第二十二章二次函數(shù)-利用二次函數(shù)求解最值問題常見題型總結(jié)練(二)

2025-2026學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊(cè)

五、利用二次函數(shù)求面積最值的問題

13.(2025?山東東營(yíng)?一模)如圖，拋物線經(jīng)過A(TO),3(5,0),三點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P,使7M+PC的值最小，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)動(dòng)點(diǎn)M在第四象限內(nèi)的拋物線上，求四邊形面積最大時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

14.(2025?寧夏銀川?一模)如圖，拋物線y=*+"+c與x軸交于2兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)

C,其中4(一3,0),3(1,0),C(0.3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)求點(diǎn)8到直線AC的距離；

(3)點(diǎn)P在第二象限的拋物線上運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，點(diǎn)尸的坐標(biāo)以及最大面積.

15.如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(-l,0),8(3,0),C(0,3)三點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

⑵點(diǎn)M是線段3C上的點(diǎn)(不與B,C重合)，過“作M0〃y軸交拋物線于N,若點(diǎn)M的橫

坐標(biāo)為加，請(qǐng)用含機(jī)的代數(shù)式表示MN的長(zhǎng)；

(3)在(2)的條件下，連接NB,NC,是否存在點(diǎn)M,使.3NC的面積最大？若存在，求出最大

值及點(diǎn)〃的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

提升練

1.如圖，二次函數(shù)〉=-f+公+3的圖象與，軸交于點(diǎn)人，與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)川-2,0).

(1)求二次函數(shù)的解析式.

(2)若點(diǎn)尸是這個(gè)二次函數(shù)圖象在第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作了軸的垂線與線段43交于點(diǎn)C,

求線段PC長(zhǎng)度的最大值.

2.如圖，已知拋物線y=必+版+c與x軸相交于A(-l,0),B(m,0)兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C(0,-3),

拋物線的頂點(diǎn)為。.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若尸是直線BC下方拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作軸于點(diǎn)與BC交于點(diǎn)M,求線

段尸M長(zhǎng)度的最大值.

(3)若點(diǎn)E在x軸上，S.ZECB=ZCBD,直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo).

3.如圖，二次函數(shù)的圖像與無軸交于A(-3,0)和8(1,0)兩點(diǎn)，交y軸與點(diǎn)。(0,3),點(diǎn)C,。是二

次函數(shù)圖象上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，一次函數(shù)的圖像過點(diǎn)D.

yyy

(i)求二次函數(shù)解析式；

(2)求出頂點(diǎn)坐標(biāo)和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)二次函數(shù)的對(duì)稱軸上是否存在的一點(diǎn)M,使的周長(zhǎng)最??？若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo)；若

不存在，請(qǐng)說明理由.

(4)若。是線段8。上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)。作尸。，元軸交拋物線于點(diǎn)P,則點(diǎn)尸坐標(biāo)為多少時(shí)，PQ

最長(zhǎng)？

4.如圖，已經(jīng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)0(0,0),A(5,5),且它的對(duì)稱軸x=2.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)2是拋物線線上的一點(diǎn)，當(dāng)△OA3的面積為15時(shí)，直接寫8的坐標(biāo)；

(3)P是對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，當(dāng)-尸。|的值最大時(shí)，求尸的坐標(biāo)以及|「4-尸。|的最大值.

5.如圖，拋物線>=加+法-3("0)與x軸交于點(diǎn)A(T,0),點(diǎn)3(3,0),與，軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)。，使ACQ的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)尸是第四象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求,3尸。面積5的最大值及此時(shí)2點(diǎn)的坐標(biāo).

答案

五、利用二次函數(shù)求面積最值的問題

13.(1)解：設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為〉=依2+法+4。工0),

把4(一1,0),3(5,0),，0,-3代入丁="2+如+°得

0=a-b+c

<0=25a+5。+c,

5

——=c

I2

1

a二——

2

解得b=-2,

5

c=——

I2

這個(gè)二次函數(shù)的解析式是：y=|x2-2x-1.

151Q

(2)解：y=—x2—2x——=—(^x—2^9——,

222V72

???拋物線的對(duì)稱軸為x=2,

連接CB,如圖所示：

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m(kw0),

0=5左+加

5

m=——

I2

k=-

解得u，

直線2C的解析式為y=gx-g,

153

當(dāng)％=2時(shí),y=-x2--=--,

二尸點(diǎn)的坐標(biāo)為［2,-|)；

(3)解：過點(diǎn)M作〃丁軸，分別與x軸和2C交于點(diǎn)T,W,連接。0,曲公圓，如圖所示:

則四邊形ACMB面積=S^c+S4MBC?

,SABC是一個(gè)定值,

J要使四邊形ACM8面積最大，則的面積最大,

設(shè)M|帆,；加2-2m—g

則W

匕"2-2根一口=一工—+3，.

WM=—m——

2222J22

則SMBC一=uqMWC丁4usMWB

=^xmxWM+^x（5-m）xWM

=-x5xWM

2

5225

——mH--------m

44

--<0

4

25

T5

???開口向下，當(dāng)機(jī)二二不二不時(shí)，打拉比有最大值,

2xbJ

.?.即=g時(shí)，四邊形面積最大,

此時(shí)把"?=*代入-2機(jī)-*,

2'22

25u535

------5----=------

828

5_35

：.M

14.（1）解：把4（一3,0）,5（1,0）,。（0.3）代入丁=<2+陵+‘得到,

9a-3b+c=0

<a+b+c=O,

c=3

a=-1

解得b-2,

c=3

；?拋物線的解析式為y=春_2丈+3；

(2)VA(-3,0),B(l,0),C(0.3),

AC=yJo^+CO2=3y[2>

設(shè)點(diǎn)B到直線AC的距離為d,

則^AC.dJAB.OC,

22

.「x30d」x4x3

22

解得d=2近,

即點(diǎn)B到直線AC的距離為20，

(3)設(shè)直線AC的解析式為y=〃a+”.

(~3m+n=0

，e|n=3

m=l

解得

n=3

...直線AC的解析式為y=x+3,

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（t,-t--2t+3）,作軸交直線AC于點(diǎn)

則。（“+3）,

貝I]PQ=-t2-2t+3-(t+3)=-t2-3t

2>

△APC的面積5=工(一〃_3。><(%-%J=-(-?-3z)=--p+-|+—

22212j8

當(dāng)=3時(shí)，S有最大值27?，

2o

此時(shí)+3=_2x1_q)+3=?

此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為1-|與

15.(1)解：；拋物線經(jīng)過點(diǎn)4(一1,0),3(3,0),。(0,3)三點(diǎn),

...設(shè)拋物線的解析式為y=?(x+l)(x-3),

把C(0,3)代入得:3=?(0+1)(0-3),

??CL=-1,

拋物線的解析式：y=-x2+2x+3；

(2)解:設(shè)直線BC的解析式為：y^kx+b,

把3(3,0),C(0,3)代入得：1=3,

[k=-\

解得：,穴，

[匕=3

...直線BC的解析式為y=r+3,

又NM//y^,

Npw,—0/+2加+3),

ACV=-m2+27M+3-(-m+3)=-/n2+3/w(0<m<3)；

(3)解:存在，

點(diǎn)3(3,0)

/.OB=3.

則5皿⑶=3..03

3/2

=-^-m+3m

327

當(dāng)機(jī)=彳時(shí)，S&BNC最大，最大值為丁.

2o

在y=.%+3中，

33

當(dāng)x=5時(shí)，y=5

綜上所述，存在點(diǎn)當(dāng)H，1］，最大值為3.

提升練

1.(1)解：???二次函數(shù)》=-無2+加+3的圖象經(jīng)過3(-2,0),

/--(-2)2-2/7+3=0,

解得〃=-;，

???二次函數(shù)的解析式為y=-%2-1x+3；

(2)???二次函數(shù)的解析式為y=-無2_白+3,

x=0時(shí)，y=3,

/.A(0,3),

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+3,

把(-2,0)代入，得—2左+3=0,

解得人=，

3

所以直線AB的解析式為y=|x+3

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為一51+31.

則點(diǎn)C的坐標(biāo)為1一I""-1tz,-6z2—+

因?yàn)辄c(diǎn)C在點(diǎn)尸的右邊，

2124

所以PC=——a2——a-a=——a2——a

3333

因?yàn)辄c(diǎn)。是這個(gè)二次函數(shù)圖象在第二象限內(nèi)的一點(diǎn),

所以-2vav0,

2

所以當(dāng)，=T時(shí)，線段PC的長(zhǎng)度有最大值，最大值為

2.（1）解：把A（-1,O）,。（0,-3）代入拋物線〉=，+灰+C中

[l-Z?+c=O

得：

b=-2

解得：

c=-3

拋物線的解析式為：-2x-3.

（2）解：：y=x1—2x—3,

當(dāng)y=O時(shí)，尤2_2尤-3=0,

解得：x=3或-1,

/.磯3,0）；

設(shè)BC的解析式為：y=kx+t,

V5（3,0）,C（0,-3）,

J3左+/=0

"V=-3,

\k=\

解得：。，

[t=-J

???3C的解析式為：y=x-3,

設(shè)P（x,%2_2%一3）,

則Af（無,％-3）,

PM=（九一3）一（%2-2x-3）=-%2+3%=一1%一3+'，

當(dāng)兀=3=時(shí)，有最大值為一9.

24

（3）解：如圖1,連接BRCE,CE交BD于點(diǎn)T.

，頂點(diǎn)D（1,Y）,

設(shè)所在直線的解析式為：y=k（x-3）,

將0（1,-4）代入函數(shù)解析式得-2左=V,

解得k=2,

故所在直線的解析式為：y=2x-6,

,/ZECB=ZCBD,

：.CE//BD,

設(shè)CE所在直線的解析式為：＞=2尤+P，

將C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得。=-3,

故CE所在直線的解析式為：＞=2尤-3,

3

當(dāng)＞=。時(shí)，x=—,

2

即點(diǎn)E的坐標(biāo)為（|,0）

當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)3的右側(cè)時(shí)，

：8（3,0）,C（0,-3）,D（1T）,

.-.CB2=32+32=18,CD2=l2+（4-3）2=2,BD2=（3-l）2+42=20,

:.CB2+CD2=BD2,

△BCD是直角三角形，

80是斜邊，

NECB=NCBD,

：.Z.TCD=Z.TDC,

：.CT=BT=DT,

為BO的中點(diǎn)，

???C￡經(jīng)過班）的中點(diǎn)7（2,-2）,

直線CT的解析式為y=*3,

點(diǎn)E'的坐標(biāo)是(6,0).

???綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)是||，。］或(6,0).

3.(1)解:由拋物線與無軸的交點(diǎn)坐標(biāo)A(-3,0)和3(1,0),設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)(x-1),

將點(diǎn)C(0,3)代入，得：-3。=3,

解得：a=-l,

則拋物線的解析式為，=-(》+3心-1)=-f-2彳+3.

(2)y=-(x+3)(x-l)=-%2-2x+3=-(%+1)"+4,

???頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4),拋物線的對(duì)稱軸為直線尸-1,

.:點(diǎn)。(0,3)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2,3)；

(3)存在，要使.3CM的周長(zhǎng)最小，只需+最小即可，

:點(diǎn)A和8關(guān)于直線尸-1對(duì)稱，連接AC交直線尸-1于點(diǎn)M,

：.MB=MA,

貝UMB+MC=M4+MCNAC,

...點(diǎn)M滿足題意，

設(shè)直線AC的解析式為l=履+機(jī)，把點(diǎn)A(-3,0)和C(0,3)代入得,

\-3k+m=0

則「3

k=l

解得

m=3

直線AC的解析式為y=x+3,

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是M(T,〃),

貝!I?=-1+3=2,

即點(diǎn)M(-l,2)為所求.

(4)如圖，

設(shè)直線BD的解析式為y=px+q，把點(diǎn)3(1,0)和點(diǎn)￡>(-2,3)代入得,

fp+q=0

[-2p+q=3'

解得

I4=1

?1.直線BD的解析式為y=-尤+1,

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是-2t+3),則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是Q&T+1),

則PQ=_/2_2.+3_(一/+1)=_/_f+2=_1+g)+；,

:a=-l<0,

...當(dāng)/=-:1時(shí)，尸。有最大值為9彳，

24

此時(shí)_〃_2r+3=_1_g]_2x]_g)+3=?,

即點(diǎn)尸坐標(biāo)為力時(shí)，P0最長(zhǎng).

4.(1)解：拋物線經(jīng)過點(diǎn)。(。，0),

???設(shè)拋物線為：y=ax2+bx,

拋物線過45,5),且它的對(duì)稱軸為l=2.

25a+5b=5

a=l

b,解得：

----=20=—4'

、la

???拋物線為：y=V—4x；

(2)解：設(shè)5(〃,〃2一甸,

設(shè)AB的解析式為：y=kx+b,

5k+b=5

則

ak+b=a2—4a

左=a+1

解得:

b=-5a

則AB的解析式為：y=(a+l)x-5o(a^-l),

當(dāng)>=0時(shí)，則(a+l)x-5a=0,

5a

解得:x=------,

Q+1

側(cè)C茨。,

Q+1J

***SOAB=耳|。。|?1為-力|

15ai2/廠I

=—x----x\a-4〃一5

2a+\11

_15a(2人匚

---------XQ-4(2-5

-2a+1'

_j_5〃x(a-5)(a+l)

-2a+1v八)

=||5a(a-5)|

**SOAB=15

-,.1|5a(a-5)|=15,

解得：a=6或a=2或a=3或〃=—1(舍去)，

此時(shí)點(diǎn)3(6,12),或3(2,Y),3(3,-3)

當(dāng)。=-1時(shí)，則直線AB為y=5,平行于X軸

此時(shí)3(—1,5),

15,滿足題意,

綜上：則以612)或3(21)或3(3,-3)或3(-1,5).

(3)解：做點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)C(4,0),連接AC交對(duì)稱軸于點(diǎn)P,如圖,

：.\PA-PO\=\PA-PC\<\AC\,

當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)C和點(diǎn)A三點(diǎn)共線時(shí)即可取得最大值,

設(shè)直線AC的直線方程為y=kx+b(k豐0),

[5=5k+b[k=5

則,，解得匕”，

[0=4k+b[b=-20

直線AC的直線方程為y=5尤-20,

當(dāng)x=2時(shí)，y=5x2-20=-10,

那么，點(diǎn)P(2,T0)時(shí)，的值最大，AC=7(5-4)2+52=A/26.

5.(1)解:把點(diǎn)4(—1,0),點(diǎn)3(3,0)代入y=-3得,

a—b—3=Q

9。+3b—3=0

a=1

解得

b=-2

11?拋物線的表達(dá)式為y=/-2x-3；

(2)解：如圖，連接CB交對(duì)稱軸于點(diǎn)Q,

y=/-2x-3=(x-lf-4,

拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,

：A、3關(guān)于對(duì)稱軸x=l對(duì)稱，

AQ=BQ,

:.A,C+AQ+CQ-A,C+CQ+BQNA.C+BC,

當(dāng)c、B、Q三點(diǎn)共線時(shí)，.ACQ的周長(zhǎng)最小,

'/y=x2-2x-3,

/.C(0,-3),

設(shè)直線2C的解析式為y=履+加，把3(3,0)和C(0,-3)代入得,

0=3k+m

—3=m

k=\

解得

m=-3

???直線的解析式為y=x-3,

把％=1代入y=x—3,得y=l-3=_2,

（3）解：如圖，過點(diǎn)尸作尸G〃y軸,交2C于點(diǎn)G,連接PC,PB,

設(shè)點(diǎn)尸，-2—3),則G(f,f-3),

/.PG=t-3-(t2-2t-3)=-t2+3t,

.??當(dāng)/==3時(shí)，s的最大值為27?,

2o

此時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為

3.2函數(shù)的基本性質(zhì)“函數(shù)的單調(diào)性和最大（小）值常見題型總結(jié)練

2025-2026學(xué)年數(shù)學(xué)高一年級(jí)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

-：圖象法求單調(diào)區(qū)間

1.如圖是函數(shù)y=/（x）的圖象，則函數(shù)/（X）的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

A.(-2,0)B.(-2,2)C.(0,2)D.(2,+oo)

2.函數(shù)/（x）=出+2X-￡的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.(-oo,l]B.[L+oo)C.[1,3]D.[-1,1]

3.已知函數(shù)y=/（x）的圖象如圖所示，則該函數(shù)的減區(qū)間為（)

A.(-3,-1)(1,4)B.(-5,-3)(-1,1)

C.(-3,-1),(1,4)D.(—5,—3),(—1,1)

2

4.定義在R+上的函數(shù)？=工+—的單調(diào)遞減區(qū)間是.

X

函數(shù)單調(diào)性的判斷

1.已知四個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示，其中在定義域內(nèi)具有單調(diào)性的函數(shù)是（）

2.（多選題）在區(qū)間（-吃0）上為減函數(shù)的是（）

2

A.y=-2xB.y--C.y=|x|D.y--^

3.（多選題）下列函數(shù)中，在R上是增函數(shù)的是（）

A.y=\x\B.y=x

x,x>-l,

C.y=/

~X9冗<-1

4.下列函數(shù)中，在（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=-B.y=x2-2xC.y=l-xD.y=|x|-1

x

三：證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性

1.下列函數(shù)“X)中，滿足“對(duì)任意丐,X26(0,+CO),當(dāng)十＜尤2時(shí),都有的是()

A./(%)=(x-l)2B.C.f(x)=x+l

D./(x)=|x-l|

2.函數(shù)y=旨在［2,3］上的最小值為()

A.1B.—C.一

23

3.下列函數(shù)中，在區(qū)間口，+⑹上為增函數(shù)的是()

A.y=-(%-l)2B.y=|x-l|c-Td-L

4.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,則下列說法中正確的是()

A.若/(%)滿足〃則〃力在區(qū)間［0』內(nèi)單調(diào)遞增

B.若滿足則〃尤)在區(qū)間［0,1］內(nèi)單調(diào)遞減

C.若/⑺在區(qū)間［0』內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間［1,2］內(nèi)單調(diào)遞增，則/(x)在區(qū)間［0,2］內(nèi)單調(diào)遞

增

D.若“X)在區(qū)間［0』內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間。,2］內(nèi)單調(diào)遞增，則“X)在區(qū)間［0,2］內(nèi)單調(diào)遞

增

四：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

L函數(shù)y~的單調(diào)增區(qū)間為()

4+3x-x

A.—,+°°^B.^-1,—C.4)和(4,+oo)D.

2.函數(shù)/(%)=，8+2%—M的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(—00,1]B.[1,+oo)C.[1,4]D.[-2,1]

3.已知xe(—2,3),則函數(shù)/⑺=-x2+2x的單調(diào)增區(qū)間是.

4.(24-25高一上?全國(guó)?課堂例題)已知函數(shù)/(x)=f-4慟+3,尤eR,根據(jù)圖象寫出它的單調(diào)

區(qū)間..

五：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

x+2ox+5,x＜l

1.已知函數(shù)〃力=a在區(qū)間（-叫”）上是減函數(shù),則整數(shù)〃的取值可以為（）

——,x＞l

A.-2B.2C.0D.1

2.若函數(shù)丁=%2+（2。-1）》+1在區(qū)間（7）,2］上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

3.若函數(shù)〃x）=（2a-l）x（。為實(shí)數(shù)）是R上的減函數(shù)，則（）

1111

—B.QW—C.〃〉一D.〃＜—

2222

（di-3）x+5,x＜l

4.若〃x）=2a,在R上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

——,X＞1

、%

A.（-oo,0）B.（0,3）C.（0,2］D.（0,2）

六：利用單調(diào)性比較大小或解不等式

1.若函數(shù)y=〃x）在R上單調(diào)遞增，且-根），則實(shí)數(shù)加的取值范圍是（）

A.（-ao,-l）B.C.（1,+℃）D.（9J）

2.已知函數(shù)/（X）的定義域?yàn)镽,且對(duì)任意的尤/,尤2且X/尤2都有，（X/）-f（X2）］（X/-無2）＞

0成立，若/（N+i）＞于（/-m-1）對(duì)xGR恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.（-1,2）B.［-1,2］

C.（-oo,-1）U（2,+oo）D.（-oo,-1］U［2,+oo）

3.設(shè)函數(shù)y=/（x）在區(qū)間A上有意義，任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a力eA,下列各式中，能夠確定

函數(shù)在區(qū)間A上單調(diào)遞增的是（）

A.（a-Z?）［/（a）-/（Z?）］＞0B.（a-Z＞）［/（a）-/（Z＞）］＜0

C./⑷-/㈤＞0D.f（a）-f（b）＜0

a-b

4.侈選題）設(shè)函數(shù)/（X）在（F,+?0上為減函數(shù)，則（）

A.f(a)>f(2a)

B./(a2+l)</(?)

C./(a2+a)</(a)

D./(a2)</(a)

E./(?2+l)</(2?)

函數(shù)的最大(小)值

-：利用圖象求函數(shù)最值

1.定義在R上的偶函數(shù)在［0,7］上是增函數(shù)，在［7,+s)上是減函數(shù)，又f(7)=6,則

f(x)()

A.在［—7,0］上是增函數(shù)，且最大值是6

B.在［—7,0］上是減函數(shù)，且最大值是6

C.在［—7,0］上是增函數(shù)，且最小值是6

D.在［—7,0］上是減函數(shù)，且最小值是6

2.函數(shù)y=f(x)在［—2,2］上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最小值、最大值分別是(

B.0,2C.f(-2),2D.f(2),

3.若函數(shù)/(x)=Y一4X+8,XW［1M,它的最大值為了⑷，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(1,2］B.(1,3)C.(3,+8)D.［3,+8)

-V-1

4.函數(shù)戶一在區(qū)間(f5)上的值域?yàn)?/p>

X-1

利用單調(diào)性求函數(shù)最值

1.函數(shù)y=—二在［2,3］上的最小值為()

x-1

A.2B.1

C-D--

-32

2.已知函數(shù)/(%)=：在區(qū)間［1,2］上的最大值為A,最小值為'則A力等于()

A.；B.—C.1D.-1

22

3.函數(shù)〃耳=筌在區(qū)間［-5,-3］上的最小值為()

14

A.-B.1C.-D.2

33

4.若函數(shù)丫=?在區(qū)間[2,4]上的最小值為5,則k的值為()

A.5B.8

C.20D.無法確定

三：求二次函數(shù)的最值

1.已知函數(shù)/(%)=-f+2*+4在區(qū)間[0,加]上有最大值5,最小值1,則加的值等于()

A.-1B.1C.2D.3

2.定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足/Q+l)=2/(x),且當(dāng)無e(0,l]時(shí)，f(x)=x2-x,則當(dāng)

xe[-l,0]時(shí)，/(*)的最小值為()

A.—B.—C.0D.\

844

3.(多選題)關(guān)于函數(shù)y=f-mx+4(相＞0)在(f0]上最小值的說法不正確的是()

A.4B.-4

C.與加的取值有關(guān)D.不存在

4.(多選題)已知"x)=f-2x+l在區(qū)間[a,a+2]上的最小值為4,貝心可能的取值為

()

A.-1B.3C.-3D.1

四：判斷二次函數(shù)的單調(diào)性和求解單調(diào)區(qū)間

1.函數(shù)/(x)=/+2辦+1在區(qū)間[-2,+8)上遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(—°°,—2]B.[—2,2]C.D.[2,+oo)

2.若函數(shù)/(x)=d-皿+10在(-2,-1)上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.[2,+oo)B.[—2,+8)C.D.2]

3.若函數(shù)=d-mx+10在(-2T)上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.[2,+oo)B.[—2,+8)C.(―°°，2]D.(-

4.(多選題)已知函數(shù)〃x)=d-2x的定義域?yàn)閇a,可，值域?yàn)閇T3],貝同-a的可能的

取值是()

A.1B.2C.3D.4

五：函數(shù)最值的實(shí)際應(yīng)用

1.如圖所示是函數(shù)y=〃x）的圖象，圖中曲線與直線無限接近但是永不相交，則以下

描述正確的是（）

A.函數(shù)的定義域?yàn)閇T4）

B.函數(shù)“X）的值域?yàn)閇。,5]

C.此函數(shù)在定義域中不單調(diào)

D.對(duì)于任意的ye[0,zo）,都有唯一的自變量無與之對(duì)應(yīng)

2.若/（尤）是偶函數(shù)，且對(duì)任意不馬@（0，+8）且玉都有—一"“）＜0,則下列

x2-x1

3.向一個(gè)圓臺(tái)形的容器（如圖所示）中倒水，且任意相等的時(shí)間間隔內(nèi)所倒的水體積相

等,記容器內(nèi)水面的高度y隨時(shí)間/變化的函數(shù)為＞=/?）,則以下函數(shù)圖象中,可能是

y=/⑺的圖象的是（）.

4.（23-24高一上.全國(guó).課后作業(yè)）一水池有2個(gè)進(jìn)水口，1個(gè)出水口，進(jìn)出水速度如

圖甲、乙所示.某天0點(diǎn)到6點(diǎn),該水池的蓄水量如圖丙所示（至少打開一個(gè)水口）.

給出以下4個(gè)論斷，其中正確的是（）

A.0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水

B.3點(diǎn)到4點(diǎn)不進(jìn)水只出水

C.3點(diǎn)到4點(diǎn)只有一個(gè)進(jìn)水口進(jìn)水

D.4點(diǎn)到6點(diǎn)不進(jìn)水也不出水

答案

-：圖象法求單調(diào)區(qū)間

1.根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)圖象可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：（0,2）.

故選：c.

2.函數(shù)/(x)=+2x—尤2的定義域需要滿足3+2x——20,解得了(?定義域?yàn)?

因?yàn)閥=3+2x-d在［-U］上單調(diào)遞增，所以/(?=j3+2x-f在上單調(diào)遞增,

故選：D.

3.函數(shù)y=/(尤)的圖象在區(qū)間(-3,-1)和(1,4)是下降的，在區(qū)間(-5,-3)和(-1』)是上升的,

故該函數(shù)的減區(qū)間為(-3,-1),(1,4).

故選：C.

22

4.y=x+—,取苫=二(無>0),x=&

XX

故答案為(0,0］

-：函數(shù)單調(diào)性的判斷

1.對(duì)于A,函數(shù)分別在(-8,1)及［L+8)上單調(diào)遞增，

但存在％e(0,1),使/(%)>7?(1),故A不符合題意；

對(duì)于C,函數(shù)分別在(-叫1)及(1，+向上單調(diào)遞增，

但存在演>1,使占)</⑴，故C不符合題意；

對(duì)于。，函數(shù)分別在(-8,0)及(0,+8)上單調(diào)遞減，

但存在%=-1,尤2=1，使/(m)<)(々)，故。不符合題意;

只有8完全符合增函數(shù)的定義，具有單調(diào)性.

故選:A

2.解：函數(shù)y=-2x是R上的減函數(shù)，

2

函數(shù)了=1在區(qū)間（f,0）上單調(diào)遞減,

函數(shù),=國(guó)在區(qū)間（-00,0）單調(diào)遞減.

函數(shù)y=-尤2在區(qū)間（F,o）單調(diào)遞增，

所以A,B,C符合要求；D項(xiàng)不符合要求.

故選：ABC.

f%x20

3.解：選項(xiàng)A,y=N=<',當(dāng)無<0時(shí)單調(diào)遞減，不符合題意；

選項(xiàng)8,顯然在R上是增函數(shù)，符合題意；

選項(xiàng)C,y=N,當(dāng)x<0時(shí)單調(diào)遞減，不符合題意；

選項(xiàng)。，作出草圖如下，實(shí)線部分，觀察圖象可得函數(shù)在R上為增函數(shù)，符合題意.

故選：BD

4.對(duì)于A中，函數(shù)y=g在（0,+e）上單調(diào)遞減，所以A不符合題意;

對(duì)于B中，函數(shù)y=Y-2x在（0,1］上單調(diào)遞減，（1,+8）單調(diào)遞增，所以B符合題意；

對(duì)于C中，函數(shù)y=l-x在（0,+8）上單調(diào)遞減，所以C不符合題意；

對(duì)于D中，x>0時(shí)函數(shù)丁=|乂-1=尤-1在（0,+8）上單調(diào)遞減，所以D符合題意.

故選：D.

三：證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性

1.因?yàn)閷?duì)任意X1,x2G（0,+oo）,當(dāng)占<%時(shí)，都有〃%）</（%）,所以“X）在（0,+<?）上為增函

數(shù),

A選項(xiàng)，〃x）=（x-l）2在（L+8）上為增函數(shù)，不符合題意.

B選項(xiàng)，=：在（0,y）上為減函數(shù)，不符合題意.

C選項(xiàng)，/（x）=x+l在（（）,+?））上為增函數(shù)，符合題意.

D選項(xiàng)，=在（L+8）上為增函數(shù)，不符合題意.

故選：c.

2.因?yàn)槭?1在［2,3］上單調(diào)遞增，且y>。恒成立，

可知函數(shù)>=三在［2,3］上單調(diào)遞減，

x+1

當(dāng)x=3時(shí)，y=1,所以函數(shù)在［2,3］上的最小值為:

2x+1z

故選：B.

3.選項(xiàng)A：y=-（x-l）2,開口向下，對(duì)稱軸為x=l,所以函數(shù)在區(qū)間口，+8）上為減函數(shù)，故選

項(xiàng)A錯(cuò)誤；

卜一］x1

選項(xiàng)B：y=|%"l|=<J所以函數(shù)在區(qū)間［1，+向上為增函數(shù)，故選項(xiàng)B正確；

\—x+Lx<1

選項(xiàng)c：丁=士可以看作由函數(shù)y=T向左平移一個(gè)單位得到，所以函數(shù)在區(qū)間［1，+8）上為減

函數(shù)，故選項(xiàng)c錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：y=-（x+l）2,開口向下，對(duì)稱軸為x=—l,所以函數(shù)在區(qū)間［1，+8）上為減函數(shù)，故選

項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選:B.

4.對(duì)于AB：函數(shù)滿足〃0）<〃1）,或特值并不具有任意性，

所以區(qū)間端點(diǎn)值的大小關(guān)系并不能確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，故A,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：區(qū)間［0』和［1,2］有交集，故函數(shù)在區(qū)間［0,2］內(nèi)單調(diào)遞增，故C正確，

對(duì)于D：區(qū)間［0』和。,2］沒有交集，故不能確定函數(shù)在區(qū)間［0,2］內(nèi)的單調(diào)性.

/、fx+l,0<X<l「r/r/、/、

例如〃X）=,,在［0,1］和（1,2］上遞增，但/。）=2>1=/（2）,故D錯(cuò)誤.

故選：C.

四：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

1.由4+3%——wo可得犬w—1且

3

因?yàn)?gt;=4+3x-Y開口向下，其對(duì)稱軸為％=

所以y=4+3x-尤2的減區(qū)間為■|,41和（4,+oo）

所以y=7-T~r的單調(diào)增區(qū)間為K，4］和（4,"）

4+3x-xL27

故選：C

2.由8+2了一尤2\0,得/一2x—8W0,解得一2WxW4,

令/'=8+2x—x?,則y=〃，

因?yàn)?8+2一./在-2,1］上遞增，在［1,4］上遞減，而》=〃在［0,+8)上遞增,

所以/(無)在上遞增，在［1,4］上遞減，

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是［-2,1］,

故選：D

3.解：因?yàn)?(X)=-—+2x=-(x-iy+1,對(duì)稱軸為x=l,又開口向下,

又xe(-2,3),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-2再.

故答案為：(-2,1］

4.小尸-4小3=卜」4尤+34°,

八，11［X2+4X+3,X<0

由圖象可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為［-2,0),(2,+“)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,-2),［0,2).

五：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

-a>l

1.解：由題意可得,。<0,解得-2VaV-l,

1+2。+52-。

???整數(shù)〃的取值可以為-2.

故選：A

2.函數(shù)y=f+(2a—l)x+l的對(duì)稱軸為x=

由題意可知-竺解得

22

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是［-鞏-

故選：B.

3.由題意知2?！?<0,解得

故選：D

4.為R上的減函數(shù)，r.xWl時(shí)，/(x)遞減，即0-3<0,①，x>l時(shí)，遞減,

即°>0,②且(°一3)xl+5N牛，③聯(lián)立①②③解得，0<。42.

故選：C.

六：利用單調(diào)性比較大小或解不等式

1.“X)在R上單調(diào)遞增，/(2m-3)>/(-m),;.2m-3>—m,解得：m>\,

二?實(shí)數(shù)加的取值范圍為(I+8).

故選：C.

2.解：由題意，可知：

???對(duì)任意的制，x2且都有|/(X，)-f(X2)](X7-X2)>0成立，

J函數(shù)/(%)在定義域R上為增函數(shù).

又'?/(N+l)>/(m2-m-1)對(duì)x￡R恒成立，

.*.x2+l>m2-m-1,

m2-m-1<1,

即：m2-m-2<0.

解得-1〈根V2.

故選：A.

3.解：函數(shù)在區(qū)間A上單調(diào)遞增，則任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)。,人￡A,1-人與/(〃)-/修)應(yīng)該同

號(hào)，所以卜>0,

"aa-b”3

故選：C.

4.由題意，函數(shù)/(X)在(ro,+℃)上為減函數(shù).

當(dāng)a=0時(shí)，a=2a,a2+a=aa2=a

則〃a)=〃2a),f(a2+a)=f(a),/(/)=〃“)，故ACD錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)?+j>0,所以片+1>°,

所以了(/+1)<〃4),故B正確；

對(duì)于E,因?yàn)槠?1-24=(4-1)220,所以故E正確.

故選：BE.

函數(shù)的最大(小)值

利用圖象求函數(shù)最值

???函數(shù)是偶函數(shù)，而且在［0,7］上為增函數(shù)，

???函數(shù)在［-7,0］上是減函數(shù).

又???函數(shù)在x=7和x=-7的左邊是增函數(shù)，右邊是減函數(shù)，且f(7)=f(-7),

???最大值為f(7)=f(-7)=6.

故選B.

2.試題分析：由圖觀察可知函數(shù)尸/(X)在［-2河和［0』上單調(diào)遞增，在［L2］上單調(diào)

遞減.

所以函數(shù)N=在處取的最大值為"1)=2.

又由圖觀察可知〃一2)<〃2),所以函數(shù)y=的最小值為〃-2).故C正確.

3.由題意，函數(shù)=f-?+8表示開口向上，且對(duì)稱軸為x=2的拋物線,

要使得當(dāng)xe口㈤，函數(shù)的最大值為/(。)，則滿足2|印-2］且。>1,

解得心3,所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是B+8).

故選D.

4.由題：、=合=三/=1+鼻，函數(shù)在(-8,1)單調(diào)遞減，在(L+?)單調(diào)遞減,

9

可以看成函數(shù)y=4向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，作出圖象:

X

所以函數(shù)在(-?，。)遞減，在［2,5)遞減，x=O,y=-l,x=2,y=3,x=5,y=-,

所以函數(shù)的值域?yàn)?/p>

3

故答案為：(-1,1)U(5,3]

二：利用單調(diào)性求函數(shù)最值

Ly=一1在［2,3］上單調(diào)遞減，所以x=3時(shí)取最小值為3，

故選：B.

2.函數(shù)=：在區(qū)間［L2］是減函數(shù)，

所以x=l時(shí)有最大值為1,即A=l,

x=2