PAGE拓展專題07玩轉(zhuǎn)解析幾何中的切線、切點(diǎn)弦的十大問題考點(diǎn)01圓的切線與切點(diǎn)弦問題（共3小題） 2考點(diǎn)02橢圓的切線與切點(diǎn)弦問題（共4小題） 3考點(diǎn)03雙曲線的切線與切點(diǎn)弦問題（共4小題） 3考點(diǎn)04拋物線的切線與切點(diǎn)弦問題（共4小題） 4考點(diǎn)05兩曲線的公切線問題(共3小題) 5考點(diǎn)06切線、切點(diǎn)弦與離心率的綜合（共3小題） 5考點(diǎn)07切線、切點(diǎn)弦過定點(diǎn)問題（共3小題） 5考點(diǎn)08與切線、切點(diǎn)弦有關(guān)的面積問題（共3小題） 6考點(diǎn)09與切線、切點(diǎn)弦有關(guān)的定值問題（共4小題） 7考點(diǎn)10與切線、切點(diǎn)弦有關(guān)的最值、范圍問題（共5小題） 8【重要方法與結(jié)論】1．二次曲線（圓、圓錐曲線）的切線和切點(diǎn)弦(1)切線方程：過二次曲線（圓、圓錐曲線）Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A、C不全為0)上的點(diǎn)M(x0,y0)的切線的方程為.(2)切點(diǎn)弦方程：當(dāng)M(x0,y0)在曲線外時(shí)，過M可引該二次曲線的兩條切線，過這兩個(gè)切點(diǎn)的弦所在直線的方程為：.上述兩條為一般結(jié)論.特別地：(1)過圓.=2\*GB2⑵橢圓+=1(a>b>0)，其上有一點(diǎn)M(x0,y0)，則過該點(diǎn)作切線得到的切線方程.當(dāng)M在橢圓外時(shí)，過M引兩條切線得到兩個(gè)切點(diǎn)，則過這兩個(gè)切點(diǎn)的直線方程為.=3\*GB2⑶更為一般地，當(dāng)二次曲線有交叉項(xiàng)時(shí)，即形式為Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(B≠0)時(shí)，過點(diǎn)M(x0,y0)有對(duì)應(yīng)的一條直線為；當(dāng)M在原二次曲線上時(shí)，這條直線為過M的切線；當(dāng)M在曲線外時(shí)，過M可引該二次曲線的兩條切線，這條直線為過這兩個(gè)切點(diǎn)的弦的直線.2．圓錐曲線的切線和切點(diǎn)弦的相關(guān)結(jié)論切線方程：(1)過圓上任意一點(diǎn)的切線方程為.(2)過橢圓的切線方程為：；(3)過雙曲線的切線方程為：；(4)過.切點(diǎn)弦方程(1)過圓外一點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程為.(2)過橢圓+=1外一點(diǎn)Px0,y0(3)過雙曲線的切點(diǎn)弦方程為：；(4)過.說明：上述公式的記憶方法均可用“抄一代一”，即把平方項(xiàng)其中一個(gè)照抄，另一個(gè)將變量用已知點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)代入(從曲線上一點(diǎn)作曲線的切線，切線方程可將原方程作如下方法替換求出，，，，).考點(diǎn)01圓的切線與切點(diǎn)弦問題（共3小題）1．（24-25高二下·貴州黔西·期末）過原點(diǎn)且與圓相切的直線的方程為（

）A． B．C． D．2．（25-26高二上·全國·單元測(cè)試）已知圓的圓心為，且經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為（

）A． B．C． D．3．（25-26高三上·安徽阜陽·開學(xué)考試）過點(diǎn)與圓相切的直線方程為.4．（25-26高二上·四川內(nèi)江·開學(xué)考試）過點(diǎn)的圓的兩條切線，切點(diǎn)為，求：(1)求切線的方程；(2)求切線段的長(zhǎng)度．考點(diǎn)02橢圓的切線與切點(diǎn)弦問題（共4小題）5．（24-25高二下·浙江嘉興·期中）經(jīng)過點(diǎn)P(1,32)且與橢圓xA．x+23y?4=0 C．x+23y?2=0 6．（24-25高二上·江西吉安·期末）已知過圓錐曲線x2m+y2n=1上一點(diǎn)Pxo,yo的切線方程為x0A．x?y?3=0 B．x+y?2=0C．2x+3y?3=0 D．3x?y?10=07．（24-25高二上·重慶·階段練習(xí)）已知橢圓M：y2a2(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l1與橢圓M相切，且直線l1與直線l：x?y?328．（25-26高三上·河北滄州·階段練習(xí)）已知橢圓C：的離心率，短軸長(zhǎng)為2，是橢圓外一點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，過點(diǎn)P作直線l與橢圓C相切，求直線l的方程；(3)若過點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線互相垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程.考點(diǎn)03雙曲線的切線與切點(diǎn)弦問題（共4小題）9．（24-25高三上·湖南永州·階段練習(xí)）過點(diǎn)可以作雙曲線的兩條切線，則點(diǎn)坐標(biāo)可以是（

）A． B． C． D．10．（2025高二·全國·專題練習(xí)）過點(diǎn)作雙曲線：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求直線的方程．11．（24-25高二上·山西·期中）已知左、右焦點(diǎn)分別為的雙曲線，其實(shí)軸長(zhǎng)為8，其中一條漸近線的斜率為．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)為雙曲線右支上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，證明：雙曲線在點(diǎn)處的切線平分．12．（2024·廣東汕頭·一模）已知點(diǎn)為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn).(1)判斷直線與雙曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；(2)（i）如果把（1）的結(jié)論推廣到一般雙曲線，你能得到什么相應(yīng)的結(jié)論？請(qǐng)寫出你的結(jié)論，不必證明；（ii）將雙曲線的兩條漸近線稱為“退化的雙曲線”，其方程為，請(qǐng)利用該方程證明如下命題：若為雙曲線上一點(diǎn)，直線：與的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，則為線段的中點(diǎn).考點(diǎn)04拋物線的切線與切點(diǎn)弦問題（共4小題）13．（2025·甘肅臨夏·一模）過點(diǎn)P(?1,2)作兩條直線與拋物線C:y2=4x相切于點(diǎn)A，B，則弦長(zhǎng)|AB|A．8 B．6 C．4 D．214．（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）已知拋物線，為直線上一點(diǎn)，過作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的值為（

）A．0 B．1 C．-2 D．-115．（24-25高二上·吉林·期末）已知拋物線：的準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，(1)求拋物線的方程；(2)若過點(diǎn)的直線與拋物線相切，求直線的方程.16．（24-25高三上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，且F與圓上點(diǎn)的距離的最小值為2．(1)求；(2)已知點(diǎn)，，是拋物線的兩條切線，，是切點(diǎn)，求．考點(diǎn)05兩曲線的公切線問題(共3小題)17．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓，圓，則橢圓與圓的公切線段長(zhǎng)的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．18．（24-25高二上·云南楚雄·期末）若直線與單位圓（圓心在原點(diǎn)）和曲線均相切，則直線的一個(gè)方程可以是19.（2025·全國·模擬預(yù)測(cè)）寫出與橢圓x245+y220=1考點(diǎn)06切線、切點(diǎn)弦與離心率的綜合（共3小題）20.（2025高三·全國·專題練習(xí)）簡(jiǎn)化北京奧運(yùn)會(huì)主體育場(chǎng)“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)俯視圖，如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，由外層橢圓頂點(diǎn)向內(nèi)層橢圓引切線．設(shè)內(nèi)層橢圓方程為，則外層橢圓方程可設(shè)為．若直線與的斜率之積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．21.(2024高三·全國·專題練習(xí)）過雙曲線上一點(diǎn)作雙曲線的切線，若直線OP與直線的斜率均存在，且斜率之積為，則雙曲線的離心率為．22．（24-25高三上·浙江杭州·期末）過點(diǎn)能作雙曲線的兩條切線，則該雙曲線離心率的取值范圍為.考點(diǎn)07切線、切點(diǎn)弦過定點(diǎn)問題（共3小題）23．（25-26高二上·河南·階段練習(xí)）已知直線與圓交于兩點(diǎn)，且．(1)求．(2)過上且在圓外的一動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為．（i）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（ii）證明：直線過定點(diǎn)．24．（24-25高二上·湖南衡陽·期末）已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿足，且.(1)求的方程；(2)已知直線與交于兩點(diǎn)，過分別作的切線，若兩切線交于點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，證明：經(jīng)過定點(diǎn).25.（2025高三·全國·專題練習(xí)）如圖，過拋物線內(nèi)部一點(diǎn)作拋物線的中點(diǎn)弦（為中點(diǎn)），兩條切線、交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，且，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線、，求證：直線過定點(diǎn)．考點(diǎn)08與切線、切點(diǎn)弦有關(guān)的面積問題（共3小題）26．（2025高三·全國·專題練習(xí)）過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，與y軸分別交于點(diǎn)C，D，則外接圓的面積為（

）A． B． C． D．27．（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓E：的左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)分別作E的切線、，切點(diǎn)分別為A、B，則面積最大值為（

）A． B． C．2 D．28．（23-24高二上·遼寧·期末）過雙曲線上一點(diǎn)作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，且.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動(dòng)直線的斜率存在，且與雙曲線相切，切點(diǎn)為與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，求四邊形的面積.考點(diǎn)09與切線、切點(diǎn)弦有關(guān)的定值問題（共4小題）29．（24-25高三上·廣東揭陽·期末）如圖所示，已知是雙曲線右支上任意一點(diǎn)，雙曲線在點(diǎn)處的切線分別與兩條漸近線交于兩點(diǎn)，則.30．（23-24高三上·浙江·期中）已知雙曲線：（，）過點(diǎn)，且離心率為2，，為雙曲線的上、下焦點(diǎn)，雙曲線在點(diǎn)處的切線與圓：（）交于A，B兩點(diǎn).(1)求的面積；(2)點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過能作雙曲線的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為，，記直線和的斜率分別為，，求證：為定值.31．（24-25高三上·廣東深圳·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，過拋物線焦點(diǎn)的直線l，交于兩點(diǎn)，且.(1)求的方程：(2)若在M，N處的切線交于點(diǎn)，設(shè)切線GM，GN的斜率分別為.（i）證明：為定值：（ii）求面積的最小值.32.(2025·江西萍鄉(xiāng)·二模）已知橢圓的焦距為，離心率為，點(diǎn)在上．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在圓上，直線為和的公切線，求線段的長(zhǎng)度；(3)直線交橢圓于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．為直線上一點(diǎn)，滿足，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線交于點(diǎn)，問是否存在一點(diǎn)，使得的長(zhǎng)度為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和該定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)10與切線、切點(diǎn)弦有關(guān)的最值、范圍問題（共5小題）33．（2025高三·全國·專題練習(xí)）點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上.在中，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．34．（25-26高三上·江蘇南京·開學(xué)考試）已知點(diǎn)，線段為的一條直徑．設(shè)過點(diǎn)且與相切的兩條直線的斜率分別為，則（）A． B． C． D．35．（24-25高二上·江蘇徐州·期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的2倍，且過點(diǎn).(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且與軸相交于點(diǎn)，①證明：平分；②過坐標(biāo)原點(diǎn)作的垂線（垂足為），與相交于點(diǎn)，求面積的最大值.36．（2025·湖南·三模）已知拋物線E:y2=2