22/22第一章直線與圓（高效培優(yōu)單元測(cè)試·提升卷）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若直線的傾斜角是直線的傾斜角的兩倍，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出直線的傾斜角，從而得到直線的傾斜角及斜率，得到.【解析】因?yàn)橹本€的斜率，對(duì)應(yīng)的傾斜角為，由題意可得，直線的傾斜角為，故其斜率，解得，故選：C．2.已知點(diǎn)，則以為直徑的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出圓心，利用兩點(diǎn)間距離公式求出半徑，從而得到圓的方程即可.【解析】設(shè)中點(diǎn)為O，則，即，設(shè)圓半徑為r，則，則以為直徑的圓的方程為.故選：B.3.過(guò)直線與的交點(diǎn)，且一個(gè)方向向量的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用直線的方向向量求出直線的斜率，代入直線的點(diǎn)斜式方程寫(xiě)出直線的方程即可求解.【解析】聯(lián)立，得交點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量，所以直線的斜率為，所以由直線的點(diǎn)斜式方程可得所求直線的方程為，即.故選：A.4.設(shè)集合，，若只含一個(gè)元素，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由兩集合中，點(diǎn)的屬性即可判斷.【解析】集合表示直線上及上側(cè)所有點(diǎn)，集合表示圓心在，半徑為1的圓上所有的點(diǎn)，又與相切，所以若只含一個(gè)元素，則，故選：C．5．“太極圖”形狀如對(duì)稱(chēng)的陰陽(yáng)兩魚(yú)互抱在一起，如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”，圖中所有曲線均為圓或半圓，已知點(diǎn)是陰影部分（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【分析】記，則為直線AP的斜率，數(shù)形結(jié)合即可求出最小值和最大值，從而可得其范圍.【解析】記，則為直線AP的斜率，故當(dāng)直線AP與半圓相切時(shí)，k最小，此時(shí)設(shè)，故，解得或，由圖可知需舍去，故．當(dāng)過(guò)時(shí)，．6.若圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有且僅有2個(gè)，則r的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出圓心到直線的距離，然后結(jié)合圖象，即可得出結(jié)論.【解析】由題意，在圓中，圓心，半徑為，到直線的距離為的點(diǎn)有且僅有個(gè)，∵圓心到直線的距離為：，

故由圖可知，當(dāng)時(shí)，圓上有且僅有一個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)）到直線的距離等于；當(dāng)時(shí)，圓上有且僅有三個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)）到直線的距離等于；當(dāng)則的取值范圍為時(shí)，圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于.故選：B.7．已知圓，設(shè)其與軸?軸正半軸分別交于，兩點(diǎn).已知另一圓的半徑為，且與圓相外切，則的最大值為（

）A．20 B． C．10 D．【答案】A【分析】分析可知，，點(diǎn)的軌跡方程為，整理可得，利用基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】對(duì)于圓，整理可得：，可知圓心為，半徑為，令，則，解得或，即；令，則，解得或，即；因?yàn)榕c相外切，則，可知點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，

則點(diǎn)的軌跡方程為，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為20.故選：A.8.已知圓，直線，為上的動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用圓切線的性質(zhì)推得四點(diǎn)共圓，，從而將轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而確定時(shí)取得最小值，再求得以為直徑的圓的方程，由此利用兩圓相交弦方程的求法即可得解.【解析】因?yàn)閳A可化為，所以圓心，半徑為，因?yàn)槭菆A的兩條切線，則，由圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)共圓，且，，所以，又，所以當(dāng)最小，即時(shí)，取得最小值，此時(shí)的方程為：，即，聯(lián)立，解得，即，所以，中點(diǎn)為，故以為直徑的圓的方程為，即，，又圓，兩圓的方程相減即為直線的方程：.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知直線：與直線：，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．直線與直線可能相交 B．直線與直線可能重合C．直線與直線可能平行 D．直線與直線可能垂直【答案】ABC【分析】根據(jù)給定直線方程寫(xiě)出它們的斜率及對(duì)應(yīng)的一個(gè)點(diǎn)，再對(duì)各選項(xiàng)逐一分析即可判斷作答.【解析】直線：的斜率為，過(guò)定點(diǎn)，直線：斜率為，過(guò)點(diǎn)，若直線與直線相交，則，而，即可以成立，A正確；若直線與直線重合，則，且，而，可以有，B正確；若直線與直線平行，則且，而，可以有，C正確；若直線與直線垂直，則，則，與矛盾，直線與直線不可能垂直，D錯(cuò)誤．故選：ABC10．已知圓方程為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的取值范圍為B．若已知在圓內(nèi)，則C．若，則直線與圓相離D．若，圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的圓方程為【答案】BD【分析】對(duì)于A，給圓的方程配方即可求解；對(duì)于B，根據(jù)點(diǎn)在圓內(nèi)即可列方程；對(duì)于C，比較圓心到直線的距離與半徑的大小即可；對(duì)于D，只需求出圓心關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)即可.【解析】對(duì)于A，圓的方程為，所以，得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋裕蔅正確；對(duì)于C，當(dāng)，時(shí)圓C方程為，此時(shí)圓心C到直線的距離，所以與圓相切，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，可得圓C的方程為，則圓心，半徑為2，設(shè)圓D的方程為，由，對(duì)稱(chēng)圓D方程為即，故D正確.故選：BD.11．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線，曲線就是其中之一，其形狀酷似數(shù)學(xué)符號(hào)“”，設(shè)為曲線上任意一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．曲線與直線有個(gè)公共點(diǎn) B．曲線上任意兩點(diǎn)距離最大值為C．的最大值為 D．曲線所圍成圖形面積為【答案】BCD【分析】聯(lián)立曲線與直線的方程，根據(jù)公共解的個(gè)數(shù)判斷A選項(xiàng)；求出曲線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合可判斷B選項(xiàng)；利用圓的參數(shù)方程結(jié)合三角函數(shù)的有界性可判斷C選項(xiàng)；求出曲線在第一象限的圓弧與軸圍成區(qū)域的面積，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性可計(jì)算判斷D選項(xiàng).【解析】曲線的方程可化為，當(dāng)，時(shí)，曲線的方程可化為，在曲線上任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，因?yàn)?，即點(diǎn)也在曲線上，所以，曲線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，同理可知，曲線關(guān)于軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，作出曲線的圖形如下圖所示：對(duì)于A選項(xiàng)，由，得，所以，即，可得或（舍去），故，所以曲線與直線只有個(gè)公共點(diǎn)，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，在曲線的方程中，令，可得，解得或，所以，曲線交軸于點(diǎn)、、，結(jié)合圖形可知，曲線上任意兩點(diǎn)距離最大值為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)取最大值，則必有，，此時(shí)點(diǎn)必在第一象限或兩坐標(biāo)軸正半軸上，設(shè)，，其中，由可得，所以，所以，因?yàn)?，則，故，故，即的最大值為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)圓的圓心為，該圓的半徑為，因?yàn)?，故是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，所以圓在第一象限的圓弧與軸圍成區(qū)域的面積為，所以曲線所圍成圖形面積為，D對(duì).故選：BCD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知點(diǎn)，線段的垂直平分線在軸上的截距為.【答案】3【分析】依題意，求出線段的中點(diǎn)和它的中垂線斜率，即得垂直平分線方程，即可求得.【解析】直線的斜率為，則線段的垂直平分線的斜率為，線段的中點(diǎn)為，故線段的垂直平分線方程為，令時(shí)，解得，即線段的垂直平分線在軸上的截距為3.13.已知分別為圓與圓上一點(diǎn)，則的最小值為.【答案】2【分析】首先根據(jù)兩個(gè)圓的方程判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系，從而確定點(diǎn)之間距離的最小值.【解析】因?yàn)閳A，圓，所以圓心，圓的半徑為1；圓心，圓的半徑為1.兩圓心之間的距離為，所以?xún)蓤A相離.所以的最小值為.14．如圖所示，第九屆亞洲機(jī)器人錦標(biāo)賽中國(guó)選拔賽永州賽區(qū)中，主辦方設(shè)計(jì)了一個(gè)矩形坐標(biāo)場(chǎng)地（包含邊界和內(nèi)部，為坐標(biāo)原點(diǎn)），長(zhǎng)為10米，在邊上距離點(diǎn)4米的F處放置一只電子狗，在距離點(diǎn)2米的處放置一個(gè)機(jī)器人，機(jī)器人行走速度為，電子狗行走速度為，若電子狗和機(jī)器人在場(chǎng)地內(nèi)沿直線方向同時(shí)到達(dá)場(chǎng)地內(nèi)某點(diǎn)，那么電子狗將被機(jī)器人捕獲，點(diǎn)叫成功點(diǎn)．在這個(gè)矩形場(chǎng)地內(nèi)成功點(diǎn)的軌跡方程是；若為矩形場(chǎng)地邊上的一點(diǎn)，電子狗在線段上總能逃脫，則的取值范圍是.

【答案】，【分析】分別以，為軸，軸建立平面直角坐標(biāo)系，由題意得，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出點(diǎn)的軌跡方程；根據(jù)三角函數(shù)得到臨界值時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可得到的取值范圍.【解析】分別以，為軸，軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)成功點(diǎn)，則，即，化簡(jiǎn)得，因?yàn)辄c(diǎn)在矩形場(chǎng)地內(nèi)，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程是.

當(dāng)與圓相切時(shí)，則有，所以，所以，又，若電子狗在線段上總能逃脫，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍為，所以的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15.（本小題滿(mǎn)分13分）已知直線與直線的交點(diǎn)為，(1)直線經(jīng)過(guò)，且與直線垂直，求直線的方程：(2)直線經(jīng)過(guò)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程.【分析】（1）聯(lián)立兩直線方程解得交點(diǎn)坐標(biāo)，再由垂直關(guān)系可得斜率，利用點(diǎn)斜式方程可得結(jié)果；（2）分別討論截距是否為0，代入點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算可得結(jié)果.【解析】（1）聯(lián)立，解得，即，由與直線垂直可得其斜率為，所以直線的方程為，即.(6分)（2）當(dāng)在兩坐標(biāo)軸上的截距均為0時(shí)，易知此時(shí)方程為；當(dāng)在兩坐標(biāo)軸上的截距不為0時(shí)，可設(shè)直線的方程為，因?yàn)?，且，所以，?0分）故此時(shí)直線的方程為；綜上可知，直線的方程為或.（13分）16．（本小題滿(mǎn)分15分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知的三個(gè)頂點(diǎn).(1)求BC邊所在直線的一般式方程；(2)若的面積等于2，且點(diǎn)在直線上，求點(diǎn)的坐標(biāo).【分析】（1）利用直線方程的點(diǎn)斜式求出方程，再化成一般式即可.（2）利用三角形面積求出點(diǎn)到直線的距離，再結(jié)合已知建立方程組求解.【解析】（1）直線的斜率，直線的方程為，所以BC邊所在直線的一般式方程為.（5分）（2）依題意，，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由的面積等于2，得，解得，（9分）于是，解得或，（14分）所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.（15分）17.（本小題滿(mǎn)分15分）已知圓C：及直線l：．(1)求過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程；(2)找出不論m取什么實(shí)數(shù)時(shí)直線l恒經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，并證明：直線l與圓C恒相交；(3)求直線l被圓C截得的最短弦的長(zhǎng)及此時(shí)的直線方程．【分析】（1）由兩直線垂直求出斜率，再由點(diǎn)斜式求出直線方程可得；（2）將直線方程整理為關(guān)于的方程，再解方程組可得頂點(diǎn)；由定點(diǎn)在圓內(nèi)可證明；（3）弦長(zhǎng)最短時(shí)利用斜率關(guān)系求出斜率，點(diǎn)斜式得到直線方程，再由幾何法求弦長(zhǎng)可得.【解析】（1）由題意可得圓心，由點(diǎn)在圓上，所以設(shè)切線斜率為，則，所以直線方程為，即.（5分）（2）變形為，令，解得，所以直線l恒經(jīng)過(guò)點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以直線l與圓C恒相交.（10分）（3）當(dāng)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，此弦與過(guò)圓心和點(diǎn)所在的直線垂直，設(shè)弦的斜率為，則，弦方程為，即，所以圓心到直線的距離為，所以弦長(zhǎng)為.（15分）18.（本小題滿(mǎn)分17分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓．(1)求圓O與圓C的外公切線的長(zhǎng)；(2)過(guò)圓C上的任意一點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，B，設(shè)．①求的值；②求圓心C到直線AB的距離的取值范圍．【分析】（1）求解兩圓的半徑和圓心，即可根據(jù)外公切線的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理求解，（2）①根據(jù)兩點(diǎn)距離公式，即可代入化簡(jiǎn)求解，②根據(jù)相切求解經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的圓，即可兩圓方程相減得相交弦方程，即可根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求解.【解析】（1）圓心，半徑為,圓心，半徑為，故，所以外公切線長(zhǎng)為．（4分）（2）①設(shè)點(diǎn)，則滿(mǎn)足，得，所以，而，得，所以．（10分）②設(shè)點(diǎn)，以為直徑的圓方程為，即，所以?xún)蓤A的公共弦所在的直線方程為．圓心到直線AB的距離為，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，即，，所以，（14分）設(shè)，且，由對(duì)勾函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，得的最小值為，，,最大值為，所以的取值范圍為．（17分）19．（本小題滿(mǎn)分17分）已知圓以及圓.(1)求過(guò)點(diǎn)（1，2），并經(jīng)過(guò)圓M與圓C的交點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，過(guò)點(diǎn)D作斜率非0的直線，交圓M于P、Q兩點(diǎn).（i）過(guò)點(diǎn)D作與直線l1垂直的直線l2，交圓M于EF兩點(diǎn)，記四邊形EPFQ的面積為S，求S的最大值；（ii）設(shè)B(6，0)，過(guò)原點(diǎn)O的直線OP與BQ相交于點(diǎn)N，試討論點(diǎn)N是否在定直線上，若是，求出該直線方程；若不是，說(shuō)明理由.【分析】（1）聯(lián)立兩圓求交點(diǎn)，根據(jù)幾何法求圓心和半徑，可得答案；（2）（i）由題意設(shè)出直線方程，利用弦長(zhǎng)公式，求得弦長(zhǎng)，利用基本不等式，可得答案；（ii）利用圓與直線的方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，利用兩直