19/37第二章圓錐曲線全章復習教學目標1.通過復習理順本章重點知識，如橢圓、雙曲線、拋物線的方程及性質，直線與圓錐曲線的位置關系等.2.能綜合應用本章知識解決綜合性強的問題，如定點、定值、最值及參數(shù)取值范圍等問題.教學重難點1.重點(1)圓錐曲線的性質；(2)直線與圓錐曲線的位置關系.2.難點(1)與圓錐曲線有關的點的軌跡問題.(2)圓錐曲線中的定點、定值、最值、求參數(shù)取值范圍等問題.回顧重點知識知識點01橢圓1．橢圓的定義如果F1，F(xiàn)2是平面內的兩個定點，a是一個常數(shù)，且2a>|F1F2|，則平面內滿足的動點P的軌跡稱為橢圓，其中兩個定點F1，F(xiàn)2稱為橢圓的，兩個焦點之間的距離|F1F2|稱為橢圓的焦距．特別說明：其數(shù)學表達式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)：①若2a＞2c，則集合P為橢圓；②若2a＝2c，則集合P為線段；③若2a＜2c，則集合P為空集．2．橢圓的標準方程與幾何性質標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質范圍_____________________對稱性對稱軸：______；對稱中心：原點頂點A1________，A2_________，B1_________，B2(0，b)A1___________，A2__________，B1__________，B2___________軸長軸A1A2的長為_____；短軸B1B2的長為_____焦距|F1F2|＝____離心率e＝eq\f(c,a)∈______a，b，c間的關系c2＝______知識點02雙曲線1．雙曲線的定義一般地，如果F1，F(xiàn)2是平面內的兩個定點，a是一個正常數(shù)，且2a<|F1F2|，則平面上滿足||PF1|－|PF2||＝_____的動點P的軌跡稱為雙曲線，其中，兩個定點F1，F(xiàn)2稱為雙曲線的_____，兩個焦點的距離|F1F2|稱為雙曲線的_______.特別說明：數(shù)學表達式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.①若a<c，則集合P為雙曲線；②若a＝c，則集合P為兩條射線；③若a>c，則集合P為空集．2．雙曲線的標準方程和幾何性質標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質范圍x≥a或x≤－a，y∈R___________對稱性對稱軸：_____；對稱中心：____頂點A1_______，A2___________A1________，A2________漸近線_________________________離心率e＝____，e∈(1，＋∞)實虛軸實軸：線段A1A2，|A1A2|＝_____虛軸：線段B1B2，|B1B2|=______a，b，c的關系c2＝______3．等軸雙曲線(1)定義：實軸與虛軸______的雙曲線稱為等軸雙曲線，其方程寫作：x2－y2＝λ(λ≠0)．(2)性質：①a＝b；②e＝eq\r(2)；③兩條漸近線y＝±x互相垂直；④等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩焦點距離的等比中項．4．共軛雙曲線（拓展）（1）定義：如果一條雙曲線的實軸和虛軸分別是另一條雙曲線的虛軸和實軸，那么這兩條雙曲線互為共軛雙曲線．（2）性質：①它們有共同的漸近線；②它們的四個焦點共圓；③它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于1．知識點03拋物線1．拋物線的定義一般地，設F是平面內的一個定點，l是不過點F的一條定直線，則平面上到F的距離與到l的距離_____的點的軌跡稱為拋物線，其中定點F稱為拋物線的_____，定直線l稱為拋物線的_____．特別說明：其數(shù)學表達式：{M||MF|＝d}(d為點M到準線l的距離)．2．拋物線的標準方程和幾何性質標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)開口方向向右向左向上向下圖形頂點O(0，0)對稱軸x軸y軸焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準線方程____________________________范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦半徑(其中P(x0，y0)在拋物線上)|PF|＝_______|PF|＝_______|PF|＝_______|PF|＝_______知識點04直線與圓錐曲線的位置關系1．直線與圓錐曲線的位置關系的判斷(1)直線與圓錐曲線的位置關系有_____、_____、_____；相交有兩個交點(特殊情況除外)，相切有一個交點，相離無交點．(2)判斷直線l與圓錐曲線C的位置關系時，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0代入圓錐曲線C的方程．消去y(或x)得到一個關于變量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①當a≠0時，可考慮一元二次方程的判別式Δ，有Δ＞0時，直線l與曲線C____；Δ＝0時，直線l與曲線C_____；Δ＜0時，直線l與曲線C_____．②當a＝0時，即得到一個一次方程，則l與C相交，且只有一個交點，此時，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的_____平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的_____平行或重合．2．圓錐曲線的弦長公式設直線與圓錐曲線的交點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝___________＝________________________或|AB|＝________________＝____________________，k為直線斜率且k≠0.二、熟記重要（二級）結論橢圓中的常用結論：1．焦半徑：橢圓上的點與左（下）焦點與右（上）焦點之間的線段的長度叫做橢圓的焦半徑，分別記作．（1）；（2）；（3）焦半徑中以長軸為端點的焦半徑最大和最小（近日點與遠日點）．2．焦點三角形：橢圓上的點與兩焦點構成的叫做焦點三角形，的面積為，則在橢圓中（1）當為短軸端點時，最大．（2），當時，即點為短軸端點時，取最大值，最大值為．（3）焦點三角形的周長為．3．焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦中以通徑（垂直于長軸的焦點弦）最短，弦長．4．為橢圓的弦，，弦中點，則（1）弦長；（2）直線的斜率．雙曲線中的常用結論：1．雙曲線的焦點到其漸近線的距離為．2．若是雙曲線右支上一點，分別為雙曲線的左、右焦點，則．3．同支的焦點弦中最短的為通徑（過焦點且垂直于長軸的弦），其長為；異支的弦中最短的為實軸，其長為．4．若是雙曲線上不同于實軸兩端點的任意一點，分別為雙曲線的左、右焦點，則，其中為．5．若是雙曲線右支上不同于實軸端點的任意一點，分別為雙曲線的左、右焦點，為內切圓的圓心，則圓心的橫坐標為定值．拋物線中的常用結論：設是過拋物線焦點的弦，若，則（1）；（2），，弦長（為弦的傾斜角）；（3）；（4）以弦為直徑的圓與準線相切；（5）以或為直徑的圓與軸相切；（6）過焦點弦的端點的切線互相垂直且交點在準線上．圓錐曲線的切線方程(1)過橢圓的切線方程為：；(2)過雙曲線的切線方程為：；(3)過.圓錐曲線的切點弦方程(1)橢圓的切點弦方程為；(2)雙曲線的切點弦方程為；(3)的切點弦方程為.說明：上述公式的記憶方法均可用“抄一代一”，即把平方項其中一個照抄，另一個將變量用已知點的相應坐標代入(從曲線上一點作曲線的切線，切線方程可將原方程作如下方法替換求出：，，，.題型01利用圓錐曲線的定義求方程【典例1-1】（24-25高二上·湖北孝感·階段練習）一動圓與圓外切，同時與圓內切，則動圓圓心的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【典例1-2】（24-25高三上·遼寧·期末）已知，，為坐標原點，點是圓上任意一點，點是圓外一點，若，，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．利用圓錐曲線的定義求軌跡方程當點的軌跡符合圓錐曲線的定義時，可以利用定義法求其軌跡方程.其中在用定義法求雙曲線方程時，還應依據(jù)條件辨清是哪一支，還是全部曲線．【變式1-1】（24-25高二上·江西贛州·期中聯(lián)考）已知點，動點在直線上，過點且垂直于軸的直線與線段MF的垂直平分線交于點，記點的軌跡為曲線．則曲線的方程為（

）A． B． C． D．【變式1-2】在平面直角坐標系中，點的坐標為，以線段為直徑的圓與圓相切，則動點P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．題型02利用圓錐曲線定義求距離的最值【典例2-1】已知兩點的坐標分別是，動點到的距離比到直線的距離小，則的最小值為（

）A．4 B．5 C． D．【典例2-2】（24-25高二上·河南鄭州·期中）設是雙曲線上一點，，分別是兩圓：和上的點，則的最大值為.利用圓錐曲線定義破解距離和或差的最值問題1.在遇到橢圓、雙曲線中線段和或的最值問題時，常利用其定義及三角形三邊關系轉化求解，即利用定義將到一焦點的距離化為到另一個焦點的距離，再進一步求解.2.利用拋物線定義可以解決距離的最大和最小問題，該類問題一般情況下都與拋物線的定義有關．實現(xiàn)由點到點的距離與點到直線的距離的轉化．【變式2-1】（24-25高二下·安徽·階段練習）已知橢圓的右焦點為，離心率為．若，點是上的任意一點，則的最大值為（

）A． B．6 C． D．【變式2-2】（25-26高二上·湖南長沙·階段作業(yè)）已知是拋物線的焦點，是拋物線上的一個動點，，則周長的最小值為．題型03圓錐曲線的焦點三角形問題【典例3-1】（24-25高二下·云南曲靖·階段練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率，點為該橢圓上一點，且滿足，若的內切圓的面積為，則的外接圓的面積為（

）A． B． C． D．【典例3-2】（多選）（25-26高三上·四川·開學考試）記雙曲線：的左、右焦點分別為，.若，以為圓心、為半徑的圓與的右支交于，兩點，點為上一點，滿足，則（

）A．的漸近線方程為 B．的面積為3C． D．橢圓、雙曲線中焦點三角形問題的求解策略對于焦點三角形的處理，通常是從以下三個角度入手：（1）橢圓、雙曲線的定義；（2）正、余弦定理；（3）整體思想..【變式3-1】（25-26高三上·河北·開學考試）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，點是這兩條曲線的一個公共點，則（

）A．雙曲線的漸近線方程為 B．C．的面積為 D．【變式3-2】（多選）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點為橢圓上一點，則（

）A．若，則的面積為B．存在點，使得C．若直線交橢圓于另一點，則D．使得為等腰三角形的點共有4個題型04求圓錐曲線的標準方程【典例4-1】已知直線3x-y+6=0經過橢圓=1(a>b>0)的左焦點F1,且與橢圓在第二象限的交點為M,與y軸的交點為N,F2是橢圓的右焦點,且|MN|=|MF2|,則橢圓的方程為()A．=1 B．+y2=1 C．+y2=1 D．=1【典例4-2】已知雙曲線的中心在原點，兩個焦點分別為和，點在雙曲線上，且，的面積為1，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．求標準方程的一般方法：（1）待定系數(shù)法（2）定義法（3）幾何性質法.【變式4-1】已知拋物線C：的焦點為F，為C上一點，且．(1)求p；(2)若點在橢圓T：上，且直線AB與橢圓T相切，求橢圓T的標準方程．【變式4-2】求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)與橢圓有公共焦點，且過點；(2)焦點在y軸上，焦距為8，漸近線斜率為；(3)經過點，且一條漸近線的方程為．題型05圓錐曲線的幾何性質考向1橢圓、雙曲線的離心率問題【典例5-1】（25-26高三上·河北衡水·開學考試）過雙曲線的頂點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂線與軸交于點，若線段的長度等于雙曲線的焦距的一半，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2考向2雙曲線的漸近線問題【典例5-2】（遼寧省大連市部分高中學校2025-2026學年高三上學期適應性演練一數(shù)學試題）已知雙曲線C的離心率為2，焦點在x軸上.圓A的方程為圓A與雙曲線C的一條漸近線l：y=kx(k>0)相切，則a的值為（

）A． B．或 C． D．考向3拋物線的焦點弦問題【典例5-3】（25-26高三上·重慶·開學考試）設為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與交于兩點，為的準線，則（

）A． B．C．以為直徑的圓與相切 D．的面積為考向4圓錐曲線上點的范圍問題【典例5-4】（24-25高二上·甘肅酒泉·期末）設橢圓的右焦點為，過原點的動直線與橢圓交于、兩點，那么的周長的取值范圍為（

）A． B． C． D． 圓錐曲線中的幾何性質問題求解策略1.學習中，要注意橢圓幾何性質的挖掘：(1)橢圓中有兩條對稱軸，“六點”(兩個焦點、四個頂點)，要注意它們之間的位置關系(如焦點在長軸上等)以及相互間的距離(如焦點到相應頂點的距離為a－c)，過焦點垂直于長軸的通徑長等．(2)設橢圓上任意一點P(x，y)，則當x＝0時，|OP|有最小值b，這時，P在短軸端點處；當x＝a時，|OP|有最大值a，這時P在長軸端點處．(3)橢圓上任意一點P(x，y)(y≠0)與兩焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)構成的△PF1F2稱為焦點三角形，其周長為2(a＋c)．(4)橢圓的一個焦點、中心和短軸的一個端點構成直角三角形，其中a是斜邊，a2＝b2＋c2.2．已知雙曲線方程討論其幾何性質，應先將方程化為標準形式，找出對應的a、b，利用c2＝a2＋b2求出c，再按定義找出其焦點、焦距、實軸長、虛軸長、離心率、漸近線方程．3.在解決與拋物線的性質有關的問題時，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點來解題，特別是涉及焦點、頂點、準線的問題更是如此．4.求解有關離心率的問題時，一般并不是直接求出c和a的值，而是根據(jù)題目給出的橢圓的幾何特征，建立關于參數(shù)c、a、b的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍．較多時候利用解題.【變式5-1】如圖，設，分別是橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在點，使得線段的中垂線恰好過焦點，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）

A． B． C． D．【變式5-2】已知雙曲線的方程為，，分別為其左、右焦點，為右支上一點，的平分線交軸于點，則的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．3【變式5-3】（25-26高三上·陜西咸陽·階段練習）已知為拋物線的焦點，為上的兩個動點，則下列命題正確的是（

）A．若點的坐標為，則的最小值為3B．若，則線段的中點到軸的最小距離為2C．若線段的中點的橫坐標為3，則的最大值為8D．若直線過點，則（為坐標原點）的斜率之積為定值題型06直線與圓錐曲線的位置關系【典例6-1】（24-25高二上·江西·期末）直線與橢圓（）的位置關系為（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【典例6-2】點，定義，如圖為雙曲線及漸近線，則關于點、、，下列結論正確的是（

）A． B．C． D．直線與圓錐曲線位置關系的判斷方法1．直線y＝kx＋m與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關系，判斷方法：聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．當Δ>0時，方程有兩解，直線與橢圓相交；當Δ＝0時，方程有一解，直線與橢圓相切；當Δ<0時，方程無解，直線與橢圓相離．2．把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，通過消元后化為ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情況下考察方程的判別式．(1)Δ>0時，直線與雙曲線有兩個不同的公共點．(2)Δ＝0時，直線與雙曲線只有一個公共點．(3)Δ<0時，直線與雙曲線沒有公共點．當a＝0時，此時直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線有一個公共點．3、設直線l：y＝kx＋m，拋物線：y2＝2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.(1)若k≠0，當Δ>0時，直線與拋物線相交，有兩個交點；當Δ＝0時，直線與拋物線相切，有一個交點；當Δ<0時，直線與拋物線相離，沒有公共點．(2)若k＝0，直線與拋物線有一個交點，此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合．【變式6-1】（多選）（24-25高三上·甘肅武威·期末）已知雙曲線的兩個焦點為，，點在雙曲線上，則（

）A．雙曲線的離心率為B．雙曲線的離心率為C．直線與雙曲線只有一個公共點D．直線與雙曲線的左支和右支各有一個交點【變式6-2】（多選）（24-25高二上·山西太原·期末）已知直線l：，拋物線C：，則下列結論正確的是（

）A．直線l過定點B．當時，直線l與拋物線C相切C．當時，直線l與拋物線C有兩個公共點D．當直線l與拋物線C無公共點時，或題型07圓錐曲線中的弦長問題【典例7】若橢圓的弦AB的中點則弦長（

）A．4 B． C．2 D．求圓錐曲線中弦長的方法1.交點法：將直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，求出兩交點的坐標，然后運用兩點間的距離公式來求．2.根與系數(shù)的關系法：如果直線的斜率為k，被圓錐曲線截得弦AB兩端點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長公式為：|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2).3.焦點弦長,利用焦半徑公式求解,如：設過拋物線焦點的弦的端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p.【變式7-1】已知是雙曲線的右頂點，則該雙曲線的一條漸近線被以為圓心且過原點的圓截得的弦長為（

）A． B． C． D．【變式7-2】傾斜角為的直線過拋物線的焦點，且與交于，兩點.(1)求拋物線的準線方程及焦點坐標；(2)求弦長.題型08圓錐曲線的中點弦問題【典例8】（1）過點的直線與橢圓相交于兩點，若為線段的中點，求直線的方程．（2）已知雙曲線，經過點能否作一條直線，使與雙曲線交于，且點是線段的中點？若存在這樣的直線，求出它的方程，若不存在，說明理由．解決圓錐曲線中點弦問題的兩種方法(1)根與系數(shù)關系法：聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程構成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系以及中點坐標公式解決；(2)點差法：利用交點在曲線上，坐標滿足方程，將交點坐標分別代入圓錐曲線方程，然后作差，構造出中點坐標和斜率的關系.(3)橢圓、雙曲線中點弦的斜率公式：①已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的兩個不同的點，M(x0，y0)是線段AB的中點，則kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).=2\*GB3②設為雙曲線弦（不平行軸）的中點，則有kAB＝eq\f(b2x0,a2y0).【變式8-1】（多選）（24-25高三下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）已知為坐標原點，經過點的直線與拋物線交于、兩點，直線是線段的垂直平分線，且與的交點為，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C． D．【變式8-2】已知曲線是平面內到和的距離之和為的點的軌跡．（1）求曲線的方程；（2）斜率為1的直線與曲線相交于點，，弦長，求直線的方程；（3）求斜率為1的直線交曲線的弦的中點的軌跡方程．題型09圓錐曲線的切線、切點弦問題【典例9】（2025·湖南長沙質檢）過拋物線外一點作拋物線的兩條切線，切點分別為，另一直線與拋物線交于點，與直線交于點，求證：(1)點處的切線與直線平行；(2).1.求圓錐曲線的切線方程方法有:(1)判別式法.即設出切線的斜率k，聯(lián)立直線與二次曲線的方程，消元轉化為一元二次方程，通過△=0求出k,從而得切線方程，對于切線的斜率不存在的情形，則一般畫圖觀察求解，此法為通法.(2)切線公式法.常見的切線公式有：①過圓上的點的切線方程為+②橢圓、雙曲線與拋物線的切線方程（見知識預備）(3)幾何性質法.對于圓而言，常利用圓的幾何性質“圓心到切線的距離等于圓的半徑(即d=r)”來速求其切線方程.2.雙切線（切點弦）問題求解策略過圓錐曲線外一點，作圓錐曲線的兩條切線，由此衍生的一系列問題，一般稱之為雙切線問題。這類問題一般的處理步驟是：(1)設切線的斜率為，寫出切線的方程；(2)將切線的方程代入圓錐曲線方程，化簡得出關鍵方程；(3)由方程滿足判別式，建立關于的一元二次方程，兩切線的斜率為方程的兩根；(4)結合韋達定理，計算等，并將之用于其他量的計算?！咀兪?】（24-25高二下·江西南昌·期末）已知曲線和曲線.(1)若曲線上兩個不同點A、B的橫坐標分別為，求證：直線的方程：；(2)若直線與曲線相切，求證：；(3)若曲線上任意點向曲線引兩條切線交于另兩點為，求證：直線與曲線相切.題型10圓錐曲線中的面積問題【典例10-1】設為坐標原點，直線與拋物線交于兩點，與的準線交于點．若，點為的焦點，則與的面積之比為（

）A． B． C． D．【典例10-2】如圖，已知橢圓C：的短軸端點分別為B1，B2，點M是橢圓C上的動點，且不與B1，B2重合，點N滿足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2.（1）求動點N的軌跡方程；（2）求四邊形MB2NB1面積的最大值．圓錐曲線中的面積問題求解策略1.對于三角形的面積問題，常利用以下策略求解：(1)利用弦長公式求出三角形的某條底，再由點到直線的距離公式求高.(2)以三角形被坐標軸所截得的線段為底，則高為|x1-x2|或|y1-y2|2.對于四邊形的面積，則常分割成三角形的面積求解.3．多個圖形面積的關系的轉化：關鍵詞“求同存異”，尋找這些圖形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點，從而可將面積的關系轉化為線段的關系，使得計算得以簡化4.面積的最值問題：通常利用公式將面積轉化為某個變量的函數(shù)，再求解函數(shù)的最值，在尋底找高的過程中，優(yōu)先選擇長度為定值的線段參與運算。這樣可以使函數(shù)解析式較為簡單，便于分析.【變式10-1】已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，點P在C上，的內心為I.若，，的面積滿足，則C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【變式10-2】已知頂點在坐標原點，焦點在坐標軸上的拋物線過點．(1)求拋物線的標準方程及其準線方程；(2)過點作直線交拋物線于另一個交點（在第四象限），設直線的斜率分別為，若，求的面積．題型11圓錐曲線中的最值或范圍問題【典例11-1】若橢圓的左、右焦點分別為、，點P為橢圓C上一動點，則下列說法中不正確的是（

）A．當點P不在x軸上時，的周長是6B．當點P不在x軸上時，面積的最大值為C．存在點P，使D．的取值范圍是求圓錐曲線中最值、范圍問題的方法(1)定義法：利用定義轉化為幾何問題處理．(2)數(shù)形結合法：利用數(shù)與形的結合，挖掘幾何特征，進而求解．(3)函數(shù)法：探求函數(shù)模型，轉化為函數(shù)的最值問題，借助函數(shù)的單調性、基本不等式等求解，注意范圍．【變式11-1】已知F是拋物線的焦點，A，B是拋物線C上不同的兩點，且滿足，設A，B到拋物線C的準線的距離分別為，，則的最大值為（）A． B． C． D．【變式11-2】已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為橢圓上一動點，面積的最大值為2．

(1)求橢圓的方程；(2)若分別是橢圓長軸的左、右端點，動點滿足：，連接交橢圓于點為坐標原點，證明：為定值.(3)若點為圓上的動點，點，求的最小值．題型12圓錐曲線中的向量問題【典例12】已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合．(1)求拋物線的方程；(2)如圖，若過點的直線與拋物線交于不同的兩點A，B，O為坐標原點，證明：．圓錐曲線中的向量問題求解策略(1)建系轉化：設圓錐曲線標準方程，將點坐標化，向量用坐標表示，轉化為代數(shù)問題.(2)利用性質：結合圓錐曲線定義（如橢圓定義）、焦點弦等性質，簡化向量關系。(3)韋達定理：聯(lián)立直線與曲線方程，用韋達定理處理向量數(shù)量積、共線等條件。(4)參數(shù)法：設參數(shù)（如橢圓參數(shù)方程），將向量關系轉化為三角函數(shù)式求解。(5)幾何意義：借助向量幾何意義（如垂直、中點），結合圓錐曲線幾何性質解題。【變式12-1】已知橢圓的離心率為，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形的面積為4．(1)求橢圓的標準方程：(2)記橢圓的左頂點為，右頂點為，過點作不垂直于坐標軸的直線交橢圓于另一點，過點作的垂線，垂足為，且，求直線的方程．【變式12-2】設焦點在軸上的橢圓，，是的右頂點.(1)若離心率，求橢圓的標準方程；(2)在（1）的條件下，橢圓上存在一點，滿足，求；(3)若的中垂線的斜率為2，與交于、兩點，是否存在這樣的橢圓，使得，若存在求的取值，若不存在請說明理由.題型13圓錐曲線中的定點問題【典例13】（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知雙曲線的左頂點為，離心率為3，是上的兩點.(1)求的標準方程；(2)若線段的中點為，求直線的方程；(3)若（不在直線上），證明：直線過定點.直線過定點問題的常見解法(1)用參數(shù)表示出直線的方程，根據(jù)直線方程的特征確定定點的位置．(2)從特殊點入手，先確定定點，再證明該定點符合題目條件．提醒：求出直線方程是判斷直線是否過定點的前提和關鍵．【變式13】已知橢圓的離心率為，長軸長為4，拋物線的焦點F與橢圓C的上頂點重合．(1)求橢圓C和拋物線E的方程；(2)設點M是拋物線E準線上一個動點，過點M作拋物線E的兩條切線，切點分別為A，B．求證：（i）直線AB過定點，并求該定點的坐標；（ii）以線段AB為直徑的圓與拋物線E的準線相切于點M．題型14圓錐曲線中的定值問題【典例14】（2025·福建三明·模擬預測）已知橢圓的左頂點為，上頂點為，離心率為，的面積為．(1)求橢圓的方程；(2)直線（存在且不等于0）與橢圓交于，兩點，直線與軸交于點，直線與直線交于點，判斷是否為定值并證明．圓錐曲線中的定值問題的常見解法(1)從特殊值入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．【變式14】（25-26高三上·廣東湛江·階段練習）在平面直角坐標系中，已知點，，動點滿足，記點的軌跡為.(1)求的方程；(2)若直線與曲線交于，兩點，與曲線的兩條漸近線分別交于，兩點，證明：“，為線段的三等分點”的充要條件是“，兩點的橫坐標之積為”.題型15圓錐曲線中的定直線問題【典例15】已知橢圓，點，分別是橢圓短軸的端點，橢圓的焦點也是拋物線的焦點，且.過點且斜率不為0的直線交橢圓于，兩點.(1)求橢圓的方程；(2)軸上是否存在定點，使得?若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由；(3)若點是定直線上任意一點，求證：三條直線，，的斜率成等差數(shù)列.圓錐曲線中的定直線問題的常見解法圓錐曲線中的定直線問題求解策略，150字以內=1\*GB2⑴特殊探路：取特殊點（如頂點、焦點）或特殊位置直線，求出可能定直線，再驗證一般性.=2\*GB2⑵參數(shù)表達：設含參數(shù)的直線/曲線方程，聯(lián)立后利用韋達定理，消參推導直線方程，確定定直線.=3\*GB2⑶性質關聯(lián)：結合圓錐曲線性質（如橢圓中點弦、拋物線焦點弦），利用向量、斜率關系推導定直線.=4\*GB2⑷極點極線：若問題涉極點與極線，可通過極線方程判定是否為定直線，簡化運算.【變式15】已知拋物線，過點的直線與交于兩點，設為坐標原點，當軸時，的周長為.(1)求拋物線的焦點坐標；(2)若點為拋物線上異于原點的一動點，且直線與直線的交點恒在定直線上.證明：過點與拋物線相切的直線平行于直線.題型16圓錐曲線中的探索性問題【典例16】已知拋物線，斜率為的直線交拋物線于，兩點，且.(1)求拋物線的方程；(2)若動點在拋物線上，為拋物線的焦點，線段的中點為，求點的軌跡方程；(3)試探究:拋物線上是否存在點使得？若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由.圓錐曲線中探索性問題的常見解法=1\*GB2⑴假設存在法：先假設滿足條件的點、直線等存在，設其方程或坐標，代入曲線方程推導，若有解則存在，無解則不存在.=2\*GB2⑵特殊值法：取特殊位置（如對稱軸、頂點）或特殊參數(shù)值，探索可能結論，再驗證一般情況.=3\*GB2⑶代數(shù)推導法：聯(lián)立方程，用韋達定理、判別式等，結合條件（如垂直、中點）列方程，分析解的情況判斷存在性.=4\*GB2⑷幾何直觀法：借助圓錐曲線幾何性質（如對稱性、焦點特性），初步判斷是否存在，再代數(shù)驗證.【變式16-1】已知雙曲線的左頂點為，離心率為，過點作直線與交于，兩點，當直線的斜率為時，的面積為．(1)求雙曲線的標準方程；(2)若，求直線的方程；(3)若直線，分別與直線交于，兩點，試探究在直線上是否存在定點，使得為定值？若存在，求出定點的坐標和定值；若不存在，請說明理由．題型17圓錐曲線的實際應用【典例17】1970年4月24日，我國發(fā)射了自己的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”，從此我國開始了人造衛(wèi)星的新篇章．人造地球衛(wèi)星繞地球運行遵循開普勒行星運動定律：衛(wèi)星在以地球為焦點的橢圓軌道上繞地球運行時，其運行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時間內掃過的面積相等．設橢圓的長軸長、焦距分別為2a，2c，下列結論錯誤的是（

）A．衛(wèi)星向徑的取值范圍是B．衛(wèi)星在左半橢圓弧的運行時間大于其在右半橢圓弧的運行時間C．衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越扁D．衛(wèi)星運行速度在近地點時最大，在遠地點時最小圓錐曲線的實際應用題求解策略(1)建模轉化：分析實際場景（如衛(wèi)星軌道、光學反射），確定圓錐曲線類型（橢圓、拋物線等），建立直角坐標系，設標準方程.(2)數(shù)據(jù)代入：提取題目中幾何量（如長軸、焦距、準線距離），代入方程求參數(shù)，確定曲線方程.(3)問題求解：將實際問題（如距離、位置）轉化為曲線方程中的坐標、距離計算，結合曲線性質（如范圍、對稱性）求解.(4)驗證回歸：檢驗結果是否符合實際意義，確保答案與實際場景一致.【變式17-1】（23-24高一上·江蘇·期中）如圖①，“東方之門”通過簡單的幾何曲線處理，將傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代建筑融為一體，最大程度地傳承了蘇州的歷史文化．如圖②，“門”的內側曲線呈拋物線形，已知其底部寬度為80米，高度為200米．則離地面150米處的水平寬度（即CD的長）為（

）

A．40米 B．30米 C．25米 D．20米【變式17-2】（24-25高二上·北京西城·期末）某地出土一古銅斧文物，如圖，銅斧縱截面左右兩邊呈雙曲線形狀.由于年代久遠，頂部斧刃處兩端有缺口，現(xiàn)小明測得銅斧縱截面最窄處AB寬4cm，底部CD寬5cm，，底部離最窄處垂直高度為3cm，斧高12cm.請利用所學知識，幫小明算算，若原斧刃與AB平行，則其長度為cm.題型18圓錐曲線中的新定義題【典例18】（24-25高二下·上海楊浦·階段練習）在平面直角坐標系中，雙曲線．(1)求的兩條漸近線的夾角；(2)給定點，其中正數(shù)，求上的動點到點的距離的最小值；(3)對平面內不在上的任意一點，記為過點且與有兩個交點的直線的全體．對任意直線，記、為與的兩個交點，定義．若存在一條直線滿足：與的兩個交點位于軸異側，且對任意不同于的直線，均有，則稱為“好點”．求所有“好點”所構成的區(qū)域的面積．圓錐曲線的新定義題求解策略=1\*GB2⑴緊扣新定義，提取核心條件（如距離關系、比例等）；=2\*GB2⑵結合圓錐曲線標準定義（橢圓/雙曲線/拋物線），建立聯(lián)系；=3\*GB2⑶設點坐標，用代數(shù)法（距離公式、坐標代入）轉化條件；=4\*GB2⑷化簡方程，對比標準式確定曲線類型；5.利用幾何性質（焦點、準線等）輔助求解，注意定義域限制.【變式18】（2025·重慶沙坪壩·模擬預測）某同學利用導數(shù)方法求出了過橢圓上一點的切線的方程為.事實上，法國數(shù)學家笛莎格在《圓錐曲線論稿》中給出了這樣的結論：給定一點和一條直線，將點和直線分別稱為橢圓的極點和極線.一般地，當點在橢圓上時，極線為橢圓在點處的切線；當點在橢圓外時，極線為過從點作橢圓的兩條切線的切點的弦所在的直線；當點在橢圓內時，極線在橢圓外且與橢圓沒有公共點.請利用這些結論解決下列問題：(1)已知點和直線分別為橢圓的極點和極線，①求極線的方程；②若為極線上任意一點，過點作橢圓的割線交橢圓于兩點，記所在直線的斜率依次為，求證：.(2)給定橢圓和點，過點作斜率為的直線和橢圓相交于兩點，分別連接交于點，記和軸的交點依次為，，求證：為線段的中點.單選題1．（25-26高二上·全國·單元測試）拋物線的準線方程為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二下·河南洛陽·階段練習）雙曲線的焦點到它的一條漸近線的距離為（

）A．1 B． C．2 D．3．（24-25高一上·重慶·期末）國家體育場（鳥巢），位于北京奧林匹克公園中心區(qū)南部，為2008年北京奧運會的主體育場.某近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個大小不同，扁平程度相同的橢圓，已知小橢圓的短軸長為，長軸長為，大橢圓的長半