第21頁（共21頁）2025-2026學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級期末必刷常考題之相似三角形的判定一．選擇題（共8小題）1．（2025秋?碧江區(qū)期中）如圖，已知∠EAC＝∠DAB，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE的是（）A．ABAD=ACAE B．∠B＝∠D C．∠C＝∠AED2．（2025秋?興慶區(qū)校級期中）每個(gè)小正方形邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與圖中△ABC相似的是（）A． B． C． D．3．（2025?河北）如圖，在五邊形ABCDE中，AE∥BC，延長BA，BC，分別交直線DE于點(diǎn)M，N．若添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定△MAE∽△DCN，則這個(gè)條件是（）A．∠B+∠4＝180° B．CD∥AB C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠34．（2025?攀枝花）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，M、N分別為AC、BD的中點(diǎn)，∠ACD＝15°，AC＝8，OD＝OM．以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．MN⊥BD B．MN＝2 C．AB=43 D．△BAD5．（2025?蕪湖一模）如圖，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE的是（）A．ABAD=ACAE B．∠B＝∠D C．ABAD=6．（2024秋?牧野區(qū)期末）如圖，不能判定△AOB和△DOC相似的條件是（）A．OA?OC＝OD?OB B．∠B＝∠C C．∠A＝∠D D．AB7．（2025春?芝罘區(qū)期末）如圖，在△ABC與△ADE中，∠B＝∠D，添加下列一個(gè)條件不能使△ABC∽△ADE的是（）A．∠BAD＝∠CAE B．ABBC=ADDE C．∠C＝∠E8．（2025秋?瑤海區(qū)校級期中）如圖，DE∥AB，∠1＝∠3，則圖中相似三角形共有（）A．3對 B．4對 C．5對 D．6對二．填空題（共4小題）9．（2024秋?鄞州區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，過點(diǎn)C作BC的垂線CD，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在射線CD上運(yùn)動(dòng)，始終滿足∠BAP＝∠CAQ，連結(jié)PQ，當(dāng)△PCQ與△ABC相似時(shí)，線段BP的長是．10．（2024秋?惠民縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．若點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，問經(jīng)過秒鐘，△PBQ與△ABC相似．11．（2024秋?豐順縣期末）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)P、Q分別為AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△PQB沿PQ折疊，使點(diǎn)B們對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在邊AC上，當(dāng)△APD與△ABC相似時(shí)，AP的長為．12．（2024秋?秦都區(qū)期末）如圖，已知點(diǎn)D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，要使得△ABC∽△AED，可添加的一個(gè)條件是．（只寫一個(gè)）三．解答題（共3小題）13．（2025秋?立山區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＞CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AC，BC上，且∠FAC＝∠EDA，∠ACD＝∠ADC，AF2＝BF?CE．求證：△ABF∽△CDE．14．（2024秋?紫金縣期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求證：△ABE∽△ECF．15．（2024秋?洪雅縣期末）如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為4cm/s，Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s，那么運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，△ABC和△PCQ相似？

2025-2026學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級期末必刷常考題之相似三角形的判定參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案DADCCDDB一．選擇題（共8小題）1．（2025秋?碧江區(qū)期中）如圖，已知∠EAC＝∠DAB，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE的是（）A．ABAD=ACAE B．∠B＝∠D C．∠C＝∠AED【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】D【分析】由相似三角形的判定方法，即可判斷．【解答】解：∵∠EAC＝∠DAB，∴∠EAC+∠BAE＝∠DAB+∠BAE，∴∠BAC＝∠DAE，A、由兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似判定△ABC∽△ADE，故A不符合題意；B、C，由有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似判定△ABC∽△ADE，故B、C不符合題意；D、兩三角形的兩邊對應(yīng)成比例，但夾角不一定相等，不能判定△ABC∽△ADE，故D符合題意．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定，關(guān)鍵是掌握：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似，兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．2．（2025秋?興慶區(qū)校級期中）每個(gè)小正方形邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與圖中△ABC相似的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理，逐項(xiàng)判斷，即可求解．【解答】解：在△ABC中，AB=32+12=10，A、三邊長分別為1，2，5，則12=2B、三邊長分別為2，5，3，則22≠5C、三邊長分別為1，5，22，則21≠2D、三邊長分別為2，5，13，則22≠5故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了相似三角形的判定，掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2025?河北）如圖，在五邊形ABCDE中，AE∥BC，延長BA，BC，分別交直線DE于點(diǎn)M，N．若添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定△MAE∽△DCN，則這個(gè)條件是（）A．∠B+∠4＝180° B．CD∥AB C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】D【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AEM＝∠CND，∠MAE＝∠B，當(dāng)添加∠B+∠4＝180°時(shí)，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等證明∠DCN＝∠B，所以∠DCN＝∠MAE，則根據(jù)相似三角形的判定方法可對A選項(xiàng)進(jìn)行判斷；當(dāng)添加CD∥AB時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DCN＝∠B，所以∠DCN＝∠MAE，則根據(jù)相似三角形的判定方法可對B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；當(dāng)添加∠1＝∠4時(shí)，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等證明∠DCN＝∠MAE，則根據(jù)相似三角形的判定方法可對C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；當(dāng)添加∠2＝∠3時(shí)，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等證明∠AEM＝∠CDN＝∠CND，于是根據(jù)相似三角形的判定方法可對D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：∵AE∥BC，∴∠AEM＝∠CND，∠MAE＝∠B，當(dāng)添加∠B+∠4＝180°時(shí)，∵∠DCN+∠4＝180°，∴∠DCN＝∠B，∴∠DCN＝∠MAE，∴△MAE∽△DCN，所以A選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)添加CD∥AB時(shí)，∴∠DCN＝∠B，∴∠DCN＝∠MAE，∴△MAE∽△DCN，所以B選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)添加∠1＝∠4時(shí)，∵∠MAE+∠1＝180°，∠DCN+∠4＝180°，∴∠DCN＝∠MAE，∴△MAE∽△DCN，所以C選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)添加∠2＝∠3時(shí)，∵∠AEM+∠2＝180°，∠CDN+∠3＝180°，∴∠AEM＝∠CDN＝∠CND∴不能判斷△MAE∽△DCN，所以D選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定：有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．也考查了平行線的性質(zhì)．4．（2025?攀枝花）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，M、N分別為AC、BD的中點(diǎn)，∠ACD＝15°，AC＝8，OD＝OM．以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．MN⊥BD B．MN＝2 C．AB=43 D．△BAD【考點(diǎn)】相似三角形的判定；等腰三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；直角三角形斜邊上的中線．【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】C【分析】利用直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)和相似三角形的判定定理對每個(gè)選項(xiàng)的結(jié)論進(jìn)行逐一判斷即可得出結(jié)論．【解答】解：連接MD，MB，如圖，∵∠ABC＝90°，M為AC的中點(diǎn)，∴BM=12∵∠ADC＝90°，N為BD的中點(diǎn)，∴DM＝CM=12∴DM＝BM，∵N為BD的中點(diǎn)，∴MN⊥BD．故A選項(xiàng)正確，不符合題意；∵DM＝CM=12∴∠DMC＝∠ACD＝15°，∴∠AMD＝∠DMC+∠ACD＝30°，∵OD＝OM，∴∠ODM＝∠AMD＝30°，∵AC＝8，∴DM=12AC＝∵M(jìn)N⊥BD，∴∠DNM＝90°，∴MN=12DM＝故B選項(xiàng)正確，不符合題意；∵∠BDC＝∠ODM+∠MDC＝45°，∴∠ADB＝∠BDC＝45°，∵M(jìn)A＝MD＝MC＝MB=12AC＝∴點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)在以點(diǎn)M為圓心，半徑為4的圓上，∴∠BCA＝∠BDA＝45°，∴△ABC為等腰直角三角形，∴AB＝BC=22AC＝4∴C選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；∵∠ABD＝∠ACD，∠ADB＝∠BDC＝45°，∴△BAD∽△COD，∴D選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．5．（2025?蕪湖一模）如圖，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE的是（）A．ABAD=ACAE B．∠B＝∠D C．ABAD=【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)已知及相似三角形的判定方法對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而得到最后答案．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，∴∠DAE＝∠BAC，∴選項(xiàng)B、D根據(jù)兩角對應(yīng)相等判定△ABC∽△ADE，選項(xiàng)A根據(jù)兩邊成比例夾角相等判定△ABC∽△ADE，選項(xiàng)C中不是夾這兩個(gè)角的邊，所以不相似，故選：C．【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定：①如果兩個(gè)三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；②如果兩個(gè)三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；③如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．6．（2024秋?牧野區(qū)期末）如圖，不能判定△AOB和△DOC相似的條件是（）A．OA?OC＝OD?OB B．∠B＝∠C C．∠A＝∠D D．AB【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】D【分析】本題中已知∠AOB＝∠DOC是對頂角，應(yīng)用兩三角形相似的判定定理，即可作出判斷．【解答】解：A、能判定，利用兩邊成比例夾角相等；B、能判定，兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；C、能判定，兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；D、不能判定．故選：D．【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定：①有兩個(gè)對應(yīng)角相等的三角形相似；②有兩個(gè)對應(yīng)邊的比相等，且其夾角相等，則兩個(gè)三角形相似；③三組對應(yīng)邊的比相等，則兩個(gè)三角形相似．7．（2025春?芝罘區(qū)期末）如圖，在△ABC與△ADE中，∠B＝∠D，添加下列一個(gè)條件不能使△ABC∽△ADE的是（）A．∠BAD＝∠CAE B．ABBC=ADDE C．∠C＝∠E【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】D【分析】分別根據(jù)相似三角形的判定方法判斷得出答案．【解答】解：A、∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE，又∵∠B＝∠D，∴△ADE∽△ABC，不合題意；B、∵ABBC=ADDE，∠∴△ADE∽△ABC，不合題意；C、∵∠B＝∠D，∠E＝∠C，∴△ADE∽△ABC，不合題意；D、ABAD=AEAC無法得出△故選：D．【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的判定．8．（2025秋?瑤海區(qū)校級期中）如圖，DE∥AB，∠1＝∠3，則圖中相似三角形共有（）A．3對 B．4對 C．5對 D．6對【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的相似；推理能力．【答案】B【分析】由DE∥AB，得△DEC∽△ABC，∠AED＝∠BAE，∠CED＝∠3，而∠1＝∠3，則∠CED＝∠1，可證明△AED∽△BAE，△DEC∽△EAC，△EAC∽△ABC，所以圖中相似三角形共有4對，于是得到問題的答案．【解答】解：∵DE∥AB，∴△DEC∽△ABC，∠AED＝∠BAE，∠CED＝∠3，∵∠1＝∠3，∴∠CED＝∠1，∵∠1＝∠3，∠AED＝∠BAE，∴△AED∽△BAE，∵∠CED＝∠1，∠C＝∠C，∴△DEC∽△EAC，∵∠1＝∠3，∠C＝∠C，∴△EAC∽△ABC，∴圖中相似三角形共有4對，故選：B．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查相似三角形的判定，適當(dāng)選擇相似三角形的判定定理，不重復(fù)無遺漏地找出圖中的相似三角形是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共4小題）9．（2024秋?鄞州區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，過點(diǎn)C作BC的垂線CD，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在射線CD上運(yùn)動(dòng)，始終滿足∠BAP＝∠CAQ，連結(jié)PQ，當(dāng)△PCQ與△ABC相似時(shí)，線段BP的長是5或6.4．【考點(diǎn)】相似三角形的判定；勾股定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；圖形的相似；幾何直觀；推理能力．【答案】5或6.4．【分析】首先根據(jù)直角三角形兩銳角互余可知∠B+∠ACB＝90°，根據(jù)CD⊥BC可知∠ACD+∠ACB＝90°，所以可得∠ACD＝∠ABC，可證△ABP∽△ACQ，設(shè)BP＝x，則有PC＝10﹣x、QC=34x，當(dāng)△PCQ與△ABC相似時(shí)，分兩種情況：一種是△PCQ∽△BAC；另一種是△PCQ∽△CAB．再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得到關(guān)于x的方程，解方程求出【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，由勾股定理得：BC=AB2+AC2∵CD⊥BC，∴∠BCD＝90°，∴∠ACD+∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠ABC；∵∠BAP＝∠CAQ，∴△ABP∽△ACQ，∴QCBP設(shè)BP＝x，則有PC＝10﹣x，∴QCx∴QC=∵過點(diǎn)C作BC的垂線CD，∴CD⊥BC，∠BCD＝90°，當(dāng)△PCQ與△ABC相似時(shí)，分兩種情況討論：當(dāng)△PCQ∽△BAC時(shí)，∴PCAB∴10-x解得：x＝5；當(dāng)△PCQ∽△CAB時(shí)，∴PCAC∴10-x解得：x＝6.4；綜上所述，線段BP的長是5或6.4．故答案為：5或6.4．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)．10．（2024秋?惠民縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)．若點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，問經(jīng)過2或5秒鐘，△PBQ與△ABC相似．【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專題】三角形；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】2或5．【分析】分△PBQ∽△ABC和△QBP∽△ABC兩種情況解答即可．【解答】解：設(shè)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，根據(jù)題意，AP＝tcm，BQ＝2tcm，則BP＝（10﹣t）cm，當(dāng)△PBQ∽△ABC時(shí)，則BPAB即10-t解得：t＝5；當(dāng)△QBP∽△ABC時(shí)，則BPBC即10-t解得：t＝2，綜上，當(dāng)經(jīng)過2或5秒鐘，△PBQ與△ABC相似．故答案為：2或5．【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的動(dòng)點(diǎn)問題，理解題意，掌握相似三角形的性質(zhì)，分類討論是解答的關(guān)鍵．11．（2024秋?豐順縣期末）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)P、Q分別為AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△PQB沿PQ折疊，使點(diǎn)B們對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在邊AC上，當(dāng)△APD與△ABC相似時(shí)，AP的長為258或207【考點(diǎn)】相似三角形的判定；翻折變換（折疊問題）．【專題】圖形的相似；運(yùn)算能力．【答案】258或20【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得AB＝5，當(dāng)△APD與△ABC相似時(shí)，設(shè)AP＝x，則PB＝PD＝5﹣x，分兩種情況：①△APD∽△ABC，②△APD∽△ACB，分別列方程求解即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB=當(dāng)△APD與△ABC相似時(shí)，∵點(diǎn)D始終在邊AC上，根據(jù)折疊PB＝PD，設(shè)AP＝x，則PB＝PD＝5﹣x，∴分兩種情況：①△APD∽△ABC，此時(shí)∠ADP＝∠ACB＝90°，∴PDBC=AP解得x=∴AP=②△APD∽△ACB，此時(shí)∠APD＝∠ACB＝90°，∴PDBC=AP解得x=∴AP=綜上，AP的長為258或20故答案為：258或20【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定，折疊的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意△APD與△ABC相似要分情況討論．12．（2024秋?秦都區(qū)期末）如圖，已知點(diǎn)D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，要使得△ABC∽△AED，可添加的一個(gè)條件是∠ADE＝∠C（答案不唯一）．（只寫一個(gè)）【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】∠ADE＝∠C（答案不唯一）．【分析】由于△ABC和△AED有一個(gè)公共角，所以利用兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似或有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行添加條件．【解答】解：根據(jù)題意，∵∠DAE＝∠BAC，∴當(dāng)∠ADE＝∠C時(shí)，△ABC∽△AED．所以可添加的一個(gè)條件是∠ADE＝∠C（答案不唯一）．故答案為：∠ADE＝∠C（答案不唯一）．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定，關(guān)鍵是相似三角形判定定理的應(yīng)用．三．解答題（共3小題）13．（2025秋?立山區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＞CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AC，BC上，且∠FAC＝∠EDA，∠ACD＝∠ADC，AF2＝BF?CE．求證：△ABF∽△CDE．【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】證明：∵∠ACD＝∠ADC，∴AD＝AC，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACF，在△ADE和△CAF中，∠EDA∴△ADE≌△CAF（ASA），∴DE＝AF，∵AF2＝BF?CE，∴AFCE∵∠AFB＝∠ACF+∠FAC，∠CED＝∠DAE+∠EDA，而∠ACF＝∠DAE，∠FAC＝∠EDA，∴∠AFB＝∠CED，而AFCE∴△ABF∽△CDE．【分析】先由∠ACD＝∠ADC得到AD＝AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DAE＝∠ACF，再證明△ADE≌△CAF得到DE＝AF，接著根據(jù)比例的性質(zhì)得到AFCE=BFDE，然后證明∠AFB【解答】證明：∵∠ACD＝∠ADC，∴AD＝AC，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACF，在△ADE和△CAF中，∠EDA∴△ADE≌△CAF（ASA），∴DE＝AF，∵AF2＝BF?CE，∴AFCE∵∠AFB＝∠ACF+∠FAC，∠CED＝∠DAE+∠EDA，而∠ACF＝∠DAE，∠FAC＝∠EDA，∴∠AFB＝∠CED，而AFCE∴△ABF∽△CDE．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．也考查了平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)．14．（2024秋?紫金縣期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求證：△ABE∽△ECF．【考點(diǎn)】相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)．【專題】圖形的相似；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出∠B＝∠C＝90°，AB＝CB＝9，進(jìn)而得出ABEC【解答】證明：∵BE＝3，EC＝6，∴BC＝9，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝9，∠B＝∠C＝90°，∵ABEC=9∴ABEC又∵∠B＝∠C＝90°，∴△ABE∽△ECF．【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．15．（2024秋?洪雅縣期末）如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為4cm/s，Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s，那么運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，△ABC和△PCQ相似？【考點(diǎn)】相似三角形的判定．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】設(shè)同時(shí)運(yùn)動(dòng)ts時(shí)兩個(gè)三角形相似，再分△PCQ∽△BCA或△PCQ∽△ACB兩種情況進(jìn)行討論即可．【解答】解：設(shè)同時(shí)運(yùn)動(dòng)ts時(shí)兩個(gè)三角形相似，當(dāng)△PCQ∽△BCA，則PCBC=CQAC，當(dāng)△PCQ∽△ACB，則CQBC=PCAC，答：同時(shí)運(yùn)動(dòng)0.8s或者2s時(shí)兩個(gè)三角形相似．【點(diǎn)評】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．等腰三角形的判定與性質(zhì)1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有關(guān)問題中，會(huì)遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)不同的做法引起解決問題的復(fù)雜程度不同，需要具體問題具體分析．3、等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡便方法來解決．2．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）的特殊定理，非