2025年高一數(shù)學競賽題庫及答案考試時長：120分鐘滿分：100分一、選擇題（總共10題，每題2分）1.若集合A={x|1＜x＜3}，B={x|x≤2}，則集合A∩B等于（）（A）{x|1＜x≤2}（B）{x|1≤x＜2}（C）{x|2＜x＜3}（D）{x|x＜2}2.函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+1)的定義域是（）（A）(-∞,1)∪(1,+∞)（B）[0,2]（C）(-∞,0]∪[2,+∞)（D）R3.已知向量a=(3,m)，b=(-1,2)，若a∥b，則實數(shù)m的值為（）（A）-6/2（B）-2/3（C）6/2（D）2/34.不等式|2x-1|＜3的解集為（）（A）(-1,2)（B）(-2,4)（C)(-1,4)（D）(-2,1)5.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像開口向上且頂點在x軸上，則下列結論正確的是（）（A）a>0且Δ=0（B）a<0且Δ>0（C）a>0且Δ<0（D）a<0且Δ=06.已知等差數(shù)列{a?}的首項為5，公差為-2，則其前n項和S?的最小值為（）（A）-n2+n+5（B）n2-n+5（C）-2n2+10n（D）2n2-10n7.若復數(shù)z滿足|z|=1且z2=-1，則z等于（）（A）i（B）-i（C）1或-1（D）i或-i8.已知圓O的方程為(x-1)2+(y+2)2=4，則圓心到直線3x+4y-5=0的距離為（）（A）1（B）2（C）3（D）49.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期為（）（A）π（B）2π（C）π/2（D）π/410.已知三棱錐A-BCD的底面BCD為直角三角形，∠B=90°，AB=AC=AD=1，則點A到平面BCD的距離為（）（A）1/√2（B）1/√3（C）√2/2（D）√3/3二、判斷題（總共10題，每題2分）11.若a>b，則a2>b2。（×）12.函數(shù)y=|x|在(-∞,0)上單調(diào)遞減。（√）13.若向量a=(1,2)，b=(3,4)，則a+b=(4,6)。（√）14.不等式3x-2>5等價于x>3。（√）15.已知f(x)為奇函數(shù)，若f(1)=2，則f(-1)=-2。（√）16.等比數(shù)列{a?}的公比為q，若a?=a?q，則{a?}是常數(shù)列。（×）17.若復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)，則|z|2=z2。（×）18.圓(x-2)2+(y+3)2=9的圓心在直線y=x上。（×）19.函數(shù)y=cos(2x)的最小正周期為π。（√）20.若四面體ABCD的體積為V，則其任意一個面的面積記為S，則V=1/3×S×h，其中h為點A到平面BCD的距離。（√）三、填空題（總共10題，每題2分）21.若集合M={x|x2-3x+2=0}，N={x|x-1=0}，則M∪N=______。答案：{1,2}22.函數(shù)f(x)=√(x-1)的定義域為______。答案：[1,+∞)23.已知向量a=(2,1)，b=(1,-1)，則a·b=______。答案：124.不等式2x+1>5的解集為______。答案：(2,+∞)25.若函數(shù)f(x)=x2-4x+3，則其頂點坐標為______。答案：(2,-1)26.已知等差數(shù)列{a?}的前三項為2，5，8，則其通項公式為______。答案：a?=3n-127.若復數(shù)z=3+4i，則|z|=______。答案：528.圓(x+1)2+(y-2)2=4的圓心坐標為______。答案：(-1,2)29.函數(shù)y=tan(π/4-x)的最小正周期為______。答案：π30.已知三棱錐A-BCD的底面BCD為邊長為2的正三角形，AD⊥平面BCD，且AD=2，則其體積為______。答案：4√3/3四、簡答題（總共4題，每題5分）31.已知函數(shù)f(x)=2cos2x-3sinx+1，求其最大值和最小值。答案：令t=sinx，則f(x)=2(1-t2)-3t+1=-2t2-3t+3，t∈[-1,1]。求導得f'(t)=-4t-3，令f'(t)=0得t=-3/4，此時f(x)=-2(-3/4)2-3(-3/4)+3=25/8。當t=-1時，f(x)=-2(-1)2-3(-1)+3=4；當t=1時，f(x)=-2(1)2-3(1)+3=-2。故最大值為25/8，最小值為-2。解析：通過換元將三角函數(shù)轉化為二次函數(shù)，利用導數(shù)求最值，注意t的取值范圍。32.已知等比數(shù)列{a?}的前n項和為S?，若a?=6，a?=162，求S?。答案：設公比為q，則a?=a?q2，即162=6q2，得q=3。a?=a?/q=6/3=2，故S?=a?(1-q?)/(1-q)=2(1-3?)/(1-3)=364。解析：利用等比數(shù)列通項公式和前n項和公式，通過已知項求公比和首項，再計算S?。33.已知圓C的方程為(x-1)2+(y-2)2=9，直線l的方程為y=kx-1，求直線l與圓C相交的條件。答案：將直線方程代入圓方程得(x-1)2+(kx-1-2)2=9，整理得(x-1)2+(kx-3)2=9。展開得x2-2x+1+k2x2-6kx+9=9，即(1+k2)x2-(2+6k)x+1=0。判別式Δ=(2+6k)2-4(1+k2)=36k2+24k≥0，得k∈R。解析：通過代入消元將直線與圓相交轉化為二次方程有解的條件，即判別式Δ≥0。34.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1，求其單調(diào)區(qū)間。答案：f'(x)=3x2-3=3(x2-1)=3(x-1)(x+1)，令f'(x)=0得x=±1。當x∈(-∞,-1)時，f'(x)>0，單調(diào)遞增；當x∈(-1,1)時，f'(x)<0，單調(diào)遞減；當x∈(1,+∞)時，f'(x)>0，單調(diào)遞增。解析：通過求導數(shù)并分析導數(shù)的符號變化確定單調(diào)區(qū)間，注意分區(qū)間討論。五、討論題（總共4題，每題5分）35.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，若其圖像過點(1,0)，(2,3)，且對稱軸為x=-1，求a,b,c的值。答案：由對稱軸x=-1得-b/2a=-1，即b=2a。代入點(1,0)得a+b+c=0，代入點(2,3)得4a+2b+c=3。聯(lián)立方程組得a=1，b=2，c=-3。解析：利用對稱軸公式和已知點坐標建立方程組求解，注意對稱軸與頂點的關系。36.已知等差數(shù)列{a?}的前n項和為S?，若S?=9，S?=21，求a?。答案：設首項為a?，公差為d，則S?=3a?+3d=9，S?=7a?+21d=21。聯(lián)立方程組得a?=3，d=0，故a?=3。解析：利用等差數(shù)列前n項和公式建立方程組求解，注意公差為零時數(shù)列為常數(shù)列。37.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)，若其圖像關于y軸對稱，求φ的取值。答案：由對稱性得sin(2x+φ)=sin(-2x+φ)，即2x+φ=kπ+(-2x+φ)，得4x=kπ。故φ=kπ/2，k∈Z。解析：利用正弦函數(shù)的對稱性建立方程，注意k的取值范圍。38.已知三棱錐A-BCD的底面BCD為直角三角形，∠B=90°，AB=AC=AD=1，求三棱錐的表面積。答案：設BC=a，BD=b，CD=c，由勾股定理得a2+b2=c2。底面面積S?=1/2×a×b，側面面積S?=1/2×AB×BC+1/2×AB×BD+1/2×AB×CD。代入AB=1得S?=1/2(a+b+c)。解析：通過幾何關系計算底面和側面面積，注意直角三角形和等邊三角形的關系。參考答案一、選擇題1.A2.C3.A4.A5.A6.A7.D8.A9.A10.B二、判斷題11.×12.√13.√14.√15.√16.×17.×18.×19.√20.√三、填空題21.{1,2}22.[1,+∞)23.124.(2,+∞)25.(2,-1)26.a?=3n-127.528.(-1,2)29.π30.4√3/3四、簡答題31.最大值25/8，最小值-2。解析：通過換元將三角函數(shù)轉化為二次函數(shù)，利用導數(shù)求最值，注意t的取值范圍。32.S?=364。解析：利用等比數(shù)列通項公式和前n項和公式，通過已知項求公比和首項，再計算S?。33.k∈R。解析：通過代入消元將直線與圓相交轉化為二次方程有解的條件，即判別式Δ≥0。34.(-∞,-1)遞增，(-1,1)遞減，(1,+∞)遞增。解析：通過求導數(shù)并分析導數(shù)的符號變化確定單調(diào)區(qū)間，注意分區(qū)間討論。五、討論題35.a=1，b