中考撤號

倍長中線模型鞏固練習(xí)（提優(yōu)）

1.如圖，△/出C為等邊三角形，BD=DE,NBDE=120°,連接CE,尸為C￡的中點，連接。尸并倍長,

連接力。、CG、力G.下列結(jié)論：?CG=DE；DE//BC,則△4③在②的條件下，若CE上

BC,則.其中正確i勺有（）

4①②③都正確8.只有①②正確C.只有②?正確。.只有①③正確

【解答】A

【解析】①???點/是EC的中點，，。/二后凡

圓=翻

=:.△CFGQ4EFDISAS）,

（的=.砂1

???CG=OE,故本選項正確；

@VDE//BC,NBDE=120。,.二/G8O=60。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），

:△48C是等邊三角形，/.ZABC=ZACB=60°,AB=AC,

：?N/1BD=NABC+NGBD=120",ZACG=1^O0-ZACB=120°.AAABD=ZACG

又*：CG=DE,DB=DE,:,BD=CG,

(AB=AC

在△48。與△4CG中，＜NA3D=NACG,二△力8。=△才CG(S/S),

[BD=CG

:/D=AG,NBAD=NCAG,：.ZDAG=6Q°,.:△/QG是等邊三角形，

Z.N/QG=60",，NBDG=NBDH+ZADG=NBDH+60",

又?：NAHB=NBDH+NGBD=NBDH+60",：.NAHB=NGDB(等量代換),

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:?NABH=/GBD,:.△ABH4GBD,故本選項正確:

③如圖所示，過點。作Q0_L4C于點

?:EC工BC,：,DHCE.

又VDE//BC,，四邊形OECQ是矩形，：,CQ=DE.

■:BD=DE,DE=CG,:?CQ=CG,

設(shè)。。二人則在放△800中，由特殊角的三角函數(shù)值求得足＞=

在R/ZXG0Q中，由勾股定理求得5二

由②知△力QG是等邊三角形，則4O=GQ,

綜二所述，正確的結(jié)論是①@③.

2.小明遇到這樣一個問題，如圖1,中，/1B=7,力。=5,點。為4C的中點，求力。的取值范圍.

小明發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長中線法”可以解決這個問題，所謂倍長中線法，就是將三角形的口線延長一倍,

以便構(gòu)造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法，他的做法感如圖2,延長/Q

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到E,使。￡=力。，連接8E,構(gòu)造經(jīng)過推理和計算使問題得到解決

請回答：（1）小明證明△8E。絲2X0。用到的判定定理是：（用字母表示），

（2）AD的取值范圍是：

（3）小明還發(fā)現(xiàn)：倍長中線法最重要的一點就是延長中線一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造.

參考小明思考問題的方法，解決問題：

如圖3,在止方形48CO中，E為邊的中點G、產(chǎn)分別為40,8c邊上的點，若力G=2,BF=4,4GEF

=90°,求G尸的長.

【解答】（1）SAS；（2）1<JD<6；（3）GF=6

（BD=CD

【解析】（1）在△"￡￡）與△04。中，<413DE=4ADC,：.ABED9/\CAD（SAS）；

[ED=AD

（2）*：ABED=^CAD,：,BE=.4C=5,

??78=7,：,2<AE<\2,.\2<2JD<12,.\1</<￡）<6.

（3）延長GE交C4的延長線于點/，如圖所示：

???四邊形/SCO是正方形，：,AD//CM,：,ZAGE=ZM,

（N.A儂=川

在△力￡G和中，4/用￥鬻=/*ER,：.^AEG^/\BEMCAAS）,:.GE=EM,AG=BM=2,

I翻=到您

???M_LMG,:?FG=FM,

*：BF=4,???〃戶=8b+80=2+4=6,:.GF=FM=6.

3.如圖1,在△/14C中，點。是8c的中點，延長力。到點G,使。G=4）,連接CG,可以得到△川%>=△

GCD,這種作輔助線的方法我們通常叫做“倍長中線法”

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4.自主學(xué)習(xí)，學(xué)以致用

先閱讀，再回答問題：如圖1,己知中，力。為中線。延長力。至￡使。.在△從遼)和△EC。

中，AD=DE,NADB=NEDC,BD=CD,所以，△ABD94ECD(SAS),進一步可得到48=C￡,AB//CE

等結(jié)論.

在己知三角形的中線時，我們經(jīng)常用“倍長中線”的輔助線來構(gòu)造全等三角形，并進一步解決一些相關(guān)的

計算或證明題。

解決問題：如圖2,在△48。中，力。是三角形的中線，尸為4。上一點，且8/=4C,連

結(jié)并延長8/交4C于點E,求證：AE=EF

【解答】見解析

【解析】證明：延至點G,使得。尸=。6,連接CG,如圖所示:

??7。是中線，；,BD=DC,

(BD=CD

在/和△COG中，＜4BDF=NCDG,：.4BDF=ACDG,

DF=DG

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:.BF=CG,ZBFD=ZG,

,:NAFE=/BFD,AZAFE=ZG,

,:BF=CG,BF=AC,：.CG=AC,:"G=NCAF,

；?NAFE=NCAF,：.AE=EF.

5.定義：如圖1,在△48C中，把繞點力逆時針旋轉(zhuǎn)。(0"<<><180°)并延長一倍得到力6,把/C

繞點A順時針旋轉(zhuǎn)3并延長一倍得到AC\連接8C.當(dāng)c+3=180°時，稱△/夕(7是△48c的“倍旋三

角形”，△力"C邊"。上的中線.4。叫做△力8。的“倍旋中線”.

特例感知：

(1)如圖1,當(dāng)NB4C=90。，8c=4時，則“倍旋中線”力。長為；如圖2,當(dāng)△//。為等邊三角

形時，“倍旋中線"AD與BC的數(shù)量關(guān)系為；

猜想論證：

(2)在圖3中，當(dāng)△44C為任意三角形時，猜想“倍旋中線”.4。與4c的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.

【解答】(1)=4,AD=BC-,(2)AD=BC,證明見解析

【解析】（1）???N5NC=90。，。+6=180°，???NB】C'=9（T=N8>C,

根據(jù)題意知,AB'=2AB,AC=2AC,

A摩A/V

ABAC

B9AB'

-BCAB=2，:.B'C'=2BC,

在'中，力。是斜邊中線，：.B'C'=2AD,：.AD=BC=^

如圖2,???△49C是等邊三角形,

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：,AB'=AC=B*C',N8NC'=60",

?.7。是△力TC的中線,

...=</8<。=30°=:"C/OLBC，???//。￡=90",

乙乙

：.AD=y/3B,D=y/3x=卑八",

乙/

由題意得/5'=248,AC=2AC,：.AB=AC,4D=、熱43,

由N.&4￥=0)NC4C'=國得乙氏4￡丁=畿臚一3+為一Z號熱，津=12伊.???〃=NC=3(r,

如圖所示，過點、A作AE工BC于點E,：.BC=2BE,

：.BC=2BE=AB,：.AD=BC

(2)AD=BC,

證明：由題意知，AB'=2AB,AC=2AC,延長4。到M,使。連接8'M',CM',：.AM=2AD,

??NQ是△力夕C的中線，:.B'D=CD,

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，四邊形力夕欣:是平行四邊形，."C'=ZTM=2/1C,N8NC'+N/0M=180",

:.NB4C+NB'AC'=180",

；?NBAC=ZAB7M,

.Z8'=2/8,...器=塞=2,???△加CsB'M,二餐=喘=2

：.AM=2BC,：.AD=BC.

6.已知拋物線“=〃：/+厲;+c經(jīng)過力（-1，0）,8（1,0：,一）），點P為拋物線上一動點,

直線沙=-1與〃軸交于點。.

（1）求此拋物線解析式;

（2）如圖1,連結(jié)O尸并倍長至。，試說明在直線=上有且僅有一點M,使ZOM0=9儲

（3）如圖2,連結(jié)PO并延長交拋物線于另一點7,求證：y軸平分NPQT.

【解析】（1）設(shè)拋物線的解析式為4=覆檢+1）0—1），將點。的坐標(biāo)代入解得?一

4

???該拋物線的函數(shù)解析式為沙=

（2）作PM與定直線垂直，垂足為M點，如圖所示:

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2

?：OP=Jt+g產(chǎn)=j,APM=PO=PQ,.-.ZOMQ=90。，

由“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線垂直”可得，”點是唯一的，即以夕為圓心，為半徑的

圓恰好與定直線?/=-1相切于點M，切點