專題8.6雙曲線（舉一反三講義）

【全國(guó)通用】

題型歸納

【題型1雙曲線的定義及其應(yīng)用】......................................................................4

【題型2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】...........................................................................6

【題型3曲線方程與雙曲線】...........................................................................8

【題型4求雙曲線的軌跡方程】........................................................................10

【題型5雙曲線的焦點(diǎn)、焦距、長(zhǎng)軸、虛軸】..........................................................13

【題型6雙曲線中的焦點(diǎn)三角形問題】.................................................................14

【題型7雙曲線的漸近線方程】........................................................................17

【題型8求雙曲線的離心率或其取值范圍】.............................................................19

【題型9與雙曲線有關(guān)的最值問題】...................................................................21

【題型10雙曲線的實(shí)際應(yīng)用】........................................................................23

1、雙曲線

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

2023年新高考I卷：第16題，5

分

2023年全國(guó)甲卷（文數(shù)）：第8雙曲線的方程及其性質(zhì)是圓錐

題，5分曲線中的重要內(nèi)容，是高考命題的重

（1）了解雙曲線的定義、幾何圖2023年北京卷：第12題，5分點(diǎn)內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，

形和標(biāo)準(zhǔn)方程2023年天津卷：第9題，5分主要考查雙曲線的定義、方程與簡(jiǎn)單

⑵掌握雙曲線的幾何性質(zhì)（范2024年新高考I卷：第12題，5幾何性質(zhì)等知識(shí)，主要以單選題、多

圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、漸近線、分選題、填空題的形式出現(xiàn),難度不大，

禹心率）2024年全國(guó)甲卷（理數(shù)）：第5復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練.

（3）了解雙曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用題，5分與向量等知識(shí)結(jié)合綜合考查也

2025年全國(guó)一卷：第3題，5分是高考命題的一個(gè)趨勢(shì)，需要學(xué)會(huì)靈

2025年全國(guó)二卷：第11題，6分活求解.

2025年北京卷：第3題，4分

2025年天津卷：第9題，5分

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)1雙曲線的方程及其性質(zhì)

i.雙曲線的定義

雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)外，修的距離的差的維對(duì)值等于非零常數(shù)（小于出尸?|）的點(diǎn)的軌跡叫作雙

曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫作雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作雙曲線的焦距.

2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對(duì)應(yīng)美系：

雙曲線在坐標(biāo)

717

系中的位置VR

-2-^7=13>o,6>0：,^2—~^2=1(0,b>0)

標(biāo)準(zhǔn)方程ao。>

焦點(diǎn)坐標(biāo)/G(-c,0),K(。,0)外(0,-。)，"(0fc)

a,b,c的關(guān)系c2=Q2+/c2=a2+62

3.雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

雙曲線的一些幾何性質(zhì)：

圖形

9不w、

%一8=l(Q>0,b>0)%-鑫=1(。>0,6>。)

標(biāo)準(zhǔn)方程

MHx>a或x<-a,y^Ry>a或)<-a,x^R

對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱

頂點(diǎn)4(“0),423,0)4。/)42(0,?)

半軸長(zhǎng)實(shí)半軸長(zhǎng)為，，虛半軸長(zhǎng)為力

離心率。=21)

y=±3a

漸近線方程y=±-^x

4.雙曲線的離心率

(I)定義：雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比?，叫作雙曲線的離心率.

(2)雙曲線離心率的范圍：

(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開口大小.

因?yàn)镸==所以e越大，!越大，則雙曲線的開口越大.

(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=^2.

知識(shí)點(diǎn)2雙曲線方程的求解方法

1.雙曲線方程的求解

⑴用定義法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

根據(jù)雙曲線的定義，確定M/2的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

⑵用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，先確定焦點(diǎn)在％軸還是丁軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定,，

〃的值，即“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)的位置不好確定，可將雙曲線的方程設(shè)為壬一為=2(2于0)或

mx2—ny2=l(mw>0),再根據(jù)條件求解.

(3)與雙曲線圣一%=1有相同漸近線時(shí)，可設(shè)所求雙曲線方程為「一/=4(/1于0).

知識(shí)點(diǎn)3雙曲線的焦點(diǎn)三角形

1.雙曲線的焦點(diǎn)三角形

(1)焦點(diǎn)三角形的概念

設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，F(xiàn)i,B為雙曲線的焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P,R,F2不在同一條直線上時(shí)，它們構(gòu)成一個(gè)焦點(diǎn)三角形,

(2)求雙曲線中的焦點(diǎn)三角形戶2面積的方法

方法一:①根據(jù)雙曲線的定義求川IPRH尸Bll=2a；

②利用余弦定理表示出IPFil、IPBI、IF1F2I之間滿足的關(guān)系式;

③通過配方，利用整體的思想求出IPFil?IPBI的值；

④利用公式以叩&=?iPFdsinZF.PF,,求得面積.

方法二:利用公式5""怎=：尸￡|?|乃|,求得面積.

(3)焦點(diǎn)三角形的常用結(jié)論

可得|小丹|-19=10或-19=-10.

當(dāng)恒月|-19=10時(shí),|*|=10+19=29；

當(dāng)|.4招|-19=-10時(shí)，NF1=-10+19=9.

所以點(diǎn)A到左焦點(diǎn)的距離為9或29.

故選：C.

【變式1-1](2025?北京?模擬預(yù)測(cè))雙曲線E：l(a>0),焦距為10,左右焦點(diǎn)分別為小F2,M

為E上一-點(diǎn)滿足|MF1|=7,則|MFz|=()

A.13B.1或13C.1()D.4或10

【答案】A

【解題思路】根據(jù)雙曲線焦距可求出。的值，結(jié)合題意判斷M點(diǎn)位置，利用雙曲線定義即可求得答案.

【解答過程】由題意知雙曲線￡《一\=1(。>0),焦距為1(),

故2c=10,c=5?則小=—〃=25—18=9,二a=3,

由||MF/一|MF2l|=2a=6,|MF1|=7,得IMF2I=1或IMF2I=13,

結(jié)合|MA|=7<Q+C=8,則M在雙曲線左支上，

由于1Vc+Q=8,故|MFzl=13,

故選:A.

【變式1-2](24-25高二上?云南曲靖?期末)雙曲線/一1=1上一點(diǎn)p到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離為%那么點(diǎn)

16

P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為()

A.2B.6C.2或6D.4

【答案】B

【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義求出點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離，再結(jié)合雙曲線的性質(zhì)舍去不符合條件的值.

【解答過程】雙曲線/一<=1,a=1.

1n

設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi，尸2，已知|PF/=4,由雙曲線定義||PFi|-|PF2||=2a=2xl=2,即|4一

|PFz||=2.

當(dāng)4一|P/引=2時(shí),可得|PFz|=4-2=2；

當(dāng)4-\PF2\=一2時(shí)，可得|PFz|=4+2=6.所以IPF2I=6或2.

在雙曲線中，雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離存在最小值，這個(gè)最小值為c-a.

對(duì)于雙曲線馬一馬=1,可得c=+42==忖

1，44

那么c-Q=g-l,因?yàn)闃?biāo)=4,V17>A/16,所以47—1>4-1=3>2.

這就說明雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距高不可能為2,所以要舍去仍叼=2這個(gè)值.

因此|PFz|=6,即點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于6.

故選：B.

【變式1-3］（2024?河北邢臺(tái)?二模）若點(diǎn)P是雙曲線C5一3二1上一點(diǎn)，為，"2分別為C的左、右焦點(diǎn)，

則”|PFJ=8”是“明=16”的（）

A.既不充分也不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.充分不必要條件

【答案】D

【解題思路】首先求得焦半徑的最小值，然后結(jié)合雙曲線定義以及充要條件的定義即可得解?.

【解答過程】a=4,b=3,c=4解+32=5,

當(dāng)點(diǎn)P在左支時(shí)，IP&I的最小值為C—Q=1,

當(dāng)點(diǎn)P在右支時(shí)，|P0|的最小值為Q+C=9,

因?yàn)閨Pa|=8,則點(diǎn)P在雙曲線的左支上，

由雙曲線的定義IPF2ITPFil=IPF2I-8=2a=8,解得IPF2I=16；

當(dāng)舊41=16.點(diǎn)P在左支時(shí)，|P與|=8在右支時(shí)，|PFJ=24：推不出|P6|二&

故為充分不必要條件，

故選:D.

【題型2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】

【例2】（2025?北京海淀?一模）若雙曲線捺-，=l（a>0,b>D）上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)（-60）的距離比到焦點(diǎn)

（后,0）的距離大從則該雙曲線的方程為（）

A.--y2=1B.--y2=1C.x2-^=1D./一二=i

4,2J24

【答案】D

【解題思路】根據(jù)題意及雙曲線的定義可知2a=b,c=V5,再結(jié)合Q2+b2=c2,求出a,b,即可求出結(jié)果.

【解答過程】由題知c=H，根據(jù)題意，由雙曲線的定義知2a=b,又。2+匕2=。2,

所以5a2=5,得到Q2=I,/=4,所以雙曲線的方程為％2一<=1,

4

故選:D.

【變式2-1]（2025?江蘇淮安?模擬預(yù)測(cè)）雙曲線G與雙曲線。2：?—y2=i的漸近線相同，且過點(diǎn)（2,企）,

則雙曲線G的方程為（）

A.--X2=1B.y2--=1

4J4

C.--^=1D.X2--y2=1

222/

【答案】B

【解題思路】利用待定系數(shù)法設(shè)G的方程為9-*=九4h0,代入（2,&）即可得到答案.

【解答過程】設(shè)雙曲線G的方程為?一丫2=九2^0,

代入點(diǎn)（2,夜），則:—=_i,

則方程為9一/=一1,即/一?=1.

故選：B.

【變式2-2]（2025.寧夏石嘴山.模擬預(yù)測(cè)）雙曲線C與橢圓￡+4=1有公共的焦點(diǎn)，且C的離心率是2,則

64

。的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

A.——藝=1B.y2-^=lC.^-^=1D.互=1

3J3412412

【答案】A

【解題思路】根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由雙曲線的離心率求出。，根據(jù)a,b,c關(guān)系求出

后即可得解.

【解答過程】橢圓三+《=1的焦點(diǎn)為（±2,0）,

oZ

所以雙曲線C的焦點(diǎn)為（±2,0）且焦點(diǎn)在x軸上，即c=2,

因?yàn)镃的離心率是2,所以.e=￡=2,即a=1,

a

所以爐=c2-小=3,故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為/一9=1.

故選:A.

【變式2-3]（2025?四川雅安?一模）已知&,尸2為雙曲線。$一卷二l（Q>0/>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)4在C上,

若IF1川=2|尸2川，416尸2=30。A4吊尸2的面積為6百，則C的方程為（）

A.￡?=lB.￡?=I

C.^-^=1D.百一竺二1

6963

【答案】B

【解題思路】先根據(jù)雙曲線的定義求出任2川,[F]川，在△AF/z中，利用正弦定理求出力F2居，再根據(jù)三角形

的面積公式求出。2,利用勾股定理可求得c2,進(jìn)而可求出答案.

【解答過程】因?yàn)轫泶?2尸2川，所以|&川>|尸2川,

又因?yàn)辄c(diǎn)4在C上,所以|&川一|尸2川=2a,

即2內(nèi)川一尸2川=2a,所以尸2川=2a,因川=4a,

在AAF/2中，由正弦定理得一筆？=一筆看，

sinz.AF1F2s\nz.AF2Fl

所以sin乙4尸2&=華巖竺=1，

又0。V/4尸2吊V180。，所以44尸2居=90。，故NF]4F2=60。，

2

則SASF?=^M^ilMF2|sin60°=2>/3a=6>/3,所以小=3,

2222

則|尺尸2|2=(2c)=|/&|2—\AF2\=16a—4a2=12a=36,所以c?=9,

所以川=c2—a2=6,

所以C的方程為9一[=1.

56

故選:B.

【例3】（2025?新疆?模擬預(yù)測(cè)）“m>4”是“方程二一三=1表示雙曲線”的（）

m-1m-4

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解題思路】根據(jù)給定條件，求出方程表示雙曲線的充要條件，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【解答過程】二一三二1表示雙曲線時(shí)，

m-17n-4

等價(jià)于（m—1）（771—4）>0,解得m>4或m<1.

因?yàn)橛蒻>4可推出m>4或mV1,但是由m>4或m<1,不能推出機(jī)>4,

所以“m>4”是“方程二-三=1表示雙曲線”的充分不必要條件.

m-lm-4

故選：A.

【變式3-1］（24-25高二上?河南許昌?期末）若方程二+二=1表示雙曲線，則m的取值范圍是（）

m+4m-7

A.m<-7或m>4B.-7<m<4

C.m<-4或m>7D.-4<m<7

【答案】D

【解題思路】對(duì)雙曲線的焦點(diǎn)位置進(jìn)行分類討論，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)m的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)m的取值

范圍.

【解答過程】若方程三+三二1表示的曲線是焦點(diǎn)在％軸上的雙曲線，則+解得-4VmV7；

m+4m-7tyn—7<0

若方程工+9=1表示的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則｛：］；；；，無解.

綜上所述，-4VmV7.

故選:D.

【變式3-2］（24-25高二L浙江?期中）對(duì)于方程/十y2tana=i,ae（一，m，表示的曲線c,下列說法正

確的是（）

A.曲線C只能表示圓、橢圓或雙曲線

B.若a為負(fù)角,則曲線C為雙曲線

C.若a為正角，則曲線C為橢圓

D.若C為橢圓，則曲線C的焦點(diǎn)在不軸上

【答案】B

【解題思路】對(duì)于A,根據(jù)a=0的取值，即可判斷；對(duì)于B若a為負(fù)角，即一結(jié)合雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方

程的形式，即可判斷；

對(duì)于C,當(dāng)a=；時(shí)，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，即可判斷；對(duì)于D,變形后結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，

即可判斷選項(xiàng).

【解答過程】對(duì)于A,當(dāng)a=0,即tana=0時(shí)，曲線。的方程為/=1,即％=±1,

此時(shí)曲線C為兩條平行的直線，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若a為負(fù)角，即—：Va<0，則tanaV0,

此時(shí)曲線C為雙曲線，故B正確；

對(duì)于C,若a為正角，即0<a<］當(dāng)a=；時(shí)，tana=1,

則曲線。的方程為"+y2=|,是圓，故c錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若C為橢圓，當(dāng)0VtanaVI,」一>1,又/+/tana=1可變形為/+弓―=1,

tana）

則C為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故D錯(cuò)誤.

故選:B.

【變式3-3］（2025?安徽蚌埠?模擬預(yù)測(cè)）已知曲線C:9+3=1（血=0），則“相€（0,4）”是“曲線C的焦點(diǎn)在

x軸上”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解題思路】若（0,4）,曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；當(dāng)曲線C表示焦點(diǎn)在犬軸上的雙曲線時(shí)m<0.

【解答過程】若me（。,4）,則曲線蟾+91表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，故充分性成立；

若曲線C的焦點(diǎn)在X軸上，也有可能是771V0,此時(shí)曲線。表示焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線，故必要性不成立，

故選：A.

【題型4求雙曲線的軌跡方程】

【例4】（2024?廣西柳州?一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4,8的坐標(biāo)分別是（-5,0）,（5,0）,直線AM,BM相

交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積是支則點(diǎn)M的軟跡方程為（）

A?捻-篝=l（x*±5）B.2-誓=l（x*±5）

C5一得=l（x，±5）D.《一需=1（"士5）

【答案】A

【解題思路】設(shè)點(diǎn)M（x,y）,由題意列出方程，化簡(jiǎn)整理即得點(diǎn)M的軌跡方程.

【解答過程】依撅意，設(shè)點(diǎn)由心M?ABA,=義?三=是元=工±5），

可得4/一9y2=100,(x0±5),即得點(diǎn)M的軌跡方程為||一蓍=1(%豐±5).

故選：A.

【變式4-1](2025?黑龍江遼寧?模擬預(yù)測(cè))若圓C:/+y2-6%=0上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線ax+七y+l=

0(Q00,bH0)的距離為1,則動(dòng)點(diǎn)(5a+3,5/?)的軌跡方程是()

A.?-9=lB.^(x+2)2-5y2=l

C.-x2-5y2=1D.--^=1

4J54

【答案】A

【解題思路】由圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線以+力+1=0的距離為1,得到圓心到直線的距離恰好為2,求得

5Q2—4F+6Q+1=0,設(shè)得到。=瞪/=9代入方程，即可得到點(diǎn)(5Q+3,58)的軌跡

方程.

【解答過程】由圓C:/+y2—6x=0,可得標(biāo)準(zhǔn)方程為。一3產(chǎn)+y2=9,

所以圓心C(3,0),半徑為r=3,

若圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線g+By+1=0的距離為1,

則滿足圓心到宜線的距離恰好為2,即粵普=2,即5a2-4爐+60+1=0,

Va2+b2

設(shè)f；常3,貝人等5/

2

代入5a2-4川+6Q+1=0,可得5?(^)-4?(鏟+6?(芋)+1=。，

整理得11，即點(diǎn)(5Q+3,55)的軌跡方程為1一m=1.

4545

故選:A.

【變式4-2](2025?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線/一9=1與直線上y=kx+m(k*±2)有唯一的公

共點(diǎn)M,過點(diǎn)M且與l垂直的直線分別交工軸、y軸于4(x,0),B((),y)兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P(x,y)的軌跡方

程是()

A.-+y2=l(yr0)B.--y2=l(y*0)

44

C.2+竽=i(yH0)D.、一美=l(yH0)

【答案】D

【解題思路】根據(jù)直線Z與雙曲線相切，推出血2+4=/，MJ*.),再求出入,y,消去可得結(jié)果.

【解答過程】因?yàn)殡p曲線/一?=1與直線|：y=kx+m(k工±2)有唯一的公共點(diǎn)M,

所以直線I與雙曲線相切，

y=kx+m

222

2,消去y并整理得(4-k)x-2kmx-zn-4=0,

{x4—

222

所以A=4k2m2+4(4-k)(m+4)=0,即/+4=k,

將+4=小代入(4_妙)工2_2kmx-m2-4=U,得一m?%2_2kmx-k2=0,

得(mx+k)2=0,因?yàn)?H±2,m2+4=Zc2,所以mHO,

所以％=-',y=--?k+m=w>~k=即M(-V,-土),

mmmmm?nz

由山2+4=攵2可知k*0,

所以過點(diǎn)M且與z垂直的直線為y+±=-1(%+^),

令)'=0，得"=-基，令％=0,得y=-三，

‘7n'm

則力(一M。)，B(O，T，

5k

X=---,丫

由1々，得771=,k=-：

y=--yy

\m

代入?7；2+4=憶2,得"+4=*,即、一■=l(yH0),

故選:D.

【變式4-3】(2025?浙江?一模)雙曲線的另一種定義：動(dòng)點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(c,O)的距離和它與定直線，：工二?

的距離的比是常數(shù)式0VaVc),則點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)雙曲線.動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)F(V5,0)的距離和它與定直線/：

%二苧的距離的比是V5,則點(diǎn)M的軌跡方程為()

A.J/=lB.x2-^=l

22

C.y-y2=1D.y2_1=1

【答案】B

【解題思路】根據(jù)給定條件，列出方程并化簡(jiǎn)得答案.

依題意，叵受=存

【解答過程】設(shè)M(x,y),化簡(jiǎn)整理得1,

IT4

所以點(diǎn)M的軌跡方程為/一?=1.

故選：B.

【題型5雙曲線的焦點(diǎn)、焦距、長(zhǎng)軸、虛軸】

【例5】（2025?云南昆明?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線（一工=1的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（_3,0）,則實(shí)數(shù)m的值為（）

5m

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解題思路】利用雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，列出方程求解即可.

【解答過程】解：雙曲線[一些=1的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（一3,0）,可得租+5=9,

5m

可得m=4.

故選：D.

【變式5-1]（2025?江西新余?一模）雙曲線三一<二1的實(shí)軸長(zhǎng)為（）

616

A.V6B.4C.2V6D.8

【答案】C

【解題思路】根據(jù)雙曲線方程直接確定實(shí)軸長(zhǎng).

【解答過程】由雙曲線方程知a二通，則實(shí)軸長(zhǎng)為2a=2布.

故選：C.

【變式5-2]（2025?廣東廣州?三模）已知雙曲線C：9一\=l（b>0）的左右焦點(diǎn)分別為&、F2,過F2作C

其中一條漸近線的垂線，垂足為4,直線力約交另一漸近線于點(diǎn)B,若MB|二b,則雙曲線C的焦距為（）

A.3&B.6V2

C.6D.12

【答案】D

【解題思路】由雙曲線的性質(zhì)可得與到漸近線距離為。，結(jié)合幾何性質(zhì)可得4尸2。力=60。，從而?=最后

由a,b,c的關(guān)系可得焦距.

【解答過程】如圖所示，???F2到漸近線距離為從故△BOP2為等腰三角形，???4?20/1=60。，

故2=6=3百，c=6,???焦距為12.

a

故選：D.

【變式5-3］（2025?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線。W一'=1伍>0/>0）的焦距為2的且a:b:c=

1:2:V5,則下列說法正確的是（）

A.C的實(shí)軸長(zhǎng)為2B.C的漸近線方程為、=±：工

C.C的離心率為6D.C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（右,0）

【答案】C

【解題思路】根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線漸近線、離心率逐項(xiàng)判斷得解.

【解答過程】對(duì)于AD,由a:b:c=l:2:6，取。=2,則c=26，C的實(shí)軸長(zhǎng)4,右焦點(diǎn)（2次,0）,AD錯(cuò)誤;

對(duì)于B,由a:8=1:2,得C的漸近線方程為丫=±2%,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由a:c=l:正，得C的離心率6=強(qiáng)，C正確.

故選:C.

【題型6雙曲線中的焦點(diǎn)三角形問題】

【例6】（2025?江西?二模）過雙曲線C:9-y2=1的中心作直線［與雙曲線。交于尸、Q兩點(diǎn)，設(shè)雙曲線C的右

焦點(diǎn)為F,己知“FQ=4，則的面積為（）

A.yB.1C.y/2D.V3

【答案】D

【解題思路】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為P,連接PF'、QF'，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性得到S“FQ=S4PFF,，設(shè)仍尸I=m，

\PF\=n,結(jié)合雙曲線的定義及余弦定理求出nrn,再由面積公式計(jì)算可得.

【解答過程】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F',連接PV、QFf,由雙曲線的對(duì)稱性可知四邊形P尸Q尸為平行四邊形，

由/PFQ=y,則"NF=p

不妨設(shè)P在雙曲線的右支上，設(shè)|P〃|=m,\PF\=n,又|FF'|=2c=2b，

由雙曲線的定義可得|PV|—|PF|=m-n=2a=2/，

在AFP。中由余弦定理可得,\FF'\2=\PF'\2+\PF\2-2\PF'\?|PF|cos-,

222

即12=m.+n—mn=(zn—n)+mn=(2夜+7n九，解得nm=4,

所以S”戶Q=S^PFP?-^\PF'\?|PF|sinj=^x4Xy=V3.

故選：D.

【變式6-1]（2025?河南安陽?一模）已知雙曲線。:《一《=1（。>0/>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Fi，尸2,過

點(diǎn)F2的直線與C的右支交于4B兩點(diǎn)，且|4尸2|:出?2|:|4居|=1:2:3,若△48居的周長(zhǎng)為20,則C的實(shí)軸長(zhǎng)

為（）

A.1D.2C.4D.6

【答案】C

【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合已知的線段比例關(guān)系以及A力B0的周長(zhǎng)，求出Q的值，進(jìn)而得到雙曲

線C的實(shí)軸長(zhǎng).

【解答過程】設(shè)|4月|=m,因?yàn)閨4尸21：出尸2|：|力十|=1:2:3,所以田尸21=2小，|力居|=3m.

根據(jù)雙曲線的定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)尸1，尸2的距離之差的絕對(duì)值等于定值2Q（0V2a<|F/2l）的點(diǎn)的軌

跡為雙曲線.

對(duì)于點(diǎn)4在雙曲線右支上，有-|力尸2|=2a,即3m-m=2a,可得27n=2Q①.

對(duì)于點(diǎn)8在雙曲線右支上，有|BFJ-I8F2I=2a,則I"/=\BF2\+2a=2m+2a.

已知△ABF1的周長(zhǎng)為20,△ABF1的周長(zhǎng)L=|網(wǎng)+[BFJ+\AB\,而網(wǎng)=\AF2\+\BF2\=m+2m=3m.

所以L=3m+（2m+2a）+3m=20,即8771+2a=20②.

將①2m=2a代入②8m+2Q=20中，得到4x2Q+2Q=20,卻10Q=20,解得a=2.

根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，雙曲線5一，=l（a>0,b>0）的實(shí)軸長(zhǎng)為2a.

把a(bǔ)=2代入，可得實(shí)軸長(zhǎng)為2x2=4.

故選:C.

【變式6-2】（2025?青海海南?一模）已知雙曲線C：/一?=1的左、右焦點(diǎn)分別為號(hào),尸2，點(diǎn)中在。的右支

上，且|PF/=I+V7,則△P&F?的面積為（）

A.V7-1B.6C.3D.夕+1

【答案】C

【解題思路】利用焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)結(jié)合題設(shè)條件可得IPFZI，從而可得焦點(diǎn)三角形為直角三角形，從而可求

其面積.

【解答過程】點(diǎn)P在雙曲線右支上，Q=1/=V3,c=2

由雙曲線的定義可得IPFJ-IPF2I=2,

又|P0|=1+V7,兩式聯(lián)立得IP&I二夕一1.

又RFzl=4,

2

所以IPFJ2+\PF2\=F1F2F=16,即仆PFiB為直角三角形，

所以SP&FZUYIPFIIIPFZI=3.

故選：C.

【變式6-3]（2025?廣東?一模）如圖，&、尸2是雙曲線葺一3二1（匕＞0）的左、右焦點(diǎn)，過&的直線I與雙曲

線分別交于點(diǎn)4、B,若△力8尸2為等邊三角形，則△B&Fz的面積為（）

C.18V3D.27V3

【答案】C

【解題思路】由雙曲線的定義，可得|BFJ=2a,|8F2|=|BF1|+2Q=4a,由三角形面積公式S=[absinC,

即可求出吊尸2的面積.

【解答過程】在雙曲線中：Q2=9.所以Q=3,

根據(jù)雙曲線的定義，可得lAFil-MFzl=2a=6,

???△ABF2是等邊三角形，BPMFJ=\AB\

\AFi\-\AB\=|BFil=2a

又???I8F2ITBF/=2a,

|BF2|=|8FJ+2a=4a=12,

???△8F/2的面積為S=I|8F】I?\BF2\?sinl200=ix6xl2xy=18Vl

故選：C.

【題型7雙曲線的漸近線方程】

【例7】（2025?河北?一模）雙曲線/嗎一忘=1（。>03>0）的離心率為2,則￡的漸近線方程為（）

A.y=±V3xB.y=±—%

3

C.y=±2xD.y=±^x

【答案】B

【解題思路】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，可知漸近線方程為y=土"，再結(jié)合條件及a,b,c間的關(guān)系，即可求解.

【解答過程】由題知e=?=Jl+f=2,得到（二6，

所以雙曲線E的漸近線方程為y=土/=土半》,

故選：B.

【變式7-1】（2025?四川成都?一模）雙曲線二一<=1的漸近線方程為（）

2o

A.2x±y=0B.x±2y=0C.4x±y=0D.x±4y=0

【答案】A

【解題思路】根據(jù)漸近線方程直接進(jìn)行求解.

【解答過程】1的漸近線方程為y=±^x=土等％=±2x,

即2%±y=0.

故選:A.

【變式7-2］（2025?安徽六安模擬預(yù)測(cè)）己知雙曲線、=l（a,b>0）的離心率為則此雙曲線的漸近

線方程為（）

A.y=±yxB.y=±yxC.y=±yxD.y=

/4/La

【答案】B

【解題思路】由雙曲線的離心率得出勺即可求解漸近線方程.

【解答過程】由離心率得與=0-1=臺(tái)-1="9二=,

a2a293旅4

所以此雙曲線的漸近線方程為y=±^x,

故選:B.

【變式7-3］（2025?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）己知分別為雙曲線C:會(huì)1的左、右焦點(diǎn)，直線I過&與C交

于4B兩點(diǎn)，若|力8|=|8尸2|,3竊=瓦了+2及5,則C的漸近線為（）

A.y=±—xB.y=±-xC.y=±-xD.y=±—x

3333

【答案】A

【解題思路】由題意求得出&|=Q,|力&|=2a,=3a,尸2l=4a,結(jié)合余弦定理標(biāo)：'：""’=

2-a-zc

4a2+4cz-16a2lizniZ）24—

——77777—求得總=三n即rI可r?

2-2a-2ca，3

■1?...??i?o?_.,,■■?1?

由3尸2&=尸24+2尸2氏即尸2&二：F2i4+：尸2氏可得F14=28'.

設(shè)|BF/=t,a>0,b>0,根據(jù)上述條件及雙曲線的定義，可知

\AFx\=2t,\BF2\=2a+t,\AF2\=2a+2t.

又因?yàn)閨AB|=IBF2I，所以￡=a,

故|BF/=a,|AFi|=2a,|BF2l=3a,|4F2l=4a.

在AABF2^f由COSNBF/z=—COSZ.AF1F2f

zMa2+4c2-9a2__4a2+4,2-i6a2徂c?_7產(chǎn)仔2+M_7

'2a-2c-22a-2c'-3*'a2-3’

得?=全故C的兩條漸近線方程為y=±'=土竽X.

故選：A.

【題型8求雙曲線的離心率或其取值范圍】

【例8】（2025?全國(guó)一卷?高考真題）已知雙曲線C的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的近倍，則C的離心率為（）

A.V2B.2C.V7D.2企

【答案】D

【解題思路】由題可知雙曲線中的關(guān)系，結(jié)合a2+/=c2和離心率公式求解

【解答過程】設(shè)雙曲線的實(shí)軸,虛軸，焦距分別為ZQ,2b,zc,

由題知，b=y/7a,

于是M+爐=。2=。2+7a2-8a2,則。=2>/2a,

即e=-=2y［2.

a

故選:D.

【變式8-1］（2025.河南信陽.模擬預(yù)測(cè)）若雙曲線/一《=1（。八①的一條漸近線方程為尸2丫，則

該雙曲線的離心率為（）

A展B-TC.2D.V5

【答案】D

【解題思路】由題意可得3=2,則e=￡=FG?,即可得出答案.

【解答過程】因?yàn)殡p曲線《一、=1（。>0fb>0）的漸近線方程為y=±^x,

所以g=2,所以雙曲線的離心率為e=2=Jl+0=Vl+22=V5.

故選：D.

【變式8-2］（2025?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）已知鳥，戶2分別為雙曲線C:捺一1的左、右焦點(diǎn)，直線/過&與

。交于A,B兩點(diǎn),若|4B|=|BF2|,麗=2用，則C的離心率為（）

A.士B.三C.勢(shì)D.每

3333

【答案】C

【解題思路】設(shè)I禧I=2|月面=2n，結(jié)合雙曲線的定義及|A8|=I8F2I得a=71,再由cos48F/2+

cosUFSz=。和余弦定理得到齊次式，即可得離心率.

【解答過程】設(shè)|麗|=2|踮|=2n,則IBF2I-|86|==2a,

\AF2\-\AFX\

所以%|-n=MF2|-2n=2a,則｛般以；籌

由|AB|=\BFr\+\AFX\=\BF2\f則37z=n+2a,故a=n,

綜上，|B居|=a,\BF2\=3a,\AFX\=2a,\AF2\—4a,

由，8尸1尸2+LAFXF2=TT,則C0SZSF]F2+COSZ?力尸1尸2=0,

所以Q出空生+4a2+4c2—l6a2=°,可得3c2=7a2,

4ac8ac

所以e=￡==亨

ay33

故選:c.

【變式8-3]（2025?湖南湘潭?一模）已知雙曲線。瑞一3=1（"0而：>0）的右焦點(diǎn)為尸2（2,0），若圓

M:,+2/+（y-6）2=4上存在點(diǎn)P使得PF?的中點(diǎn)在C的漸近線上，則。的離心率的取值范用為（）

A.[2,+oo）B.[3,+8）C.（1,2]D.（1,3]

【答案】B

【解題思路】設(shè)P值,%）為圓M上一點(diǎn)，得到P尸2的中點(diǎn)Q（竽，竺，求得yo=±3&+2）,結(jié)合直線丫=

±久￥+2）與圓M有公共點(diǎn)，得到寸妥工2,求得好8,進(jìn)訛求得雙曲線的離心率的取值范圍.

【解答過程】因?yàn)殡p曲線C:>1的右焦點(diǎn)為尸2（2,0）,則c=2,即Q2+/J2=4,

且雙曲線C的漸近線方程為y=±^x,

設(shè)2（出,貝））為圓川：（％+2）2+。-6）2=4上一點(diǎn),且圓心為M（-2,6）,半徑r=2,

則PF2的中點(diǎn)Q（等，會(huì)在其漸近線上，可得手=±久竿），

即先=±;（x0+2）,所以點(diǎn)P在直線±3%-y±-=0上,

因?yàn)閳A心M（-2,6）到直線的距離為d=與、：2）-6土制=川=,

J（士》+（T）2J（/+i

因?yàn)閳AM上存在點(diǎn)P滿足條件，所以直線尢=±￡（/+2）與圓M有公共點(diǎn)，

所以d￡2,可得磊一，可得令+】之以所以28,

又因?yàn)殡p曲線的離心率e2=4=*=1+^>9,所以e>3,

Mazaz

所以雙曲線C的高心率的取值范圍為［3,+8).

故選：B.

【題型9與雙曲線有關(guān)的最值問題】

【例9】(2025?浙江紹興?二模)已知雙曲線「:/一號(hào)=1的左焦點(diǎn)為心點(diǎn)4B在「的右支上，且|力8|=6,

則|F川+|尸B|的最小值為()

A.4B.6C.10D.14

【答案】C

【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義，將|凡4|與|FB|進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再結(jié)合三角形三邊關(guān)系求出|F川+|尸8|的最小值.