2/37專題04拓展：巧用圓的參數(shù)方程破解與圓相關(guān)的五大題型題型一：求代數(shù)式的最值 1題型二：求參數(shù)的取值范圍 6題型三：求距離的最值 8題型四：解決點(diǎn)的軌跡問題 11題型五：解決向量問題 14【知識點(diǎn)綜述】1．圓的參數(shù)方程(1)設(shè)圓O的半徑為r，點(diǎn)M從初始位置出發(fā)，按逆時(shí)針方向在圓O上作勻速圓周運(yùn)動，設(shè)，則,這就是圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓的參數(shù)方程，其中的幾何意義是轉(zhuǎn)過的角度.(2)圓心為，半徑為的圓的普通方程是，它的參數(shù)方程為。2.利用參數(shù)方程表示圓上的點(diǎn)由圓的參數(shù)方程我們可以把圓心為x0,y0x0+rcos

θ,y特別地,若原點(diǎn)為圓心，常用rcos

θ,rsin

θ來表示半徑為r的圓上的任一點(diǎn).3.利用圓的參數(shù)方程解題的優(yōu)越性利用圓的參數(shù)方程設(shè)點(diǎn)的參數(shù),一方面可減少參數(shù)的個(gè)數(shù),另一方面可以借助三角恒等變換來解決問題.從代數(shù)的觀點(diǎn)來看,這種做法的實(shí)質(zhì)就是三角代換，同時(shí)圓的參數(shù)方程也是解決某些代數(shù)問題的一個(gè)重要工具.題型一：求代數(shù)式的最值先把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程，利用參數(shù)方程把待求式化為關(guān)于參數(shù)θ的函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求得最值，求解十分方便，這正是參數(shù)方程的優(yōu)勢.1．（24-25高三·云南·階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)x，y滿足條件，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用圓的參數(shù)方程，令，，代入中，結(jié)合輔助角公式即可得到答案.【解析】令，，則，此時(shí).故選：D．2．（24-25高二下·廣西欽州·期中）已知點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C．6 D．5【答案】A【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)x、y的參數(shù)方程，利用輔助角公式及正弦型函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.【解析】由，令，則，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為.故選：A3．（2025·浙江寧波·模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓的參數(shù)方程可設(shè)，，再用二倍角公式整理計(jì)算．【解析】∵，不妨設(shè)，則故選：D．4．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)是圓C上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．25 B．24 C．23 D．22【答案】A【分析】設(shè)代入算式中由倍角公式化簡，利用基本不等式求積的最大值.【解析】點(diǎn)是圓C上的任意一點(diǎn)，設(shè)則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.的最大值為25.故選：A5．（多選）（24-25高三上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）若，滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項(xiàng)的真假，其中D選項(xiàng)，利用三角換參及三角恒等變換進(jìn)行求解．【解析】因?yàn)椋≧），由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤，B正確；由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故C正確；因?yàn)樽冃慰傻?，設(shè)，所以，因此，所以當(dāng)時(shí)滿足等式，故D正確．故選：BCD．6．（多選）（24-25高二上·河北衡水·階段練習(xí)）已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn),則(

)A．的最大值是B．的最小值是C．的最小值是D．的最大值是【答案】BC【分析】利用圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求解【解析】圓的方程可化為設(shè),則當(dāng)時(shí),取得最大值,故A錯(cuò)誤;所以當(dāng)時(shí),取得最小值,故B正確;.所以當(dāng)時(shí),取得最小值,故C正確;..所以當(dāng)時(shí),取得最大值,故D錯(cuò)誤故選：BC.7．（24-25高二上·寧夏吳忠·期中）已知實(shí)數(shù)滿足．則的最大值是．【答案】【分析】配方已知等式，利用三角換元法，結(jié)合三角函數(shù)知識可得答案.【解析】因?yàn)?，所以，令得，其中，因?yàn)?，所以，所以的最大值?故答案為：8．（23-24高二下·上?！て谥校┮阎獙?shí)數(shù)，滿足，則的最大值是．【答案】【分析】利用圓的參數(shù)方程思想，引入?yún)?shù)來表示、，代入后得到關(guān)于的三角函數(shù)來求最值.【解析】由得：，所以可設(shè)，,則,因?yàn)?，所以的最大值是?．函數(shù)的最大值是.【答案】【分析】利用三角換元得到，其幾何意義是動點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，即可運(yùn)用直線與半圓的位置關(guān)系（相切）求得y的最大值.【解析】，由定義知且.，故可設(shè)，，則有，可看作是動點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率.而動點(diǎn)M的軌跡方程，即是半圓（如圖2-31所示）.

設(shè)切線為，T為切點(diǎn)，，，，，即函數(shù)的值域?yàn)轭}型二：求參數(shù)的取值范圍利用圓的參數(shù)方程,采用代入法把求參數(shù)的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的值域問題,使問題迅速獲解,可謂轉(zhuǎn)化巧妙.10．（24-25高二下·陜西西安·期中）已知曲線（為參數(shù)）上任一點(diǎn)，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用參數(shù)方程設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出的表達(dá)式，利用輔助角公式以及三角函數(shù)有界性求出最值，即可得出的取值范圍.【解析】因?yàn)椋?，所以，即．因?yàn)?，所以．故選：A.11.已知Px,y是圓x2+y2=2y【答案】[?2?1,+∞)【解析】把圓的方程化為參數(shù)方程可得&x=cos

θ,&y=1+sin

θ,θ為參數(shù)且θ∈[0,2π)若x+y+a≥0有解，則x+y+a=cos

θ+sin

θ+1+a≥0，即a≥?cos

θ+sin

θ?1=?所以a≥?2?1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[?12．（25-26高三上·江蘇南京·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，若圓上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)在直線上，則實(shí)數(shù)的最大值為.【答案】0【分析】設(shè)點(diǎn)，則，代入直線結(jié)合最值即可求解．【解析】在，可設(shè)，可得，將的坐標(biāo)代入，可得，，化為得，的最大值為0．13．已知拋物線y=x2+t與圓x2【答案】[?54【解析】把圓的方程化為參數(shù)方程可得x=cos

α，y=sin

α，α∈[0,2π)，代入拋物線方程y=x2+t可得當(dāng)sin

α=?12時(shí)，t取得最小值，最小值為?當(dāng)sin

α=1時(shí)，t取得最大值,最大值為1.故實(shí)數(shù)t的取值范圍是[?5414．（24-25高三下·上?！ら_學(xué)考試）已知，存在，當(dāng)時(shí)，都有，則的取值范圍是．【答案】【分析】令，得，故點(diǎn)在圓心為原點(diǎn)的單位圓上，點(diǎn)在曲線上，轉(zhuǎn)化為向量與的夾角大于，利用數(shù)形結(jié)合即可解出.【解析】令，故，故原不等式可化為：，令，得，故點(diǎn)在圓心為原點(diǎn)的單位圓上，點(diǎn)在曲線上，作出大致圖象如下：故不等式的幾何意義是：向量與的夾角大于，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故，故時(shí)，函數(shù)與直線恰好相切，切點(diǎn)為原點(diǎn)，易知存在，在時(shí)使得恒成立，當(dāng)時(shí)，不存在一個(gè)給定的，使得恒成立，綜上，的取值范圍是．15．（24-25高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動.若恒為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】或【分析】設(shè)，由題設(shè)易得結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)，化簡整理可得求a的范圍，又不在上有無解求a的范圍，最后取交集即可.【解析】由題設(shè)，可得如下示意圖：令，而，∴，，由題意，∴且，∴，可得，解得或，易知：不在，，則無解，∴，可得或，綜上，或.題型三：求距離的最值將圓上的動點(diǎn)用參數(shù)方程表示，利用距離公式將距離轉(zhuǎn)化為關(guān)于角參數(shù)的三角函數(shù)，再利用三角函數(shù)知識求得最值.16．（2025·遼寧盤錦·三模）定義：已知，，若，則稱，兩點(diǎn)具有性質(zhì)．已知點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，點(diǎn)，若，兩點(diǎn)具有性質(zhì)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)題意列出等式，利用三角恒等變換及三角函數(shù)性質(zhì)求解即可.【解析】設(shè)，，則，則，則，故．故選：C.17．（24-25高三下·浙江·開學(xué)考試）是圓上一動點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為.【答案】【分析】寫出圓的參數(shù)方程，進(jìn)而可得點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值即可.【解析】如圖所示，因?yàn)閳A：的參數(shù)方程為，所以設(shè)點(diǎn)，則的中點(diǎn)，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值為.18．（23-24高二上·江蘇南通·期末）“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)，定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任意兩點(diǎn)，的“曼哈頓距離”為，已知?jiǎng)狱c(diǎn)N在圓上，定點(diǎn)，則M，N兩點(diǎn)的“曼哈頓距離”的最大值為．【答案】【分析】由題意設(shè)，結(jié)合距離新定義以及輔助角公式即可得解.【解析】由題意，不妨設(shè)，則M，N兩點(diǎn)的“曼哈頓距離”為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，即?dāng)且僅當(dāng)，即，綜上所述，M，N兩點(diǎn)的“曼哈頓距離”的最大值為.19.（2024·上海模擬）已知?jiǎng)訄Ax?a2+y?b2【答案】2+2【解析】由題可知原點(diǎn)在圓上，所以a2+圓心到直線的距離d=a?b+21令a=cos

θ，b=sin

θ，則d=cos

θ?sin

θ+22當(dāng)cosθ+π4=1所以動圓上的點(diǎn)到直線x?y+2=0的距離的最大值是2+220．（2025·廣東·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)，，，點(diǎn)滿足，則的最大值為．【答案】/【分析】先明確點(diǎn)的軌跡，再借助三角換元，把問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的值域問題或輔助角公式結(jié)合正弦函數(shù)的有界性求解.【解析】易知點(diǎn)的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓.其標(biāo)準(zhǔn)方程為：，設(shè)，則（為參數(shù)且），∴．方法一：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，令，∴，∴（時(shí)取等號），即，故的最大值為．故答案為：方法二：設(shè)所以.即，故的最大值為．題型四：解決點(diǎn)的軌跡問題參數(shù)法可以很好地解決一類軌跡問題——點(diǎn)隨點(diǎn)動型；將圓上的動點(diǎn)用參數(shù)方程表示，所求軌跡的動點(diǎn)用(x,y)表示，再將x,y用角參數(shù)表示，消去參數(shù)即得點(diǎn)的軌跡方程.21.點(diǎn)P(4,－2)與圓x2+y2=4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)軌跡方程是()

A.(x－2)2+(y+1)2=1B.(x－2)2+(y+1)2=4

C.(x+4)2+(y－2)2=4D.(x+2)2+(y－1)2=1【答案】A【解析】圓x2+y2=4的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），∴設(shè)圓上任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P(4,－2)與點(diǎn)N連線的中點(diǎn)為M(x，y)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式：，于是點(diǎn)M軌跡的參數(shù)方程可寫為，消去參數(shù)得.因此選擇A.22.已知點(diǎn)P是圓x2＋y2=4上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)Q是x軸上的定點(diǎn)，坐標(biāo)為(6，0)，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時(shí)，則線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為.【答案】【解析】圓x2+y2=4的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），∴設(shè)點(diǎn)，設(shè)中點(diǎn)M(x，y)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式：，，于是點(diǎn)M軌跡的參數(shù)方程可寫為，消去參數(shù)得其軌跡方程為23．如圖所示，已知圓，過圓內(nèi)一點(diǎn)作兩條相互垂直的射線與圓分別交于點(diǎn)Q、S，以、為鄰邊作矩形，矩形頂點(diǎn)R的軌跡方程為.【答案】.【分析】將普通方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程，將原問題轉(zhuǎn)化為三角問題，通過三角變換就能較為順利地求出軌跡方程并判定其表示何種曲線.【解析】解：設(shè)圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.設(shè)，，頂點(diǎn)，則，.由四邊形為矩形，可知，.①又的中點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，有，②，③于是由，得.④將②③④均代入①，得，，即.又當(dāng)射線軸時(shí)，，，即，此時(shí)，即對軸時(shí)，同樣有.綜上所述，矩形頂點(diǎn)Ｒ的軌跡方程，其軌跡即為圓心在原點(diǎn)、半徑為的一個(gè)圓.題型五：解決向量問題參數(shù)法可以很好地解決一類軌跡問題——點(diǎn)隨點(diǎn)動型；將圓上的動點(diǎn)用參數(shù)方程表示，所求軌跡的動點(diǎn)用(x,y)表示，再將x,y用角參數(shù)表示，消去參數(shù)即得點(diǎn)的軌跡方程.24．（2025·四川巴中·二模）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)的坐標(biāo)為為原點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，且，，再應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及三角恒等變換化簡，最后應(yīng)用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求范圍.【解析】由題設(shè)，設(shè)，則.利用輔助角公式：因?yàn)?，所?綜上，的取值范圍是.故選：A25．（23-24高一下·山東濱州·開學(xué)考試）如圖，在等腰梯形中，，，，，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且滿足，動點(diǎn)在以為圓心的半徑為的圓上運(yùn)動，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用題設(shè)條件，建系，求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，因點(diǎn)在圓上，設(shè)點(diǎn)，計(jì)算得三角函數(shù)形式，運(yùn)用輔助角公式將其化成正弦型函數(shù)，即可求其最值.【解析】如圖，以為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系.由題意，梯形的高長為，則.因?yàn)橐詾閳A心的半徑為的圓的方程為：，可設(shè)點(diǎn)，.則其中，，故當(dāng)時(shí)，.故選：A.26．（2025·河北廊坊·模擬預(yù)測）設(shè)點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．6 B．4 C． D．【答案】D【分析】令且，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得，即可得最小值.【解析】由，則，如下圖示，

令且，則，，，，，，所以，當(dāng)時(shí)，有最小值為.故選：D27．（2025·山東·一模）設(shè)為單位向量，且，若向量滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】假設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得對應(yīng)點(diǎn)的軌跡，采用三角換元法，根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算可將表示為關(guān)于的函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)值域可求得結(jié)果.【解析】由題意可設(shè)：，，，，，，即，可令，，，.故選：C.28．（23-24高一下·江蘇徐州·期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，若動點(diǎn)P在以AB為直徑的半圓上(正方形ABCD內(nèi)部，含邊界)，則的取值范圍為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)，再由平面向呈的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合三角函數(shù)的有界性計(jì)算即可求得.【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，則以AB為直徑的半