第23章解直角三角形（復(fù)習(xí)講義）理解銳角三角函數(shù)的概念掌握正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）的定義，能根據(jù)直角三角形邊長(zhǎng)正確寫(xiě)出三角函數(shù)值.熟記30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，并能快速計(jì)算或推導(dǎo).掌握解直角三角形的方法利用勾股定理、三角函數(shù)關(guān)系（如sin2A+cos2A=1）或邊角關(guān)系，已知兩邊或一邊一角時(shí)，求解其他未知邊或角.應(yīng)用三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題，如測(cè)量高度、坡度、方位角等，并運(yùn)用三角函數(shù)求解.●一、銳角三角函數(shù)1、正切、正弦、余弦正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分別是∠A的對(duì)邊和鄰邊．我們將∠A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA.正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即sinA＝∠A的對(duì)邊斜邊＝BCAC余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即cosA＝∠A的對(duì)邊斜邊＝BCAC【注意】（1）正切、正弦、余弦都是在直角三角形中定義的，求值時(shí)，要先找到角所在的直角三角形.（2）正切、正弦、余弦反映了直角三角形的邊與角的關(guān)系，是兩條邊的比值，沒(méi)有單位．2、銳角三角函數(shù)：∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的銳角三角函數(shù)．3、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系：（1）正弦與余弦的關(guān)系：任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值.sinA=cos(90－A)=cosB,cosA=sin(90o－A)=sinB．（2）同角的正弦、余弦關(guān)系：sin2A+cos2A=1．tanA=sinA●二、30°、45°、60°的三角函數(shù)值1、30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：三角函數(shù)30°45°60°sinαcosαtanα1（1）已知特殊角的度數(shù)，可求出相應(yīng)的三角函數(shù)值；反之，已知一個(gè)特殊角的三角函數(shù)值，也可求出這個(gè)角的度數(shù).（2）●三、用計(jì)算器求銳角三角函數(shù)值（1）當(dāng)銳角以度為單位時(shí)，可先按（或）鍵，然后輸入角度值（可以為整數(shù)或小數(shù)），再按鍵，即可在屏上顯示出結(jié)果.（2）當(dāng)銳角以度、分、秒為單位時(shí)，要借助鍵計(jì)算，按鍵順序?yàn)椋海ɑ颍?、、度?shù)、、分?jǐn)?shù)、秒數(shù)、、.【注意】使用計(jì)算器求出的值多為近似值，具體計(jì)算中必須按要求取近似值.●四、解直角三角形1、解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外有5個(gè)元素（即3條邊長(zhǎng)、2個(gè)銳角），只要知道其中的2個(gè)元素（至少有1個(gè)是邊長(zhǎng)），就可以求出其余的3個(gè)未知元素.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形.2、直角三角形中的邊角關(guān)系：直角三角形各元素之間的關(guān)系圖形兩銳角之間的關(guān)系∠A+∠B=90°.三邊之間的關(guān)系a2+b2=c2邊角之間的關(guān)系sinA＝∠A的對(duì)邊斜邊＝BCABsinB＝∠B的對(duì)邊斜邊＝ACABcosA＝∠A的鄰邊斜邊＝ACABcosB＝∠B的鄰邊斜邊＝BCABtanA＝∠A的對(duì)邊∠A的鄰邊＝tanB＝∠B的對(duì)邊∠A的鄰邊＝3、解直角三角形的類(lèi)型及基本解法已知條件圖形解法兩邊（1）兩條直角邊a,b①由tanA＝ab，求∠A②∠B=90°－∠A.③c=（2）斜邊和一條直角邊（如a,c）①由sinA＝ac＝cosB求∠A,∠B②b=一邊一銳角（3）一個(gè)銳角及其對(duì)邊（如a,∠A）①∠B=90°－∠A.②c=asinA,b=atanA（4）一個(gè)銳角及其L鄰邊（如b,∠A）①∠B=90°－∠A.②a=btanA,c=bcosA（5）一個(gè)銳角及其斜邊（如∠A,c）①∠B=90°－∠A.②a=csinA,b=ccosA.【注意】1.在遇到解直角三角形的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，最好是先畫(huà)出一個(gè)直角三角形的草圖，按題意標(biāo)明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對(duì)邊和鄰邊的順序進(jìn)行計(jì)算.2.若題中無(wú)特殊說(shuō)明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有個(gè)條件為邊.●五、直角三角形的應(yīng)用1、利用解直角三角形解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程：（1）將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（畫(huà)出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題）；（2）根據(jù)題目條件解直角三角形；（3）得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案；（4）得到實(shí)際問(wèn)題的答案.2、解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用中涉及的有關(guān)概念：（1）仰角、俯角在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方時(shí)，視線與水平線所成的角叫仰角，視線在水平線下方時(shí)，視線與水平線所成的角叫俯角．（2）方位角以正南或正北方向?yàn)闇?zhǔn)，正南或正北方向線與目標(biāo)方向線構(gòu)成的小于90°的角，叫做方位角.如圖：如圖所示,目標(biāo)方向線OA,OB,的方向角分別可以表示為北偏東30°、南偏西45°,其中南偏西45°習(xí)慣上又叫做西南方向,北偏西45°習(xí)慣上又叫做西北方向.（3）坡角、坡度名稱(chēng)定義表示方法關(guān)系舉例坡角坡面與水平面的夾角叫做坡角.一般用字母α，β，γ表示.①坡度不是角的度數(shù)，它是坡角的正切值，即i=tanα；②坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.當(dāng)h=1，l=3時(shí)，坡度.i=h:l=1：3，坡角為30°.坡度坡面的鉛直高度(h)和水平寬度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比).通常用i表示，即i=h:l.題型一題型一求角的正弦值【例1】（2024秋?石景山區(qū)期末）如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3BC，則sinA為（）A．13 B．24 C．1010 【變式1-1】（24-25九年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，【變式1-2】（2025·廣東廣州·二模）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2,AC=3，BD題型題型二由正弦值求邊長(zhǎng)【例2】（2025·廣東梅州·二模）在△ABC中，∠C=90°，BC=4，sinAA．25 B．6 C．83 D【變式2-1】（2025·陜西咸陽(yáng)·二模）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，OE⊥CD交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．若AB=2,?BDA．12 B．1 C．2 D．【變式2-2】如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝10，AC＝213，sinB=3（1）求tanC；（2）求線段BC的長(zhǎng)．題型題型三求角的余弦值【例3】A．72 B．21111 C．11【變式3-1】（24-25九年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinBA．513 B．1213 C．512【變式3-2】（23-24九年級(jí)上·山東威?！て谥校┰凇鰽BC中，∠C=90°，tanA=A．55 B．255 C．2題型題型四由角的余弦值求邊長(zhǎng)【例4】（2025·云南昭通·二模）在Rt△ABC中，∠A=90°，已知BC=10，cosA．4 B．5 C．6 D．8【變式4-1】（2025·云南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，若【變式4-2】（2025·陜西渭南·三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，連接CD，若CD=3，cosA．2 B．4 C．5 D．2題型題型五求角的正切值【例5】（24-25九年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA

A．43 B．34 C．35【變式5-1】（2024?雁塔區(qū)校級(jí)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，則tanB＝（）A．13 B．3 C．1010 D【變式5-2】（23-24九年級(jí)上·黑龍江大慶·期中）如圖所示，在Rt△ABC中，斜邊AB=3，BC=1，點(diǎn)D在AB上，且BDADA．13 B．1 C．223題型題型六由正切值求邊長(zhǎng)【例6】（2025·云南紅河·三模）如圖，在△ABC中，若∠B=90°，tanA=43A．3 B．4 C．5 D．6【變式6-1】（24-25九年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·期末）如圖，在△ABC中，∠ABC=30°,tanC【變式6-2】（24-25九年級(jí)上·重慶·期中）如圖，點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，DB=DC，AB與CD相交于點(diǎn)E，∠BDC=∠BAC，連接DA，若AC=4，題型題型七由定義判斷多結(jié)論【例7】（24-25九年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，ACA．sinA=bc B．tanB=【變式7-1】（24-25九年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）在△ABC中，∠C=90°A．sinA=ACAB B．cosB=【變式7-2】（23-24九年級(jí)下·山東濟(jì)南·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在Rt△ABC中，∠ACBA．sinA=BCAC B．tanB=題型題型八特殊銳角三角函數(shù)的計(jì)算【例8】（2025·云南玉溪·二模）計(jì)算：36-【變式8-1】（2025·云南昆明·三模）計(jì)算：-1【變式8-2】（2024秋?西崗區(qū)期末）計(jì)算．（1）3tan30°﹣tan45°+2sin60°；（2）（cos230°+sin230°）×tan60°．題型題型九由特殊銳角三角函數(shù)值求角度【例9】（24-25九年級(jí)上·遼寧大連·階段練習(xí)）若α為銳角，且tanα+15°=1，則αA．20° B．25° C．30° D．45°【變式9-1】（24-25九年級(jí)上·河北保定·階段練習(xí)）在△ABC中，若cosA-12A．45° B．60° C．75° D．105°【變式9-2】，tanA-1+A．75° B．60° C．45° D．105°題型題型十利用特殊銳角三角函數(shù)判斷三角形的形狀【例10】（23-24九年級(jí)下·福建龍巖·階段練習(xí)）在△ABC中，若2cosA-2A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【變式10-1】sinB=cos90°-∠A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【變式10-2】（23-24九年級(jí)上·山東泰安·階段練習(xí)）在△ABC中，若sinA-32題型題型十一已知角度比較三角函數(shù)值的大小【例11】（24-25九年級(jí)下·貴州黔東南·階段練習(xí)）sin46°,cos46°,A．tan46°<cos46°<C．sin46°<cos46°<【變式11-1】三角函數(shù)sin30°、cos16°、sin43°A．sin43°>cos16°>C．cos16°>sin43°>【變式11-2】（23-24九年級(jí)下·山東濟(jì)寧·開(kāi)學(xué)考試）比較tan52°，cos21°，sin49°A．tan52°<cos21°<C．sin49°<tan52°<題型題型十二由三角函數(shù)值判斷銳角的取值范圍【例12】（23-24九年級(jí)上·北京昌平·期末）若∠A是銳角，且sinA=A．0°<∠A<30° BC．45°<∠A<60° D【變式12-1】（23-24九年級(jí)上·安徽六安·期末）若cosα=4A．0°<α<30° BC．45°<α<60° D【變式12-2】（23-24九年級(jí)上·安徽六安·階段練習(xí)）若銳角α滿(mǎn)足12<cosα<A．0°<α<45° BC．45°<α<60° D題型題型十三由同角三角函數(shù)求值【例13】（2025九年級(jí)下·浙江溫州·學(xué)業(yè)考試）已知tanα=2，則sin2A．23 B．43 C．4 D【變式13-1】（23-24九年級(jí)上·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知tanα=2，則2sin【變式13-2】（24-25九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）已知Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=2題型題型十四互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系【例14】（2024·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，∠C＝90°，sinA=35，則sinB等于(

A．25 B．35 C．45【變式14-1】（20224·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）若α為銳角，且cosα＝1213，則sin(90°－α)的值是(A．513 B．1213 C．512【變式8-2】（2024全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知α，β都是銳角，且α+β=90°，sinα題型題型十五銳角三角函數(shù)與網(wǎng)格問(wèn)題【例15】（24-25九年級(jí)下·黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）如圖，在網(wǎng)格中每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1，若點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上，則cos∠BAC的值為（A．55 B．255 C．1【變式15-1】（2025·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）上，則tan∠BAC的值為（

A．12 B．2 C．3 D．【變式15-2】18．【變式15-2】（24-25九年級(jí)上·甘肅天水·期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，線段AC和BD的端點(diǎn)都在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上．若AC與BD相交于點(diǎn)E，則tan∠AEB的值為（

A．55 B．12 C．25題型題型十六解直角三角形【例16】（2025·山西朔州·三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E分別為AB，AC邊上的點(diǎn)，且∠B=2∠ADE，AE=BD【變式16-1】（24-25九年級(jí)上·浙江寧波·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠B=30°,∠C=45°,【變式16-2】（23-24九年級(jí)上·江蘇泰州·期中）如圖，AD是△ABC的中線，

求：(1)BC的長(zhǎng)；(2)∠ADC題型題型十七解非直角三角形【例17】（24-25八年級(jí)下·福建福州·期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=135°，?A．25 B．42 C．210【變式17-1】（22-23九年級(jí)上·江蘇南通·期末）如圖，在△ABC中，∠A=30°，AC=23，tan

A．2+23 B．3+3 C．4 D【變式17-2】（23-24九年級(jí)下·山東棗莊·階段練習(xí)）已知在△ABC中，∠A=60°，AB=1+3A．45° B．75° C．90° D．105°題型題型十八利用解直角三角形求圖形的面積【例18】已知△ABC中，∠B=60°，AB=6，BC=8，則△ABC的面積為（

）A．122 B．C．243 D．【變式18-1】如圖，cosB=22，sinC=3A．42 B．43 C．44 D．45【變式18-2】（23-24九年級(jí)上·安徽六安·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠(1)求AC的值．(2)求△ABC題型題型十九解直角三角形的應(yīng)用---仰角俯角問(wèn)題【例19】（2025·四川綿陽(yáng)·二模）如圖，在小山的東側(cè)A點(diǎn)有一個(gè)熱氣球，受西風(fēng)的影響，以20m/min的速度沿與地面成75°角的方向飛行，15min后到達(dá)點(diǎn)C處，此時(shí)熱氣球上的人測(cè)得小山西側(cè)B點(diǎn)的俯角為30°，則小山東西兩側(cè)A，

A．3002m B．3752m C．【變式19-1】（2025·海南·模擬預(yù)測(cè)）定滑輪能改變力的方向，使得施力方向轉(zhuǎn)變?yōu)槿菀壮隽Φ姆较颍嘲唷熬C合與實(shí)踐”小組的同學(xué)在課余時(shí)間測(cè)量“定滑輪距地面的高度”．如圖，點(diǎn)O處放置一定滑輪，點(diǎn)A，B，B'，C，C'，O均在同一豎直平面內(nèi)，在點(diǎn)B處測(cè)得定滑輪O的仰角為30°，小組成員站在A處，拉動(dòng)繩子，使得物體移動(dòng)至點(diǎn)B'處，在點(diǎn)B'處測(cè)得定滑輪O的仰角為60°，物體從點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)B'處繩子收回的長(zhǎng)度為4m，已知物體的高度A．3-3m B．3+3m【變式19-2】（2025·安徽滁州·二模）為了將所學(xué)的知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐，聰聰計(jì)劃測(cè)量一下他家（樓AB）前面的樓CD的高度．如圖，他首先在AC間的點(diǎn)M處架了測(cè)角儀，測(cè)得樓CD樓頂D的仰角為45°已知AM=4米，測(cè)角儀距地面MN=1米，然后又到家里（點(diǎn)P處），用測(cè)角儀測(cè)得樓CD樓頂D的仰角為37°，AP=4米，請(qǐng)求出樓CD的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，題型題型二十解直角三角形的應(yīng)用---方位角問(wèn)題【例20】（24-25八年級(jí)下·河南平頂山·期末）如圖，一條筆直的東西公路的北邊有一個(gè)建筑物C，小明在公路上的點(diǎn)A處測(cè)得建筑物C在北偏東60°的方向上；小明向東走20米到達(dá)點(diǎn)B處，測(cè)得建筑物C在北偏東30°方向上．則建筑物C到公路l的距離為（

）A．10米 B．103米 C．15米 D．3【變式20-1】（24-25九年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期中）某校組織一次定向越野拉練活動(dòng)．如圖，A點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，途中設(shè)置兩個(gè)檢查點(diǎn)，分別為B點(diǎn)和C點(diǎn)，行進(jìn)路線為A→B→C→A，B點(diǎn)在A點(diǎn)的南偏東25°方向32km處，C點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏東80°方向，【變式20-2】（2025·安徽合肥·二模）我軍艦在點(diǎn)A的北偏東35°方向上的點(diǎn)C處，發(fā)現(xiàn)一艘靠近我內(nèi)海的不明軍艦，立即通知我軍在點(diǎn)B的執(zhí)行任務(wù)的軍艦進(jìn)行跟蹤伴行．已知點(diǎn)A在點(diǎn)B的南偏西65°的方向上，點(diǎn)Ｃ在點(diǎn)B的北偏西52°，點(diǎn)A，C之間相距20海里，求點(diǎn)B，C之間的距離．（結(jié)果保留0.1海里）參考數(shù)據(jù)：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45題型題型二十一解直角三角形的應(yīng)用---坡度問(wèn)題【例20】（24-25八年級(jí)下·浙江杭州·期中）如圖，某攔水壩橫截面如圖所示，若迎水坡AB的坡比是1:3，壩高BC=12m，則迎水坡AB的長(zhǎng)度是(

)A．24 B．242 C．36 D．【變式20-1】（24-25九年級(jí)上·海南?？凇て谥校﹫D為某攔河壩改造前后河床的橫斷面示意圖，AD∥BC，壩高DC=8m，將原坡度i=1:0.25的迎水坡面AB改為坡角為60°的斜坡EB，此時(shí)，河床面的寬減少的長(zhǎng)度AE等于（結(jié)果精確到0.1mA．2m B．2.6m C．3.2m D．3.6m【變式20-2】（24-25八年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期末）在陽(yáng)光下，測(cè)得一根與地面垂直、長(zhǎng)為1米的竹竿的影長(zhǎng)為2米．同時(shí)一同學(xué)測(cè)量一棵樹(shù)的高度時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹(shù)的影子不全落在地面上，如圖，樹(shù)的影子恰好落在地面和一斜坡上，此時(shí)測(cè)得地面上的影長(zhǎng)EF為6米，坡面上的影長(zhǎng)FG為4米．已知斜坡的坡角∠GFN為30°題型題型二十二解直角三角形的應(yīng)用---其它問(wèn)題【例22】（2025九年級(jí)下·廣東深圳·學(xué)業(yè)考試）如圖是某壁掛臺(tái)燈的側(cè)面示意圖，已知臺(tái)燈底部離桌面距離CD=20cm，支架長(zhǎng)BC=15cm，燈長(zhǎng)AB=16cm，當(dāng)支架BC與墻壁的夾角、燈罩AB與水平面的夾角均為30°時(shí)，閱讀時(shí)光照效果最佳，此時(shí)點(diǎn)A．34cm B．41cm C．45cm D．50cm【變式22-1】（2025·四川南充·三模）如圖，將教室兩扇窗戶(hù)向外推開(kāi)相同的角度，形成通風(fēng)的縫隙CD，已知AC=BD=12AB=1A．2-2m B．2m C．1-【變式22-2】（2025·內(nèi)蒙古包頭·三模）在漢代之后，蕩秋千逐漸成為清明、端午等節(jié)日進(jìn)行的民間習(xí)俗活動(dòng)并流傳，現(xiàn)在也深受兒童的喜愛(ài)．如圖所示成都市某公園的秋千，秋千鏈子的長(zhǎng)度為4m，當(dāng)擺角∠AOC為30°時(shí)，座板離地面的高度AM為1m，當(dāng)擺動(dòng)至最高位置時(shí)，擺角∠BOC為題型題型二十三用計(jì)算器求銳角的三角函數(shù)值【例23】（24-25九年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期中）已知∠A是銳角，且A的大小是的計(jì)算結(jié)果，則∠A的度數(shù)為（

A．30° B．45° C．60° D．75°【變式23-1】（24-25九年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期中）利用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算13cos52°A． B．C． D．【變式23-2】（2025九年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=3A． B．C．D．題型題型二十四銳角三角函數(shù)的綜合運(yùn)用【例24】（2025·北京延慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，D為AC中點(diǎn)，以BC，CD為一組鄰邊作?BCDE，DE與AB交于點(diǎn)O，連接(1)求證：四邊形AEBD是菱形；(2)若BC=82，tan∠【變式24-1】（23-24九年級(jí)上·山東聊城·階段練習(xí)）在△ABC中，AC=42，BC=6，(1)求△ABC(2)求AB的值；(3)求cos∠ABC【變式24-2】（2025·江蘇揚(yáng)州·一模）如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)），且∠(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；(2)當(dāng)AB=5，tan∠ABE=3基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測(cè)基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測(cè)1．（2024秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期中）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，則cosA的值為（）A．35 B．45 C．34 2．（24-25九年級(jí)上·湖南常德·期末）將Rt△ABC的斜邊和直角邊都擴(kuò)大到原來(lái)的n倍，那么銳角A的三角函數(shù)值（A．都擴(kuò)大到原來(lái)的n倍 B．都縮小到原來(lái)的1C．沒(méi)有變化 D．只有tanA3．（24-25九年級(jí)上·安徽安慶·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A為∠α邊上的任意一點(diǎn)，作AC⊥BC于點(diǎn)C，CD⊥ABA．CDBC B．ACAB C．ADAC4．，若cosA-32A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形5．（2025·四川綿陽(yáng)·二模）如圖，熱氣球探測(cè)器顯示，從熱氣球A處測(cè)得一棟樓頂部C處的仰角是37°，測(cè)得這棟樓的底部B處的俯角是60°，熱氣球與這棟樓的水平距離是30米，那么這棟樓的高度是（

）米（精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75A．74 B．91 C．57 D．406．（2025·吉林長(zhǎng)春·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)E在DC上，把△ADE沿AE折疊，點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)FA．74 B．73 C．34 7．（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）甲乙兩人約好一起去江邊垂釣．如圖，釣魚(yú)竿AC的長(zhǎng)為4m，露在水面上的魚(yú)線BC的長(zhǎng)為22m，把魚(yú)竿AC逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)15°到AC'的位置，此時(shí)露在水面上的魚(yú)線B'C'的長(zhǎng)度是8．（24-25八年級(jí)上·江西景德鎮(zhèn)·期中）α為銳角，若sinα+cosα=9．（2025九年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在△ABC中，∠A、∠B滿(mǎn)足：210．（23-24九年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期末）如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)為．11．（24-25九年級(jí)上·吉林·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P-3,?m在第二象限內(nèi)，若OP與x軸負(fù)半軸的夾角α的正切值為5412．（23-24九年級(jí)下·湖北武漢·期中）如圖，某高速公路建設(shè)中需要測(cè)量一條江的寬度AB，飛機(jī)上的測(cè)量人員在C處測(cè)得A，B兩點(diǎn)的俯角分別為50°和30°，若飛機(jī)離地面的高度CH為100米，且點(diǎn)H，A，B在同一水平