第七章立體幾何與空間向量（舉一反三綜合訓(xùn)練）

（全國(guó)通用）

（考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、注考證號(hào)填寫

在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無(wú)效。

3.回答第H卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效c

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.（5分）（2025?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）己知n是兩條不同的直線，a,是三個(gè)不同的平面，則下列結(jié)

論正確的是（）

A.若m//n,in//a,則九//a

B.若a//夕,mua,nu/7,Mm//n

C.若a1/?,/?!y,則a〃y

D.若mIIn,a//0,mla,則九1￡

【答案】D

【解題思路】利用線面平行的判定定理可推斷A,利用面面平行的性質(zhì)定理可推斷B,利用空間垂直與平行

的關(guān)系可推斷CD.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,若m//n,?n//a,則九//。或九ua,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若a〃ua,nuR,則m〃〃或m與九是異面直線，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若a11y,則a//y或any=Z,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若m〃幾mJ.a,則ri_La,乂因?yàn)??！?,所以九_(tái)1,6，故D正確，

故選：D.

2.（5分）（2025?湖北?二模）如圖所示，在平行六面體中，AM=^-MC,=2ND.

設(shè)方=五，AD—b,AA{=~C,MN=xa+yb+zc,則％十y+乙=（）

【答案】D

【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算得標(biāo)=拓5+標(biāo)+中=一3蒼+?方+3二則得到其和值.

【解答過(guò)程】因?yàn)锳3=2ND,

則而=MA+AA[+審=-沼+田+'硒—而+而）+耐+:（同一環(huán)）

JJJJ

=-a—^+c4-1b—|c=—1a+

3333333

所以x=-Q=z=g,故x+y+z=g.

故選:D.

3.（5分）（2025?山東青島?模擬預(yù)測(cè)）須彌座又名“金剛座”，是一種古建筑的基座形式，通常用來(lái)作為宮

殿、寺廟、塔、碑等重要建筑的基座，由多層不同形狀的構(gòu)件組成，??般上下寬、中間窄，呈束腰狀，具

有很高的藝術(shù)價(jià)值.某古建筑的基座為須彌座，其最下層為正六棱臺(tái)形狀，如圖所示，該正六板臺(tái)的上底面

邊長(zhǎng)為18m,下底面邊長(zhǎng)為24m,側(cè)面積為756m2,則該正六凌臺(tái)的體積為（）

A.1998V2m3B.1998bm③C.20U4Vzm3D.1864x/3m3

【答案】B

【解題思路】利用臺(tái)體側(cè)面積求斜高，再由斜高求臺(tái)體的高，最君利用臺(tái)體體積公式求體積即可.

【解答過(guò)程】

取二、下底面中心分別為P、Q,取一個(gè)側(cè)面等腰梯形的上、下中點(diǎn)分別為M、N,

連接PM、QN,由底面是正六邊形性質(zhì)可得：PMLAD.QN1BC,

由上底面邊長(zhǎng)為18m,下底面邊長(zhǎng)為24m,可得=18m,Q8=24m,

則PM=9V3m,QN=128m,

再由側(cè)面積為756m2,可得*18+24）xMNx6=756=>MN=6m,

根據(jù)勾股定理得PQ=J62一（12次-9V3）2=3m,

所以正六棱臺(tái)的體積為V=gGxl82x=x6+Tx242xFx6+

/-X182x—x6x-x242x—x6x）x3

\2222I

=199873m3,

故選：B.

4.（5分）（2025?黑龍江齊齊哈爾?模擬預(yù)測(cè)）已知空間中有5個(gè)點(diǎn)E、A,B、C、D,若滿足（1-X\EA=g而+

7EC4-AAD,且力、B、C、。四點(diǎn)共面，貝〃的值為（）

4

A.—B.—C.-D.—

1212412

【答案】B

【解題思路】根據(jù)空間共面向量定理的推論可求4的值.

【解答過(guò)程】由瓦？一癥x=g而+：前+疝b得瓦？=癡++M而+近0，

即瓦？=1麗+］反+癥5,

34

由空間向量共面定理的推論可知，;+；+入=1，解得人=得.

3412

故選：B.

5.（5分）（2025?浙江?二模）正方體4BCD-中，點(diǎn)M,N分別為正方形為8￡。［及A8B遇〔的中

心，則異面直線80與MN所成角的余弦值為（）

A.0B.fC.1D.胃

422

【答案】C

【解題思路】以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解異面直線所成角余弦值即可.

【解答過(guò)程】如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，

則。（0,0,0）,M（另,1）,N（1?）,

故而=&o,-3，前=（T，-1，。），

所以|cos師網(wǎng)|=覆覆=戰(zhàn)■/

所以異面直線8。與MN所成角的余弦值為:

6.（5分）（2025?江蘇泰州?模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐S-力BC中，AC=BC=2,^ACB=y,側(cè)棱長(zhǎng)都等于2信

其中S,48,C在球。的表面上，則球。的表面積為（）

A.12nB.15nC.20nD.25n

【答案】D

【解題思路】先求出A/BC外接圓的半徑r,再根據(jù)三棱錐的特征找出球心。與△ABC外接圓圓心的位置關(guān)系,

進(jìn)而求出球。的半徑R,最后根據(jù)球的表面積公式求出球。的表面積.

【解答過(guò)程】已知力C=BC=2,LACB=由余弦定理得:

AB2=AC2+BC2-2AC-BC-cos^ACB=22+22-2x2x2x=12

所以A8=2b,

由正弦定理，底面4BC的外接圓半徑r滿足/=2「,即2丫=喀=4,故r=2,

由于側(cè)棱長(zhǎng)S/4=SB=SC=2遙,

則頂點(diǎn)S在底面4BC上的投影為底面三角形的外心D,則力。=r=2,

2

設(shè)sn=h,由勾股定理S42=S￡)2+4Z)2.即(2而)=h2+22,解得：h=4.

則外接球的球心。必在過(guò)。且垂直于底面的直線上,

設(shè)0到。的距離為d,則OA=0B=0C=42+。2,

OS=\h-d\,因40=S。，故。2?+d2=|4-d|,解得：d=|,

所以球的半徑R=J22+修）=表面枳為4TTR2=25n.

7.（5分）（2025?內(nèi)蒙古包頭?模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體48c（-兒/蒙。1的棱長(zhǎng)為2,分別是棱4D,DD1

的中點(diǎn)，點(diǎn)P是底面/18C0內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的為（）

A.不存在點(diǎn)P,使得FP〃平面力BCWi

B.過(guò)8,E,尸三點(diǎn)的平面截正方體所得截面圖形是五邊形

C.三棱錐％-4B1P的體積為4

D.三棱錐F-ACD的外接球表面積為9TT

【答案】D

【解題思路】對(duì)于A,找到8。中點(diǎn)為點(diǎn)P,易得Q〃平面ABgD],排除A項(xiàng)；對(duì)于B,作出截面并判斷形

狀即可排除；對(duì)于C,利用等體積法轉(zhuǎn)化，結(jié)合三棱錐體積公式即可判斷；對(duì)于D,根據(jù)三棱錐的墻角模型,

將其補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，從而將三棱錐的外接球轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方體的外接球來(lái)求解.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,當(dāng)P為8。中點(diǎn)時(shí)，由三角形中位線定理可得用7/8D1，

因?yàn)镕PC平面力BCiDi，BQu平面4BGD1，所以FP〃平面48的。1.故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由中位線可得E/7/4D1，在正方體中，易證力D"/8Ci，所以E/7/8C],

即BQ就是一條截線，連C】F,得截面EBCi凡又因EFHBCi，所以截面EB的F為梯形，故B借誤；

對(duì)于C,點(diǎn)P到平面的距離為2,

故“3-AIBIP=Vp-AiBij=gx；x2x2x2=*故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因C4D&D尸兩兩垂直，

則三棱錐尸-ACO的外接球可以補(bǔ)形成以這三邊長(zhǎng)為長(zhǎng)、寬、面的長(zhǎng)方體的外接球,

則外接球半徑R即該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的一半，即R=也等=1,

故其表面積S=4nR2=9故D正確.

故選：D.

AG

AB

8.(5分)(2025?山東臨沂?二模)已知正方體力BCD-&BiC]Di中，"，N分別為CCi，C1。的中點(diǎn)，則

()

A.直線MN與&C所成角的余弦值為日B.平面BMN與平面夾角的余弦值為嚏

C.在8cl上存在點(diǎn)。使得4Q18D1D.在々0上存在點(diǎn)P,使得PA〃平面8MN

【答案】C

【解題思路】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1,由空間向量計(jì)算異面

直線所成角，二面角和線線垂直可判斷ABC；由四點(diǎn)共面，而A6平面BMN可判斷D.

【解答過(guò)程】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，

所以4(l,0,0),D(0,0,0),B(l,L0),a0,l,0),4(1,0,1),外(0,0,1),當(dāng)(1,1,1),(0,1,1),

M(。得，N(0,浦,

對(duì)于A,=中二(-1,1,一1),

直線MN與*所成角的余弦值為|cos(而，砧)|=|gg|=2=亨，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,而二(0,-g,0),兩二(一1,0,§,

n?MN=—=0

2

設(shè)平面BMN的法向量為五=(X,y,z),貝ijq_,1,

n?BM=-x4--z=0

2

?。?1,可.得y=0,z=2,所以五=(1,0,2),

=(0,-1,0),跖=

設(shè)平面8［小的法向量為記=(孫力0)，則|_弓￡:〃=一月二°,

In-8cl=—+Zi=0

取勺=1,可得力=0,21=1,所以沅=(1,0,1),

平面BMN與平面BQ小夾角的余弦值為：

C。麻陽(yáng)=晶=蒜=誓,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)?。在上，設(shè)Q(Xo，l,Zo),所以京=2亭，0<A<1,

則GQ=(%0,°，z0—1),C1B=(1,0,1),所以％°=A,z()=—A+1,

所以QQ,1,-A+l),^Q=(A-1,0,一%),西=(-1,-1,1),

所以瓦4?西=1-2-4=0,解得：A=~.

4

故BQ上存在點(diǎn)Qg,l，5,使得BiQlBOi，故C止確;

對(duì)于D,因?yàn)镸N〃DC〃4B,所以｛四點(diǎn)共面，

而力€平面8MN,所以當(dāng)0上不存在點(diǎn)P,使得24〃平面BMN,故D錯(cuò)誤.

故選：C.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的

要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.(6分)(2025?陜西西安?二模)如圖，四邊形48C。的斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖為等腰梯形力力(力',已知A'8'=4,

。'。'=2,則下列說(shuō)法正確的是()

A.AD'=2X/2B.AB=4

C.四邊形力8。。的面積為6加D.四邊形48co的周長(zhǎng)為6+遍+&

【答案】BC

【解題思路】A選項(xiàng)，作出輔助線，得到各邊長(zhǎng)，結(jié)合NO4M=45。，求出力'。'=畬；B選項(xiàng)，由斜二測(cè)法

可知A8=，8'=4；C選項(xiàng)，作出原圖形，求出各邊，由梯形面積公式得到C正確；D選項(xiàng)，在C基礎(chǔ)上,

求出各邊長(zhǎng)，得到周長(zhǎng).

【解答過(guò)程】A詵項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)C',D'作C'N,D'M垂直于/軸于點(diǎn)N,M,

因?yàn)榈妊菪蜛R'C'D'中力'夕=4,C'D'=2,

所以MN=2,AM=B’N=1,

又乙0Z'M=45。，所以力'。'=企，A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，由斜二測(cè)法可知48=不8'=4,B正確；

C選項(xiàng)，作出原圖形，可知4。=2不。'=2夜，AB=4,CD=2,ADLAB,

故四邊形力BCD的面積為（3，"=6V2,C正確：

D選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)C作CH_L48于點(diǎn)”，

則=CD=2,BH=4-2=2,CH=AD=2vL

由勾股定理得BC=>JBH2+CH2=2V3,

四邊形ABC。的周長(zhǎng)為AB+CD+4D4-=4+2+2V2+2V3=6+2V2+2A/3,D錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.（6分）（2025?福建?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱28C-4B1G中，M,N分別是線段A記,4g上的

點(diǎn)，且BM=2AM,CXN=2/N.設(shè)方=五，AC=b,AA1=己且均為單位向量，若乙BAC=90°,LBAAX=

^CAAr=60°,則下列說(shuō)法中正確的是（）

B

A.血與瓦片的夾角為60。

B.麗=2五+2石+二

C.I而|=苧

D.MNA.BC

【答案】BCD

【解題思路】由空間向量的運(yùn)算法則和空間向量的夾角公式、模長(zhǎng)公式、數(shù)量積的定義對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可

得出答案.

[解答過(guò)程】對(duì)于A,???AB=AC=l^BAC=90。，.??乙ABC=45°,所以而與近的夾角為135。，又前=跖7,

所以而與萬(wàn)百的夾角為135。，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)?M=24]M,gN=2B]N,

所以審=;^^+乖=而+9^7=而+1就=萬(wàn)+彳（而一萬(wàn)）=[而+：尼，

OOOOO

AXM=^(AB-AA^)t

:.MN=A^N—4]Mng/lB+-1(/IB—441)=.48+g?!C+g/l/l]=[Q+：五+1七，故B正確;

對(duì)于C,???|司=\b\=|c|=1,zB4C=90。，ZBA41=^CAAt=60°,

...無(wú)石=o,?-c=p石々=熱

|時(shí)=gF+f+r)=#+/+#+笳i+拿?“上7

1,1,1,21,215

=--------------X——X—=—

99992929

...網(wǎng)=4,故C正確:

*5

對(duì)于D,麗就=（軟+笆+同.0一五"一夕+步+軟工一打E=0,

MNLBC,故D正確.

故選：BCD.

11.(6分)(2025?山東德州?三模)在四棱錐P-/BCD中，底面力BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PAJ_平面

且P4=l,點(diǎn)E,F,G分別為棱力B,4D,PC的中點(diǎn)，貝I」()

A.AG1PD

B.異面直線rG和AC所成的角為T

C.平面EFG與平面48co所成角的正弦值為日

D.過(guò)點(diǎn)E,F,G的平面截四棱錐P-/18C0所得的截面圖形為五邊形

【答案】ACD

【解題思路】以點(diǎn)A為原點(diǎn)，力所在直線分別為％y,z軸，建立平面直角坐標(biāo)系，利用空間向量的系

列公式計(jì)算即可判斷A,B,C：對(duì)于D,作出截面即得.

【解答過(guò)程】

如圖，因P4J_平面力8CD,底面48co是邊長(zhǎng)為1的正方形，

故可以點(diǎn)A為原點(diǎn)，4P所在直線分別為％y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

對(duì)于A,4(0,0,0),C(l,l,0),P(0,0,l),8(1,0,0),。(0,1,0),G&另),

則正=433),而=(0,1,-1),因正-PD=1-；=0,

則RG_LPD,即A正確；

對(duì)于B,因點(diǎn)尸是40的中點(diǎn)，故F[0[,0),且

則無(wú)=(pO,1),^C=(1,1,0),設(shè)“和AC所成的角為氏

則cos”|cos(麗，福|=^g=

因。￡(0,引，故。=今故B錯(cuò)誤：

對(duì)于C,由于P41平面4BCD,平面力BCD的法向量可取為沆=(0,0,1),

點(diǎn)E為棱48的中點(diǎn)，則E&0,0）,E?=（-p1,O）,而=&0§）。

.?I——X+Ay=Q

設(shè)平面EFG法向量為五二（%y,z）,則2.絲二°,則《/2,解得五二（1,1,一1）

EFG=O-X+-Z=O

I22

設(shè)直線EFG與平面4BCD所成角為比，則|cosa|=|cos（ni,n）|==~^==與，則sina=Vl-cos2a=

J1-|cosa|2=*,故C正確；

對(duì)于D,如圖，延長(zhǎng)FE與直線C3交于點(diǎn)N,延長(zhǎng)EF與直線CD交于點(diǎn)J,

連接NG與P8交于點(diǎn)H,連接G/與PD交于點(diǎn)K,連接HE,KF,

則平面EFG截四棱錐戶-48C。的截面為五邊形HEFKG.即D正確.

故選：ACD.

第II卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）（2025?上海,模擬預(yù)測(cè)）。不與力,8,&0共面，并且A8CD四點(diǎn)在一個(gè)平面V.,2OD=xOA+yOB+OC

（x,y>0）,則［+?的最小值為_(kāi)_______.

xy

【答案】16

【解題思路】由向量共面定理有x+y=l,再應(yīng)用基本不等式“1”的代換求最小值.

【解答過(guò)程】由題設(shè)2面一x瓦？一丁麗二灰，。不與48,C,D共面，且4BCD四點(diǎn)共面，

所以2-x-y=l,可得%+y=1,且%,y>0,

所以2+2=（l+-）（x+y）=io+^+->10+216,

xyxyxyyjxy

當(dāng)且僅當(dāng)％=；,y==時(shí)取等號(hào)，則2+2的最小值為16.

4，4xy

故答案為：16.

13.（5分）（2025?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）棱長(zhǎng)均為1m的正三棱柱透明封閉容器盛有an?水，當(dāng)側(cè)面力力/小

水平放置時(shí)，液面高為/im（如圖1）；當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)容器至截面48c水平放置時(shí)，盛水恰好充滿三棱錐4

（如圖2），則九=.

【答案】"

【解題思路】由題可得3由匕4BEDTiBiEiDi=心4道「可得S.BED=從而可得4。=1-當(dāng),

114O?5

據(jù)此可得答案.

【解答過(guò)程】由題意，正二棱柱的棱長(zhǎng)均為1m,

所以S^/isc=1x1x1xsin60°=gxlxlxF=F，AA1=1,

由題意可得匕4Tl8C=gS&Bc?gX，x9=，=a,

又由右83月18向。1=V.BC得S”EO,AA\=^S^ABC'AAl^'^ABED=^S^ABCf??喘=半

???旺=絲=些，.?.℃=在，.?.AD=1一些

ACAB333

在等邊△ABC中，48邊上的高為*

啥累￥…竽

2

故答案為：手.

14.（5分）（2025?湖南?三模）如圖，在直三棱柱48。一4/6中，△48C是正三角形，。為力C的中點(diǎn),

點(diǎn)E在棱CG上，且CE=2EG，若力8=2,AA}=3,則點(diǎn)4到平面BOX的距離為.

B

【答案】V5

【解題思路】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出擊反示其中五是平面30E的法向量，結(jié)合公式嚅即可運(yùn)

算求解.

【解答過(guò)程】如圖，取4B,的中點(diǎn)EG,因?yàn)開(kāi)L平面4BC,機(jī)尸Cu平面48C,

所以441FB,AA11FC,

因?yàn)槿切蜛8C是等邊T角形，點(diǎn)尸是718中點(diǎn)，所以產(chǎn)81%.,

所以F5F&FG兩兩互相垂直，以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)8,F&FG所在直線分別為％y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)镃E=2Eg,AB=2,AAY=3,。為力。的中點(diǎn)，

所以8（1,0,0）,71（-1,0,0）,6（0,V3,0）,D（-1,y,0）,E（0,8,2）,4（一1,0,3）,

所以用=（2,0,-3）,礪=（|，―今0），鋸=（1,-V3f-2）,

設(shè)平面BDE的法向量為濟(jì)=（x,y,z）,

所以「小2“2、U，令％=1,解得,=b2=-1,

EB-n=x-V3y-2z=0

所以可取五=（1，百,-1）,

點(diǎn)為到平面BDE的距離為噌1=-^==V5.

|n|V1+3+1

故答案為：V5.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。

15.（13分）（2025?山西晉城?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱柱力8G）-中，底面力夙出為平行四邊形,

點(diǎn)M是線段B[Di上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E、F分別是BC、CM的中點(diǎn).

(I)求證：七///￥：而

(2)若四棱柱-的體積為24,求三棱錐C-BDF的體積V的值.

【答案】(I)證明見(jiàn)解析

(2)2

【解題思路】(1)連接8M,由中位線可知EF〃8M,然后結(jié)合線面平行的判定定理即可得證；

(2)由F是CM的中點(diǎn)得VC-BDF=，F(xiàn)-BDC=gVM-BDC，再由口1。1〃平面BC。，MW/。］,所以VM-BDC=

==

VBLBDC，M-BDCBx-ABCDABCD-A{B{CiDx^聯(lián)立即可得解.

【解答過(guò)程】(1)在四棱柱/lBC0-48iGDi中，連接BM,如織，

因E、尸分別是BC、CM的中點(diǎn)，則有EF〃BM,

又EFC平面BDDiBi，BMu平面BDDiBi，所以EF〃平面

(2)由尸是CM的中點(diǎn)得V—u"=VF-BDC=^M-BDC9

在四校村—中，BBJ/DD^BBX=DDV

故四邊形BBi。］。為平行四邊形，則

因?yàn)锽Du平面BCD,&。1C平面BCD,則為以〃平面BCD,

又點(diǎn)M是線段當(dāng)。［上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

X

WM-BDC=^Bi-BDC=^Bi-ABCD=|ABCD-A^B^iDi='X24=4,

所以三棱錐C-8DF的體積P的值為gx4=2.

16.(15分)(2025高二上?全國(guó)?專題練習(xí))已知O,A,B,C,D,E,F,G,〃為空間的9個(gè)點(diǎn)(如圖

所示)，并且=OF=kOBtOH=kOD,AC=AD+mAB,EG=EH+mEF.求證：

(1M，B,C,。四點(diǎn)共面，E,F,G,〃四點(diǎn)共面；

(2)AC//EG,

(3)。、G、C三點(diǎn)共線.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

(3)證明見(jiàn)解析

【解題思路】(1)根據(jù)空間向量的基本定理即可得證；

(2)由麗=麗+血喬，結(jié)合空間向量的減法和數(shù)乘運(yùn)算可推出由=k冠，從而得證；

(3)由而=前-的,結(jié)合(2)中結(jié)論與赤=｛即可得證.

【解答過(guò)程】(1)由元=同+如后，EG=EH+mEF,

知4,B,C,。四點(diǎn)共面，E,F,G,〃四點(diǎn)共面；

(2)由麗=麗?，OF=kOB,OH=kOD,

得麗=EH+mEF=OH-OE+m(0F-OE)

=k(OD-~OA)+km(OB-~OA)=kAD+kmAB

=k(AD+TTLAB)=kAC,

所以近〃苑

(3)由(2)知前二心房，

所以元=EG-EO=kAC-kAO

=k(AC-AO)>=kOC,

所以而=A沅，

^OG//OC,又而與反有一個(gè)公共點(diǎn)，所以。、G、C三點(diǎn)共線.

17.115分)(2025?重慶?三模)如圖，已知在四棱錐P4BCD中，AD=1,AB=2,PDL^ABCD,平

面P/8平面P/D.

(I)證明：ABLAD；

(2)若/C=PD=2&,目.80=CD,G為△PBC的重心，求直線DG與平面24B所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2年

【解題思路】(1)由面面垂直的性質(zhì)定理、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可證明；

(2)以人為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,4。為x軸、y軸，過(guò)A平行于PD的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

分別求出直線0G的方向向量與平面P4B的法向量，由線面角的向量公式代入即可得出答案.

【解答過(guò)程】(1)vPD1平面ABCD平面ABCD,-.PD1AB.

過(guò)。作DM_L4P，交AP于點(diǎn)M,

v平面PAB1平面PHD，平面PABn平面PAD=PA,DMu平面PA。，

，用7以DM_L平面PAB,4Ru平面P/R.￡)MJ./￡?,

又PDu平面PAD,DMu平面PAD,PDnDM=D,

???AB1平面PAD,4Du平面PAD,

???AB1AD；

(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，48,AD為x軸、y軸，過(guò)A平行于PD的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，

則71(0,0,0),F(2,0,0),0(0,1,0),P(0,1,2甸，麗二(0,1,2旬，麗二(2,0,0).

設(shè)C(x,y,O),BD=CD=y/S,AC=2四,

由題意可得［卜+。一1)2=通,

(x2+y2=8,

解得C(2,2,0),G為△PBC的重心，苧),

設(shè)平面24B的一個(gè)法向量為元=Qo，yo，Zo),則g.%二°,

，l'°02*Z2一°，令丫0=-2、巨,則配=O,Zo=l,...元=(0,-2a,1),

IZXg=U

設(shè)直線DG與平面PAB所成角為仇

18.(17分)(2025?河北秦皇島?模擬預(yù)測(cè))如圖，在四棱錐尸-48co中，底面48CD是邊長(zhǎng)為3的菱形,

PA1平面48CD,PA=3,4=9點(diǎn)M,N為線段尸。上的三等分點(diǎn).

?3

(1)證明：平面MBD1平面PAC.

(2)求二面角A-BM-N的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

【解題思路】(1)利用面面垂直的判定定理可得答案;

（2）連接/M,取8C的中點(diǎn)以工為原點(diǎn)，/1區(qū)所在的直線分別為％y,z,建立空間直角坐標(biāo)系，求出

平面ABM、平面8MN的一個(gè)法向量，由二面角的向量求法可得答案.

【解答過(guò)程】（1）因?yàn)樗睦忮FP-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為3的菱形，所以AC18D,

因?yàn)镽41平面ABCD,BDu平面4BCD,所以PA1BC,

由P力QAC=A,PA,ACu平面PAC,得BD1平面PAC,

又RDu平面MB。，

所以平面MB。L平面P/IC；

（2）連接/IM,取8C的中點(diǎn)E,連接力E,因?yàn)橐?8。二%所以力E_L8C,

以力為原點(diǎn)，AE,AD,AP所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則4（0,0,0）,B件,-/0）,M（0,l,2）,N（0,2,l）,

布二（0,1,2）,麗二（一號(hào),|,2）,麗=

設(shè)元=（x,y,z）為平面48M的一個(gè)法向量，則

AM-n=y+2z=0

令y=2,則z=-1,x=孥

BMn=-乎%+|y+2z=0?J

五二（竽2-1），

設(shè)記=（a,瓦c）為平面8MN的一個(gè)法向量，則

MN-rn=b—c=0

麗沅=-竽a+弱+2c=0令b=2,貝此=2,。=26,

沅=