosa+—=coscrcos----sinasin—=—x-------x——=----------.

33255210

故選：B

考點(diǎn)二：三角恒等變換與三角函數(shù)綜合

【典型例題】

例題1.（2024?江蘇省揚(yáng)州市學(xué)業(yè)水平考試模擬）函數(shù)y=l-2sin2x的最小正周期為（）

7T

A.—B.?C.2%D.44

2

【答案】B

【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用余弦型函數(shù)的周期公式可求得原函數(shù)的最小正周期.

【詳解】因?yàn)閥=l-2sin2x=cos2尤，

所以該函數(shù)的最小正周期T=三27r=?2=7r兀.

故選：B.

例題2.函數(shù)〃了）=2?）沫儂11%+?）近）的最大值是（）

A.1B.72C.5/2+1D.272

【答案】C

【分析】利用倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)作答即可.

［詳角星］/（x）=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+l=A/2sin12x+：j+1,

所以當(dāng)sin（2%+烏卜1,gp2x+-=-+2k7t,^x=-+kn,后eZ時(shí)，

V4j428

取得最大值忘+L

故選：c.

例題3.（2023高三上?江蘇徐州?學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)/（x）=cosg-x）cosg+x］+2asinx+g的最大值為

4,則正實(shí)數(shù)。的值為（）

A.V3B.2C.—2或2D.2或石

【答案】B

【分析】利用三角恒等變換的知識(shí)化簡(jiǎn)了(%)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得正數(shù)。的值.

【詳解】/(%)=

兀.71.V兀.兀1

cos—cosx+sin—sinxcos—cosx-sin—sinx\+2asmx+—

44人44J2

=[(cosx+sinx)(cosx-sinx)+2asinx+g

二；(cos?x-sin2%)+2Qsinx+g

=—(1-sin2x-sin2x)+2^sinx+—

2V72

=—sin2%+2asinx+l?

令/=sin九/6[—1,1],貝！|y=-t2+2at+l,Ze[-1,1],

開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為％=。，

當(dāng)Ova<1時(shí)，則Vmax=-。2+2ax〃+l=1+1=4,〃=3,無(wú)解.

當(dāng)a>1時(shí)，貝|J'max=-l2+2d;Xl+l=2(7=4,d!=2.

綜上所述，，的值為2.

故選：B.

【即時(shí)演練】

1.函數(shù)y=sin%+6cosx,XER的最大值為()

A.1B.C.-D.2

2

【答案】D

【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)為y=2sin[x+1],根據(jù)正弦型函數(shù)的最值可求得結(jié)果.

【詳解】vy=sinx+\/3cosx=2sin|x+—|,當(dāng)x「=*+2kji,keZ,即％=二+2E,左￡Z時(shí),

V3J326

y=sinx+Qcos%取得最大值2.

故選：D.

2.若函數(shù)〃x)=Acosx—sinMA>0)的最大值為2,則人=，/(%)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為

【答案】在序o](答案不唯一)

【分析】根據(jù)輔助角公式對(duì)函數(shù)/(X)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)最大值求出A,最后利用余弦型函數(shù)求出對(duì)稱(chēng)中

心.

【詳解】由/(%)=Acos%—sinc=J?！?lcos(x+°)，其中tano='，

21

又函數(shù)”X)的最大值為2,則獷1=2，

又A>0,則4=6，tanp=乎，不妨取。=￡,

故/(x)=2cos(x+。,

則/'(x)的對(duì)稱(chēng)中心滿足x+不=5+E,左eZ,解得x=g+防r,左eZ,

即〃x)的對(duì)稱(chēng)中心為「+板。]，keZ,

則〃x)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心可為：

故答案為：6,(答案不唯一)

3.已知函數(shù)/(%)=2COS2X—1.

⑴求”胃的值；

⑵設(shè)g(尤)=f(x)+百sin2x,求g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

【答案】⑴；

,7T,7T/,_\

(2)kn——,ku+—(左￡Z)

【分析】(1)先利用余弦的倍角公式化簡(jiǎn)/(無(wú))，再直接代入自變量即可得解；

(2)利用輔助角公式化簡(jiǎn)g(x),再利用整體代入法，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解.

【詳解】(1)Hf(x)=2cos2x-1=cos2x,

所以dW=8s(2Wj=c°s±；.

(2)13^/^(-^)=f(x)+A/3sin2x=cos2x+sin2x=2sin2x+—,

7171

所以g（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為kn--,kK+-（ZeZ）.

3o

考點(diǎn)三：利用正余弦定理解三角形

【典型例題】

例題1.（2023高三上?江蘇徐州?學(xué)業(yè)考試）在VABC中，邊長(zhǎng)忸C|=10,A=60。,8=45。，則邊長(zhǎng)|AC|=

()

B,巫5瓜

A.20>/2C.10A/2

3

【答案】B

【分析】用正弦定理即可求解.

sinAsinBJ3J2?,in/6

【詳解】由正弦定理得回=國(guó)即靠=端，解得M。=竽A,

故選：B.

例題2.（2023?江蘇徐州?學(xué)業(yè)考試）在VABC中，若sinA:sin_B:sinC=3:5:7,則C=（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【分析】由正弦定理化角為邊，然后由余弦定理計(jì)算cosC即可得C角.

【詳解】VsinA:sinB:sinC=3:5:7,由正弦定理得a:A:c=3:5:7,

設(shè)a=3k,b=5k,c=7k(k>0),

2

/+/_c9左2+25左2-49左2_1

則cosC=又。是三角形內(nèi)角,

2ab2x3kx5k2

???C=120°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理，解題是用正弦定理化角為邊.屬于基礎(chǔ)題.

例題3.（2024高三上?江蘇南京?學(xué)業(yè)考試）在VABC中，Av5<C且tanAtan民tan。均為整數(shù)，D為

AC中點(diǎn)，則瞿的值為（）

BL）

A.-B.也C.3D.1

222

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，確定角A的大小，再利用和角的正切及整數(shù)條件求出tanB/anC,然后利用同角

公式、正弦定理及向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解即得.

【詳解】在VABC中，由A<3<C,得3A<A+B+C=180。，即0。<4<60。,

則OvtanA〈石，由tanA為整數(shù)，得tanA=l,A=45\B+C=135°,

tan(B+C)=tan'+tan.=_1；整理得(tanB-l)(tanC-1)=2,

1-tanBtanC

而1vtan5vtanC,且tantanC均為整數(shù)，則tan5=2,tanC=3,

|sinB=2cosB1

角窣得sin5=忑,cos5二

|sin*2B+cos2B=1忑'

JsinC=3cosC

由22解得sinC=^,cosC',

IsinC+cosC=1SoVio

b上尸缶，則匕=巫—辿0,

由正弦定理得

sinBsinCsinA55

由0為AC中點(diǎn)，得麗=；（而+麗，則初|=gj（麗+麗2

1—----------1922c3布1

+u+2,ciccosD——.I—Q+ci+2------a?a—■=—Q.

22y55出

所以窘L

故選：D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本問(wèn)題的關(guān)鍵是求出tanBtanC的值，再轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題.

例題4.（2024?江蘇省揚(yáng)州市學(xué)業(yè)水平考試模擬）/ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

（G+2C）COSB+&COSA=0.

（1）求B；

（2）若6=3,AABC的周長(zhǎng)為3+2石，求AABC的面積.

【答案】（1）B飛⑵%BC=￥

【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，求出2的值;

（2）利用余弦定理和三角形的面積公式求出結(jié)果.

【詳解】（1）+2c）cosB+bcosA=0,

(sinA+2sinC)cosB+sinBcosA=0,

(sinAcosB+sinBcosA)+2sinCcosB=0,

sin(A+3)+2cosBsinC=0,

?/sin(A+B)=sinC.

cosB=—

2

2

：0<B<71,：.B=—7T.

3

⑵由余弦定理得9=4+，-2acx，

a2+c2+。。=9,.=(Q+C)2-ac=9,

a+b+c=3+2y/3^.，.b=3,.\a+c=2G

ac=39

x3x與記

?q

…0AABC2224

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，三角形面積公

式的應(yīng)用.

【即時(shí)演練】

1.在AABC中，三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若6=3,c=2,8=60。，則cosC=()

A.逅B.立C.走D.-

3333

【答案】A

【分析】根據(jù)正弦定理可求sinC=3,從而可求cosC=".

33

【詳解】由正弦定理可得一工=一二，故sinC=3,

sin60sinC3

因?yàn)閎>c,故5>C,故。為銳角，故cosC=邁，

3

故選：A.

2.在VA8C中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,6,c.若(a+c—b)(6+c-a)=4,c=60。，則VABC的面積

是()

A.巫B.立C.6D.25/3

42

【答案】C

【分析】根據(jù)余弦定理公式和面積公式直接求解即可.

【詳解】解：因?yàn)椋ā?。一〃）（h+。一。）=4,C=60°,

+6Z

所以02一（〃一/7）2=4,cosC="----=—

''lab2

所以，c2—b2—a2+2ab=4,b1+a1—c1=ab，

所以必=4,S=—aZ?sinC=—x4x=百.

“ABC222

故選：C.

3.在AABC中，已知acosB+bcosA=V^ccosC

⑴求角C

（2）若〃+2〃=8,求邊c的取值范圍.

JT

【答案】（1）—

4

（2）V5-1<C<A/5+1

【分析】（1）根據(jù)條件，利用邊轉(zhuǎn)角及正弦的和角公式，得至UcosC=Y2,即可求解；

2

⑵根據(jù)條件，利用正弦定理得到』+且sin（22/）=：,從而得到匕好，即可求解.

22c22c22

【詳解】（1）SaCOSB+bcOSA=y/2cCOSC，得至卜皿71853+511138571=&5111。85。，

所以sin(A+B)=sinC=V^sinCcosC,又。?0,兀)，貝！JsinCwO,

得到cosC=X2,所以C=；.

24

工十…-〃bcd兀皿/=*=岳sinA6=4=岳sinB

(2)由正弦定理知~~-=——~='.■,又。二:，所以^2，^2

sinAsinBsinC4------

22

由1+2〃=8,得到2c2sin2A+4c2sin*=8,整理得到sin2A+2$而8=3,

c

LLt、ll-COS2Ari4「/n3兀

所以--------Hl—COS2B=—,又A+5=—，

2c24

-313兀314

所以----cos2(----B)-cos2B=—+—sin2B-cos2B=—,

22422c

得到|+岑sin(2B_9)=W，其中tan0=2,

則三@4之三也5,解得K-IVcV6+1,

2c22

所以邊c的取值范圍為括-IVc40+1.

考點(diǎn)四：正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用

【典型例題】

例題1.（2023高三上?江蘇徐州?學(xué)業(yè)考試）已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于2km,燈

塔A在觀察站C的北偏東20。，燈塔8在觀察站C的南偏東40。，則燈塔A與燈塔8的距離為（）

A.2kmB.4kmC.2>/2kmD.2V3km

【答案】D

【分析】利用余弦定理求得正確的.

【詳解】依題意ZACB=180°-20°-40°=120°,

所以AB=A/22+22-2X2X2XCOS120°=2瓜m.

故選：D

A

\B

例題2.（2023高三?江蘇?學(xué)業(yè)考試）兩游艇自某地同時(shí)出發(fā)，一艇以10km/h的速度向正北方向行駛，另

一艇以8km/h的速度向北偏東6（0。<6<90。）角的方向行駛.若經(jīng)過(guò)30min,兩艇相距而'km,貝U6=

（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】C

【分析】如圖，設(shè)點(diǎn)A為出發(fā)點(diǎn)，點(diǎn)3為10km/h的船30min后到達(dá)的點(diǎn)，點(diǎn)C為8km/h的船30min后到達(dá)

的點(diǎn)，再利用余弦定理即可得解.

【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)A為出發(fā)點(diǎn)，點(diǎn)B為10km/h的船30min后到達(dá)的點(diǎn)，點(diǎn)C為8km/h的船30min后到達(dá)

的點(diǎn)，

則AB=5km,AC=4km,BC=-j2Akm,ZBAC=9,

A4+AC?—"25+16-211

則cos6=

2ABAC2x5x4-2

又因0。<6<90。，所以8=60。.

B

例題3.為了測(cè)量一座底部不可到達(dá)的建筑物的高度，復(fù)興中學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方

案：如圖，設(shè)A,8分別為建筑物的最高點(diǎn)和底部.選擇一條水平基線HG,使得H,G,B三點(diǎn)在同一直

線上，在G,H兩點(diǎn)用測(cè)角儀測(cè)得A的仰角分別是a和夕，CD=a,測(cè)角儀器的高度是由此可計(jì)算出

建筑物的高度若。=75。,〃=45。，則此建筑物的高度是（）

C.D.

【答案】A

【分析】在AAS中，利用正弦定理求出AC,再解RSACE求出AE,即可得解.

【詳解】在AACD中，CD=a,ZADC=45°,ZCAD=75°-45°=30°,

ACCD

由正弦定理得

sinZADCsinACAD

夜

ax----

所以AC=—產(chǎn)=缶，

2

sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=遍；夜

在RtAACE中，AE=ACsinNACE=億x"+拒,

42

所以AB=AE+BE=/上1■a+/z,

2

即此建筑物的高度是且把a(bǔ)+/7.

2

故選：A.

【即時(shí)演練】

1.某飛機(jī)在空中沿水平方向飛行，飛行至A處飛行員觀察地面目標(biāo)C測(cè)得俯角為30。，繼續(xù)飛行800（單

位：米）至B處觀察目標(biāo)C測(cè)得俯角為60。.已知A氏C在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)，則該飛機(jī)飛行的高度為

（）

A.400B.4006C.800D.800上

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)。，可得3C=AB=800,在RUBDC中解三角形可得解.

【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)。，

QZA=30°,ZCBD=60°,

ZACB-ZCBD-ZA=30°,/.BC=AB=8Q0,

在RIABDC中，CD=BCxsin60°=800x—=40073.

2

故選：B.

2.如圖，一艘船向正北航行，航行速度為每小時(shí)30海里，在A處看燈塔S在船的北偏東30。的方向上.1

小時(shí)后，船航行到2處，在8處看燈塔S在船的北偏東75。的方向上，則船航行到B處時(shí)與燈塔S的距離

30°/

AI'

A.15&海里B.15n海里C.30我海里D.10府海里

【答案】A

【分析】求出AA5s中的邊的長(zhǎng)，求得4sA=45。,利用正弦定理即可求得答案.

【詳解】由題意得，在AABS中,ZBAS=30°,AB=30,ZBS4=750-30°=45°,

ABBS30BS

由正弦定理有，代入數(shù)據(jù)得

sinZBSAsinNBASsin450sin30°

解得3S=15也（海里）,

故選：A.

3.如圖，在鐵路建設(shè)中需要確定隧道的長(zhǎng)度，已測(cè)得隧道兩端的兩點(diǎn)A3到某一點(diǎn)C的距離分別是

3km,1km及ZACB=60。，則A,8兩點(diǎn)的距離為（）

A.7kmB.13kmC.^/7kmD.5km

【答案】C

【分析】利用余弦定理直接求解即可.

【詳解】由余弦定理得：AB2=AC2+BC2-2AC-BCcosZACB=9+1-6cos60=7,

:.AB=V7(km).故選：C.

實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練a

.fTTAV2,cos2a

1.右cosa+—=——,貝可---------=()

I4)2sma+cosa

A.0B.-V2C.1D.-1

【答案】C

【分析】利用余弦的和角公式及二倍角公式計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)閏os[6r+；[==cosacos-sinsin(cosa-sina),

所以cosa—sin。=1,

g、icos2acos2sin2a.

所以----------=-------------=cosa—sma=1.

sina+cosacosa+sina

故選：C

2.VABC的內(nèi)角A,氏C的對(duì)邊分別為c.若b=2,A=45°.6=60。，貝！J。等于（）

A-aB-26C-4D.當(dāng)

【答案】D

【分析】根據(jù)正弦定理即可求解.

【詳解】由正弦定理一j=—匕可得g=耳，解得。=也,

smAsmB———3

22

故選：D.

3.已知tanf——j=2,則cos2a=(

34

AB.cD.

-45-1I

【答案】A

【分析】先用兩角和的正切公式求出tan。，然后用倍角公式化簡(jiǎn)cos2。，再用弦化切求解.

【詳解】因?yàn)閠an|a-：卜2,

(71]71

tana—+tan—

LL7(兀兀14j4

hn*以tancc—tanOL-----1—可得cos%w0，

I44兀兀

I1-tana——tan—

I44

22

小2.cos6Z-sincr

.cos2a-cosa-sm2a=------------------

cosa+sina

I-tan2。_1-9_4

I+tan2al+95

故選：A.

4.如圖，已知兩座燈塔A和3與海洋觀察站C的距離都等于30km,燈塔A在觀察站。的北偏東20。的方

向，燈塔3在觀察站。的南偏東40。的方向，則燈塔A與燈塔B間的距離為（）

A.30kmB.30gkmC.36kmD.305/3km

【答案】D

【分析】根據(jù)余弦定理即可求解.

【詳解】由題意可知AC=3C=30km,NAC3=l20。,

由余弦定理可得AB=dAC?+BC?-2AC?BCcos12?！?JsO?+30?-2x30x30x(-；)=30月,

故選：D

5.VABC中，角A,B,C,的對(duì)邊分別為。，b,c,若。=3,c=#>,B=^,貝i]6=()

o

A.273B.2V2C.73D.V2

【答案】C

【解析】由余弦定理可直接求出.

【詳解】由余弦定理得/=。2+。2一2〃。858=9+3-2'3乂有乂等=3,

/.b—>/3.

故選：C.

6.已知tana=2,tan分=3,貝|tan（2a+尸）的值為（）

A.—1B.1C.—D.—

33

【答案】D

【分析】先利用二倍角的正切公式求出tan2a,再利用兩角和的正切公式求tan（2a+月）.

【詳解】\'tana=2

2tana4_4

tan2a=

1-tan2aT^4--3

—c、tan2a+tanB

tan(2a+/7)=-----------------

1-tan2atan/?

故選：D.

7.已知VA6C中，(Q+〃+c)(sinA+sinB-sinC)=asinB,其中A,B,C為VA5C的內(nèi)角，a,b,。分別

為A,B,。的對(duì)邊，則。=

3兀51

D.

4~6~

【答案】B

【分析】根據(jù)正弦定理整理得到片+82一再利用