§1.4基本不等式

【考試要求】1.了解基本不等式的推導過程2會用基本不等式解決簡單的最值問題3理解基

本不等式在實際問題中的應用.

■落實主干知識

【知識梳理】

1.基本不等式：

(1)基本不等式成立的條件：公>0,b>0.

⑵等號成立的條件：當且僅當f"時，等號成立.

(3)其中皇叫做正數(shù)公力的算術(shù)平均數(shù)，板叫做正數(shù)小少的幾何平均數(shù).

2.幾個重要的不等式

(\]g2-\-b2^2ab(ch〃￡R).

(2/+￡》2(。，力同號).

(3)岫(〃,R).

(4)“針m'b￡R).

以上不等式等號成立的條件均為a=b.

3.利用基本不等式求最值

⑴已知X,〉，都是正數(shù)，如果積孫等于定值P,那么當/=)，時，和工十)，有最小值2肝.

(2)已知x,1y都是正數(shù)，如果和x+y等于定值S,那么當尸)，時，積xy有最大值扣.

注意：利用不等式求最值應滿足三個條件“一正、二定、三相等”.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)不等式"Wp宇》與旃W皇等號成立的條件是相同的.(X)

(2?=x+：的最小值是2.(X)

(3)若x>0,>>0且x+)，=xy,則孫的最小值為4.(J)

(4)函數(shù))，=sinx+\ix￡(0,今的最小值為4.(X)

【教材改編題】

1.已知Q2,則x+士的最小值是()

A.1B.2C.272D.4

答案D

解析Vx>2,

???x+-k;=x-2+」7+222、/(x-2)—^7+2=4,

x—2x—2\lv2

當且僅當工一2=±,即x=3時，等號成立.

2.(多選)若a,b￡R,則下列不等式成立的是()

A2+杉2

ab

一標+后

B.abW-一

a+bv

答案BC

解析當%0時，A不成立；

當c由<0時，D不成立.

3.若把總長為20m的籬色圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是

答案25

解析設矩形的一邊為xm,面積為

則另一邊為:X(20—2x)=(10—x)m,

其中0<E10,

八,x+(10一工)工

??y=x(10-x)W------乙z------2=25,

當且僅當x=10—x,即x=5時，等號成立，

,,5fmax=25,

即矩形場地的最大面積是25mL

■探究核心題型

題型一利用基本不等式求最值

命題點I配湊法

例1（1）（2022?長沙模擬）設0vx<3，則函數(shù)y=4x（3—2x）的最大值為（）

9

-4

4

B.

9D.

Ac.-9

2

答案C

lr+3-Zr

解析y=4.?3-2x)=22第(3—2x)W2」22=2-

當且僅當2r=3—",即時取等號,

39

--

42

29

⑵若大可，則府）=3x+l+#二5有（）

A.最大值0B.最小值9

C.最大值一3D.最小值一3

答案C

2

解析：1<5，A3x-2<0,

9

AX)=3A-2+T—T+3

9

.(2f)+=不+3

<-24(2-3分++3=-3.

9I

當且僅當2—3尸.,即尸一？時取“=

（3）（2022?天津模擬）函數(shù)），="坐土義。>-1）的最小值為.

人IJL

答案9

解析因為x>—1,則x+1>0,

[(x+l)+4][(x+l)+l]

所以y=x+l

Q+1)2+5(X+1)+4

4

=(工+1)+干+5

沁小+l島+5=9,

17'|7

=3(]+歷+而-622寸(]+)，).田一6

=12-6=6,

12

當且僅當3（1+），）=*,即>=1,%=3時取等號，

所以x+3y的最小值為6.

延伸探究本例條件不變，求孫的最大值.

解方法一9—xy=A+3yj?2\（3xy,

.\9—xy^2\l3xy,

令而，=z,

"O,

???9一尸22島

即尸+2小f—9W0,

解得OuW小，

1?yJ^W幣,

當且僅當工=3y,即x=3,），=1時取等號，的最大值為3.

亡才一??9-3），

方法—,X—1+,?

9—3y9廠3）?

??^=7+77=-1+7

-3?+十+156+1）—12

y+1

12/12

=-3。，+1)—田f+15W—2y3()，+1>百，+15=3.

當且僅當3（），+1）=：1言2，即y=l,x=3時取等號.

，孫的最大值為3.

【教師備選】

1.（2022?哈爾濱模擬）已知x>0,y>0,且2v+8y-xy=0,如當x+v取得最小值時，y等于（）

A.16B.6C.18D.12

答案B

解析因為x>0,.v>02t+8.y=xy,

所以泮=1,

所以x+y=(x+y)停+§=10+y+^

8y

>10+■f=10+2X4=18,

2r8y

=x=12

當且僅當,即時取等號,

2r+8y-xy=0,LV=6

所以當x+y取得最小值時，y=6.

2.已知函數(shù)yu)=U(x<—1),貝ij()

A.yu)有最小值4

B.人幻有最小值一4

c.yu)有最大值4

D.yu)有最大值一4

答案A

—f-f—1+1

解析—RT=F-

=_(l+&=_(x+1+$-2)

=_("+1+—:+1)+2。

因為xv—1,所以x+l〈0,—(x+l)>0,

所以4x)223+2=4,

當且僅當一(x+l)=_/1八即.1=一2時，等號成立.

故八丫)有最小值4.

思維升華⑴前提：“一正”“二定”“三相等”.

(2)要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的杉式，然后再利用基本不等式.

(3)條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“I”代

換的方法；三是消元法.

2

跟蹤訓練1(1)已知函數(shù)貝2A>1),則/(x)的最小值為

答案I

解析V2.r>l,

人大)=嵩+/=—+]_；+3

x—

15

---

22

3

時

即

-取44

當且僅當一4=4一E，2

x~2

.\/U）的最小值為.

（2）（2022.襄陽模擬）若實數(shù)0,昌且x+2y=3,則士+壬7的最小值為________-

乙.11Z）1

答案4

解析令x—I=my2y—1=n,

則m>0,〃>0且m-\-n=x-1+2y—1=1,

?一^+'J+，

x-12y-lnin

=（5+加+〃）

=2+>念2+2=4,

當且僅當士=即片，目時取“=”.

ftlfl4

???一4+17的最小值為4.

X—12y—I

題型二基本不等式的常見變形應用

例4（1）（2022?寧波模擬）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世

西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這?原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形

實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點尸在半圓。上，點C在直徑人8上，

且。凡LAB,設AC=〃，BC=。，則該圖形可以完成的無字證明為（）

h>0)

B.a2~\-b2^2\[ab(a>0?Z?0)

Cr^j-^-\[ab(a>0,b>0)

a+b一甘十接

D.^-^yl—2—(a>0,b>0)

答案D

解析由圖形可知，0F=；A8=：（a+〃），

OC=2（a-^b）—b=2（a—b）?

在RtZkOC廠中，由勾股定理可得，

CF=、/管售5=、/如+的，

■:CF20F,

:.13（42+匕2）+〃）3>（）,/?>0）.

⑵（2022?廣州模擬）已知0<fl<Lb>\,則下列不等式中成立的是（

?.4ab

C.424+2b2V2y[al)

D.々+*42。2+2〃

答案D

解析對于選項A,因為0<〃<1,b>\.

所以(a+〃>=/+2ab+b2>4ab,故選項A錯誤;

?22ab

對于選項B,業(yè)山>口=干,故選項B錯誤;

a+b

對于選項C,yj2（cr4-b2）^2X2ab=2y[ab,

故選項C錯誤；

222

對于選項D,2〃+2b>a+lab+/=5+b）t

所以〃+從?2層+2〃,故選項D正確.

【教師備選】

若〃.bWR.日勿>0.則下列不等式中.恒成立的是（）

A.cr~\-lr>2ab

B.a+b，2\[Hh

^1.12

%+Z福

D.a-4-bv^2

答案D

解析/+/22曲，所以A錯誤；

岫>0,只能說明兩實數(shù)同號，同為正數(shù)，或同為負數(shù),

所以當〃<0,〃<（）時，B錯誤；同時C錯誤；

彳或5都是正數(shù)，根據(jù)基本不等式求最值，

**岷福2,故D正確.

思維升華基本不等式的常見變形

跟蹤訓練2⑴（2022?浙南名校聯(lián)盟聯(lián)考）已知命題p：a>b>0,命題q：生愛~>（幺/）2,則〃

是夕成立的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析Va>b>0,則cr+b^lab,

:.2（/+//）>/+h2+2ab,

:.2（a2+b2）>（a+b）2,

.?羋（聆

???由〃可推出q,

當t?<0,h<0時，命題q成立,

如a=—1,力=—3時，&藍=5）^^卜4,

:,由，/推不出p,

:?［）是q成立的充分不必要條件.

⑵（2022?漳州質(zhì)檢）已知〃，〃為互不相等的正實數(shù)，則下列四個式子中最大的是（）

A.磊B-+1

a+bab

答案B

解析???〃，》為互不相等的正實數(shù),

.1.12

中網(wǎng)病

2212

a+匕2\[abyfeihy[abf

/2FTI2

\1西尸\1前=前不'

???最大的是5+￡

題型三基本不等式的實際應用

例5小王于年初用50萬元購買了一輛大貨車，第一年因繳納各種費用需支出6萬元，從第

二年起，每年都比上一年增加支出2萬元，假定該車每年的運輸收入均為25萬元.小王在該

車運輸累計收入超過總支出后，考慮將大貨車作為二手主出售，若該車在第x年年底出售，

其銷售價格為(25—x)萬元(國家規(guī)定大貨車的報廢年限為10年).

(1)大貨車運輸?shù)降趲啄昴甑祝撥囘\輸累計收入超過總支出？

(2)在第幾年年底將大貨車出售,能使小王獲得的年平均利潤最大？(利潤=累計收入+銷售收

入一總支出)

解(1)設大貨車運輸?shù)降趚年年底，

該車運輸累計收入與總支出的差為y萬元，

則)，=25x-[6x+Mx-l)]-50=-f+20x-50(0oW10,xGN*),

由一?+2(比-50>0,可得10—5小。:“10.

因為2<10-5<2<3,

所以大貨車運輸?shù)降?年年底，該車運輸累計收入超過總支出.

(2)因為利潤=累計收入+銷售收入一總支出，

所以二手車出售后，

小王的年平均利潤為世等立=19-G+§)忘19-2#=9,當且僅當工=§,即x=5時，

等號成立，

所以小王應當在第5年年底將大貨車出售，能使小王獲得的年平均利潤最大.

【教師備選】

某高級中學高二年級部為了更好的督促本年級學生養(yǎng)成節(jié)約用水、珍惜糧食、愛護公物的良

好習慣，現(xiàn)要設計如圖所示的一張矩形宣傳海報，該海報含有大小相等的左中右三個矩形欄

目，這三欄的面積之和為60000cn?,四周空白的寬度為iocm,欄與欄之間的中縫空白的

寬度為5cm.怎樣確定矩形欄目高與寬的尺寸，能使整個矩形海報面積最小，其最小值是

cm.

DDD

答案726(X)

解析設矩形欄目的高為icm,寬為bcm,

由題意可得3而=60000,

onnnn

所以?！?2()000,即方==^,

所以該海報的高為3+20)cm,

寬為(38+10X2+5X2)cm,即(38+30)cm,

所以整個矩形海報面積

S=(。+20)(3/?+30)=3岫+30。+60〃+6()0

=30(a+2b)+60600=30(Q+^^)+60600230X27q.^^+60600

=30X400+60600=72600,

當且僅當。="詈，即。=200時等號成立，

所以當廣告欄目的高為200cm,寬為100cm時，能使整個矩形海報面積最小，其最小值是

72600cm2.

思維升華利用基本不等式求解實際問題時，要根據(jù)實際問題，設出變量，注意變量應滿足

實際意義，抽象出目標函數(shù)的表達式，建立數(shù)學模型，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.

跟蹤訓練3網(wǎng)店和實體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未來一段時期內(nèi)，成為商業(yè)的一個主

要發(fā)展方向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2021年10月起開展網(wǎng)絡銷售與實體店體驗

安裝結(jié)合的銷售模式.根據(jù)幾個月運營發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷量x萬件與投入實體店體驗安裝的

2

費用/萬元之間滿足函數(shù)關(guān)系式工=3一方y(tǒng).已知網(wǎng)店每月固定的各種費用支出為3萬元，產(chǎn)

品每1萬件進貨價格為32萬元，若每件產(chǎn)品的售價定為“進貨價的150%”與“平均每件產(chǎn)

品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司最大月利潤是萬元.

答案37.5

解析由題意知f=占一1(14<3),設該公司的月利潤為)，萬元，貝)，=(32X150%-()x

一3么一3一/=I6x-^-3=16A—^：+1-3=45.5-16(3—幻+^；］忘45.5—2/=37.5,

當且僅當工=手時取等號，

即最大月利潤為37.5萬元.

拓展視野

柯西不等式

柯西不等式是法國著名的數(shù)學家、物理學家、天文學家柯西（Cauchy1789—1857）發(fā)現(xiàn)的，

故命名為柯西不等式.柯尚不等式是數(shù)學中一個非常重要的不等式，除了用柯西不等式來證

明一些不等式成立外，柯國不等式還常用于選擇、填空求最值的問題中，借助柯西不等式的

技巧可以達到事半功倍的效果.

1.（柯西不等式的代數(shù)形式）設a,b,c,d均為實數(shù)，則（/+尻）（/+不）2（"+n/）2,

當且僅當〃d=兒時，等號成立.

推廣一般情形：設ai,S,…，如，bi,歷，…，b,￡R,

則（由+質(zhì)-f---卜渝（濟+虎+…+區(qū)）》（a1b[+a亦24---卜岫*

（當且僅當"=0（i=l,2,…，〃）或存在一個實數(shù)使得a="Mi=l,2,…，〃）時，等號成立）.

2.（柯西不等式的向量形式）設明少為平面上的兩個向量，則|“叨|2|”明，當且僅當4是零向

量，或存在實數(shù)k,使夕=小時，等號成立.

3.（柯西不等式的三角不等式）設為,yi,刈，”，口，力為任意實數(shù)，則：

73-也）2+。1一）'2）2+、（12一萬）2+。2-”）2

R3一冷產(chǎn)+⑴一"A.

一、利用柯西不等式求最值

例1已知X,y滿足x+3y=4,則4/+產(chǎn)的最小值為.

答案§

解析（x+3），）2W（4f+）丹Q+9）,

464

所以4.r+3?2>16X-=—,

當且僅當y=12x時，等號成立，

64

所以4_?+9的最小值為記.

例2己知正實數(shù)X,y,Z滿足f+V+z2=l,正實數(shù)小〃，C?滿足廿+護+/=9,貝！"+

by+cz的最大值為.

答案3

解析（奴++cz）2W（a2—〃+。2）.（.V2+y2+Z?）=9,

:.av+by-}-czW3,

當且僅當a=3x,b=3ytc=3z時取“=”，

:.ar+〃y+cz的最大值為3.

例3函數(shù)y=5d￡7+Y10—2x的最大值為.

答案6V5

解析）2=（5代=1+5三）2=（5mzzT+也?小二^）2＜（52+2）。-1+5一?=108,當且僅

當x=W時等號成立，???yW6/i

二、利用柯西不等式證明不等式

例4已知0,6，小，治為正實數(shù)，求證：（41力+〃2岳＞魯+穹》（。1+42）2.

證明（0加+。2歷）（胃+骨

=［的而2+（倔時（\怦+（強

小麗戲+阮霏

=3l+〃2）2.

當且僅當仇=力2時，等號成立.

例5已知內(nèi)，”2,…，為都是實數(shù)，求證：

+。2~1------ha”）2Wa++&d-----1?居.

證明根據(jù)柯西不等式，有（12七］2十…+］2）（司+出_|---卜瀚Xdl+1X42T卜IX〃〃）2,

〃個

所以1+〃2H-----Fa”）2W3+本-Ii■后.

課時精練

q基礎(chǔ)保分練

1.下列函數(shù)中，最小值為2的是（）

C.y=er+e--r

D.y=logvc+logv3(0<x<1)

答案C

2

解析當K〈0時，y=x+;<0,故A錯誤;

A

產(chǎn)3=^4

當且僅當4帝+2=1

即f=-i時取等號,

故B錯誤；

y=e'+”22#”七=2,

當且僅當ev=e

即x=0時取等號，故C正確;

當x￡（O,l）時，y=log^<0,故D錯誤.

2.（2021?新高考全國I）已知R,乃是橢圓C：/+?=1的兩個焦點，點M在C上，則IMFiHMF,

的最大值為()

A.13B.12C.9D.6

答案C

解析由橢圓C：

得|MR|+|MB|=2X3=6,

則IMQHME區(qū)（"焊竺32=32=9,當且僅當|MR|=|MF2l=3時等號成立.

3.（2022?蘇州模擬）若a,b是正常數(shù)，aWb,x,y￡（0,+~）,則f+今夏普，當且僅

xyX\y

當時取等號.利用以上結(jié)論，函數(shù)於）一+這-，/（0,取得最小值時X的值為（）

AyA1-￡X\乙，

A5B-4C.1D.|

答案A

294Q

解析於）

、(2+3)2

^2AH-1-2X=25,

231

當且僅當安=1丁，即工="時等號成立.

Lx1—2x）

4.（2022?重慶模擬）已知x>2,y>l,—2）。-1）=已則彳+y的最小值是（）

A.1B.4

C.7D.3+亞

答案C

解析VA>2,y>l,(x-2)(y-l)=4,

，x+y=（x—2）+（y-1）+32

2，（工一2）°，-1）+3=7,

（x=4

當且僅當/時等號成立.

〔尸3

5.已知不等式。+），）@+腎》9對任意正實數(shù)x,），恒成立，則正實數(shù)。的最小值為（）

A.2B.4C.6D.8

答案B

解析已知不等式（x+y旺+需9對任意正實數(shù)X,），恒成立，只要求a+y）（瀉）的最小值

大于或等于9,

,??（x+y）G+f）=i+a+沾

當且僅當時，等號成立，

.,?。+23+129,

工/22或/W—4（舍去），工。2%

即正實數(shù)。的最小值為4.

6.（2022?湖南五市十校聯(lián)考）原油作為“工業(yè)血液”“黑色黃金”，其價格的波動牽動著整個

化工產(chǎn)業(yè)甚至世界經(jīng)濟.小李在某段時間內(nèi)共加油兩次，這段時間燃油價格有升有降，現(xiàn)小

李有兩種加油方案：第?種方案是每次加油40升，第二種方案是每次加油200元，則下列說

法正確的是（）

A.第一種方案更劃算B.第二種方案更劃算

C.兩種方案一樣D.無法確定

答案B

解析設小李這兩次加油的油價分別為x元/升、），元/升&#），），則

方案一：兩次加油平均價格為

4O.t+4Qyx+yr-

80=

方案二：兩次加油平均價格為

400_2xyf-

200?200=i+y＜、孫'

故無論油價如何起伏，方案二比方案一更劃算.

7.（多選）（2022?重慶渝中區(qū)模擬）已知正實數(shù)”，。滿足a＞0,匕＞0,且a+b=L則下列不等

式成立的有（）

A.2"+2》225B.a2+b2<l

C.鴻<4D.。+%2

答案AB

解析???2"+2峰2?@=24^=2啦，當且僅當時取等號，，A正確;

,?cr+b2<cr4-/72+2ab=(?-F/?)2=1,

AB正確；

州+齊3+錯+*2+/彳

22+2

當且僅當〃=〃時取等號，，C錯誤;

Vtz>0,b>0,a-\~b=1,0<?<1,

??%+%27aq=2,當且僅當a=1時取等號,

???a+!>2,D錯誤.

8.（多選）設GO,b＞（）,則下列不等式中一定成立的是（)

忘cLauf—r

A.22.B百泊7ab

。何沁+人D.(a+b)

答案ACD

解析因為。＞0,b＞0,

當且僅當〃=〃且2屈=總

即［=/?=乎時取等號，故A正確;

因為a+b》2\]7B>0,

所以篝W急=兩，當且僅當4=力時取等號,

故B錯誤;

因為篙W簫=眄當且僅當〃=力時取等號,

(a+*—2ab一2ab

所以a+b-~a7aTb2

2yfab—y[ab=y/ab,當且僅當〃=/?時取等號，

2iJ22IL2

所以:+；即1^2〃+力,故C正確；

因為伍+方）（5+/=2+￡+￡22+2\^1=4,當且僅當1=方時取等號，故D正確.

9.若（KE2,則.日4一『的最大值為.

答案2

解析V0<r<2,

._________y2_|_4—JT

:.x\l4-W='』（4-x2）&~~=2?

當且僅當f=4-f,即1=也時取.

10.（2022?百師聯(lián)盟聯(lián)考）已知”>0,〃>0,且a+2b=2ab,則R?的最小值為,2a+

b的最小值為.

答案21

解析a+2b=2ab,

：?2ab22版^,艮R，力22,

當且僅當。=2乩即。=1,。=2時等號成立，

故ab的最小值為2.

??Z+2b=2",

???2〃+匕=（24+娼@+力

5+引引

*（5+2皿）=合，

當且僅當羽=子，即。=方=,時等號成立，

???2a+b的最小值為宗

11.（2022?郴州模擬）習近平同志提出：鄉(xiāng)村振興，人才是關(guān)鍵，要積極培養(yǎng)本土人才，鼓勵

外出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè).為鼓勵返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，某鎮(zhèn)政府決定投入“創(chuàng)業(yè)資金”和開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培

訓”幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員.預計該鎮(zhèn)政府每年投入的“創(chuàng)業(yè)資金”構(gòu)成一個等差數(shù)列｛“”）（單

位：萬元，〃￡N“），每年開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓”投入的資金為第一年創(chuàng)業(yè)資金m的3倍，已

知質(zhì)十屆=72.則預計該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計總投入資金的最大值為萬元.

答案120

解析由題意得，五年累計總投入資金為

4I+42+43+44+45+5X3〃I=5〃3+15al

=5（。3+30）=10（0+G）,

而1031+42）=107a>+2qs+/

忘1討2（山+質(zhì)）=120,

當且僅當仍=42時等號成立，

.?.預計該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計總投入資金的最大值為120萬元.

12.已知p：存在實數(shù)小使4、+2?！?+1=0成立，若㈱〃是假命題，則實數(shù)加的取值范圍

是.