2025年上海三中競(jìng)賽題庫(kù)及答案考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿(mǎn)分：100分一、選擇題（總共10題，每題2分）1.下列關(guān)于函數(shù)f(x)=ln(x+√(x^2+1))的奇偶性，正確的是（）A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)2.極限lim(x→0)(e^x-1-x)/x^2的值為（）A.1/2B.1C.0D.-1/23.若函數(shù)f(x)=x^3-3x+1在區(qū)間[-2,2]上的最大值與最小值分別為M和m，則M+m的值為（）A.-4B.4C.-2D.24.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，則向量a×b的模長(zhǎng)為（）A.10B.√10C.5√2D.2√55.不等式|2x-1|>x+1的解集為（）A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(-∞,-1)D.(2,+∞)6.拋物線(xiàn)y^2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.(1,0)B.(0,1)C.(-1,0)D.(0,-1)7.若復(fù)數(shù)z=1+i，則z^4的虛部為（）A.0B.4C.-4D.88.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，則角C的大小為（）A.75°B.65°C.45°D.60°9.已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_n=S_n/(S_n-a_n)，則該數(shù)列一定是（）A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.摩爾數(shù)列D.調(diào)和數(shù)列10.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，且滿(mǎn)足f(0)=f(1)，則方程f(x)=f(x+1/2)在區(qū)間(0,1)上至少有一個(gè)實(shí)根，這是因?yàn)椋ǎ〢.介值定理B.羅爾定理C.拉格朗日中值定理D.泰勒展開(kāi)定理二、判斷題（總共10題，每題2分）11.函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間[-1,1]上的平均值等于1。（）12.若函數(shù)f(x)在x=c處可導(dǎo)，則f(x)在x=c處必連續(xù)。（）13.向量a=(1,0)與向量b=(0,1)是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的。（）14.不等式x^2+x+1>0對(duì)所有實(shí)數(shù)x恒成立。（）15.拋物線(xiàn)y=ax^2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸為x=-b/(2a)。（）16.復(fù)數(shù)z=1+i的模長(zhǎng)為√2。（）17.在△ABC中，若角A=角B，則△ABC是等腰三角形。（）18.數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列的充要條件是存在常數(shù)d，使得a_n=a_1+nd。（）19.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，則f(1)>f(0)。（）20.方程x^3-x+1=0在區(qū)間[-2,2]上有三個(gè)實(shí)根。（）三、填空題（總共10題，每題2分）21.函數(shù)f(x)=e^x在區(qū)間[0,1]上的平均值等于________。22.極限lim(x→∞)(x^2+1)/x^3的值為_(kāi)_______。23.若函數(shù)f(x)=x^3-3x+1在x=1處的切線(xiàn)斜率為k，則k的值為_(kāi)_______。24.向量a=(2,3)與向量b=(1,-1)的夾角余弦值為_(kāi)_______。25.不等式|3x+2|≤x+1的解集為_(kāi)_______。26.橢圓x^2/9+y^2/4=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______。27.復(fù)數(shù)z=2+3i的共軛復(fù)數(shù)為_(kāi)_______。28.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，則sinC的值為_(kāi)_______。29.數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=2n^2+n，則a_n的表達(dá)式為_(kāi)_______。30.函數(shù)f(x)=x^3-3x在區(qū)間[-2,2]上的最大值與最小值分別為_(kāi)_______和________。四、簡(jiǎn)答題（總共4題，每題5分）31.證明函數(shù)f(x)=x^3-3x在區(qū)間[-2,2]上至少存在一個(gè)零點(diǎn)。32.求函數(shù)f(x)=e^x-x^2在x=0處的泰勒展開(kāi)式。33.已知向量a=(1,2,3)，b=(2,1,0)，求向量a與向量b的夾角余弦值。34.討論函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,3]上的單調(diào)性與極值。五、討論題（總共4題，每題5分）35.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，且f(0)=f(1)，證明方程f(x)=f(x+1/2)在區(qū)間(0,1)上至少有一個(gè)實(shí)根。36.設(shè)數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_1=1，a_n+1=2a_n+n，求證數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增的。37.已知拋物線(xiàn)y^2=4x與直線(xiàn)y=x相切，求切點(diǎn)的坐標(biāo)。38.討論函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x-1在區(qū)間[-1,3]上的凹凸性與拐點(diǎn)。參考答案一、選擇題1.A2.A3.B4.A5.A6.A7.B8.A9.B10.B二、判斷題11.√12.√13.√14.√15.√16.√17.√18.√19.√20.×三、填空題21.e-122.023.-224.1/√1025.(-1,1/3)26.(±√5,0)27.2-3i28.√6/429.4n-130.2,-2四、簡(jiǎn)答題31.證明：f(-2)=-10<0，f(2)=2>0，由連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)定理，存在c∈(-2,2)，使f(c)=0。32.泰勒展開(kāi)式為1+x+x^2/2+x^3/6-x^2。33.cosθ=|a·b|/|a||b|=2/√14=√14/7。34.f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，增區(qū)間[-1,0]∪[2,3]，減區(qū)間(0,2)，極大值f(0)=2，極小值f(2)=-2。五、討論題35.令g(x)=f(x+1/2)-f(x)，g(0)=f(1/2)-f(0)=0，g(1/2)=f(1)-f(1/2)=0，由零點(diǎn)定理，存在c∈(0,1/2)，使g(c