3/43專(zhuān)題03直線(xiàn)與圓綜合大題考點(diǎn)01判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系（共2小題）（重點(diǎn)） 1考點(diǎn)02與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題（共2小題） 3考點(diǎn)03弦長(zhǎng)問(wèn)題（共3小題）（重點(diǎn)） 6考點(diǎn)04面積問(wèn)題（共2小題）（難點(diǎn)） 9考點(diǎn)05圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題（共2小題）（難點(diǎn)） 12考點(diǎn)06圓中直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題（共2小題）（難點(diǎn)） 15考點(diǎn)07定值問(wèn)題（共2小題）（難點(diǎn)） 18考點(diǎn)08定直線(xiàn)問(wèn)題(共2小題)（難點(diǎn)） 22考點(diǎn)09圓的切線(xiàn)問(wèn)題（共2小題）（重點(diǎn)） 26考點(diǎn)10兩圓公共弦問(wèn)題（共2小題） 27考點(diǎn)11兩圓公切線(xiàn)問(wèn)題(共2小題) 28考點(diǎn)12存在性問(wèn)題(共2小題)（難點(diǎn)） 30考點(diǎn)13實(shí)際應(yīng)用題（共2小題）（難點(diǎn)） 32考點(diǎn)14新定義題（共3小題）（難點(diǎn)） 34考點(diǎn)01判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系（共2小題）1．（25-26高二上·河南駐馬店·開(kāi)學(xué)考試）已知圓，直線(xiàn)，直線(xiàn)，.(1)探求與是否垂直；(2)若，判斷與圓的位置關(guān)系；【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)相離【分析】（1）根據(jù)兩直線(xiàn)垂直的判定方法求解討論即得；（2）求出圓的圓心到直線(xiàn)的距離與圓的半徑作比較即可判斷；【詳解】（1）因?yàn)?，若，則與垂直；若，則與不垂直.（2）當(dāng)時(shí)，，圓，則圓的圓心為，半徑為，因圓心到直線(xiàn)的距離為，與圓相離.2．（24-25高二上·北京昌平·期末）已知圓.(1)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)的方程；(2)判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.【答案】(1)或.(2)直線(xiàn)與圓相交，理由見(jiàn)解析【分析】（1）易知直線(xiàn)符合題意，當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程，利用點(diǎn)線(xiàn)距公式和幾何法求弦長(zhǎng)建立關(guān)于的方程，解之即可求解；（2）法一：求出直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，將定點(diǎn)代入圓的方程，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可下結(jié)論；法二：利用點(diǎn)線(xiàn)距公式，結(jié)合直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系計(jì)算即可下結(jié)論.【詳解】（1）由圓可得，圓心，半徑.當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)的方程為.圓心到直線(xiàn)的距離為，此時(shí)，符合題意.當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，即.圓心到直線(xiàn)的距離為.因?yàn)?，所?所以.解得.所以直線(xiàn)的方程為，即.綜上，所求直線(xiàn)的方程為或.（2）法一：因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，又因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi).所以直線(xiàn)與圓相交.法二：圓心到直線(xiàn)的距離，因?yàn)?，所?所以.所以直線(xiàn)與圓相交.考點(diǎn)02與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題（共2小題）3．（2025高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知圓的圓心在軸上，并且過(guò)，兩點(diǎn)．(1)求圓的方程；(2)若為圓上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，求點(diǎn)的軌跡．【答案】(1)(2)以為圓心，為半徑的圓【分析】（1）從A，兩點(diǎn)坐標(biāo)可看出線(xiàn)段平行于軸，則它的垂直平分線(xiàn)垂直于軸，所以線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為圓心,圓心到點(diǎn)的距離為半徑，從而得到求圓C的方程．（2）設(shè),,將向量式進(jìn)行坐標(biāo)表示，得到與，與的關(guān)系，因?yàn)辄c(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，所以利用圓的方程(即與關(guān)系)，進(jìn)而得到與的關(guān)系(即點(diǎn)Q的軌跡方程)，從而得到點(diǎn)Q的軌跡.【詳解】（1）因?yàn)閳A過(guò)A,B兩點(diǎn),所以圓心C在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上.因?yàn)?所以線(xiàn)段的中點(diǎn)為,直線(xiàn)AB的斜率，所以線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)斜率不存在,方程為:.因?yàn)閳AC的圓心在軸上,所以線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為圓心,所以圓心為.又半徑，所以圓的方程為:．（2）設(shè)，．由，得,所以即因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，所以，化簡(jiǎn)整理得的軌跡方程為:，所以點(diǎn)的軌跡是:以為圓心，為半徑的圓．4．（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知射線(xiàn)和，棍棒的兩端分別在射線(xiàn)和上滑動(dòng)，．(1)求的最大值；(2)設(shè)為的中點(diǎn)，求的取值范圍；(3)設(shè)為的中點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡．【答案】(1)12(2)(3)點(diǎn)的軌跡是與原阿波羅尼斯圓等大小的圓【分析】（1）由已知得出頂點(diǎn)的軌跡是圓心在直線(xiàn)上、半徑的阿波羅尼斯圓上，即可求解的最大值；（2）法一：由圓的性質(zhì)即可求解；法二：由三角形中線(xiàn)長(zhǎng)定理得，，設(shè)，則，即可求解的取值范圍；（3）建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，由，得，化簡(jiǎn)即可得出點(diǎn)的軌跡．【詳解】（1）先證明：在平面上給定兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)且滿(mǎn)足，當(dāng)且時(shí)，點(diǎn)的軌跡是圓，稱(chēng)之為阿波羅尼斯圓，證明：不妨設(shè)，若設(shè)，則，整理得，所以點(diǎn)的軌跡為圓心，半徑為的圓，證畢；由題可知，頂點(diǎn)的軌跡是圓心在直線(xiàn)上、半徑的阿波羅尼斯圓．所以．（2）解法1：由圓的性質(zhì)知．解法2：先證明三角形中線(xiàn)長(zhǎng)定理：如圖，在三角形中，為邊上中線(xiàn)，則，證明：，所以，證畢；取中點(diǎn)，如圖，由三角形中線(xiàn)長(zhǎng)定理知：，設(shè)，則，，所以．（3）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，由，得，即，即，所以點(diǎn)的軌跡是與原阿波羅尼斯圓等大小的圓，即圖中的．考點(diǎn)03弦長(zhǎng)問(wèn)題（共3小題）5．（25-26高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知直線(xiàn)，圓．(1)若直線(xiàn)是圓的一條對(duì)稱(chēng)軸，求的值；(2)從①若直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為4，②若直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)最短這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線(xiàn)的方程．注：若選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意直線(xiàn)過(guò)圓的圓心，將代入直線(xiàn)的方程，計(jì)算得．（2）根據(jù)題意直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)．代入圓的方程判斷在圓內(nèi)部，可得直線(xiàn)與圓恒相交．①三角形中勾股定理計(jì)算得到點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離，再根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式計(jì)算的結(jié)果；②設(shè)定點(diǎn)為點(diǎn)，依題意當(dāng)直線(xiàn)與垂直時(shí)，直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)最短，利用兩直線(xiàn)斜率之積為，計(jì)算可得直線(xiàn)的結(jié)果；【詳解】（1）因?yàn)橹本€(xiàn)是圓的一條對(duì)稱(chēng)軸，所以直線(xiàn)過(guò)圓的圓心（圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，直徑所在直線(xiàn)都是對(duì)稱(chēng)軸），將代入直線(xiàn)的方程，得，解得．（2）直線(xiàn)，即，則直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)．因?yàn)?，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以直線(xiàn)與圓恒相交．若選①．如圖1，設(shè)直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，連接，則．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，所以，即點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離．由，得，所以直線(xiàn)的方程為．

若選②．設(shè)定點(diǎn)為點(diǎn)，則直線(xiàn)與垂直時(shí)，直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)最短（如圖2），此時(shí)，故，直線(xiàn)的方程為．6．（25-26高二上·全國(guó)·期中）已知定點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)．(1)求的軌跡方程；(2)若過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)與的軌跡交于兩點(diǎn)，且，求直線(xiàn)的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，表達(dá)出點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入中，整理可得的軌跡方程；（2）考慮直線(xiàn)的斜率不存在和斜率存在兩種情況，由點(diǎn)到直線(xiàn)距離和弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解，得到答案.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，，化簡(jiǎn)得，故的軌跡方程為．（2）圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)的方程為，此時(shí)圓心到直線(xiàn)的距離是，所以，滿(mǎn)足條件；當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，化簡(jiǎn)得，因?yàn)椋詧A心到直線(xiàn)的距離，由圓心到直線(xiàn)的距離公式得，所以，即，平方得，整理得，解得，故直線(xiàn)的方程為，即．綜上，直線(xiàn)的方程為或．

7．（25-26河北保定市大數(shù)據(jù)應(yīng)用調(diào)研）已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且圓心C在直線(xiàn)上．(1)求圓C的方程；(2)若點(diǎn)在圓C上，求的最大值與最小值；(3)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l交圓C于M，N兩點(diǎn)，若，求直線(xiàn)l的方程．【答案】(1)(2)最大值為，最小值為．(3)或．【分析】（1）可設(shè)圓心為，由求出圓心坐標(biāo)及半徑進(jìn)行求解；（2）由表示原點(diǎn)與圓C上的點(diǎn)間的距離，進(jìn)行求解；（3）分直線(xiàn)的斜率存在與不存在進(jìn)行求解．【詳解】（1）由已知可設(shè)圓心為，則，即，解得，∴，，∴圓C的方程為．（2）表示原點(diǎn)與圓C上的點(diǎn)間的距離，而原點(diǎn)O在圓C外，，圓C的半徑，∴的最大值為，最小值為．（3）當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，l即為y軸，將代入圓C的方程，得，∴，，此時(shí)截得的弦長(zhǎng)為，滿(mǎn)足條件：當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l的方程為y＝kx，圓心C到直線(xiàn)l的距離，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得，解得．∴直線(xiàn)l的方程為x＝0或．考點(diǎn)04面積問(wèn)題（共2小題）8．（24-25高二上·貴州六盤(pán)水·期末）已知直線(xiàn)與相交于點(diǎn)，且.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)若直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，以線(xiàn)段為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).（ⅰ）證明：直線(xiàn)與圓相切；（ⅱ）求面積的最小值.【答案】(1)(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）【分析】（1）根據(jù)條件得到和，再結(jié)合，即可求解；（2）（i）當(dāng)當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立曲線(xiàn)方程，通過(guò)消得到，從而得到，結(jié)合條件得到，再利用直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，即可求解；（ii）利用弦長(zhǎng)公式，結(jié)合（i）中結(jié)果，得到，令，得到，利用基本不等式，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，得到，當(dāng)時(shí)，由，得到，又，得到，整理得到，當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足，所以點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）（ⅰ）當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，由，消得到，則，且，又，因?yàn)橐跃€(xiàn)段為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則，得到，所以，即，整理得到，又原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，此時(shí)直線(xiàn)與圓相切，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，由，得到，只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，綜上，直線(xiàn)與圓相切.（ⅱ）因?yàn)?，由（?。┛傻?，又，得到，所以面積為，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即或（舍）時(shí)取等號(hào)，所以面積的最小值為.【點(diǎn)晴】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴，本題的關(guān)鍵在于第（2）中的（i）問(wèn)，利用韋達(dá)定理，結(jié)合條件得到，再利用間的關(guān)系，結(jié)合條件，即可求解.9．（24-25高二上·重慶·階段練習(xí)）已知曲線(xiàn).(1)點(diǎn)在曲線(xiàn)上，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn).(i)若，求面積的最大值；(ii)若，求證:與圓心為的定圓相切.【答案】(1)(2)(i)；(ii)證明見(jiàn)解析【分析】（1）法一：直接配方得，則，解出即可；法二：利用判別式法即可得到答案；（2）(i)設(shè)，聯(lián)立直線(xiàn)與曲線(xiàn)方程，再計(jì)算出面積表達(dá)式，利用基本不等式即可求面積最值；(ii)設(shè)，聯(lián)立曲線(xiàn)方程得到韋達(dá)定理式，再代入向量表達(dá)式得，最后計(jì)算得圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑即可.【詳解】（1）法一：由方程配方得，則，解得.法二：由，解得.（2）(i)設(shè).由得.所以.由，有.則.所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故面積的最大值為.(ii)當(dāng)直線(xiàn)斜率為時(shí)，設(shè).由.得.所以.由，化簡(jiǎn)得.由，有，即.即.即，滿(mǎn)足成立.且到的距離滿(mǎn)足:，則為定值.當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，由(i)，，得.故到的距離始終為，即始終與定圓相切.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)第二小問(wèn)的關(guān)鍵是采用設(shè)線(xiàn)法得到韋達(dá)定理式，再整體代入向量數(shù)量積的表達(dá)式，化簡(jiǎn)得到.考點(diǎn)05圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題（共2小題）10．（24-25高三上·云南·階段練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線(xiàn)論》中給出圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比值為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，我們稱(chēng)之為阿波羅尼斯圓．已知點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到的距離的3倍．記點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)．(1)求曲線(xiàn)的方程；(2)設(shè)曲線(xiàn)與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)不在軸上，直線(xiàn)分別與直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，探究以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，或，理由見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，由代入坐標(biāo)化簡(jiǎn)可得答案；（2）求出，設(shè)，直線(xiàn)的方程分別為、，根據(jù)得，直線(xiàn)的方程分別與聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，再求出以為直徑的圓的方程，根據(jù)方程可得答案.【詳解】（1）設(shè)，由題意得，即，化簡(jiǎn)得，所以曲線(xiàn)的方程為；（2）以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，或，理由如下，令，可得，或，所以，設(shè)，直線(xiàn)的方程分別為、，因?yàn)?，所以，可得，由得，由得，可得的中點(diǎn)為，，以為直徑的圓的方程為，整理得，由，得或，可得以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，或.11．（2021高二·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）已知圓，直線(xiàn)l的方程為，點(diǎn)P是直線(xiàn)l上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓的切線(xiàn)PA、PB，切點(diǎn)為A、B.(1)當(dāng)P的橫坐標(biāo)為時(shí)，求的大??；(2)求四邊形PAMB面積的最小值；(3)求證：經(jīng)過(guò)A、P、M三點(diǎn)的圓N必過(guò)定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析，，【分析】（1）由題可知，圓M的半徑r=2，和P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)MP=2r，可得，從而可求的大?。唬?）要求四邊形PAMB面積最小值，由題意可知只需求PM的最小值，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可求答案;（3）設(shè)P的坐標(biāo)，求出經(jīng)過(guò)A、P、M三點(diǎn)的圓的方程，即可得到圓過(guò)定點(diǎn)；【詳解】（1）由題可知，圓M的半徑，，因?yàn)镻A是圓M的一條切線(xiàn)，所以,又因，又；（2），要使四邊形PAMB面積最小，只需PA最小.又，只需PM最小.當(dāng)時(shí)，PM有最小值，，,此時(shí)四邊形面積最小為.（3）證明：設(shè)，因?yàn)椋越?jīng)過(guò)A、P、M三點(diǎn)的圓N以MP為直徑，方程為：，即，由，解得或,所以圓過(guò)定點(diǎn)，.考點(diǎn)06圓中直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題（共2小題）12．（24-25高二上·貴州·期中）設(shè)，，，，圓Q的圓心在x軸的正半軸上，且過(guò)A，B，C，D中的三個(gè)點(diǎn)．(1)求圓的方程；(2)若圓上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)P，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)斜率為k直線(xiàn)l與圓相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)（不與原點(diǎn)O重合），直線(xiàn)，斜率分別為，，且，證明：直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）首先分析圓只能過(guò)點(diǎn)，，三點(diǎn)，再求出線(xiàn)段、線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程，聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即為圓心，再求出半徑，即可得到圓的方程；（2）設(shè)，根據(jù)，得到，即可得到點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，依題意該可知圓與圓相交，由圓心距與半徑和差的關(guān)系得到不等式組，解得即可；（3）設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，聯(lián)立直線(xiàn)與圓的方程，消元、列出韋達(dá)定理，由斜率公式求出，即可得解.【詳解】（1）若圓經(jīng)過(guò)，，則圓心必在的垂直平分線(xiàn)上，不合題意；又與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，圓心在軸的正半軸上，所以圓只能過(guò)點(diǎn)，，三點(diǎn)，因?yàn)椋闹悬c(diǎn)為，所以線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為，即，又線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組解得，所以圓心為，半徑為，所以圓的方程為．（2）設(shè)，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，所以．則點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，依題意該圓與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，即可兩圓相交，又，則，解得．（3）設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，由得，所以，，所以，所以，所以直線(xiàn)方程為，令，解得，即直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．13．（25-26高二上·河南·階段練習(xí)）已知直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，且．(1)求．(2)過(guò)上且在圓外的一動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為．（i）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（ii）證明：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)2(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)圓心到直線(xiàn)距離與弦長(zhǎng)，利用勾股定理直接計(jì)算即可得半徑；（2）（i）結(jié)合（1）中結(jié)論可知，由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，利用對(duì)稱(chēng)性可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；（ii）由題意知在以為直徑的圓上，其方程為，求出直線(xiàn)方程為，即可得直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).【詳解】（1）圓的圓心為，半徑為．點(diǎn)到的距離為，所以．（2）（i）因?yàn)榉謩e是過(guò)點(diǎn)的兩條切線(xiàn)與圓的切點(diǎn)，所以點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)．由（1）知點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，由得；則，所以直線(xiàn)的方程為．設(shè)，則；解得，即．（ii）設(shè)點(diǎn)．由題意知，所以在以為直徑的圓上，如下圖所示：以為直徑的圓的方程為，與作差，可得直線(xiàn)的方程為，整理得，由，解得即直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．考點(diǎn)07定值問(wèn)題（共2小題）14．（24-25高二上·湖北·期中）已知線(xiàn)段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，記線(xiàn)段中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線(xiàn)(1)求曲線(xiàn)的方程(2)過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交曲線(xiàn)于兩個(gè)不同的點(diǎn)，，且不過(guò)曲線(xiàn)的中心，再過(guò)點(diǎn)，分別作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，兩條切線(xiàn)交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，并求出該直線(xiàn)的方程(3)斜率為的直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交于異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，，直線(xiàn)，的斜率分別為，，且.若，為垂足，證明：存在定點(diǎn)，使得為定值【答案】(1)(2)詳見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)詳解【分析】（1）利用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程；（2）設(shè)，，，由，可得直線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程，又點(diǎn)在直線(xiàn)上，可得證；（3）設(shè)直線(xiàn)與圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示，即可求解定點(diǎn)坐標(biāo)，由幾何圖形可知，，再利用直角三角形，斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半，即可求出定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，，，即，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，化簡(jiǎn)得，所以曲線(xiàn)的方程為.（2）設(shè)，，，點(diǎn)在圓外部，由，可得，即，又，可得，同理，由可得，所以直線(xiàn)所在的直線(xiàn)為，又點(diǎn)在直線(xiàn)上，，即，所以點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，直線(xiàn)方程為.（3）設(shè)直線(xiàn)，，，，由，得，，，，即，，所以，所以直線(xiàn)的方程為，即直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)闉槎ㄖ?，為直角三角形，為斜邊，所以?dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，，所以存在定點(diǎn)，使得為定值.15．（24-25高二上·湖北荊州·期中）已知圓內(nèi)有一點(diǎn)，傾斜角為的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與圓交于兩點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)是否存在弦被點(diǎn)三等分？若存在，求出直線(xiàn)的斜率；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)記圓與軸的正半軸交點(diǎn)為，直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，求證：為定值.并計(jì)算出定值.【答案】(1)(2)存在，(3)證明見(jiàn)解析，【分析】（1）由題意求出直線(xiàn)方程，利用圓的幾何性質(zhì)求弦長(zhǎng)即可；（2）假設(shè)存在，求出弦心距，討論直線(xiàn)的斜率是否存在，利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離即可得解；（3）分類(lèi)討論直線(xiàn)斜率是否存在，存在時(shí)由根與系數(shù)的關(guān)系及斜率公式化簡(jiǎn)即可證明.【詳解】（1）因?yàn)椋?，直線(xiàn)的方程為，圓的圓心為，半徑，設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離為，則，所以；（2）取的中點(diǎn)為，如圖，假設(shè)存在弦被點(diǎn)三等分，設(shè)，，則，，解得，當(dāng)斜率不存在時(shí)，，故斜率存在，設(shè)斜率為，則：，，解得，即存在弦被點(diǎn)三等分，直線(xiàn)的斜率為；（3）由題意知，,當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，，，不妨取，則，此時(shí)；直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，代入圓的方程可得，設(shè)，則，又，所以，綜上，為定值.考點(diǎn)08定直線(xiàn)問(wèn)題(共2小題)16．（24-25高二上·江西·階段練習(xí)）已知圓，直線(xiàn)與圓交于，兩點(diǎn)，過(guò)，分別作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為分別異于.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若，用含的式子表示四邊形的面積;(3)當(dāng)時(shí)，若直線(xiàn)和直線(xiàn)交于點(diǎn)，證明點(diǎn)在某條定直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，并求出該定直線(xiàn)的方程.【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析，【分析】（1）首先得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意圓心到直線(xiàn)的距離，即可求出參數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，，則，，聯(lián)立直線(xiàn)與圓的方程，消元，列出韋達(dá)定理，由，表示出，則；（3）表示出直線(xiàn)、的方程，由，得到，再聯(lián)立、的方程，求出、，即可得到，從而得解.【詳解】（1）圓的圓心為，半徑為，因?yàn)橹本€(xiàn)與圓交于，兩點(diǎn)，所以圓心到直線(xiàn)的距離，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，，則，，由，消元整理得，所以，，，所以，因?yàn)樗倪呅螢橹苯翘菪?，所以四邊形的面積；（3）由，，則，，且直線(xiàn)、的斜率存在，當(dāng)時(shí)，由（2）知，，，，，所以直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為，因?yàn)椤⑾嘟?，所以，即，，所以，解得，?lián)立、的方程得，，，所以，所以點(diǎn)在定直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線(xiàn)與圓相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線(xiàn)方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線(xiàn)與圓的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.17．（24-25高二上·四川廣安·期中）平面直角坐標(biāo)系中，圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，.(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，過(guò)點(diǎn)D作直線(xiàn)，交圓M于P，Q兩點(diǎn)，且P，Q不在y軸上,①過(guò)點(diǎn)D作與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)，交圓M于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，記四邊形的面積為S，求S的最大值；②設(shè)直線(xiàn)，相交于點(diǎn)N，試討論點(diǎn)N是否在定直線(xiàn)上，若是，求出該直線(xiàn)方程；若不是，說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)①最大值為7；②點(diǎn)N在定直線(xiàn)上.【分析】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)所過(guò)的點(diǎn)列方程求參數(shù)，即可得圓的方程；（2）①法一：設(shè)直線(xiàn)為，直線(xiàn)為，應(yīng)用幾何法求弦長(zhǎng)，結(jié)合得到關(guān)于k的表達(dá)式，應(yīng)用基本不等式求最值；法二：設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離，到直線(xiàn)的距離，應(yīng)用幾何法得弦長(zhǎng)關(guān)于、的表達(dá)式，結(jié)合、基本不等式求最值；②設(shè)，，聯(lián)立直線(xiàn)與圓得一元二次方程，應(yīng)用韋達(dá)定理并結(jié)合直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為求點(diǎn)N坐標(biāo).【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，則，解得，所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①設(shè)直線(xiàn)為，即，則圓心到直線(xiàn)距離，所以，若，則直線(xiàn)斜率不存在，則，，則，若，則直線(xiàn)為，即，則圓心到直線(xiàn)距離，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，綜上所述，因?yàn)?，所以S的最大值為7；法二：設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離，到直線(xiàn)的距離，則，，又直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以S的最大值為7；

②設(shè)，，聯(lián)立，消y得，則，，直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，解得，則，所以，所以點(diǎn)N在定直線(xiàn)上.考點(diǎn)09圓的切線(xiàn)問(wèn)題（共2小題）18．已知圓的方程為.(1)求使得圓的面積最小的的值；(2)過(guò)點(diǎn)作滿(mǎn)足（1）中條件的圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，，求直線(xiàn)的方程.【答案】(1)(2).【分析】（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)半徑的二次函數(shù)形式計(jì)算最值即可；（2）由直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系確定在以為直徑的圓上，結(jié)合兩圓方程求公共弦即可.【詳解】（1）圓的方程為，該圓的半徑.要使圓的面積最小，即要其半徑最小，故當(dāng)時(shí)，圓的半徑最小，即圓的面積最小.（2）當(dāng)時(shí)，該圓的方程為，其圓心為.，，點(diǎn)，在以為直徑的圓上，易知的中點(diǎn)，，以為直徑的圓的方程為，即.聯(lián)立方程，兩式相減得，即，所求的直線(xiàn)的方程為.19．（2025高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知圓，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn).(1)若直線(xiàn)與圓相切，求直線(xiàn)的方程；(2)當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在且與圓相切于點(diǎn)時(shí)，求.【分析】（1）分斜率存在或不存在兩種情況，若不存在，設(shè)直線(xiàn)的方程，利用即可；（2）在中勾股定理即可.【解析】（1）圓的方程可化為，則圓的圓心為，半徑，①當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在，則直線(xiàn)方程為，滿(mǎn)足題意；②當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)的方程是，即，由圓心到直線(xiàn)l的距離，解得，此時(shí)直線(xiàn)的方程是，綜上，直線(xiàn)的方程是或.（2）由（1）得直線(xiàn)的方程是，則,所以.考點(diǎn)10兩圓公共弦問(wèn)題（共2小題）20．已知圓，圓.(1)若圓與圓恰有三條公切線(xiàn)，求實(shí)數(shù)的值；(2)設(shè)時(shí)，圓與圓相交于、兩點(diǎn)，求.【答案】(1)或(2)【分析】（1）因圓與圓恰有條公切線(xiàn)，所以?xún)蓤A相外切，由兩圓外切得，直接可得實(shí)數(shù)的值；（2）將兩圓方程相減得相交弦的方程，再由圓的弦長(zhǎng)公式即可求公共弦長(zhǎng).【詳解】（1）因圓與圓恰有條公切線(xiàn)，所以?xún)蓤A相外切圓，得圓心，半徑.又圓，得圓心，半徑.所以圓心距，，所以，得，解得或.（2）當(dāng)時(shí)，圓，此時(shí)兩圓的圓心距，兩圓相交.將兩圓方程相減得直線(xiàn)的方程為.所以圓心到直線(xiàn)的距離，且半徑，由圓的弦長(zhǎng)公式得.21．（25-26高二上·四川內(nèi)江·開(kāi)學(xué)考試）過(guò)點(diǎn)的圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為，求：(1)求切線(xiàn)的方程；(2)求切線(xiàn)段的長(zhǎng)度．【答案】(1)或(2)【分析】（1）分切線(xiàn)斜率不存在和存在兩種情況討論求解即可；（2）根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)的性質(zhì)可得，進(jìn)而結(jié)合圖形求解即可.【詳解】（1）由圓，則圓心為，半徑為3，當(dāng)切線(xiàn)斜率不存在時(shí)，切線(xiàn)方程為，此時(shí)圓心到切線(xiàn)方程為的距離為3，等于半徑，滿(mǎn)足題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線(xiàn)方程為，即，則，解得，則切線(xiàn)方程為，即.綜上所述，切線(xiàn)方程為或.（2）由切線(xiàn)的性質(zhì)，得，當(dāng)切線(xiàn)為時(shí)，此時(shí)切線(xiàn)與軸垂直，則.考點(diǎn)11兩圓公切線(xiàn)問(wèn)題(共2小題)22．已知圓，圓.(1)求圓與圓的公共弦所在直線(xiàn)的方程及弦長(zhǎng)；(2)求圓與圓的公切線(xiàn)的交點(diǎn)的坐標(biāo)，并求公切線(xiàn)方程.【答案】(1)，(2)，和【分析】（1）兩圓方程相減可得公共弦所在直線(xiàn)的方程，幾何法利用勾股定理求弦長(zhǎng)；（2）由圖可知一條公切線(xiàn)為，直線(xiàn)與的交點(diǎn)為，設(shè)另一條公切線(xiàn)的方程為，利用圓心到直線(xiàn)距離等于半徑求出k即可得切線(xiàn)方程.【詳解】（1）圓的圓心，半徑為1，圓的圓心，半徑為3，已知圓，圓，即，兩圓方程相減可得公共弦直線(xiàn)方程為.點(diǎn)到的距離為，所以公共弦長(zhǎng)為.（2）結(jié)合圖象可知，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為1，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為3，圓與圓有一條公切線(xiàn)為：.直線(xiàn)與的交點(diǎn)為.設(shè)另一條公切線(xiàn)的方程為，即，則點(diǎn)到公切線(xiàn)的距離，解得.此時(shí)滿(mǎn)足點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為1，所以另一條公切線(xiàn)的方程為，即綜上，兩圓的公切線(xiàn)方程為和.23．已知圓，圓交于兩點(diǎn)，在第二象限．(1)求以為直徑的圓的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)（斜率存在）交圓于點(diǎn)，交圓于點(diǎn)，且，求直線(xiàn)CD的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）兩圓方程相減得公共弦所在直線(xiàn)方程，再根據(jù)已知兩圓心得出中點(diǎn)坐標(biāo)（即所求圓圓心坐標(biāo)），求出半徑后可得圓方程；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程是，由幾何法求弦長(zhǎng)，再由弦長(zhǎng)相等求得，從而得直線(xiàn)方程．【詳解】（1）根據(jù)題意，圓，圓心為，半徑為3，圓，圓心為，半徑為4，兩圓方程相減得，所以直線(xiàn)的方程為．所以所求圓的圓心為，半徑為，所以以為直徑的圓的方程為．（2）A在第二象限，由（1）可得，如圖，不妨設(shè)點(diǎn)分別在圓和圓上，易知直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程是，即，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為．因?yàn)椋?，解得，所以直線(xiàn)的方程為．考點(diǎn)12存在性問(wèn)題(共2小題)24．已知兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足，其軌跡為曲線(xiàn)C.(1)求曲線(xiàn)C的方程；(2)是否存在斜率為的直線(xiàn)l，使得以l被曲線(xiàn)C截得的弦PQ為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，若存在，求出直線(xiàn)l的方程，若不存在說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）利用兩點(diǎn)距離公式設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)化簡(jiǎn)計(jì)算即可；（2）假設(shè)存在，設(shè)線(xiàn)設(shè)點(diǎn)，利用圓的性質(zhì)得，聯(lián)立直線(xiàn)與圓方程利用韋達(dá)定理計(jì)算參數(shù)即可.【詳解】（1）設(shè)，則，整理得；（2）設(shè)存在，聯(lián)立圓C方程有，整理得，則，則，此時(shí)弦PQ為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，即，即，符合題意；即或.25．（24-25高二上·四川綿陽(yáng)·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，四點(diǎn)都在圓上.(1)求圓的方程；(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，圓上是否存在點(diǎn)，滿(mǎn)足？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)兩圓內(nèi)含，故兩圓無(wú)公共點(diǎn).【分析】（1）設(shè)出圓的一般方程，利用待定系數(shù)法可求圓的方程；（2）求出點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)圓心距與半徑差的關(guān)系可判斷兩圓內(nèi)含.【詳解】（1）設(shè)圓，則，故，故圓的方程為，而，故也在圓上，故圓的方程為.（2）設(shè)，則，整理得到：，其標(biāo)準(zhǔn)方程為，故的軌跡為圓，圓心，半徑為，而圓：，而，其半徑為，，故兩圓內(nèi)含，故兩圓無(wú)公共點(diǎn).考點(diǎn)13實(shí)際應(yīng)用題（共2小題）26．某高速公路隧道內(nèi)設(shè)雙行線(xiàn)公路，某截面由一段圓弧和一個(gè)長(zhǎng)方形的三邊構(gòu)成，已知隧道總寬度米，行車(chē)道總寬度米，和為相對(duì)的兩個(gè)車(chē)道，側(cè)端面米，弧頂高米.(1)求圓弧所在圓的半徑的長(zhǎng)度；(2)為進(jìn)一步保證安全，要求行駛車(chē)輛的頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有0.5米，則該隧道應(yīng)規(guī)定的車(chē)輛限制高度為多少米.【答案】(1)半徑為；(2)3.5米【分析】（1）以所在直線(xiàn)為軸，以所在直線(xiàn)為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)圓的方程為，通過(guò)，在圓上，求出參數(shù)值，即可得到半徑；（2）設(shè)限高為，作交圓弧于，則，將的橫坐標(biāo)代入圓的方程，求出，然后求出限高．【詳解】（1）由題，設(shè)，以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋蜑橄鄬?duì)的兩個(gè)車(chē)道，側(cè)墻面米，弧頂高米，則，，，易知圓心在軸上，設(shè)圓的方程為，又，在圓上，則，解得：，，所以，圓弧所在圓的半徑為；（2）設(shè)限高為，作交圓弧于，則，由（1）知，圓的方程為：，將的橫坐標(biāo)代入圓的方程，有，解得：或（舍，所以，即車(chē)輛通過(guò)隧道的限制高度是3.5米．27．某個(gè)小島的周?chē)协h(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為20千米的圓形區(qū)域內(nèi)．已知小島中心位于輪船正西40千米處，港口位于小島中心正北30千米處.(1)如圖，小島中心在原點(diǎn)O處，取10千米為單位長(zhǎng)度，在圖中標(biāo)出輪船和港口的位置；(2)如果輪船沿直線(xiàn)返港，用坐標(biāo)法判斷該輪船是否會(huì)有觸礁危險(xiǎn)，并說(shuō)明理由.【答案】(1)作圖見(jiàn)解析(2)不會(huì)有觸礁危險(xiǎn)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)方位角的概念直接在圖中標(biāo)出即可.（2）建立平面直角坐標(biāo)系，求出航線(xiàn)的直線(xiàn)方程及圓的方程，利用判別式法判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，即可判斷.【詳解】（1）（2）以小島中心為原點(diǎn)，東西方向?yàn)檩S，建立上圖所示的直角坐標(biāo)系，為了運(yùn)算的簡(jiǎn)便，取10千米為單位長(zhǎng)度，則港口所在位置的坐標(biāo)為，輪船所在位置坐標(biāo)為，則受暗礁影響的圓形區(qū)域的邊緣所對(duì)應(yīng)的圓的方程為，輪船航線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為即，由，得，由，可知方程組無(wú)解．所以直線(xiàn)與圓相離，輪船沿直線(xiàn)返港不會(huì)有觸礁危險(xiǎn).考點(diǎn)14新定義題（共3小題）28．（24-25高二上·四川成都·期中）已知與軸分別相交于，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交圓于．(1)當(dāng)時(shí)，求直線(xiàn)的方程；(2)當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，將圓沿軸折成直二面角，如圖，在上半圓上是否存在一點(diǎn)，使平面與平面的夾角的余弦值為，若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由；(3)在圓上任取一點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線(xiàn)段，為垂足，當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段的中點(diǎn)的軌跡記為曲線(xiàn)，曲線(xiàn)與直線(xiàn)交于，直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于，在定直線(xiàn)上，直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于，在定直線(xiàn)上，判斷直線(xiàn)，的位置關(guān)系，并注明．【答案】(1)(2)存在，(3)與重合，證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，由圓心到直線(xiàn)的距離公式和圓內(nèi)弦長(zhǎng)列方程求解即可；（2）由三角形面積公式得到，再令，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求出，然后建立如圖所示坐標(biāo)系，求出平面的法向量和平面的法向量，代入空間向量的二面角公式計(jì)算即可；（3）直曲聯(lián)立表示出韋達(dá)定理，再設(shè)，，聯(lián)立兩直線(xiàn)方程得到點(diǎn)在定直線(xiàn)上，設(shè)然后再聯(lián)立直線(xiàn)與圓方程得到韋達(dá)定理，得到即可；【詳解】（1）易知直線(xiàn)的斜率不為0，設(shè)，即，則圓心到直線(xiàn)的距離，又即，解得，所以直線(xiàn)的方程為，（2）易知直線(xiàn)的斜率不為0，設(shè)，即，由（1），，，又，化簡(jiǎn)得，令，則，，又，故最大時(shí)，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可得，故此時(shí)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，設(shè)，其中，則，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，易得，，解得，，（3）設(shè)，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，，，，設(shè)，，聯(lián)立，得，又，代入得，即點(diǎn)在定直線(xiàn)上，易得，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，設(shè)，則，所以，同理，在定直線(xiàn)上，所以與重合.29．（24-25高二上·重慶·期中）已知二次曲線(xiàn)表示圓的充要條件為，且.關(guān)于二次曲線(xiàn)，有以下結(jié)論：若，，，為平面內(nèi)三條直線(xiàn)，且，，，則過(guò)，，三點(diǎn)的二次曲線(xiàn)系方程為（，為參數(shù)）.若，，，為平面內(nèi)四條直線(xiàn)，且，，，，則過(guò)四點(diǎn)的二次曲線(xiàn)系方程為（為參數(shù)）.(1)若三角形三邊所在直線(xiàn)方程分別為：，，.求該三角形的外接圓方程.(2)記（1）中所求的外接圓為，直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)（在第一象限），直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)（在第二象限），直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn).（i）求證：；（ii）求的最小值.【答案】(1)(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）【分析】（1）由題意，根據(jù)三條直線(xiàn)方程設(shè)出二次曲線(xiàn)系方程，通過(guò)方程表示圓的充要條件待定系數(shù)可得；（2）由四條直線(xiàn)方程設(shè)出二次曲線(xiàn)系方程，再由已知圓的一般方程，對(duì)比兩方程尋找系數(shù)的等量關(guān)系，由關(guān)系可證得，由關(guān)系式（即）可得交點(diǎn)在定直線(xiàn)上上，進(jìn)而求解最值.【詳解】（1）則由題意，可設(shè)所求三角形的外接圓方程為：（，為參數(shù)），即，（）若方程表示圓，則，解得.將代入（）式化簡(jiǎn)得，驗(yàn)證：由，可知該