期末真題必刷?？?0題（34個(gè)考點(diǎn)專練）

一.塞的乘方與積的乘方（共1小題）

I.（2022秋?民權(quán)縣期末）如果那=3,0n=5,那么『〃?+〃=45.

【分析】分別根據(jù)暴的乘方以及同底數(shù)幕的乘法法則解答即可.

【解答］解："=3,。"=5,

?./，〃"=（/，）2Xfl,/=32X5=9X5=45

故答案為：45.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同底數(shù)幕的乘法以及幕的乘方與積的乘方，熟記哥的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)

健.

二.單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式（共1小題）

2.（2022秋?花都區(qū)期末）計(jì)算工2.（-6"）的結(jié)果是-2自,.

3

【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式H勺運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可.

【解答】解：工2?（-6必）

3

=—X（-6）a2+}b

3

=-la'b.

故答案為：?2。34

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，解答的關(guān)鍵是對(duì)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則的掌握.

三.單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式（共1小題）

3.（2022秋?平昌縣期末）先化簡(jiǎn)，再求值：3a（2a2-4a+3）-2a2（3t/+4）,其中〃=-2.

【分析】首先根據(jù)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則去掉括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)，最后代入已知的數(shù)值計(jì)算即

可.

【解答】解：3。（2次?4。+3）-2a2（3。+4）

=6。3-\2a2+9a-6?3-Sa2

=-20a2+9a,

當(dāng)a=-2時(shí)，原式=-20X4-9X2=-98.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的化簡(jiǎn).整式的加減運(yùn)算實(shí)際上就是去括號(hào)、合并同類項(xiàng)，這是各地中考的常

考點(diǎn).

四.多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式（共2小題）

4.（2022秋?瀘縣校級(jí)期末）若（X-3）（x+5）=/+〃優(yōu)-15,則〃?的值為（）

A.-8B.2C.-2D.-5

【分析】利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則展開，再根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等列式求解即可.

【解答】解：V（x-3）（x+5）=，+2x-15=，+〃吠-15,

**?〃?=2.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，恒等原理等，熟練掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則，恒等的

兩個(gè)代數(shù)式對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，是求解的關(guān)鍵.

5.（2022秋?忻府區(qū)期末）如圖，從一個(gè)長方形鐵皮中剪去一個(gè)小正方形，長方形的長為（2a+〃）米，寬為

（a+b）米，正方形的邊長為。米.

（1）求剩余鐵皮的面積；

（2）當(dāng)q=3,〃=2時(shí)，求剩余鐵皮的面積.

【分析】（1）用長方形的面積減去正方形的面積進(jìn)行計(jì)算即可得出答案.

（2）將。=3,〃=2代入（1）中所求式子即可得出答案.

【解答】解：（1）???從一個(gè)長方形鐵皮中剪去一個(gè)小正方形，

?,?剩余鐵皮的面積為：（。+人）＜.2a+b）-aXa,

化簡(jiǎn)得:cr+3ab+b~,

即剩余鐵皮的面積為J+3曲戶平方米；

22

（2）將a=3,h=2KAa+3ah+bf

得32+3X3X2+22=31,

???剩余鐵皮的面積為31平方米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于正確計(jì)算.

五.完全平方公式的幾何背景（共2小題）

6.（2022秋?寧鄉(xiāng)市期末）【閱讀理解】

若x滿足（32-x）（x-12）=100,求（32-X）2+（A-12）2的值.

解；設(shè)32-%=。，x-\2=b,貝ij(32-x)(x-12)=??/?=100,a\b=(32-x)1(x-12)=20,(32

-A)2+(X-12)2=a2+b2=(a+b)2-2^=202-2X100=200,

我們把這種方法叫做換元法.利用換元法達(dá)到簡(jiǎn)化方程的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

【解決問題】

(I)若x滿足(100-x)(x-95)=5,則(l(X)-x)2+(x-95)2=15；

(2)若x滿足(2023-x)2+(x-2000)2=229,求(2023-x)(x-2000)的值;

(3)如圖，在長方形4BCO中，AB=24cm,點(diǎn)，尸是邊BC,C7)上的點(diǎn)，EC=\2cm,且

xcm,分別以尸C,C8為邊在長方形ABC。外側(cè)作正方形CFG”和C8MM若長方形CBQ廠的面積為

320cm2,求圖中陰影部分的面積和.

AQBM

【分析】(1)根據(jù)閱讀材料的方法，設(shè)100-x=a,x-95=/?,貝ijab=5,而a+b=5,根據(jù)a2^b1=(a+b)

2-2ab,即可求解;

(2)設(shè)2023?x=a,."2000=。，則/+62=229,而a+b=23,最后根據(jù)完全平方公式，即可求解；

(3)設(shè)CF=a,BC=b,根據(jù)長方形C8Q廣的面積為320c〃P,列方程同理可得結(jié)論.

【解答】解：(1)根據(jù)閱讀材料的方法，設(shè)100?x=〃，.[95=/九

則ab=5,

而a+b=5,

:.(100-x)2+(x-95)2=?2+/?=(a+b)2-2d/?=52-2X5=15；

故答案為：15；

(2)設(shè)2023?x=afx-2000=6,貝ij/+后=229,

而a+b=23,

'：(T+tr=(a+b)2-2ab,

：.2ab=(a+b)2-Ccr+b1)=232-229=529-229=300,

。力=150,

即(2023-x)(x-2000)=150；

(3)由題意得；CF=CD-DF=24-x,BC=CE\BE=x\12,

故答案為：a2+b2=(.a+b)2-2ab\

(2)中間正方形的邊長為c,因此面積為eV

也可以看作從邊長為(。+匕)的面積減去四個(gè)兩條直角邊分另！。、〃的面積，即(?+/,)2-2時(shí),

也就是02=〃2+82,

所以c1=a1+h2；

(3),：a+b=n.ab=6。,

.,.c2=a2+b2

=(a+b)2-lab

=172-2X60

=169,

，c=13,

答：斜邊的長為13.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平方差公式的幾何背景，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提，將公式進(jìn)行

適當(dāng)?shù)淖冃问墙鉀Q問題的關(guān)鍵.

六.完全平方式(共2小題)

8.(2022秋?江漢區(qū)期末)已知產(chǎn)+町+9是完全平方式，則〃尸±6.

【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可求出m的值.

【解答】解：??j?+"”9是完全平方式，

.\y1+my+9=(y±3)2=y2±6)>+9,

/.〃?=±6,

；?〃?=±6.

故答案為：±6.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

9.(2022秋?離石區(qū)期末)在課后服務(wù)課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為。的

正方形，8種紙片是邊長為〃的正方形，C種紙片是長為方，寬為a的長方形，并用人種紙片一張，8種

紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形.

【發(fā)現(xiàn)】

(1)根據(jù)圖2,寫出一個(gè)我們熟悉的數(shù)學(xué)公式(a+b)2=/+2二+序.

【應(yīng)用】

(2)根據(jù)(1)中的數(shù)學(xué)公式，解決如下問題：

22

①已知：a+b=l,a+b=25f求時(shí)的值.

②如果一個(gè)長方形的長和寬分別為(…)和(x-2),且(8-x)2+(x-2)2=20,求這個(gè)長方形的面

積.

b

b

b

Bb

圖2

【分析】(1)由圖形得出完全平方公式即可;

(2)①根據(jù)完全平方公式計(jì)算出他的值即可；

②利用完全平方公式求解即可.

【解答】解：(1)由圖2可知,(a+b)2=a2+2ab+b2f

故答案為：(a+b)2=￡+2ab+l「；

(2)①??Z+b=7,

(a+b)2=a2+2ab+b2=49,

?：cr+b2=25,

cib—12；

②由(I)知，[(8-A-)+(X-2)]2=(8-x)2+2(8-X)tx-2)+(x-2)2=36,

??,(8-x)2+(x-2)2=2(),

：.2(8-x)(x-2)=16,

/.(8-x)(x-2)=8,

故這個(gè)長方形的面積為8.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考杳完全平方公式，熟練掌握完全平方公式并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

七.因式分解?運(yùn)用公式法(共1小題)

10.(2022秋?湖里區(qū)期末)下列能用完全平方公式進(jìn)行因式分解的是()

A.Ax+IB.x2-2.x--1C.x2-4x+4D.x2-y2

【分析】利用公式法進(jìn)行分解，逐一判斷即可解答.

【解答】解：A、/+2x+l=G+1)2,故4不符合題意；

B、jr-2x+l=(A--1)2,故8不符合題意；

C、/-4x+4=(x-2)2,故C符合題意；

D..r2-y2=(x+y)(X-)，)，故。不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解-運(yùn)用公式法，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

八.提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用(共1小題)

11.(2023春?余江區(qū)期末)分解因式：

(1)3a2-6ab+3b々

(2)/(w-2)+)2(2-m).

【分析】(1)先提公因式，然后再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可；

(2)先提公因式，然后再利用平方差公式繼續(xù)分解即可.

【解答】解：(1)3a2-6ab+3h2

=3(a2-2ab+h2)

=3(a?b)2：

(2)x2(/〃?2)(2-m)

=2)(x2-y2)

=Cm-2)(x+y)(x-y).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，一定要注意如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，必須

先提公因式.

九.因式分解.十字相乘法等(共1小題)

12.(2022秋?沂水縣期末)下列因式分解結(jié)果正確的是()

A.~?2+4?=-a(a+4)

B.a^b-2ab+b=b(?-1)2

C.9a2-tr=(9。+〃)(9a-b)

D.a2-4a-5=(a-1)(a+5)

【分析】A.根據(jù)因式分解■提取公因式法進(jìn)行計(jì)算即可得出答案：

B.根據(jù)提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用進(jìn)行計(jì)算即可得出答案;

C.根據(jù)因式分解-公式法進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；

D.根據(jù)因式分解-十字相乘法進(jìn)行計(jì)算即可得出答案.

【解答】解：A.因?yàn)?-4（4-4）,所以A選項(xiàng)因式分解結(jié)果不正確，故A選項(xiàng)不符合題意;

B.因?yàn)檗k-2ab+b=b（a-1）2,所以8選項(xiàng)因式分解結(jié)果正確，故B選項(xiàng)符合題意；

C.因?yàn)?/-川=（3。+萬）（3a-b）,所以C選項(xiàng)因式分解結(jié)果不正確，故C選項(xiàng)不符合題意；

D.因?yàn)镴-4a-5=（〃+1）Q-5）,所以。選項(xiàng)因式分解結(jié)果不正確，故。選項(xiàng)不符合題意.

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.

一十.分式有意義的條件（共1小題）

13.（2022秋?青云譜區(qū)期末）若分式嶗有意義，則x的取值范圍是E.

【分析】根據(jù)分式有意義的條件計(jì)算即可.

【解答】解：???分式一必有意義，

x-2

Ax-2W0,

???x#2.

故答案為：xW2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式有意義的條件，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

一十一.分式的基本性質(zhì)（共1小題）

14.（2022秋?岳陽樓區(qū)期末）把下列分式中x,y的值都同時(shí)擴(kuò)大到原來的5倍，那么分式的值保持不變的

是（）

A.工B.，C.衛(wèi)D.第

x-yx-yxyy2

【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，-），的值都同時(shí)擴(kuò)大到原來的5倍，求出每個(gè)式子的結(jié)果，看結(jié)果是否

等于原式.

【解答】解：人?二1yy,分式的值保持不變，符合題意；

5x-5y5（x-y）x-y

B------/、分式的值改變，不符合題意；

5x-5y5（x-y）5x-y

C、5x-5y=5”y）三口,分式的值改變，不符合題意；

5x?5y25xy5xy

D、紅名嚇，分式的值改變，不符合題意；

（5y）’25寸5寸

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的基本性質(zhì).解題的關(guān)鍵是掌握分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或

除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變.

一十二.分式的化簡(jiǎn)求值（共1小題）

15.（2022秋?漢陽區(qū)校級(jí)期末）先化簡(jiǎn)，再求值：（2。?衛(wèi)亙）,其中。=2.

2

/2a+4a+4

【分析】先根據(jù)分式的減法法則進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，再根據(jù)分式的乘法

法則進(jìn)行計(jì)算，最后代入求出答案即可.

【解答】解：原式=2亙（五2）二a-4

a+2（尹2產(chǎn)

_2a2-8a.（a+2）2

a+2a-4

_2a（a-4）.（a+2）2

a+2a-4

=2a（〃+2）

=2cr+4a,

當(dāng)q=2時(shí)，原式=2X22+4X2

=8+8

=16.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的化簡(jiǎn)與求值，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)

算順序.

一十三.零指數(shù)塞（共1小題）

16.（2022秋?龍江縣期末）若G-4）0=1成立，則x應(yīng)滿足的條件是x#4.

【分析】根據(jù)零指數(shù)幕的底數(shù)不能為零，即可得到答案.

【解答】解：根據(jù)題意可得：J-4W0,

解得：x#4,

故答案為：x#4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳了零指數(shù)哥，利用零指數(shù)哥的底數(shù)不能為零得出不等式是解題的關(guān)鍵.

一十四.分式方程的解（共1小題）

17.（2022秋?五常市期末）若關(guān)于x的方程無解，則機(jī)的值為。或4.

x2x+l

【分析】求解方程可得X=N-，再由方程無解可得〃2-4=（）,即可求〃7的值.

nr4

【解答】解：

X2x+l

2（2x+l）=〃比，

4x+2=/?ir,

（4-/n）x=-2,

???方程無解，可分為以下兩種情況：

①分式方程沒白意義時(shí)，

.r=0或-2，

2

此時(shí)m=0,

②整式不成立時(shí)，

4-6=0,

/7/=4,

故答案為：。或4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法，理解方程無解的意義是解題的關(guān)鍵.

一十五.解分式方程（共2小題）

18.（2022秋?南昌期末）嘉淇準(zhǔn)備完成題目：解分式方程：上毛一色，發(fā)現(xiàn)數(shù)字?印刷不清楚.

x-33-x

（1）他把“?”猜成5,請(qǐng)你解方程：^:2二一；

x-33-x

（2）他媽媽說：“你猜錯(cuò)了，我看到該題目的正確答案是此分式方程無解通過計(jì)算說明原題中

是幾？

【分析】（1）分式方程變形后，去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得

到分式方程的解；

（2）設(shè)原題中“?”是m分式方程變形后去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程無解得到x=3,代入整

式方程計(jì)算即可求出。的值.

【解答】解：（1）方程整理得：工=2+工，

x-3x-3

去分母得：工=2（x-3）+5,

解得：x=l,

檢驗(yàn)：把％=1代入得：x?3W0,

???分式方程的解為x=l;

(2)設(shè)原題中是小

方程變形得:

x-3x-3

去分母得：x=2(x-3)+a.

由分式方程無解，得到x=3,

把x=3代入整式方程得：。=3.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，以及分式方程的解，解分式方程利用了轉(zhuǎn)化的思想，注怠要檢臉.

19.(2022秋?泰山區(qū)校級(jí)期末)解分式方程.

(1)-^=^--3：

x-22-x

【分析】(1)先把分式方程兩邊同時(shí)乘以(2-x),轉(zhuǎn)化成整式方程，求出整式方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即

可;

(2)先把分式方程兩邊同時(shí)乘以(，-1)，轉(zhuǎn)化成整式方程，求出整式方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可.

【解答】解:

-1=17-3(2-X),

-1=1-x-6+3x,

-2x=-4,

.r=2,

當(dāng)x=2時(shí)，x-2=0,

???x=2是原方程的增根，此方程無解;

(2)x.2x-1

v-12i

X1X-1

x(x+1)-(2x-1)=/-1,

r+x~2x+l=x2-1,

-x=-2,

x=2

當(dāng)x=2,x-IWO,x2-IWO,

；?x=2是方程的解.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，掌握轉(zhuǎn)化思想，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解是關(guān)鍵.

一十六.分式方程的增根（共1小題）

20.（2022秋?岳陽樓區(qū)期末）若關(guān)于x的分式方程有增根，則%的值是-2.

x+3x+3

【分析】先將方程兩邊都乘以尤+3得到整式方程，再將分式方程的增根x=3代入整式方程求解可得.

【解答】解：兩邊都乘以x+3,得：x+l=k①，

???分式方程有增根，

???增根為x=-3,

將x=-3代入①，得：-3+1=火，

解得k=-2,

故答案為：-2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的增根，把分式方程的增根代入整式方程得出關(guān)于A的一元一次方程是解

題關(guān)鍵.

一十七.由實(shí)際問題抽象出分式方程（共1小題）

21.（2022秋?新化縣期末）甲、乙兩單位為愛心基金分別捐款4800元、6000元，已知甲單位捐款人數(shù)比乙

單位少50人，而甲單位人均捐款數(shù)比乙單位多1元，若設(shè)甲單位有x人捐款，則所列方程是（）

A4800600004800,6000,,

xx+50xx-50

r48006000.,n48006000.1

xx+50xx-50

【分析】設(shè)甲單位有x人捐款，乙單位有（工+50）人捐款，根據(jù)甲單位人均捐款數(shù)比乙單位多1元列方

程.

【解答】解：設(shè)甲單位有x人捐款，則乙單位有（x+50）人揖款，

由題意，得型叫=以”+|.

xx+50

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，找到關(guān)鍵描述語■，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

一十八.分式方程的應(yīng)用（共2小題）

22.（2022秋?孝南區(qū)期末）2022年北京冬奧會(huì)吉祥物冰墩墩深受大家的喜歡.某商家兩次購進(jìn)冰墩墩進(jìn)行

銷售，第一次用22000元，很決銷售一空，第二次又用4800：）元購進(jìn)同款冰墩墩，所購進(jìn)數(shù)量是第一次

的2倍，但單價(jià)貴了10元.

（1）求該商家第?次購進(jìn)冰墩墩多少個(gè)？

（2）若所有冰墩墩都按相同的標(biāo)價(jià)俏售，要求全部銷售完后的利潤率不低于20%（不考慮其他因素）,

那么每個(gè)冰墩墩的標(biāo)價(jià)至少為多少元？

【分析】（1）設(shè)第一次購進(jìn)冰墩墩工個(gè)，由題意：第一次用22000元，很快銷售一空，第二次又用48000

元購進(jìn)同款冰墩墩，所購進(jìn)數(shù)量是第一次的2倍，但單價(jià)貴了10元.列出分式方程，解方程即可；

（2）設(shè)每個(gè)冰墩墩的標(biāo)價(jià)為。元，由題意：全部俏售完后的利澗率不低于20%,列出一元一次不等式，

解不等式即可.

【解答】解：（1）設(shè)第一次購進(jìn)冰墩墩x個(gè)，則第二次購進(jìn)冰墩墩Z「?jìng)€(gè)，

根據(jù)題意得：22000=48000.101

x2x

解得：x=20（）,

經(jīng)檢驗(yàn)，工=200是原方程的解，且符合題意，

答：該商家第一次購進(jìn)冰墩墩200個(gè).

（2）由（1）知，第二次購進(jìn)冰墩墩的數(shù)量為400個(gè).

設(shè)每個(gè)冰墩墩的標(biāo)價(jià)為。元，

由題意得：（200+400）（1+20%）（22000+48000）,

解得：心140,

答：每個(gè)冰墩墩的標(biāo)價(jià)至少為140元.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找注等量關(guān)系，

正確列出分式方程；（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式.

23.（2022秋?岳陽期末）2022年10月12日“天宮課堂”第三課在中國空間站開講了，精彩的直播激發(fā)了

學(xué)生探索科學(xué)奧秘的興趣.某中學(xué)為滿足學(xué)生的需求，充實(shí)物理興趣小組的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，決定購入A、B兩

款物理實(shí)驗(yàn)套裝，其中A款套裝單價(jià)比8款套裝單價(jià)貴20%,用7200元購買的A款套裝數(shù)量比用5000

元購買的8款套裝數(shù)量多5套.求A、8兩款套裝的單價(jià)分別是多少元.

【分析】設(shè)8款套裝的單價(jià)是x元，則A款套裝的單價(jià)是（1+20%）%元，根據(jù)題意列出關(guān)于x的分式方

程，解方程后檢驗(yàn)即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)B款套裝的單價(jià)是x元，則A款套裝的單價(jià)是（1+20%）x元，

由題意得：7200二5000

（1+20%）xx

解得x=200,

經(jīng)檢驗(yàn)，”=200是原方程的解，且符合題意，

???(1+20%)x=240.

答：A款套裝的單價(jià)是240元、8款套裝的單價(jià)是20（）元.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程.

一十九.三角形的角平分線、中線和高（共1小題）

24.（2022秋?岳陽縣期末）下列圖形中AO是△A8C的高的是（）

【解答】解：A、AO不是△AZ?。的高，故此選項(xiàng)不合題意；

B、AO不是aABC的高，故此選項(xiàng)不合題意；

C、AO不是△ABC的高，故此選項(xiàng)不合題意；

D、4。是△4BC的高，故此選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的高，關(guān)鍵是掌握從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間

的線段叫做三角形的高.

二十.三角形三邊關(guān)系（共1小題）

25.（2022秋?宜春期末）若一個(gè)三角形的兩邊長分別為2和4,則第三邊長可以是（）

A.2B.5C.6D.7

【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和〉第三邊，任意兩邊之差〈第三邊求出第三邊長的范圍，即可得

到答案.

【解答】解：設(shè)第三邊長為X,則由三角形三邊關(guān)系定理得4-2<x<4+2,即2cxV6.

2,5,6,7,只有5滿足不等式.

故選:B.

【點(diǎn):評(píng)】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵熟練根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求得第三邊的取值范圍.

二十一.三角形內(nèi)角和定理（共3小題）

26.（2022秋?海珠區(qū)校級(jí)期末）如圖，在AABC中，4。是高，AE.8/是角平分線，它們相交于點(diǎn)。，Z

C=70°.

(1)ZAOB的度數(shù)為125’：

(2)若NA8c=60°，求的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義得出NQ48+NO8A=2(N8AC+N48C),根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得

2

出N84C+NA8C=180°-ZC=110°,進(jìn)而即可求解；

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得ND4C,NBAC,根據(jù)AE是NB4c的角平分線，得出NC4E=,NCAB

=25°,根據(jù)/D4E=NCAE-NCA。，即可求解.

【解答】(1)解：TAE、BF是/BAC、N4BC的角平分線，

：,ZOAB+ZOBA=—(ZI3AC+ZABC),

2

在△48C中，ZC=70°,

???NBAC+N/18C=180°-ZC=110°,

???NAOB=180°-ZOAB-ZOBA=180°-小(N84C+NA8C)=125°.

2

故答案為：125°；

(2)解：???在△ABC中，AO是高，ZC=70°,ZABC=60°,

???NOAC=90°-ZC=90°-70°=20°,N8AC=180°-ZABC-ZC=50°

???AE是N84C的角平分線，

/.ZCAE=-ZCA13=25°，

2

：.ZDAE=ZCAE-ZCAD=25°-20°=5°,

；?NDAE=5°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中線，角平分線，三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

27.(2022秋?邢臺(tái)期末)材料閱讀：如圖①所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品--圓規(guī).我們不妨把這

樣圖形叫做“規(guī)形圖”.

解決問題:

（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究/BOC與NA,NB,NC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下兩個(gè)問題：

I.如圖②，把一塊三角尺。放置在△A/3C上，使三角尺的兩條直角邊OE,DF恰好經(jīng)過點(diǎn)8,C,

若NA=40",則.

II.如圖③，平分NA3F,8平分NACP,若ZA=40°,ZZ?PC=130°,求N3OC的度數(shù).

【分析】（1）連接A。并延長至點(diǎn)尸，根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可得到NBOC與NA,ZB,/C之間的數(shù)

量關(guān)系；

（2）I、由（1）可得，ZBDC=ZABD+ZACD+ZA,再根據(jù)NA=40°,/。=90°,即可得出/4BO+

/AC。的度數(shù)；

II、根據(jù)（1）,可得/BPC=/8AC+NABP+/ACP,NB/）C=/8AC+NAHO+/ACO,再根據(jù)平分

NABP,C。平分NACP,即可得出N8QC的度數(shù).

【解答】解：（1）如圖①，連接AO并延長至點(diǎn)凡

根據(jù)外角的性質(zhì)，可得

ZBDF=ZBAD+ZB,

/CDF=/C+/CAD,

又ZBDC=ZBDF+ZCDF,

ZBAC=ZBAD+ZCAD,

：.NBDC=Z4+ZB+ZC；

（2）I.由（1）可得，NBDC=NABD+NACD+NA；

又???NA=40°,ZD=90°,

/.ZABD+ZACD=90a-40°=50°,

故答案為：50；

II.由（1）,可得NBPC=NBAC+NARP+NACP,

4BDC=ZBAC+ZABD+ZACD,

：.ZABP+ZACP=ZBPC-ZBAC=\30°-40°=90°,

又?；8。平分/ABP,CD平分/4CP,

AZABD+ZACD=—CZABP+ZACP）=45°,

2

/.Z^C'=450+40°=85°.

圖①

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角性質(zhì)的運(yùn)用，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°

是解答此題的關(guān)鍵.

28.（2022秋?二七區(qū)校級(jí)期末）（I）如圖，把△A8C沿。七折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)4處，試探究Nl、N2與

的關(guān)系；

（2）如圖2,若/1=140。，22=80°,作/A8C的平分線BN,與NAC8的外角平分線CN交于點(diǎn)N,

求NANC的度數(shù)：

（3）如圖3,若點(diǎn)4落在△ABC內(nèi)部，作NABC,/4CB的平分線交于點(diǎn)4,此時(shí)Nl,Z2,ZBAiC

滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明過程.

【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得N4EO=N4E。，ZADE=A\DE,再根據(jù)平角的定義得到

ZADE=ZADE=90°-yZl?ZAED=yZ2+90°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得

1乙乙

ZA-^Z2+90<>=Z1+90O-yZV由此即可得出結(jié)論；

（2）先根據(jù)（1）的結(jié)論求出N4=30°,再由角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)推出/N』NA=15°

2

即可;

（3）先推出NADE=NA]DE=90°-yZbNAEQ=N4￡Q=90°-N2,再由三角形外角的性質(zhì)推出

ZA=yZl?yZ2>利用角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理推出NBA1C=900總/A即可得到結(jié)

論.

【解答】解：(1)Nl=2/人+N2,理由如下：

由折疊的性質(zhì)可知/AED=ZA\ED,ZADE=ZA\DE,

-ZADE=ZAtDE=1800~Z1=90°)/1，/2=2/AEQ-180°，

乙乙

???ZAED=^Z2+90<>，

乙

,//A+NAEO=NEDB=Zl+ZAiDE,

???/4。/2+90°=Z1+9O°,Nl，

乙乙

AZ1=2ZA+Z2；

(2)VZ1=2ZA+Z2,Zl=140°，Z2=80°，

???NA=30°,

VZABC的平分線BN,與NAC3的外角平分線CN交于點(diǎn)N,

???NNBCJ/ABC,NNCH^/ACH，

乙乙

???ZA+ZABC=ZACH,

???/A+2/NBC=24NCH,

又：NN+NNBC=ZNCH,

：.ZIA+2ZNBC-2ZN+2ZNBC,

?'-ZN-yZA=15°：

(3)解：N1+N2=4N84C-36O°,理由如下；

由折疊的性質(zhì)可知NAEO=NAiEZ),ZADE=ZA\DE,

ZADE=ZA^E^80-yZb

乙乙

1*00-/9

ZAED=ZAED==90°-N2,

1乙

???NA+NAQE=ZCED=N4ED+N2,

???ZA+9004-Z1=90OM/2+/2，

VAABC,NAC3的平分線交于點(diǎn)4,

???/AiBcJ/ABC，ZA1CB=yZACB?

乙乙

???NA8C+N人C8=180°-ZZ,

?*-ZA^C+ZA1CB^ZABC^ZACB=90°得NA，

乙乙乙

???NBA仔1800-NAiBC-/AiCB=90°總NA，

**-ZBA^=90O*N1{N2,

???Nl+N2=4N84iC-360。.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，熟知

三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二十二.三角形的外角性質(zhì)（共2小題）

29.（2022秋?金水區(qū)校級(jí)期末）將一副三角板按照如圖方式擺放，則NC8E的度數(shù)為（）

E

A.90°B.100°C.105°D.110°

【分析】根據(jù)三角板的性質(zhì)得出NACB=60°,ZBAC=45°,再利用外角的性質(zhì)計(jì)算即可.

【解答】解：由題意可得：

ZACB=60°,ZBAC=45°,

AZCBE=ZACB+ZBAC=6^+45°=105°,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外角性質(zhì)，掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解

題的關(guān)鍵.

30.（2022秋?龍亭區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，ZA=70a,ZB=50°,CO平分NAC8,求NAQC

的度數(shù).

【分析】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，求出NACB的度數(shù)后易求解.

【解答】解：*.?NA=70°,N8=50°,

/.ZACB=180°-70°-50°=60°（三角形內(nèi)角和定義）.

平分NAC8,

AZ4CD=—ZACB=—X60°=30°,

22

AZ4DC=1800-NA-NACQ=80°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形外角性質(zhì)，掌握外角性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

二十三.全等三角形的性質(zhì)（共1小題）

31.（2022秋?宛城區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A在OE上，△AB8AEDC,若N8AC=55°,則NACE的大

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出NE=/B4C=55°,CE=CA,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形

內(nèi)角和定理可得NACE=180°-ZCAE-ZE=70°.

【解答】解：?:2ABCq叢EDC,N8八。=55°,

：,ZE=ZBAC=55°,CE=CA,

：,ZCAE=ZE=55°,

/.ZAC￡=180°-ZCAE-ZE=70°.

故答案為：70°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的

對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

二十四.全等三角形的判定（共4小題）

32.（2022秋?莊河市期末）工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角，做法是：如圖在NAO8的邊。A、08上分

別取OM=ON,移動(dòng)角尺，使角尺的兩邊相同的刻度分別與M、N重合，得到NA08的平分線。尸，做

法中用到三角形全等的判定方法是（）

A.SSSB.SASC.ASAD.HL

【分析】已知兩二角形二邊分別相等，可考慮SSSiiE明二角形全等，從而證明角相等.

【解答】解：做法中用到的三用形全等的判定方法是SSS

證明如下：

由題意得，PN=PM,

在△ONP和△OMP中，

r0N=0M

'0P=0P?

PN=PM

：.XONP沿赳OMP（SSS）

所以NNOP=NMOP

故OP為NAO8的平分線.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用.對(duì)于難以確定角平分線的情況，利用全等三角形中

對(duì)應(yīng)角相等，從而輕松確定角平分線.

33.（2022秋?克什克騰旗期末）下列條件能判定△/WCW△。燈'的一組是（）

A.ZA=ZD,ZC=ZF,AC=DF

B.AB=DE,BC=EF,ZA=ZD

C./A=N。，NB=/E,ZC=ZF

D.AB=DE,△ABC的周長等于尸的周長

【分析】判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA.AAS.HL,結(jié)合選項(xiàng)逐一檢驗(yàn).

【解答】解：A、ZA=ZD,ZC=ZF,AC=Or符合ASA,能判定兩三角形全等，故選項(xiàng)正確；

8、AB=DE,BC=EF,NA=N。是SS4,不能判定兩三角形全等，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

。、/A=N。，N8=NE,NC=N尸是A4A,不能判定兩三角形全等，故選項(xiàng)錯(cuò)誤：

D、AB=DE,ZVIBC的周長等于△￡）￡：/的周長，三邊不可能相等，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題重點(diǎn)考查了三角形全等的判定定理，普通兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，即AA5、ASA、

SAS、SSS,直角三角形可用必定理，但AA4、SSA,無法證明三角形全等，本題是一道較為簡(jiǎn)單的題目.

34.（2023春?鳳城市期末）如圖，在△A8C和△力E尸中，如果AB=￡>E,BC=EF.在下列條件中不能保證

△A5C0△。石產(chǎn)的是（）

A.NB=NDEFB.NA=N。C.AB//DED.AC=DF

【分析】已知人BC=EF,只需再找一個(gè)夾角或者一條邊相等，即可判定△ABCgAOER

【解答】解：人、可根據(jù)SAS判定尸，

故本選項(xiàng)不符合題意；

B、不能根據(jù)SSA判定△/WCgZkOER

故本選項(xiàng)符合題意；

C、根據(jù)A8〃OE,可得可根據(jù)SAS判定△48C經(jīng)AOE兄

故本選項(xiàng)不符合題意；

D、可根據(jù)SSS判定

故本選項(xiàng)不符合題意.

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳三角形全等的判定方法，掌握判定兩個(gè)三角形全等的一般方法是解題的關(guān)鍵.

35.（2022秋?五華區(qū)期末）如圖，在△A4C中，NAC8=90°,AC=6,3c=8,點(diǎn)C在直線/上.點(diǎn)。從

點(diǎn)A出發(fā)，在三角形邊上沿AfC—3的路線向終點(diǎn)3運(yùn)動(dòng)：點(diǎn)。從8點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿3-C-

4的路線向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).點(diǎn)尸和Q分別以1單位/秒和2單位秒的速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，若

有一點(diǎn)先到達(dá)線點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).分別過點(diǎn)P和。作PE_L/于點(diǎn)E,QF±l

于點(diǎn)F,當(dāng)△尸EC與△C/Q全等時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2或甘秒.

【分析】分四種情況，點(diǎn)尸在AC上，點(diǎn)Q在BC上；點(diǎn)尸、。都在AC上；點(diǎn)尸到8c上，點(diǎn)。在AC

上；點(diǎn)。到4點(diǎn)，點(diǎn)P在上，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等建立方程求解即可.

【解答】解：??.△PEC與△CFQ全等，

???斜邊PC=斜邊CQ,

分四種情況：

當(dāng)點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)。在4c上，如圖：

*：CP=CQ,

/.6-/=8-2r,

:.t=2,

當(dāng)點(diǎn)P、。都在AC上時(shí)，此時(shí)P、Q重合，如圖：

*：CP=CQ.

.*.67=2/-8,

?14

3

當(dāng)點(diǎn)P到8c上，點(diǎn)。在4c上時(shí)，如圖：

，：CP=CQ,

/./-6=2/-8,

*,*/=2,不符合題意，

當(dāng)點(diǎn)Q到4點(diǎn)，點(diǎn)。在8c上時(shí)，如圖：

,:CQ=CP,

，6=L6,

A/=12（舍去）,

綜上所述：點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于24PEC與叢CFQ全等,

故答案為：2或±&

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，分情況討論是解題的關(guān)鍵.

二十五.全等三角形的判定與性質(zhì)（共6小題）

36.（2022秋?南安市期末）如圖，已知點(diǎn)E、C在線段8尸上，BE=CF,AB=DE,AC=DF.求證：NA=

ND.

【分析】由BE=C凡可得BC=ER則利用SSS可判定△A8C會(huì)△￡>￡：「，從而有NA=/D

【解《答】證明：，：BE=CF,

：?BE+EC=CF+EC,

即BC=EF,

在△ABC和△￡>￡：『中，

'AB=DE

'AC=DF，

BC=EF

：.^ABC^/\DEF(SSS),

???NA=NO.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三甭形的判定與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是找到圖中的公共邊EC,得出BC=EF.

37.(2022秋?海珠區(qū)校級(jí)期末)已知：如圖，F(xiàn)、C是4。上的兩點(diǎn)，且AB//DE,AF=CD.求

證：

(1)△A4g△￡)￡/；

(2)BC//EF.

【分析】(1)根據(jù)得/A=N。，由人尸=CO,可得AC=DF,通過SAS'即可證明△ZMCgA

EOF：

(2)由全等三角形的性質(zhì)得NAC8=NOFE,從而BC//EF.

【解答】證明：⑴-AB//DE,

???NA=NO,

,：AF=CD,

：.AF+FC=CD+FC,

卻AC=DF,

在△B4C和△￡/)產(chǎn)中，

'AB=DE

'ZA=ZD-

AC=DF

:.ABAgAEDF(SAS)；

(2)???△BAC絲△￡￡>/,

.??NACB=NDFE,

：.BC//EF.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行線的判

定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

38.（2022秋?日照期末）如圖，/84O=NC4E=90°,AB=AD,AE=AC,AFLCF,垂足為尸.

（1）求證：

（2）若AC=10,求四邊形45C。的面積；

（3）求/"E的度數(shù).

【分析】（1）由“S4s"可證AABCg△4/）￡：；

（2）由全等三角形的性質(zhì)可得S"8C=5△八。E,由面積關(guān)系可求解；

（3）由等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可得/C4/=NFCA=45°,即可求解.

【解答】證明：（1）ZBAD=ZCAE=9（r,

/.ZBAD-ZCAD=ZCAE-ZCAD,

：.ZBAC=ZDAE,

(t^ABC和中，

fAB=AD

NBAC=NDAE，

IAC=AE

(SAS)；

(2)

SMBC=S小DE,

:.S四邊形八8