33/43專題4.3用向量方法研究立體幾何中的度量關(guān)系教學(xué)目標(biāo)1.會用向量法求線線、線面、面面的夾角及與其有關(guān)的角的三角函數(shù)值.2.會用向量法求點點、點線、點面、線線、線面、面面之間的距離及與其有關(guān)的面積與體積.教學(xué)重難點1.重點能根據(jù)所給的條件利用空間向量這一重要工具求空間角或空間距離.2.難點(1)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)利用空間向量解決與空間角或空間距離有關(guān)的動態(tài)幾何問題.知識點01空間兩直線的夾角若向量a，b分別為直線a，b的方向向量，則直線a與b所成的角θ∈，且θ與兩個方向向量所成的角〈a，b〉或，也就是說：當(dāng)0≤〈a，b〉≤π2時，θ＝當(dāng)π2＜〈a，b〉≤π時，θ＝π－〈a，b〉，故cosθ＝_【即學(xué)即練】1．（25-26高二上·湖南長沙·階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，若異面直線l，m的方向向量分別為，，則l，m所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·安徽六安·期末）在正方體中，是的中點，是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．知識點02直線與平面的夾角設(shè)向量l為直線l的一個方向向量，n是平面α的一個法向量，則直線l與平面α所成的角θ∈0，π2，且θ＝π2－〈l，n〉(圖1)，或θ＝〈l，n〉－π2【即學(xué)即練】1．（23-24高二上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）若直線的方向向量與平面的法向量的夾角等于，則直線與平面的所成的角等于（

）A． B． C． D．以上均錯2．（24-25高二下·江西·階段練習(xí)）若直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則直線與平面所成的角為（）A． B． C．或 D．或知識點03兩平面的夾角與二面角1．二面角的平面角一般地，已知n1，n2分別為平面α，β的法向量，則二面角α-l-β的平面角與兩法向量所成角〈n1，n2〉相等或互補(bǔ)，如下圖所示：則2．兩平面的夾角如圖，平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于的二面角稱為平面α與平面β的夾角.設(shè)平面α與平面β的夾角為，則3．兩平面的夾角與兩平面法向量夾角的關(guān)系設(shè)平面與的法向量分別為n1與n2.當(dāng)0≤〈n1，n2〉≤eq\f(π,2)時，平面與的夾角等于;當(dāng)eq\f(π,2)＜〈n1，n2〉≤π時，平面與夾角等于.【知識辨析】平面間的夾角與二面角的比較1.二面角范圍為,而平面間的夾角僅指的是范圍在內(nèi)的二面角.2.當(dāng)兩相交平面的夾角為銳角時，兩個半平面所成的二面角仍然可以是鈍角，.從范圍上講，這兩個角有區(qū)別，但卻有著相等或互補(bǔ)的關(guān)系，它們的余弦值相等或互補(bǔ).【即學(xué)即練】1．（25-26高二上·北京房山·階段練習(xí)）已知平面的法向量，平面的法向量，則平面與的夾角為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）在棱長為的正方體中，滿足，，則二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．知識點04點到平面的距離點P到平面α的距離，等于點P與平面α內(nèi)任意一點A連線所得向量PA，在平面α的單位法向量n0方向上所作投影向量的長度，即d＝.【溫馨提醒】1.點P可以是平面內(nèi)的任意一點.2.點A到平面π的距離公式還可寫成：d＝【即學(xué)即練】1．（浙江省溫州十校聯(lián)合體2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知平面的一個法向量，點在平面內(nèi)，則點到平面的距離為（

）A． B． C．1 D．2．（24-25高二上·山東淄博·期末）如圖，在長方體中，，，點是棱的中點，則點到平面的距離為（

）

A． B．C． D．知識點05點到直線的距離設(shè)是過點平行于向量的直線，是直線外一定點．作，垂足為，則點到直線的距離等于線段的長度，而向量在上的投影的大小等于線段的長度，根據(jù)勾股定理有點到直線的距離d=．【溫馨提醒】1.同向的單位向量.2.點A到直線的距離也可寫成：.【即學(xué)即練】1．（25-26高二上·青海西寧·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點，且其方向向量，則點到直線的距離為（

）A． B．C．3 D．2．（2025·四川·二模）已知空間中向量=（0，1，0），向量的單位向量為（），則點B到直線AC的距離為（

）A． B． C． D．題型01求異面直線所成的角【典例1】如圖，在四棱錐中，底面為邊長為1的菱形，,,,為的中點，求異面直線AB與MD的夾角的大小.坐標(biāo)法求異面直線的夾角的一般步驟1.建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.2.求出兩異面直線的方向向量的坐標(biāo).3.利用向量的夾角公式計算兩條直線的方向向量的夾角4.結(jié)合異面直線的夾角范圍得到異面直線的夾角【變式1-1】（25-26高二上·遼寧朝陽·期中）《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵.在塹堵中，若，，點為線段的中點，則直線與直線所成的角的余弦值為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（25-26高二上·湖北孝感·期中）在三棱錐中，平面，點在棱AD上，且，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．

題型02求直線與平面的夾角【典例2】如圖，四棱錐中，是菱形，，，分別為和的中點.

(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)若，求直線與平面夾角的正弦值.1.坐標(biāo)法求線面角根據(jù)題目條件建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)各點的坐標(biāo)，求出兩直線方向向量的坐標(biāo)，再利用向量的夾角公式求角.設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有．2.基向量法求線面角當(dāng)坐標(biāo)系不易建立時，可選用不共面的三個已知向量作為空間中的一個基底，將兩直線的方向向量均用基底表示出來，再利用向量的夾角公式求角.【變式2-1】（福建省百校聯(lián)考2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期11月聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，，.(1)證明：平面平面；(2)求與平面所成角的余弦值.【變式2-2】（浙江省91高中聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題）如圖，正三棱柱的所有棱長都為2，為的中點，且，(1)若，求證：平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求實數(shù)的值．題型03求兩平面的夾角或二面角【典例3-1】如圖，二面角的大小為是棱上兩點，，且，，則.【典例3-2】（25-26高二上·北京·期中）如圖，正方形的邊長為4，，分別為，的中點.將正方形沿著線段折起，使得.設(shè)為的中點.

(1)求證：；(2)求異面直線與所成角的余弦值；1.基向量法求二面角在圖形中找到與二面角的棱都垂直的兩條異面直線，反復(fù)利用向量的線性運(yùn)算法則對兩條直線的方向向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化,求出兩條直線方向向量的夾角，進(jìn)而求得二面角的大小.2.利用法向量求二面角即找或作出兩個平面的法向量，并求得它們的坐標(biāo)，再結(jié)合向量夾角公式求解。.【變式3-1】在四棱錐中，底面是正方形，底面，若二面角的大小為，則的值為．【變式3-2】（25-26高二上·北京·期中）如圖，在棱長為2的正方體中，點是棱上的點，點是棱的中點．

(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面所成角的余弦值．題型04求點到平面的距離【典例4】（25-26高二上·北京·月考）如圖，平面平面ABCD，，，，，E為PD中點.(1)求證：平面PBC；(2)求平面ABE與平面PAB所成角的余弦值；(3)求點D到平面ABE的距離.利用空間向量求點面距的一般步驟1．求出該平面的一個法向量；2．找出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量；3．求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離．即：點A到平面的距離，其中，是平面的法向量．【變式4-1】（25-26高二上·天津·期中）如圖，在正四棱柱中，，點分別在棱，上，.(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點B到平面AEF的距離.【變式4-2】如圖，在正三棱柱中，，分別為的中點．線段上是否存在點，使得？若存在，求出點到平面的距離；若不存在，說明理由．題型05求點到直線的距離【典例5】已知直三棱柱中，，，則點到直線的距離為.求點到直線的距離的方法1.幾何法.過這點向直線作垂線,則這點與垂足間的距離就是點到直線的距離,此時往往通過解這條垂線段所在的一個直角三角形求得距離.2.向量法(1)將點到直線的距離問題轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題,即利用待定系法求出垂足的坐標(biāo),然后利用向量模長的坐標(biāo)表示求解,這是求各類距離的通法.(2)直接套用點到直線的距離公式求解.【變式5-1】在長方體中，，點E在棱BC上，且，點G為的重心，則點G到直線AE的距離為（

）A． B． C． D．【變式5-2】四面體滿足，，，，設(shè)、、的中點分別為、、，則點到直線的距離為.題型06其它距離問題【典例6-1】如圖，正方體中，棱長為4，M、N、E、F分別為A1D1、A1B1、D1C1、B1C1中點，⑴求證：平面AMN∥平面EFBD；⑵求平面AMN與平面EFBD的距離.AACDA1B1C1BD1MNFE【典例6-2】（23-24高二上·山東淄博·階段練習(xí)）在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F(xiàn)為線段AB的中點．(1)求直線與所成角的余弦值；(2)求直線到平面的距離．1.求兩平行線間的距離的方法求平行直線間的距離可轉(zhuǎn)化為求點到直線的距離,即在一條直線上取一個適當(dāng)?shù)狞c,則該點到另一條直線的距離就是這兩條平行線間的距離.2.求直線到平面的距離(1)當(dāng)直線與平面平行時，直線上任一點到該平面的距離，叫直線到平面的距離．(2)求直線到平面的距離時，一般轉(zhuǎn)化為點到面的距離．3.求兩平行平面間的距離(1)當(dāng)兩平面平行時，一個平面內(nèi)任一點到另一平面的距離，叫平面到平面的距離．(2)求平面到平面的距離時，一般也是轉(zhuǎn)化成點到面的距離．【變式6-1】（25-26高二上·北京延慶·期中）已知棱長為1的正方體中，分別為的中點，則直線與平面之間的距離為．【變式6-2】（24-25高二上·四川自貢·階段練習(xí)）在棱長為的正方體中，求(1)直線與平面所成的角；(2)求平面與平面的距離；(3)求三棱錐外接球的表面積；題型07與空間角或距離有關(guān)的探究性問題【典例7】如圖，等邊三角形ABC的邊長為，，分別為所在邊的中點，為線段的中點，現(xiàn)將三角形沿直線折起，使得二面角為直二面角．(1)求線段的長度；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)棱上是否存在異于端點的點，使得點到平面的距離為．若存在，請指出點的位置；若不存在，請說明理由．對于存在性和探究性問題，常用的方法是假定存在符合條件的點（或線），然后在此條件下解決該問題，若存在，則一定能求出結(jié)果；若不存在，則能推出矛盾.【變式7】如圖，在四棱錐中，四邊形是直角梯形，，且，，，E為中點.(1)證明：平面；(2)證明：平面；(3)在線段上是否存在點，使得平面與平面夾角的余弦值為?若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由.題型08與空間角或距離有關(guān)的最值(范圍)問題【典例8】如圖，幾何體是圓柱的四分之一部分，其中底面是半徑為的扇形，母線長為，是的中點，為的中點，是上的動點（不與、重合），是圓柱的母線．(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積的最大值；(3)求二面角余弦值的取值范圍．對于空間角或距離的范圍（最值）問題，一般利用夾角公式或距離公式建立關(guān)于變量的函數(shù)，利用函數(shù)思想求其范圍或最值.【變式8】等腰梯形中，，，，沿對角線將翻折形成三棱錐（點翻折到點的位置），點、分別為棱，的中點.(1)證明：平面；(2)當(dāng)直線與直線成角時，求四棱錐的體積；(3)在翻折過程中求平面與平面夾角余弦值的取值范圍.一、單選題1．若平面過點且該平面的一個法向量為，則點到平面的距離為（

）A． B． C． D．2．（25-26高二上·遼寧大連·期中）兩平行平面，分別經(jīng)過坐標(biāo)原點和點，且兩平面的一個法向量，則兩平面間的距離是（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·廣西·期末）如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz中，是正三棱柱的底面內(nèi)一動點，，直線PA和底面ABC所成的角為，則P點的坐標(biāo)滿足（

）A． B．C． D．4.（25-26高二上·北京·月考）中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種被稱為“曲池”的幾何體．該幾何體是上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．在如圖所示的“曲池”中，平面，記弧、弧的長度分別為，已知為弧的中點，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．5．在四棱錐中，，，，則該四棱錐的高為（

）A． B． C． D．6．（24-25高二上·廣東廣州·期末）在正四棱柱中，側(cè)棱，直線與平面所成角的余弦值為，則該正四棱柱的體積等于（

）

A． B． C． D．7．（24-25高二下·江蘇淮安·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，已知：平面，，，，已知是四邊形內(nèi)部一點（包括邊界），且二面角的平面角大小為，則線段AQ長度的最小值是（）A． B．2 C． D．48．六氟化硫是一種無機(jī)化合物，常溫常壓下為無色無味無毒不燃的穩(wěn)定氣體.化學(xué)式為，在其分子結(jié)構(gòu)中，硫原子位于中心，六個氟原子均勻分布在其周圍，形成一個八面體的結(jié)構(gòu).如圖所示，該分子結(jié)構(gòu)可看作正八面體，記為，各棱長均相等，則平面與平面夾角的余弦值是（

）A． B． C． D．二、多選題9．在空間直角坐標(biāo)系中，，則（

）A． B．C．異面直線與所成角的余弦值為 D．點到直線的距離是10．（多選）如圖，已知正方體的邊長為2，分別為的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．平面AEFC．異面直線與EF所成角的余弦值為D．點到平面AEF的距離為211（25-26高二上·浙江·期中）底面為直角梯形的直四棱柱中，，，動點滿足．則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則點在平面上B．若，則點在平面上C．若，則點到直線的距離為D．若時，直線與面所成角的正弦值取值范圍是三、填空題12．已知四邊形為矩形，為四邊形外一點且平面ABCD，，，，則異面直線與之間的距離為．13．（25-26高二上·廣東廣州·期中）如圖，在四面體ABCD中，，，若，，，，則平面ABD與平面CBD的夾角為．14．（25-26高二上·河南焦作·期中）在如圖所示的四棱錐中，底面為正方形，底面，