專題2.7函數(shù)與方程(舉一反三講義)

【全國通用】

題型歸納

【題型1函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷】....................................................................2

【題型2求函數(shù)的零點或零點個數(shù)】....................................................................3

【題型3根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)】....................................................................3

【題型4根據(jù)函數(shù)零點的分布范圍求參數(shù)】.............................................................3

【題型5求零點的和】..................................................................................4

【題型6復(fù)合函數(shù)的零點問題】.........................................................................4

【題型7用二分法求方程的近似解】....................................................................5

【題型8函數(shù)零點的大小與范圍問題】..................................................................6

1、函數(shù)與方程

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

函數(shù)的零點問題是高考?？嫉闹攸c、

2023年新課標I卷：第15題，

⑴理解函數(shù)的零點與方熱點內(nèi)容，從近幾年的高考形勢來看，一

5分

程的解的聯(lián)系般以選擇題與填空題的形式出現(xiàn)；函數(shù)與

2024年新課標H卷：第6題，

(2)理解函數(shù)零點存在定方程的綜合應(yīng)用也是歷年高考的?個熱

5分

理，并能簡單應(yīng)用點內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)，通過分析函

2025年天津卷：第7題，5分

(3)了解用二分法求方程數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象研究函數(shù)的零點

2025年上海卷：第21題，18

的近似解或方程的根的分布、個數(shù)等，題目難度較

分

大，一般出現(xiàn)在壓軸題位置.

知識梳理

知識點1確定函數(shù)零點所在區(qū)間的方法

1.確定函數(shù)人2的零點所在區(qū)間的常用方法

(1)利用函數(shù)零點存在性定理:首先看函數(shù)y=/(x)在區(qū)間口⑸上的圖象是否連續(xù)，再看是否有人4)?貿(mào)6)<0.若

有，則函數(shù)尸鞏1)在區(qū)間(4⑼內(nèi)必有零點.

(2)數(shù)形結(jié)合法:若一個函數(shù)(或方程)由兩個初等函數(shù)的和(或差)構(gòu)成，則可考慮用圖象法求解，如/(X尸g(x)

-h(x),作出?尸g(x)和y=h(x)的圖象，其交點的橫坐標即為函數(shù)f(x)的零點.

知識點2函數(shù)的零點個數(shù)和求參問題

1/10

1.函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法

函數(shù)零點個數(shù)的判定有下列幾種方法：

(1)直接法:直接求零點，令/(x)=0,如果能求出解，那么有幾個解就有幾個零點.

(2)零點存在定理:利用該定理不僅要求函數(shù)在口力]上是連續(xù)不斷的曲線，且還必須結(jié)合函數(shù)的

圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個零點.

(3)圖象法:畫兩個函數(shù)圖象，看其交點的個數(shù)有幾個，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同

的零點.

⑷性質(zhì)法:利用函數(shù)性質(zhì)，若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點個數(shù)不難得到；若所考查的函數(shù)是周期函數(shù),

則只需解決在一個周期內(nèi)的零點的個數(shù).

2.已知函數(shù)零點求參數(shù)的方法

⑴已知函數(shù)的零點求參數(shù)的一般方法

①直接法：直接求方程的根，構(gòu)建方程(不等式)求參數(shù)；

②數(shù)形結(jié)合法:將函數(shù)的解析式或者方程進行適當(dāng)?shù)淖冃?，把函?shù)的零點或方程的根的問題轉(zhuǎn)化為兩個熟

悉的函數(shù)圖象的交點問題，再結(jié)合圖象求參數(shù)的取值范圍：

③分離參數(shù)法:分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來求解.

⑵已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍的方法

已知函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點問題，需準確畫出

兩個函數(shù)的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數(shù)范圍.

知識點3嵌套函數(shù)的零點問題

1.嵌套函數(shù)的零點問題的解題策略

函數(shù)的零點是命題的熱點，常與函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)問題交匯.對于嵌套函數(shù)的零點，通常先“換元解套”，

設(shè)中間函數(shù)為通過換元將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個相對簡單的函數(shù)，借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解.

舉一反三

【題型1函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷】

【例1】(2025?天津?高考真題)函數(shù)/(%)=0.3、-返的零點所在區(qū)間是()

A.(0,0.3)B.(0.3,0.5)C.(0.5,1)D.(1,2)

【變式(2025?河北滄州?二模)函數(shù)/■(%)=2"+1改一1的零點所在的區(qū)間為()

A.(嗚)B.(i,l)C,(1,1)D.(1,2)

【變式1-2】(2025?廣東?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/V)=4-Q)",那么在下列區(qū)間中含有函數(shù)/■(%)零點的是()

A.(0,1)B,(*)C.(pl)D.(1,+8)

【變式1-3](24-25高二下?云南?期中)函數(shù)/'(%)=?+4*-6的零點所在區(qū)間為()

A.(0,1)B.(pl)C.(1,/D.信2)

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【題型2求函數(shù)的零點或零點個數(shù)】

【例2】(2025?山東青島?二模)函數(shù)/(無)=談一以。>0,aHl)的零點為()

A.0B.IC.(1,0)D.a

【變式2-1](24-25高三上?江西撫州?階段練習(xí))函數(shù)/■(>)="-f+華產(chǎn)的零點個數(shù)為()

(-2x-3,x<0

A.I個B.2個C.3個D.4個

【變式2-2](2025?陜西西安?模擬預(yù)測)已知函數(shù)7?Q)=lnx,則函數(shù)y=/VQ))的零點為()

A.1B.0C.eD.y/e

【變式2-3](24-25高一下?甘肅平?jīng)?開學(xué)考試)設(shè)定義域為R的函數(shù)/?(%)=[(：]：)，則關(guān)于》的

(|lnx|,x>0

函數(shù)y=f2W-3/(x)+2的零點的個數(shù)為()

A.4B.5C.6D.7

【題型3根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)】

【例3】(2025?陜西西安?一模)已知函數(shù)/(%)=｛；*'：；；，9(%)=/(%)+2%-m,若g(%)有一個零點，

則m的取值范圍是()

A.(-co,1]B.(-oo,1)C.[1,+co)D.(1,+co)

【變式3-1](2025?湖南婁底?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=g(x)=[f(x)]2-t/(x)(tG/?),若關(guān)于x

的方程0(工)=3-F有3個不同的實數(shù)根，則實數(shù)t的取值范圍是()

A.(-2,2)B.(V3,2)C.(-2,-V3)D.(2,+8)

(|log2^|,0<x<4

【變式3-2】(2025?湖南?二模)若函數(shù)/(力=22-4.1>4與直線y=Q恰有三個交點，則。的取值

XZX十JL,XN1

范圍是()

A.[1,2]B.(1,2)C.(1,2]D.[1,2)

【變式3-3](24-25高二下?內(nèi)蒙古烏蘭察布期中)已知函數(shù)/W=若函數(shù)9(%)=/(%)-

log.Cx+1)恰有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍為()

【題型4根據(jù)函數(shù)零點的分布范圍求參數(shù)】

【例4】(2025?遼寧撫順?模擬預(yù)測)函數(shù)/?(%)=依-4+川(w2>在區(qū)間口,4)內(nèi)有零點，則實數(shù)憶的取值范圍

為()

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A.[-4,1)B.(-4,1]C.[-1,4)D.(-1,4]

【變式4-1](2025?陜西西安?模擬預(yù)測)若函數(shù)f(x)=lgx+t在(1,10)上有零點，則￡的取值范圍為()

A.(-10,0)B.(一點,。)C.(0,1)D.(-1,0)

【變式4-2](24?25高一上?河南開封?期末)已知%°是函數(shù)fG)=lnx-：的零點，且與￡伏水+1),keZ,

則仁()

A.3B.2C.1D.0

【變式4-3](2025?四川巴中?一模)若函數(shù)f(%)=2a/+3%-1在區(qū)間(-1,1)內(nèi)恰有一個零點,則實數(shù)。

的取值集合為()

A.{a|-1<a<2}B.[a\a=—，或—1<Q<2}.

C.{a|-1<a<2}D.{a\a=-3或一1<a<2}.

【題型5求零點的和】

【例5】(2025甘肅張掖?模擬預(yù)測)函數(shù)/(%)=?G-1)-%-1的所有零點之和為()

A.0B.-1C.V3D.2

X3

【變式5-1](2024?貴州六盤水?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(%)=2+%g(x)=log2x+x,/i(x)=x+x的零點分

別為a,b,c,則a+匕+c=()

A.0B.2C.4D.6

【變式5-2](2025?山東?模擬預(yù)測)函數(shù)/'(x)=ex與函數(shù)或無)■的圖象所有交點的橫坐標之和為()

X—1

A.-In2B.In2C.0D.1

【變式5-3X2025?四川綿陽?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=段:9(%)=%-3,方程/'(gQ))=-3-g(x)

\11lyXj人x**v/f

有兩個不同的根，分別是％1，0,則X1+X2=()

A.0B.3C.6D.9

【題型6復(fù)合函數(shù)的零點問題】

【例6】(2025?山東臨沂?三模)已知函數(shù)/(幻=，_若函數(shù)丫=/(外劃)有8個零點，則實

xXIZQX,X￡U

數(shù)a的取值范圍為()

A.a>1B.a<0C.-1<a<0D.a<-1

【變式6-1】(2025?貴州畢節(jié)?一模)已知函數(shù)/?(%)=[一必；2：+*：&(),則函數(shù)y=[f(%)]2-5f(x)+6

I11OAT11入>U

4/10

的零點個數(shù)為()

A.5B.6C.7D.8

fex4-2,x<0

【變式6-2](2025?安徽池州?二模)己知函數(shù)八幻=丫4，工,若產(chǎn)(%)-(a+2)/(%)+2a=0有4

人,f人/

I1?Xu

個互不相同的根，則a的取值范圍為()

A.(2,3)B.(2,3]C.(3,+8)D.[3,+8)

【變式6-3](24-25高一上?河北邯鄲?期木)八%)為定義在”上的偶函數(shù)，當(dāng)XNU時，/(無)=

卜sin(9),04*<1,^(x)=1_|2x_lh若函數(shù)F(X)=/(g(x))-Q有4個零點，則實數(shù)Q的取值范圍為

(3?2~x+1-l,x>1

()

A.(-1,0)B.(0,2)C.(-1,2)D.(1,2)

【題型7用二分法求方程的近似解】

【例7】(2025?廣東汕頭?模擬預(yù)測)用二分法求函數(shù)/'(幻=1四+2%一6在(2,3)內(nèi)的零點近似值，若精確度

要求為0.1,則需重更相同步驟的次數(shù)至少為()

A.3B.4C.5D.6

【變式7-1](25-26高一上?全國?課后作業(yè))用二分法求函數(shù)y=在區(qū)間[2,4]上零點的近似解，經(jīng)驗證

有/(2"/(4)<0.若給定精確度￡=0.01,取區(qū)間的中點與=竽=3,計算得/(2)?/(與)<0,則此時零

點沏所在的區(qū)間為()

A.(2,3)B.(1,2)C.(0,1)D.(3,4)

【變式7?2】(2025高三下?全國?專題練習(xí))下列函數(shù)圖象與工軸均有交點，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零

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【變式7-3](24-25高一?全國?課后作業(yè))用二分法求方程ln(2x+6)+2=3”的根的近似值時，令/(%)=

ln(2x+6)+2-3S并用計算器得到下表：

X1.001.251.3751.50

fW1.07940.1918-0.3604-0.9989

則由表中的數(shù)據(jù)，可得方程也(2%+6)+2=3丫的一個近似解(誤差不超過0.1)為()

A.1.125B.1.3125C.1.4375D.1.46875

【題型8函數(shù)零點的大小與范圍問題】

【例8】(2025?內(nèi)蒙古赤峰?二模)設(shè)函數(shù)y=的+2%—10,y=2"+2--10,y=logzx+2%-10的零點

分別為db,c,則()

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

【變式8-1】(2025?陜西咸陽?模擬預(yù)測)已知函數(shù)若方程/(x)=a有四個根

%1，孫,%3，X4，且占V%2V%3V%4,則下列說法錯誤的是()

A.Xi+x2=-2B.x3+x4>2

C.XiX2>4D.0<a<1

【變式8-2](24-25高一上?廣東佛山期末)已知函數(shù)/(%)=|lnx+1|-m+2,g(x)=(m+l)|lnx-1|-16.

(1)討論函數(shù)/(>)的零點個數(shù)；

(2)若/'(X)有兩個零點31，%2(%1V%2)，g(x)有兩個零點%3，%4(%3<工4)，求“的取值范圍.

【變式8-3](2025?海南?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/。)=0*-租/(譏6町.

(1)若m=l,判斷并證明f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)“€(0,+8)時，若函數(shù)/(x)有兩個不同的零點XI,x2.

(i)求〃，的取值范圍：

(ii)證明：%i+x2>4.

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過關(guān)測試

一、單選題

1.(2025?湖北十堰?模擬預(yù)測)函數(shù)/(%)=》+Inx-4的零點所在的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

2.(2025?北京昌平?二模)已知函數(shù)/?(%)=%|%-23-。恰有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(—8,—1］B.(—8,—1)u(1,+8)C.(-1,1)D.［1,+8)

3.(2025高一,全國?專題練習(xí))月二分法求方程的近似解，求得/(x)=x3+2%-9的部分函數(shù)值數(shù)據(jù)如表

所示：

X121.51.6251.751.8751.8125

/(X)一63-2.625-1.459-0.141.34180.5793

則當(dāng)精確度為0.1時，方程爐+2丫-9=0的近似解可取為()

A.1.6B.1.7

C.1.8D.1.9

4.(2025?廣西柳州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(X)=言一，若方程八外=上的實數(shù)解恰有兩個，

則實數(shù)k的取值范圍是()

A.k<-4B.-4<k<-3C.k=-4或k3D.k=-4或k之一3

5.12025?浙江?二模)定義在(0,+勸上的函數(shù)/(x)滿足/(B=-/,(%),/Q)=-/(2x),當(dāng)"G口2］時，/(x)=

(x-l)(x-2),則函數(shù)y=/"(%)-：在區(qū)間［1,100］內(nèi)的零點個數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

6.(2025?云南曲靖?一模)已知芍是函數(shù)f(x)=xlnx-2025的零點，次是函數(shù)。(無)=+%-ln2025的

零點，則％1次的值為()

A.—B.短C.V2025D.2025

e2025

7.(2025?北京門頭溝?一模)已知函數(shù)/"(%)=g2一%+田(Q6R),其中團表示不超過》的最大整數(shù)，例

如［2.1］=2,則下列說法正確的是()

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A.不存在Q,使得/?(%)有無數(shù)個零點B./(%)有3個零點的充要條件是Q€(l,+8)

C.存在a,使得f(x)有4個零點D.存在a,使得/?)有5個零點

8.(2025?陜西西安?二模)已知函數(shù)/若函數(shù)ga)=f(x)-血的四個零點從小

到大排列依次為31，%2，%3，%4，則陽+X2+%3+%4的取值范圍為()

A.(-2,+8)B.(-2,1]C.(-2,e+：]D.(0,-2+e+：]

二、多選題

9.(2025?四川達州?模擬預(yù)測)若實數(shù)log2a,log3b都是一次函數(shù)/(%)=ex-1的零點，則下列不等關(guān)系中

可能成立的是()

A.c<a<bB.b<c<a

C.a<c<bD.a<b<c

(|2x+1-l|-l,x<0

10.(2025?新疆省直轄縣級單位?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=i_,g。)=[/(%)]2+a/(x)-

XI1,X>U

1,則()

A./(%)的零點個數(shù)為2B.當(dāng)a=0時，g(x)有2個不同的零點

C.當(dāng)Q<0時，g(x)有4個不同的零點D.Q>0是g(x)有1個零點的充要條件

11.(2025?陜西寶雞?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=Rogzll-％||，若函數(shù)g(x)=/(工)+af(x)+2b行6個不

同的零點，且最小的零點為工=一1,則下列說法正確的是()

A.a=0B.a+b=—1

C.b=-1D.6個零點之和是6

三、填空題

12.(2025?山東?模擬預(yù)測)函數(shù)fGr)=lgx+lga-3)-l的零點為,

(2。25?新疆喀什?模擬預(yù)測)己知函數(shù)加=[J：葭言是奇函數(shù),

13.則函數(shù)gG)=f(x)-抑零點

個數(shù)為______

14.(2025?北京海淀?三模)已知函數(shù)/