第4節(jié)空間直線、平面的垂直

考試要求從定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直

線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.

知識診斷,基礎(chǔ)夯實(shí)

知識梳理

1.直線與平面垂直

(1)直線和平面垂直的定義

如果直線I與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線/與平面a互相垂

直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

如果一條直線與一個(gè)l-La、

l-Lb

判定定平面內(nèi)的兩條相交直

aC\b=O>=/_Lc

理線垂直，那么該直線4W

aua

與此平面垂直bua)

ab

性質(zhì)定垂直于同一個(gè)平面的aA-a

\^a//b

理兩條直線平行Z7bA-a

2.直線和平面所成的角

(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個(gè)平

面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是鱉；一條直線和平面平

行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0。.

(2)范圍：［2胤

3.二面角

(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.

(2)二面角的平面角

若有①0￡/；②。4UG,OBuB③O4_L/,OBLI,則二面角

a-l-P的平面角是/AO8

(3)二面角的平面角。的范圍：()OWQW18()。.

4.平面與平面垂直

⑴平面與平面垂直的定義

兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個(gè)平面互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

如果一個(gè)平面過另一個(gè)

/lai

判定定理平面的垂線,那么這兩個(gè)朋…￡

平面垂直￡J

兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)

平面內(nèi)有一直線垂直于a邛)

性質(zhì)定理這兩個(gè)平面的交線,那么

ILa

這條直線與另一個(gè)平面LJluBJ

垂直

常用結(jié)論

1.三個(gè)重要結(jié)論

(1)若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.

(2)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(證明線

線垂直的一個(gè)重要方法).

(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.

2.三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化

向zcw士判定定理士判定定理工工工士

線線垂直‘線面垂直三號面面垂直

診斷自測

1.思考辨析(在括號內(nèi)打“J”或“X”)

(1)直線/與平面。內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則/1?()

(2)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行.()

(3)若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面.()

(4)若平面a內(nèi)的一條直線垂直于平面￡內(nèi)的無數(shù)條直線，則。，氏()

答案(i)X(2)X(3)X(4)X

解析(1)直線/與平面。內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則有/J_a或/與。斜交或/u

?；?〃如故(1)錯(cuò)誤.

(2)垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行或相交，故⑵錯(cuò)誤.

⑶若兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線可能垂直于另一平面，也可能與

另一平面平行，也可能與另一平面相交，也可能在另一平面內(nèi)，故(3)錯(cuò)誤.

(4)若平面a內(nèi)的一條直線垂直于平面夕內(nèi)的所有直線，則a，從故(4)錯(cuò)誤.

2.(2022?百校大聯(lián)考)若〃?，〃,/為空間三條不同的直線，a,4，y為空間三個(gè)不

同的平面，則下列為真命題的是()

A.若加則加〃〃

B.若，〃_1_夕，"?〃a,則a_L/?

€\若a_L>,則a〃4

D.若夕Gy=〃，則a〃/?

答案B

解析A中，〃?，〃可能平行，相交或異面;

C中，。與￡可能平行或相交；

D中，a與夕可能平行或相交.故選B.

3.(多選)已知兩條不同的直線/,用和不重合的兩個(gè)平面a,B，且下面四

個(gè)命題正確的是()

A.若機(jī)_L夕，則/〃機(jī)B.若a〃夕，則/_LQ

C.若a_L/?,則/〃aD.若/_L〃?，則心〃外

答案AB

解析對于A,由/_1_人機(jī)_1_夕，可得/〃加，故A正確；

對于B,若/_L//,a〃"，可得/_La,故B正確：

對于C,若LLQ,a邛,則/〃a或/u故C錯(cuò)誤；

對于D,若/_1_夕，IJLm,則〃2〃4或機(jī)u￡,故D錯(cuò)誤.

4.(2021?浙江卷)如圖,已知正方體ABCD-MB\C\D\,M,N

分別是4。，。山的中點(diǎn)，則()

A.直線4。與直線。山垂直，直線MV〃平面A8CO

所以所以B正確；

對于C,由B項(xiàng)可知AE_L平面PCB,因而AC與平面PCB不垂直,

所以ACJ_PB不成立，所以C錯(cuò)誤；

對于D,由B項(xiàng)可知，AEJ_平面PC8,AEu平面AE凡

由面面垂直的判定定理可得平面AE/7,平面PBC,所以D正確.

6.在三棱錐P-ABC中，點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)0.

(1)若PA=PB=PC,則點(diǎn)0是△ABC的心.

(2)若以JL尸8,PB1PC,PCA.PA,則點(diǎn)。是△AB。的心.

答案⑴外⑵垂

解析(1)如圖1,連接。4,OB,OC,0P,

圖1

在RlZ\POA,Rt△尸。8和Rt△尸0C中，PA=PB=PC,所以O(shè)A=OB=。。，即

。為△A3C的外心.

(2)如圖2,延長AO,BO,C。分別交BC,AC,AB于”，D,G.因?yàn)镻C1R1,

PBtPC,PADPB=P,所以PCJ_平面以氏又ABu平面以8,

圖2

所以PC_LAB.因?yàn)镻0_LA8,POCPC=P,所以A8_L平面PGC,又CGu平面

尸GC,所以ABJ_CG,即CG為△A8C邊A8上的高.同理可證8。*”分別為aABC

邊AC,8C上的高，即。為△A8C的垂心.

I考點(diǎn)突破,題型剖析

考點(diǎn)一直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

例1如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，雨，底面ABCD,

ABLAD,ACLCD,N4BC=60。，PA=AB=BC,E是尸C的

中點(diǎn).證明：

(1)CD±4E：

(2)PO_L平面

證明⑴在四棱錐P-ABCD中，

???必上底面ABCD,CDu平面A8CD,

：.PALCD.

VAC±CD,PAQAC=Af

.\CD_L平面PAC.

而AEu平面PAC,：.CD±AE.

(2)由%=A8=BC,ZABC=60°f

可得AC=%.

???七是PC的中點(diǎn)，I.AE1.PC.

由(1)知AE_LCO,且pcnco=c,

：.AE±平面PCD.

而PDu平面PCD,:?AEIPD.

???弘上底面ABCD,：,PAVAB.

ABLAD且必DAO=A,

???A8_L平面力O,而PQu平面而O,

：.AB±PD.

又?.?ABnA￡：=A,???PD_L平面ABE

感悟提升(1)證明線面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性;

③面面垂直的性質(zhì).

(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直，則需借助線面垂直的

性質(zhì).

訓(xùn)練1如圖，在四棱錐產(chǎn)一A8CO中，四邊形ABCQ是矩形,

AMB

平面PADfAD=APfE是尸。的中點(diǎn)，M,N分別在A3,PC上，且MNJ_AB,

MN_LPC.證明：AE//MN.

證明??"8,平面PAD,AEu平面PAD,：.AE1AB.

又A8〃C。，：.AELCD.

VAD=AP,E是PD的中點(diǎn)、,：.AELPD.

又CDCPD=D,CD,PDu平面PCD,

???AE_L平面PCD.

???MNJ_A&AB//CD,:.MNLCD.

又,：MN1PC,PCCCD=C,PC,CDu平面PCD,

.\MN_L平面PCD,：.AE//MN.

[]考點(diǎn)二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

例2(2021?全國乙卷)如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形,

PO_L底面A3CO,M為3c的中點(diǎn)，且尸3_L4M.

(1)證明：平面以M_L平面P8。；

(2)若PD=DC=1,求四棱錐P-ABCD的體積.

⑴證明?.?。。_1平面48。。，AMu平面ABCO,

，尸。_LAM

VPB±AM,且PBCPD=P,PB,PDu平面PBD,

???AM_L平面PBD.

又AMu平面PAM,

J平面以M_L平面PBD.

(2)解I,M為BC的中點(diǎn)，?,.BM=%D.

由題意可知AB=OC=1.

平面P8O,3Z)u平面P8Q,

由N8AM+NM4O=90°,

ZMAD-\-ZADB=90°t

得N84M=NADB,易得

所以器=篇即窣G，得AD"

所以S短彩ABC[)=AD,DC=y[^X1—,\/2?

則四棱錐尸一A8CQ的體積VP-ABCD=^S^ABCD-PD=^Xyf2X1=乎.

感悟提升(1)面面垂直判定的兩種方法與一個(gè)轉(zhuǎn)化

①兩種方法：

⑴面面垂直的定義；

(ii)面面垂直的判定定理夕，〃ua=aJL￡).

②一個(gè)轉(zhuǎn)化：

在已知兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂

線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.

(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用

①兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時(shí)要注意

“平面內(nèi)的直線”.

②兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線垂直于第三個(gè)平面.

訓(xùn)練2如圖，在三棱欄ABC-4BG中，ZACB=ZAAiC=

90°,平面平面ABC.

(1)求證：AAilAiB；?

(2)若A4=2,BC=3,ZAiAC=60°,求點(diǎn)C到平面4A3B的距離.

⑴證明因?yàn)槠矫鍭AGCJ?平面ABC,平面AAiCiCG平面ABC=AC,BC_LAC,

所以BC_L平面A4CC.

又/LAiu平面AAiCiC,

所以BCJ_A4.

因?yàn)镹A4C=90。，所以A4_L4C.

又因?yàn)?CnAiC=C,

所以A4i_L平面AiBC又48u平面AiBC,

所以A4i_L4及

⑵解由(1)可知44JL平面4BC,4Au平面4A8B],

所以平面A山CJ_平面ALABBI,且交線為

所以點(diǎn)C到平面的距離等于△C4山的A山邊上的高，設(shè)其為h.

在RtZXAAiC中，4A=2,NAMC=60。，則4c=2小.

由⑴得BCJ_4C,

所以在中，BC=3,AiB=?,

BCAC656s

7-

故點(diǎn)C到平面A兇8用的距離為耳2

[]考點(diǎn)三平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

例3如圖，在四棱錐P—A3C。中，底面ABC。為矩形，

平面應(yīng)O_L平面ABCD,PALPD,PA=PD,E,F分別

為AO,PB的中點(diǎn).求證：B

(2)平面以B_L平面PCD；

(3)ER〃平面PCD.

證明(1)因?yàn)橐?尸。，E為A。的中點(diǎn)，

所以PE1AD.

因?yàn)榈酌鍭BCO為矩形，所以BC〃A。，

所以PELBC.

(2)因?yàn)榈酌鍭8CO為矩形，所以A8J_AD

又因?yàn)槠矫婷?。_1_平面ABC。，平面B4QA平面A8CQ=AO,A8u平面A8CD,

所以A8J_平面PAD.

又PDu平面MD,所以A8_LPO.

又因?yàn)榍乙訥A8=4,

所以PO_L平面RW.又POu平面PCD,

所以平面R18_L平面PCD.

(3)如圖，取PC中點(diǎn)G,連接尸G,DG.

因?yàn)榉睪分別為P3,PC的中點(diǎn)，

所以FG〃BC,FG=：BC.

因?yàn)?BCD為矩形，且E為4力的中點(diǎn),

所以DE〃BC,DE=^C,

所以O(shè)E〃/G,DE=FG,

所以四邊形。EVG為平行四邊形，

所以E產(chǎn)〃。G

又因?yàn)镋FQ平面PCD,OGu平面PCD,

所以石尸〃平面PCD.

感悟提升三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直

間的轉(zhuǎn)化.求解時(shí)應(yīng)注意垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.如果有平面垂直時(shí)，一般

要用性質(zhì)定理，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步

轉(zhuǎn)化為線線垂直.

訓(xùn)練3如圖，在四棱桂P—A3C。中，底面A3CD是矩形，

點(diǎn)￡在棱PC上(異十點(diǎn)P,Q,平面ABE與棱PD交十點(diǎn)

F.

(1)求證:AB//EF；

(2)若AFLEF,求證：平面外Z)_L平面48CD

證明(1)因?yàn)樗倪呅蜛3CO是矩形，所以A8〃CD

又A8Q平面PDC,CDu平面PDC,

所以〃平面POC.

又因?yàn)锳8u平面ABE,平面A3EA平面尸。。=七尺

所以AB〃EF.

(2)因?yàn)樗倪呅蜛3CQ是矩形，所以A8L4D

因?yàn)?1)中已證43〃上凡

所以又

由點(diǎn)E在棱PC上(異于點(diǎn)C),所以點(diǎn)尸異于點(diǎn)0,

所以AFGAO=A,A凡AOu平面B4。，

所以AB_L平面PAD.

又ABu平面ABCD,

所以平面%DJ_平面ABCD.

微點(diǎn)突破/幾何法求空間角

一、幾何法求線面角

求線面角的三個(gè)步驟：

一作(找)角，二證明，三計(jì)算，其中作(找)角是關(guān)鍵，先找出斜線在平面上的射

影，關(guān)鍵是作垂線，找垂足，然后把線面角轉(zhuǎn)化到三角形中求

解.K

例1如圖，AB是。。的直徑，以垂直于。。所在的平面，C\

是圓周上不同于A,B的一動點(diǎn).

(1)證明：△PBC是直角三角形；

⑵若以=A8=2,旦當(dāng)直線PC與平面A8C所成角的正切值為陋時(shí)，求直線A8

與平面P8C所成角的正弦值.

(1)證明:AB是。。的直徑，。是圓周上不同于A,8的一動點(diǎn).

：.BC±AC.

,..以_L平面ABC,：.PA±BC.

又出AAC=A,%,ACu平面出c,

???BC_L平面附C,：.BC±PC,

???△3PC是直角三角形.

(2)解如圖，過A作A"_LPC于H,

連接BH,

???8C_L平面PAC,

又PCDBC=C,PC,8Cu平面PBC,

???A"J"平面PBC,

???NAB”是直線AB與平面PBC所成的角.

平面ABC,

：.ZPCA是直線PC與平面ABC所成的角,

**?tanNPCA,

又%=2,???AC=g,

，在Rt中，人”=瑞鼻2s

3，

2s

???在RtZ\A8H中，sin^ABH—4z>=~彳~,

At>Z3

故直線AB與平面PBC所成角的正弦值為坐

二、幾何法求二面角

作二面角的平面角的方法：

作二面角的平面角可以用定義法，也可以用垂面法，即在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作

另一個(gè)半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二

面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.

例2如圖，在四棱錐P-A8CD中，四邊形A8CD是邊長為

2的正方形，APBC為正三角形,M,N分別為P。，的

中點(diǎn)，PN1AB.

(1)求三棱銖P-AMN的體積；

(2)求二面角M-AN-D的正切值.

解(1)???P8=PC,???PN1BC,

又?.,PN_LA8,ABCBC=B,

AB,8Cu平面A8CO,

JPALL平面A8az

?；AB=BC=PB=PC=2,M為PD的中點(diǎn),:.PN=/,

VpAMN=VDAMN=VM-ADN,

：.Vp-AMN=^Vp-ADN=^Vp-ABCD=^x|x4X^3=^.

(2)如圖，取。N的中點(diǎn)七，連接ME,

VM,E分別為PD,ON的中點(diǎn)，

：.ME//PN.

*：PN上平面ABCD,：.M￡JL平面ABCD.

過上作￡QJ_AN,連接MQ,

又ME_LAN,EQCME=E,

???AN_L平面MEQ,??.ANJ_MQ,

NMQE即為二面角M-AN—。的平面角,

ME

tanZMQE=~T^.

?；PN=?：.ME=^,

?：AN=DN=琳,AQ=2,

.O￡_1X2X2,2^5

??。￡一2*-5*

tanZMQE=^^.

即該二面角的正切值為手.

I分層訓(xùn)練,鞏固提升

A級基礎(chǔ)鞏固

1.（2021?北京豐臺區(qū)二模）已知a,yy是三個(gè)不同的平面，a,方是兩條不同的直

線，下列命題中正確的是（）

A.若a_Ly,則a〃6

13.若a_La,Z?±a,則a〃A

C.若a〃a,b//a,則〃〃/?

D.若Q〃Q,〃〃夕，則a〃￡

答案B

解析A中，若。_!_y，S_L》，a,￡可能相交也可能平行，錯(cuò)誤；

B中，a_La,/?±?,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可判斷?！?。，正確；

C中，若Q〃a,b//a,a,b的位置不定，錯(cuò)誤；

D中，若?！╝,a//p,a,夕可能相交也可能平行，錯(cuò)誤.

2.（2022?廣州一模）已知a,夕是兩個(gè)不同的平面，/,〃?，〃是三條不同的直線，下

列條件中，可以得到LLa的是（）

A./±/zz,mua,nua

B./±/n,m//a

C.〃_L￡,///B

D./〃加,mA-a

答案D

解析對于A,/_L〃z,/_!_〃，mu。，〃ut,則/與a相交、平行或/ua,故A

錯(cuò)誤；

對于B,ILn,m〃a,則/與a相交、平行或/u。，故B錯(cuò)誤;

對于C,a，｝l/邛，則/與a相交、平行或/uo,故C錯(cuò)誤；

對于D,l〃m,mla,則/_La,故D正確.

3.在正方體中，E,尸分別為A8,8C的中點(diǎn)，則E尸與平面

A8CO所成角的正切值為（）

A.2B.\/2C.JD.-^

答案D

解析如圖，取BC的中點(diǎn)。，連接OE,OF,

???丁是的中點(diǎn),

JOF〃B\B,

???尸。_1_平面ABCD,

???/尸E。是E尸與平面ABC。所成的角.

設(shè)正方體的棱長為2,則回0=1,EO=C

：.EF與平面ABCD所成的角的正切值為乎.

4.如圖，在斜三棱柱ABC-4BG中，NBAC=90。，BCxLAC,

則G在底面ABC上的射影H必在（）

A.直線A8上B.直線8c‘上

C.直線AC上D./XABC內(nèi)部

答案A

解析由ACAC±BCi,

得AC_L平面ABCi.

因?yàn)锳Cu平面ABC,

所以平面ABCiJ■平面ABC,

所以G在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上.

5.（多選）（2021?南京二模）在正方體A3C￡）—4BiGDi中，設(shè)M為3c的中點(diǎn)，則

下列說法不正確的是（）

A.AM±BD

B.4M〃平面CCiDiD

C.A\M±AB\

平面ABGQi

答案ABD

解析如圖，在正方體ABCQ—4BC0I中，%_____C|

對于A,假設(shè)4M_L3Z）,因?yàn)?A_L平面A8CQ,所以\為/

又AiAG4M=4,所以8。_1_平面4AM,所以8D_LAM.而留義

BDLAC,所以AM〃4C,顯然不正確，故A不正確；然論物

AB

對于B,假設(shè)4M〃平面CGDiD,因?yàn)槠矫鍭MCOiA平面,AiM

Q平面CGQ。，所以4例〃COi.因?yàn)锳山〃CG,所以顯然不正確，

故B不正確；

對于C,因?yàn)镸3_L平面AGHA,所以.又43_LA8i,A\BQBM=B,

所以A3i_L平面A歸M,所以故C正確；

對于D,假設(shè)4M_L平面A5GD1,因?yàn)?Q_LAOi,4O_LA&且A3n4Oi=A,

所以4Q_L平面ABGDi,所以4M〃4O,顯然不成立，故D不正確.

6.（多選）（2021?廣州調(diào)分）如圖，在長方體45co—ABQOi中,44i力—尹

=AB=4,BC=2,M,N分別為棱GOi,CG的中點(diǎn)，則（）R

A.4,W,N,B四點(diǎn)共面J/\

B.平面平面CDDiCi/Z/

C.直線BN與ByM所成的角為60°8c

D.8N〃平面AZ）M

答案BC

解析如圖所示，對于A中，直線AM,8N是異面直線，故A,勺___R

M,N,B四點(diǎn)不共面，故A錯(cuò)誤;

對于B中，在長方體A8CD-4囪CQi中，可得4O_L平面CODiC,所以平面

AOM_L平面CODiG,故B正確；

對于C中，取CD的中點(diǎn)O,連接B。，ON,則所以直線BN與B、M

所成的角為NNBO.易知三角形8ON為等邊三角形，所以NNBO=60。，故C正

確；

對于D中，因?yàn)锽N〃平面AAiOQ,顯然BN與平面4OM不平行，故D錯(cuò)誤.

7.已知平面a,0和直線m,給出以下條件：(l)/n〃a；(2)mXa；(3)〃?ua；(4)aJL￡；

(5)a〃夕，當(dāng)條件成立時(shí)，有〃7〃夕；當(dāng)條件成立時(shí)，有機(jī)_1_4(填

所選條件的序號)

答案(3)(5)(2)(5)

解析根據(jù)面面平行的特征可得，若〃?u。，a〃B、則小〃口；

根據(jù)線面垂直以及面面平行的特征可得，

若小_L%a////,則〃2_1_夕.

8.如圖，三棱柱ABC—48iCi的底面是邊長為2小的正三角形,A4i=3,A4]_LAC,

。為41G的中點(diǎn)，BD=3小,則二面角4—AC—8的正切值為.

答案f

解析取AC的中點(diǎn)E,連接EO,EB.

???。為4G的中點(diǎn)，

△ABC是邊長為2小的正三角形，

???OE=AAi=3,BE=3,DEVAC,BEVAC,

；?/BED為二面角4-AC-B的平面角.

在/\BED中,DE=3,BE=3,BD=3逐

???由余弦定理得

/32+32—（3s）21

cosZBED=---八/r、」----=—z,

；?NBED=120。,，tanNBED=一小.

9.如圖，在直三棱柱ABC—A131a中，側(cè)棱長為2,AC=BC=\f

ZACB=90°,。是4Bi的中點(diǎn)，R是3田上的罰點(diǎn)，ABi,DF交.網(wǎng)]

于點(diǎn)E,要使人囪，平面。。凡則線段的長為________.

A：D8)

答案!

解析設(shè)B\F=x,

因?yàn)锳6i_L平面C\DF,。尸u平面CiDF,

所以

由已知可得45=也，

設(shè)RtAA4iB!斜邊上的高為/?,

則DE斗.

又/X2X#=；X八/2?十(也)2,

所以"=￥，DE=*.

在RtADBiE中，^吐]惇)一曲=乎.

由△8O/7的面積相等得;乎X,得x=1.

10.如圖，平面A8CQ_L平面48E,且四邊形A8CD為正方形，1V

AE=2AB=2,NBAE=60。,尸為AC的中點(diǎn).

(1)求證：4C_L平面3￡BA'

(2)求直線AD與平面ACE所成的角的正弦值.

(1)證明因?yàn)锳E=2A8=2,/BAE=60。,

由余弦定理得

BE=y/AB2-l-AE2-2ABAEcos60°=小,

所以AB2+BE2=AE2,所以3EJ_AB.

由于平面ABC。J_平面ABE,且兩個(gè)平面相交于AB,

所以BEA.平面A8C。，所以BEA.AC.

又因?yàn)锳C_LBF,BECBF=B,BE,BFu平面BEF,

所以ACJ?平面BEF.

I萬

⑵解根據(jù)V。-ACE=VE-4cz),S^\cD=yAC=yfi,EA=EC=2,貝45屈點(diǎn)=2.

因?yàn)閂b一ACE=%—Aco,設(shè)。到平面ACE的距離為/?,

則/S“CEJ?=/S“CDBE,

解得〃=理.

設(shè)直線4。與平面ACE所成的角為仇

mil.zj__!1__正1

則sm0—A。一7?

、陽

所以直線4。與平面ACE所成的角的正弦值為與1

11.如圖，在四棱錐P—A8C。中，底面A3CO為四邊形，4ABD太

是功長為2的正三角形,3CJ_CD,BC=CD,PDLAB,平面PBD1./：V\

平面ABCD.

(1)求證：PD_L平面ABCD；卜----Q

(2)若二面角C-PB-D的平面角的余弦值為*,求PD的長.

⑴證明如圖所示，E為BO的中點(diǎn)，連接AE,ZXAB。是正三太

角形，貝/：V\

???平面戶")，平面ABCD,平面尸aon平面ABCD=BD,AEu/^\^c

平面ABCD,

故AEJ_平面PBD.

?.?2。(=平面尸8。，故AEIP。.

?；PDLAB,AEOAB=AtAE,ABu平面ABCD,

故尸。_L平面ABCD

⑵解如圖所示，過點(diǎn)E作￡/口_尸8于點(diǎn)F,連接CE

VBC±CP,BC=CD,￡為8。的中點(diǎn)，故EC1BD,

故EC±平面PBD,：.CE1.PB.

又EFLPB,??.P8_L平面CEA

:.CF1PB,

故NE7P為二面角C-P8-。的平面角.

VcosZEFC=6，

故tanNER7=小，又EC=1,故EF=g

J

EF1

sinNPBQ=M=號，lan/PBO=w，

匕HJZ

即D^LJ^=5Z，則PO=1.

B級能力提升

12.（多選）（2021?新高考II卷）如圖,在正方體中，。為底面的中心，尸為所在棱的

中點(diǎn)，M,N為正方體的頂點(diǎn)，則滿足MNJ_。尸的是（）

答案BC

解析設(shè)正方體的棱長為2.

對于A,如圖（1）所示，連接AC,貝ijMN〃AC,故NPOC（或其補(bǔ)角）為異面直線

OP,MN所成的角.在直角三角形OPC中，OC=啦，CP=1,故tanNPOC=g

=乎，故MN_LOP不成立，故A錯(cuò)誤；

圖⑴

對于B,如圖（2）所示，取M7的中點(diǎn)為Q,連接PQ,OQ,則OQ工MN,PQLMN,

所以"ML平面OP。，又OPu平面OPQ,故MN_LOP,故B正確；

圖⑵

對于C,如圖（3）,連接BD,則BD〃MN,由B的判斷可得OP_L3￡>,故OPIMN,

故C正確；

圖⑶

對于D,如圖（4）,取A。的中點(diǎn)Q,的中點(diǎn)K,連接AC,PQ,OQ,PK,

OK,則AC〃MN.因?yàn)镈P=PC,故尸?！ˋC,故PQ1/MN、所以NQP。（或其補(bǔ)

角）為異面直線尸O,所成的角.

因?yàn)檎襟w的棱長為2,故PQ=%C=?OQ=ylAO2-^-AQ2=y[TT2=yf3,P0

=y/PK2+OK2=^4+1=y/5,QO^P^+OP2,故NQPO不是直角，故PO,MN

不垂直，故D錯(cuò)誤.

13.（多選）（2022?海南模擬）棱長為1的正方體ABCD—AIBICQ中,E,F,G分別

是A3,BC,田。的中點(diǎn).下列說法正確的是（）

A.P點(diǎn)在直線上運(yùn)動時(shí)，三棱錐A-DiPC體積不變

B.Q點(diǎn)在直線Eb上運(yùn)動時(shí)，直線GQ始終與平面A4GC平行

C.平面BiBOl,平面ACDi