北京市石景山區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

I.已知復(fù)數(shù)z=2+i,則：=（）

A.2-iB.2+iC.-2+iD.-2-i

2.已知平面向盛;（2,7）石=（見(jiàn)4）,且萬(wàn)_L6,則加=（）

A.-1B.0C.1D.2

3.己知cosa=3,’3

則sin-n-a）

s、2

B.」

4.下列函數(shù)中,最小正周期為兀的奇函數(shù)是（）

A.y-cos2xB.y=sin（x+：C.y=sinxco&x

D.y=sin12Al

得到函數(shù)歹二sin（2x-g

5.將函數(shù)y=sin（2A）的圖象沿x軸向右平移以9>0）個(gè)單位長(zhǎng)度,

k3）

的圖象，則夕的最小值為（）

nnIT.5乃

A.（p=—B.（/）=-C.（/）=—D.（p=

A6

6.已知VA8C中，Q=2力=26,6=《則角A的值是（）

7tn一瓦-5x-7T?2n

A.-B.一C.7或-7D.一或——

66A44

7.已知7和/是夾角為60。的單位向量，n=7-2~/,石二27，則行與右的夾角的余弦值為（）

A出口J5rnnJ3

8.設(shè)aWR,則"sin2a=也"是"tana=/'的（

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不

充分也不必要條件

9.在VABC中，COS2-=則VABC的形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

10.已知函數(shù)/（x）=4sin+其中A>0,①>0,直線），=機(jī)與），=/（x）的圖象

相交，其中兩個(gè)相鄰交點(diǎn)分別是、N(*J(再))，當(dāng)〃？=3或川二-1時(shí)，WM取

最大值為〃則/(看)=<)

A.J3+1B.J?C.3D.2

二，填空題

11.已知復(fù)數(shù)二二尹(i為虛數(shù)單位)，則z的模為

?-/

12.已知正四棱柱ABC。-4與GR的底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為2,則其體對(duì)角線AG的長(zhǎng)

為;若E為8C邊上一點(diǎn)，則四棱錐E-AOR4的體積為

13.在△48C中，〃=4.8=30。，請(qǐng)給出一個(gè)〃值,使該三角形有兩解.

14.如圖，矩形ABC。中，AB=4,BC=2,。為A8的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)〃在8C邊上時(shí)，~AR.OP

的值為;當(dāng)點(diǎn)P沿著B(niǎo)C,CO與D4邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬(wàn).萬(wàn)萬(wàn)的取值范圍為.

15.已知函數(shù)/(x)=binx|+J5cosr,xeR給出下列三個(gè)結(jié)論:

①/(x)是偶函數(shù):

②/(9的值域是［-2,2］：

③/(%)在區(qū)間2履+：,2桁+兀(AwZ讓單調(diào)遞減；其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)

是.

三、解答題

3(九、

16.已知sina=一：且aw一,兀.

S12,

(1)求以)001,g11。的值：

(2)若角夕的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)尸(-1,6)：求

cos(a+2后的值.

試卷第2頁(yè)，共3頁(yè)

17.已知平面向量方，石滿足閆二4,司=2,且5與石的夾角為120.

⑴楣小以及\n+bI;

(2)若向量2石-力5與質(zhì)-3石不能作為平面向量的一組基底，求實(shí)數(shù)二的值.

18.已知函數(shù)/(x)=^sin2x-：cos2x.

(1)求/氏)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)當(dāng)x￡［0,/〃］時(shí)，/Q)的取值范圍為卜;,1：求機(jī)的最大值.

19.在VA8C中，sia4-cosA=.

7

⑴求A的值：

(2)若c=2,再?gòu)臈l件①，條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求b的值和VA8C的面

積.

條件①：C=￡；條件②：4=a+］.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

20.已知〃為正整數(shù)，集合M,二{('也廣X).r,e{-1J},i=L2,..,?},對(duì)于Ml中任意兩個(gè)

元素a=(〃|,以??4)利夕=(力也，…，〃”)，定義：［ap\=岫+a2b2+??+a/”.

⑴右a,%且a=(1,-1),寫(xiě)出所有的夕使得［a./?］=0；

(2)已知集合A滿足A二M，且對(duì)集合A中任意兩個(gè)元素a,口都有［儀夕］=().設(shè)集合4的

元素個(gè)數(shù)為A，求k的最大值.

試卷第3頁(yè)，共3頁(yè)

《北京市石景山區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號(hào)12345678910

答案ADDCAACBBA

1.A

【分析】利用共挽復(fù)數(shù)的定義即可求出結(jié)果.

【詳解】復(fù)數(shù)z=2+i,則z=2-i，

故選：A

2.D

【分析】由方，.石等價(jià)于石石=0,即可計(jì)算出答案.

【詳解】因?yàn)榉絖L方，

所以Z~（2,-1）.（"7,4）=2〃L4=0解得：m=2,

故選：D.

3.D

【分析】利用誘導(dǎo)公式即可求得結(jié)果.

,（3y3

【詳解】由誘導(dǎo)公式得5巾-n-a=-cosa=--

故選：D

4.C

【分析】利用二倍角公式及正（余）弦函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；

【詳解】對(duì)于A：5=/（A）=COS2X=cos2x-sin2/（一才）為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B:^=5山|\+二'的最小正周期為2兀，故B錯(cuò)誤；

I4，

對(duì)于C：y=sinxcosj=-sin2x.最小正周期7=型=力，且為奇函數(shù)，故C正確;

79

對(duì)于D：y=sin|2.i],則力一x）=sin|-2M=sin|2.v|=凡￥）,故為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤:

故選：C

5.A

【分析】根據(jù)函數(shù)圖像平移，解方程即可求得結(jié)果.

【詳解】將函數(shù)），=sin（2。的圖象沿大軸向右平移以＞＞（））個(gè)單位長(zhǎng)度，

即可得），二sin⑵-2（p）=sin

答案第I頁(yè)，共9頁(yè)

故可得2Q=2VZ：+￡,〃eZ,解得尹二仁刀7+￡,4eZ,

Sn

Jb

又因?yàn)?>0,故可渤*“=2.

r\

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)用像平移求函數(shù)解析式，屬基礎(chǔ)題.

6.A

【分析】由正弦定理結(jié)合大邊對(duì)大角即可得出答案.

,2_2?

【詳解】由正弦定理可得：—=-^-:則江7=f，

qinA<?inRsin—

解得：sinJ=-則/=?或力=8，

266

因?yàn)榱?gt;a,所以8>A,所以4=9.

n

故選：A.

7.C

【分析】利用兩個(gè)向量的夾角公式即可求得結(jié)果.

【詳解】ab=(7-2jj-(27)=2?-4/-J=2|-4|}cos60=2-2=(.

所以，±b>萬(wàn)與石的夾角的余弦值為0.

故選：C

8.B

【分析】根據(jù)二倍角的正弦公式結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系化弦為切，再根據(jù)充分條件和必要

條件的定義即可得解.

.、斗6、...2sinacosa2tana,3

【詳解】由sin2a=「-------=—；——-=—

sin-?+cos-atarra+l2

得名tan2a-4tana+G=01解得tan0=6或lana=3,

小，A組?■2sinacosa2tana2、行6

HItana=，偈sin2a=—~z---------：—=—；-----==—,

Qin*r/4-rnQ*nct4-12:1?

所以“sin2a=3”是“tan”、/?的必要不充分條件.

2

故選：B.

9.B

【分析】利用半角公式結(jié)合正弦定理、兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)計(jì)算得sinBcosC=0,根據(jù)

答案第2頁(yè)，共9頁(yè)

三角形內(nèi)角的范圍計(jì)算可得c=四.即可得山結(jié)論.

21+cos

【詳解】由題意，cos-=^=￡l^；化簡(jiǎn)整理得cos8=9,

99Orr

sinA

根據(jù)正弦定理，可得cos8=.八?即sinA=cosBsinC,

因?yàn)锳+B+C=JI,所以sinA=sin(8+C)=sin8cosc+cosBsinC=cosBsinC,

則sinBcosC=0,

又?.8,C￡(0,冗)，：sinBHO,

KiJcosC=0,C=-

7

所以VABC的形狀為直角三角形.

故選：B.

1().A

【分析】分析得出函數(shù)/'(x)的最大值和最小值，可求得A、B的值，并得出該函數(shù)的最小

正周期，求出②的值，可得出函數(shù)的解析式，代值計(jì)算可得/(專(zhuān))的值.

【詳解】由已知可得，/(v)max=3,/(A)min=-1旦函匆(工)的最小正周期為T(mén)=7T,

fix)f(x\+/(x).2汗r

則nilA='小加=2,B=''2'加=],--=2,

AJ'mcin(l)T

則/(x)=2sin(2%+g1+l,則/⑶=2sinF+l=6+1.

\"3J\oy3

故選:A.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)三角函數(shù)f(x)=Asin(@X+G)+。的部分圖象或基本性質(zhì)求函數(shù)解

析式的方法:

(I：求/、/力二/⑴x一/Km,/("nu、+/(x)

2T~

⑵求出函數(shù)的最小正周財(cái)，進(jìn)而得出必二軍

(3)取特殊點(diǎn)代入函數(shù)可求得°的值.

答案第3頁(yè)，共9頁(yè)

12.x/6-

【分析】結(jié)合圖形，借助于直角三角形可求AG的長(zhǎng)，利用BC//平面可將四棱錐

E-ADD{AX的體枳轉(zhuǎn)化為四棱錐C-4QQA的體積，即可求得.

如圖，連接AC,在mVACG中，AC=xh>A3=J（五丫+2?=6

因8C//A。，BC丈平面AQQA，AOL平面4。。①|(zhì),則BC//平面AOQA，

因上為8C邊上一點(diǎn)，故四棱錐E-AOQ4的體積即四棱錐C?A￡>na的體積，

]]2

而—DM=^ADDIAIXDC=-Xlx2x1=

即四棱錐E-4。2A?的體積為彳.

_2

故答案為：x/6：—.

13.3（答案不唯一）

2

【分析]先由正弦定理得到sin4二:，由三角形有兩個(gè)解，可得人<〃且sinA<I,進(jìn)而可得

b

答案.

ab4b.42

【詳解】根據(jù)正弦定理得到.n4sinA1b.

因?yàn)槿切斡袃蓚€(gè)解，

b<a且sinA<1,

2

即b<4且工vl,可得2<。<4

b

所以〃=3時(shí)，三角形有兩個(gè)解.

故答案為：3（答案不唯一）.

答案第4頁(yè)，共9頁(yè)

14.8[?8閭

【分析】建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算求出向量的點(diǎn)積，分情況討論即可.

第一空：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則A（0.0）,8（4.0）,C（4,2）,0（0,2）,。（2,0）,

當(dāng)點(diǎn)2沿著8。邊運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)「（4,/）,/￡[0,2],故，瓦后（4,0）.（21）=8;

第二個(gè)空：當(dāng)點(diǎn)P沿著8。邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)尸（4,/）,/W[0,2],1R.OP=（4,0）（2,J=8；

當(dāng)點(diǎn)P沿著CD邊運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)P（s,2）,s￡[0,4],（4,0）.（5-2,2）=4.V-8,因?yàn)?/p>

.sG[0,4],：4.y-8￡[-8,8]；

當(dāng)點(diǎn)P沿著QA邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)P（0,y）?￡[0,2],AR.OP=（4,0）.（-2,y）=-8：

綜上：篇.萬(wàn)力的取值范圍為[-8,8].

故答案為：8：[-8.8]

15.??

【分析】計(jì)算出/（-%）二.f（x）可判斷①，分％w[o,7r]和x￡卜,2兀]兩種情況求出八。的范圍，

然后結(jié)合其周期性可得值或，即可判斷②，當(dāng)戈€p7t時(shí)，/（x）=2sinh?+外可判斷/（X）

單調(diào)性，從而判斷2E+￡,2E+7r（AwZ）上的單調(diào)性.

4

【詳解】由題意，/（-燈=回!1（-1）|+6（：05（-工）=卜巾1|+。851=/（1）.所以_/（戈）是偶函

數(shù)，故①正確；

汝￡[0,兀]時(shí)，/(x)=sinx+\/3cosx=2sinx+；卜卜-式2I

當(dāng)xe阮2兀]時(shí)，/(x)=-sinx+>/5cosY=-2sin，-j葉心],

又因?yàn)?(x+2n)=|sin(v+2TT)+?、iScos(x+2JI)=/(A),所以/（r）的值域是[-0,2]故②錯(cuò)

答案第5頁(yè)，共9頁(yè)

誤；

當(dāng)—,71時(shí),，/（x）=2sinfj：+—,此時(shí)工+四€—,

.4」\3/3口23J

所以/G）在：,兀上單調(diào)遞減，則/（x）在區(qū)間2而+?,2履+兀（AwZ）上單調(diào)遞減，故③

正確.

故答案為：①③.

43

16.（l）cosa=--,tan（z=--

山

in

【分析】（1）根據(jù)同角基本關(guān)系式求解;

(2)根據(jù)三角函數(shù)定義求出sincos0,再利用和差角公式求解.

【詳解】(1因?yàn)?所以cosa=-Jl-sin^a,

EIsina3

則lana=------=--.

res。4

(2)角￡終邊過(guò)點(diǎn)夕(—1,石)，則。尸=2.

.6c1

sin8=——，cosZ?=--

72

所以sin26=2sin8cos6=-立，cos2^=2cos:^-l=-《

y2

cos(a+2)=cosacos2li-sinasin2(i=

Vf"310".

17.(1)/=一4，,+同=26

⑵土〃

【分析】⑴利用向量數(shù)量積的定義求出五不的值，再運(yùn)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可：

（2）根據(jù)平面的基底概念可得25-T!'與4萬(wàn)-3分共線，再利用向量共線的充要條件即可求

得2的值.

【詳解】⑴o-b=|a|-|d|coso,^=4x2xcosl20=-4,

則|/5+M=#+%Z+方=16+2x（-4）+4=12,

故|。+￡|=26.

（2）因?yàn)橄蛄?萬(wàn)-方與質(zhì)-3坂不能作為平面向量的一組基底，

所以2方一九與而-3Z）共線.

答案第6頁(yè)，共9頁(yè)

則存在實(shí)數(shù)匕使得2）-必=4（而-3，）=2%-3A$

2=版

又因?yàn)椴慌c月不共線，所以7解得1=士〃，

-Z=-3K

所以實(shí)數(shù)才的值為±4

18.（1）T=7C,函數(shù)/tr）的單調(diào)遞增區(qū)間為[一?+版,0+?kGZ

-27r

⑵三

【分析】（1）利用輔助角公式可得/（x）=sin（2x-j）,則可求其最小正周期，利用整體代

I6J

換法可求其單調(diào)遞增區(qū)間：

（2）利用整體代換法求出X-四E由4x）的取值范圍為-gj從而可求

6L66.

解.

【詳解】(1；由/(x):號(hào)sin2x-：cos2x=sin2x-

則最小正周期為74r

令，=2'-2，因?yàn)閥二sin/的單調(diào)遞增區(qū)間是一7+2而，7+2履，&WZ,

A1L22

1聽(tīng)以一上+2H<2X-E<E+2ATT,^GZ,即一2+2履42》4幺+2履kWZ,

96933

解得J+桁4x[+阮，kcZ

nS

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為一?+反,￡+A兀.kGZ；

63

nn.it

（2：法田。同時(shí)，2A-—e—,2m—

6666

it所以sin/的取值范圍為-Ll,

A2

n_it/7t兀，，2”

由y=sin/的性質(zhì)可知，-<2m--<—,解得彳4"7?二,

/nn，3

所以〃？的最大值為一丁.

19.（1）/1=—71

Q）b二瓜，s△加=邛

【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算可得:

答案第7頁(yè)，共9頁(yè)

(2)依題意求出8,利用正弦定理求出邊人，最后根據(jù)S““=gbcsiM計(jì)算可得.

【詳解】(1：因?yàn)閟inJ-cos4=V2

，7

BPV2sinf/I--1=—所以sin/一:］二1

I4j2I4；2

因?yàn)槿恕?0,兀)，所以2w-1，；711：

4144

所以力一四二2,A=—T\.

(2：若選①：由。=?，A=—n,所以8=兀-四-上兀=N.

41741?

,_2__±_

由正弦定理一J二，一即加"，解得/>="，

qin「sin。

22

入dlll/1-3111---兒—dill—T——------------?

12164J4

所以S、Age=-方csiM=3+,

use'