14/14專題3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)目標(biāo)1.經(jīng)歷從具體情景中抽象出拋物線的過程2.掌握拋物線的定義3.掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和推導(dǎo)過程，會(huì)求簡單的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用．2.難點(diǎn)(1)推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)與拋物線有關(guān)的最值問題．知識(shí)點(diǎn)01拋物線的定義（重點(diǎn)）拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．2、拋物線集合表示：P=M【知識(shí)剖析】（1）定點(diǎn)F不在定直線l上，否則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不是拋物線，而是過點(diǎn)F垂直于直線l的一條直線．（2）拋物線的定義中指明了拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的等價(jià)性，故二者可相互轉(zhuǎn)化，這也是利用拋物線定義解題的實(shí)質(zhì)．【即學(xué)即練】1．（25高二上·貴州黔西·月考）已知拋物線，則拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（

）A．4 B． C．3 D．知識(shí)點(diǎn)02拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程（難點(diǎn)）拋物線四種標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程離心率通徑長【知識(shí)剖析】（1）標(biāo)準(zhǔn)方程的特征：等號(hào)的一邊是某個(gè)變量的平方，等號(hào)的另一邊是另一個(gè)變量的一次單項(xiàng)式．（2）拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p的幾何意義：拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離（焦準(zhǔn)距），所以p的值恒大于0．（3）若一次項(xiàng)的字母是,則焦點(diǎn)就在軸上,若其系數(shù)是正的,則焦點(diǎn)就在軸的正半軸上(開口向右),若系數(shù)是負(fù)的,焦點(diǎn)就在軸的負(fù)半軸上(開口向左);（4）若一次項(xiàng)的字母是,則焦點(diǎn)就在軸上,若其系數(shù)是正的,則焦點(diǎn)就在軸的正半軸上(開口向上),若系數(shù)是負(fù)的,焦點(diǎn)就在軸的負(fù)半軸上(開口向下).（5）方程右邊一次項(xiàng)的變量與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的名稱相同，一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定拋物線的開口方向．p的值決定開口大小，p越大，則拋物線開口越大；p越小，則拋物線開口越?。?）拋物線雖然是不封閉圖形，但與雙曲線不同，它沒有漸近線．【即學(xué)即練】1．（24-25高二下·北京東城·期中）已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)03拋物線的焦半徑公式1．焦半徑的定義設(shè)拋物線上一點(diǎn)，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，則線段叫做拋物線的焦半徑，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線段，由拋物線的定義可知，．2．用坐標(biāo)表示焦半徑公式（1）拋物線，（2）拋物線，．（3）拋物線，（4）拋物線，．注：①．②利用焦半徑公式，我們可以把拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，解題時(shí)方便快捷．【即學(xué)即練】1．（24-25高二上·陜西咸陽·期末）若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到軸的距離之差為1，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4題型01拋物線的定義及應(yīng)用【典例1】（24-25高二下·廣東·開學(xué)考試）拋物線的焦點(diǎn)為F，是拋物線C上一點(diǎn)，且，則焦點(diǎn)F到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離是（

）A．1 B．2 C．4 D．8拋物線的定義及應(yīng)用策略利用拋物線的定義往往能實(shí)現(xiàn)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與它到準(zhǔn)線間的距離的靈活轉(zhuǎn)化，因而拋物線的定義常用于求焦半徑的長、點(diǎn)到準(zhǔn)線或坐標(biāo)軸的距離以及求與焦點(diǎn)相關(guān)的距離的最值問題等..【變式1-1】（23-24高二下·江蘇南京·月考）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A在拋物線C上，點(diǎn)B在準(zhǔn)線l上，若是邊長為2的等邊三角形，則的值是（

）.A．1 B． C．2 D．【變式1-2】（24-25高二上·天津東麗·月考）已知拋物線的焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-3】（24-25高二上·山西晉城·期中）已知點(diǎn)是拋物線：（）上一點(diǎn)，若點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為10，且點(diǎn)到軸的距離為6，則．題型02拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線【典例2】（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，并畫出草圖.(1)；(2)；(3)；(4).求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程1．將方程化為“標(biāo)準(zhǔn)形式”，確定p的值；2．根據(jù)開口方向，推導(dǎo)焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程【變式2-1】設(shè)，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．【變式2-2】下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是B．雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是C．拋物線的準(zhǔn)線方程是D．雙曲線的離心率【變式2-3】已知曲線，則C為（

）A．一條拋物線和兩條互相平行的直線B．一條拋物線，且該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為C．一條拋物線，且該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為D．兩條拋物線，且這兩條拋物線的焦點(diǎn)之間的距離為4題型03求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【典例3-1】（24-25高二上·山西太原·期末）已知拋物線以圓的圓心為焦點(diǎn)，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【典例3-2】（24-25高二下·上海崇明·期末）方程可以化簡為（）A． B． C． D．求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的常見方法1.待定系數(shù)法：（1）定位置：根據(jù)條件確定拋物線的焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上及開口方向；（2）設(shè)方程：根據(jù)焦點(diǎn)和開口方向設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）尋關(guān)系：根據(jù)已知條件列出關(guān)于參數(shù)p的方程；（4）得方程：解方程，將p代入所設(shè)方程即得所求．2.定義法：先分析題設(shè)條件，判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，然后根據(jù)拋物線的定義確定方程，即“先定型，再定量”。利用該方法求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要注意是否需先建立平面直角坐標(biāo)系再解題．【變式3-1】（24-25高二上·湖南·期末）若拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為9，則該拋物線的方程為（

）A． B． C． D．【變式3-2】求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)F關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為；(2)關(guān)于y軸對(duì)稱，與直線相交所得線段的長為12．【變式3-3】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為3的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．題型04與拋物線有關(guān)的軌跡問題【典例4】（24-25高二上·浙江寧波·期中）若點(diǎn)到直線和它到點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．利用拋物線的定義求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的策略(1)明確核心：確定拋物線的焦點(diǎn)（定點(diǎn)F）與準(zhǔn)線（定直線l，F(xiàn)不在l上）；(2)建系設(shè)點(diǎn)：建立直角坐標(biāo)系，設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)P(x,y)，寫出F的坐標(biāo)和l的方程；(3)列等量關(guān)系：用距離公式表示|PF|和P到l的距離，令二者相等；(4)化簡檢驗(yàn)：整理等式得方程，排除不合定義的情況，即為軌跡方程.【變式4-1】（24-25高二上·福建福州·月考）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離大1，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【變式4-2】（24-25高二上·湖南長沙·期中）已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，直線相交于點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率的差是，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A．B．C．D．【變式4-3】（24-25高二下·湖南長沙·月考）設(shè)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且，當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．題型05拋物線中線段和差的最值問題【典例5】（24-25高二上·遼寧·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，P為拋物線上一點(diǎn)，若，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4拋物線中線段和與差的最值問題破解策略由拋物線的定義可知，拋物線上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離與M到準(zhǔn)線l的距離相等，故與拋物線相關(guān)的距離的最值問題常通過距離的轉(zhuǎn)化來解決.【變式5-1】（24-25高二下·安徽·月考）已知點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)P到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為，到直線的距離為，則的最小值是（

）A． B． C． D．【變式5-2】（24-25高二上·云南大理·開學(xué)考試）已知為拋物線上任意一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．6 B．10 C．4 D．8【變式5-3】（24-25高二下·黑龍江大慶·開學(xué)考試）設(shè)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，記到直線，的距離分別，，則的最小值為.題型06拋物線在實(shí)際問題中的應(yīng)用【典例6】（24-25高二上·陜西渭南·期中）圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑，深度，信號(hào)處理中心位于焦點(diǎn)處，以頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，則焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．求解拋物線應(yīng)用題的五個(gè)步驟1．建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；2．假設(shè)：設(shè)出合適的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程；3．計(jì)算：通過計(jì)算求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；4．求解：求出需要求出的量；5．還原：還原到實(shí)際問題中，從而解決實(shí)際問題．【變式6-1】（24-25高二上·青海海南·期末）圖中展示的是一座拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面2m，水面寬6m，水面上漲1m后，水面寬度為（

）A． B． C． D．8m【變式6-2】（23-24高二上·四川德陽·月考）如圖是某景區(qū)內(nèi)的一座拋物線拱形大橋，該橋拋物線拱形部分的橋面跨度為10米，拱形最高點(diǎn)與水面的距離為6米，為增加景區(qū)的夜晚景色，景區(qū)計(jì)劃在拱形橋的焦點(diǎn)處懸掛一閃光燈，則豎直懸掛的閃光燈到水面的距離為（

）（結(jié)果精確到0.01）A．4.96 B．5.06 C．4.26 D．3.68【變式6-3】如圖是一座拋物線型拱橋，當(dāng)橋洞內(nèi)水面寬時(shí)，拱頂距離水面，當(dāng)水面上升后，橋洞內(nèi)水面寬為；

練基礎(chǔ)1．已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為4，則（

）A．3 B． C．6 D．2．拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．83．方程可以化簡為（）A． B． C． D．4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若軸，則（

）A． B． C． D．5．設(shè)，，常數(shù)，定義運(yùn)算“”：，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓的一部分C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分6．（多選）當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，關(guān)于的方程表示的曲線的形狀可能是（

）A．一條直線 B．圓 C．雙曲線 D．拋物線7．（多選）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出.已知拋物線的焦點(diǎn)為，一束平行于軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．若直線傾斜角為，則C． D．與之間的距離為38．設(shè)，若拋物線的焦點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則.9．已知拋物線的焦點(diǎn)為，，是上兩點(diǎn)，若，則.10．求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為；(2)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過點(diǎn)；(3)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)在直線上.11．如圖是一座拋物線型拱橋橫截面的示意圖，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂O離水面2m，水面寬那么當(dāng)水面下降1m后.(1)水面的寬為多少?(2)求此時(shí)橫截面中水面中心A到拋物線上的點(diǎn)距離的最小值.練提升12．已知過拋物線C：的焦點(diǎn)F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為C上一點(diǎn)，記的面積分別為，若，則的最小值為（

）A．16 B．20 C．25 D．2813．造型可以做成美麗的絲帶，將其看作圖中曲線C的一部分.已知C過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且C上的點(diǎn)滿足橫坐標(biāo)大于，到點(diǎn)的距離與到定直線的距離之積為4，則C在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值與1的關(guān)系為（

）A． B． C． D．14．（多選）已知拋物線，其焦點(diǎn)為；雙曲線的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別為，已知在第一象限存在公共點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為B．曲線C2的漸近線為C．存在，使得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為10D．若以為直徑的圓與軸相切于點(diǎn)，則15．古希臘的幾何學(xué)家用一個(gè)不過頂點(diǎn)的平面去截一個(gè)圓錐，將所截得的不同的截口曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線．如圖所示的圓錐中，AB為底面圓的直徑，為PB的中點(diǎn)，某同學(xué)用平行于母線PA且過點(diǎn)的平面去截圓錐，所得截口曲線為拋物線．若該圓錐的高，底面半徑，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，動(dòng)點(diǎn)在圓上，動(dòng)點(diǎn)Q在拋物線上，點(diǎn)Q在軸上的投影為，則的最小值為，的最小值為．

17．已知定點(diǎn)，定直線，動(dòng)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)且與垂直的直線上有一動(dòng)點(diǎn)，滿足，請(qǐng)討論點(diǎn)的軌跡類型．18．已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合．(1)求拋物線的方程；(2)如圖，若過點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：．19．如圖，已知拋物線是曲線上兩點(diǎn)，且．(1)求中點(diǎn)的軌跡方程；(2)求證：直線過定點(diǎn)．20．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，若點(diǎn)分別為弦的中點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，求四邊形的面積．練創(chuàng)新21．古希臘數(shù)學(xué)家阿波