2025年歷年中考數(shù)學(xué)難題及答案應(yīng)用題20．（本小題滿分8分）北京奧運(yùn)會(huì)開幕前，某體育用品商場預(yù)測某品牌運(yùn)動(dòng)服能夠暢銷，就用32000元購進(jìn)了一批這種運(yùn)動(dòng)服，上市后很快脫銷，商場又用68000元購進(jìn)第二批這種運(yùn)動(dòng)服，所購數(shù)量是第一批購進(jìn)數(shù)量的2倍，但每套進(jìn)價(jià)多了10元．（1）該商場兩次共購進(jìn)這種運(yùn)動(dòng)服多少套？（2）如果這兩批運(yùn)動(dòng)服每套的售價(jià)相同，且全部售完后總利潤率不低于20%，那么每套售價(jià)至少是多少元？（利潤率

）

22．（本小題滿分10分）某水產(chǎn)品養(yǎng)殖企業(yè)為指導(dǎo)該企業(yè)某種水產(chǎn)品的養(yǎng)殖和銷售，對(duì)歷年市場行情和水產(chǎn)品養(yǎng)殖情況進(jìn)行了調(diào)查．調(diào)查發(fā)現(xiàn)這種水產(chǎn)品的每千克售價(jià)（元）與銷售月份（月）滿足關(guān)系式，而其每千克成本（元）與銷售月份（月）滿足的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）試確定的值；（2）求出這種水產(chǎn)品每千克的利潤（元）與銷售月份（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）“五·一”之前，幾月份出售這種水產(chǎn)品每千克的利潤最大？最大利潤是多少？

21．(本題滿分10分)星期天，小明和七名同學(xué)共8人去郊游，途中，他用20元錢去買飲料，商店只有可樂和奶茶，已知可樂2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元錢剛好用完．(1)有幾種購買方式？每種方式可樂和奶茶各多少杯？(2)每人至少一杯飲料且奶茶至少二杯時(shí)，有幾種購買方式？

20.（9分）某項(xiàng)工程，甲工程隊(duì)單獨(dú)完成任務(wù)需要40天．若乙隊(duì)先做30天后，甲、乙兩隊(duì)一起合做20天就恰好完成任務(wù)．請(qǐng)問：（1）（5分）乙隊(duì)單獨(dú)做需要多少天才能完成任務(wù)？（2）（4分）現(xiàn)將該工程分成兩部分，甲隊(duì)做其中一部分工程用了x天，乙隊(duì)做另一部分工程用了y天．若x、y都是正整數(shù)，且甲隊(duì)做的時(shí)間不到15天，乙隊(duì)做的時(shí)間不到70天，那么兩隊(duì)實(shí)際各做了多少天？

3、某商場在銷售旺季臨近時(shí)，某品牌的童裝銷售價(jià)格呈上升趨勢，假如這種童裝開始時(shí)的售價(jià)為每件20元，并且每周（7天）漲價(jià)2元，從第6周開始，保持每件30元的穩(wěn)定價(jià)格銷售，直到11周結(jié)束，該童裝不再銷售。

（1）請(qǐng)建立銷售價(jià)格y（元）與周次x之間的函數(shù)關(guān)系；

（2）若該品牌童裝于進(jìn)貨當(dāng)周售完，且這種童裝每件進(jìn)價(jià)z（元）與周次x之間的關(guān)系為，

1≤x≤11，且x為整數(shù)，那么該品牌童裝在第幾周售出后，每件獲得利潤最大？并求最大利潤為多少？

5、某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元．當(dāng)售價(jià)為每件60元時(shí)，每星期可賣出300件，現(xiàn)需降價(jià)處理，且經(jīng)市場調(diào)查：每降價(jià)1元，每星期可多賣出20件．在確保盈利的前提下，解答下列問題：（1）若設(shè)每件降價(jià)元、每星期售出商品的利潤為元，請(qǐng)寫出與的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量的取值范圍；（2）當(dāng)降價(jià)多少元時(shí)，每星期的利潤最大？最大利潤是多少？

幾何題

20．(本題滿分8分)如圖，在□ABCD中，∠BAD為鈍角，且AE⊥BC，AF⊥CD．(1)求證：A、E、C、F四點(diǎn)共圓；(2)設(shè)線段BD與(1)中的圓交于M、N．求證：BM=ND．

23．(本題滿分10分)如圖，半徑為2的⊙O內(nèi)有互相垂直的兩條弦AB、CD相交于P點(diǎn)．(1)求證：PA·PB=PC·PD；(2)設(shè)BC的中點(diǎn)為F，連結(jié)FP并延長交AD于E，求證：EF⊥AD：(3)若AB=8，CD=6，求OP的長．18.（8分）如圖8，大樓AD的高為10m，遠(yuǎn)處有一塔BC．某人在樓底A處測得塔頂B點(diǎn)處的仰角為60°，爬到樓頂D點(diǎn)處測得塔頂B點(diǎn)的仰角為30°．求塔BC的高度．

22．已知：如圖，在⊙O中，弦AB與CD相交于點(diǎn)M．(1)若AD=CB，求證：△ADM≌△CBM．

(2)若AB=CD，△ADM與△CBM是否全等?為什么?

21．（本題10分）如圖，已知是的直徑，過點(diǎn)作弦的平行線，交過點(diǎn)的切線于點(diǎn)，連結(jié)．（1）求證：；（2）若，，求的長．

21．（本小題滿分8分）已知：如圖，在中，AE是BC邊上的高，將沿方向平移，使點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，得．（1）求證：；（2）若，當(dāng)AB與BC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形是菱形？證明你的結(jié)論．

二次函數(shù)結(jié)合圖像題(本題滿分12分)一開口向上的拋物線與x軸交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)兩點(diǎn)，記拋物線頂點(diǎn)為C，且AC⊥BC．(1)若m為常數(shù)，求拋物線的解析式；(2)若m為小于0的常數(shù)，那么(1)中的拋物線經(jīng)過怎么樣的平移可以使頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)？(3)設(shè)拋物線交y軸正半軸于D點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)m，使得△BOD為等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

21．（9分）如圖10，已知：△ABC是邊長為4的等邊三角形，BC在x軸上，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，AB與y軸正半軸相交于點(diǎn)E，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（－1，0），P點(diǎn)是AC上的動(dòng)點(diǎn)（P點(diǎn)與A、C兩點(diǎn)不重合）．(1)（2分）寫出點(diǎn)A、點(diǎn)E的坐標(biāo)．(2)（2分）若拋物線過A、E兩點(diǎn)，求拋物線的解析式．

(3)（5分）連結(jié)PB、PD．設(shè)為△PBD的周長,當(dāng)取最小值時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)及的最小值，并判斷此時(shí)點(diǎn)P是否在（2）中所求的拋物線上，請(qǐng)充分說明你的判斷理由．

22.（9分）如圖11，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E是半圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、B都不重合），點(diǎn)C是BE延長線上的一點(diǎn)，且CD⊥AB,垂足為D，CD與AE交于點(diǎn)H，點(diǎn)H與點(diǎn)A不重合.（1）（5分）求證：△AHD∽△CBD；（2）（4分）連結(jié)HO．若CD＝AB＝2，求HD+HO的值．

26.（2009年重慶市江津區(qū)）如圖，拋物線與x軸交與A(1,0),B(-3，0)兩點(diǎn)，

（1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸與C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

答案應(yīng)用題20．（本小題滿分8分）解：（1）設(shè)商場第一次購進(jìn)套運(yùn)動(dòng)服，由題意得：，

3分解這個(gè)方程，得．經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的根．．所以商場兩次共購進(jìn)這種運(yùn)動(dòng)服600套．

5分（2）設(shè)每套運(yùn)動(dòng)服的售價(jià)為元，由題意得：，解這個(gè)不等式，得，所以每套運(yùn)動(dòng)服的售價(jià)至少是200元．

8分

22．（本小題滿分10分）解：（1）由題意：解得

4分（2）

；

6分（3）

∵，∴拋物線開口向下．在對(duì)稱軸左側(cè)隨的增大而增大．由題意，所以在4月份出售這種水產(chǎn)品每千克的利潤最大．

9分最大利潤（元）．

10分

21．解：(1)設(shè)買可樂、奶茶分別為x、y杯，根據(jù)題意得2x＋3y＝20(且x、y均為自然數(shù))…………2分∴x＝≥0

解得y≤∴y＝0，1，2，3，4，5，6．代入2x＋3y＝20

并檢驗(yàn)得……………6分所以有四種購買方式，每種方式可樂和奶茶的杯數(shù)分別為：(亦可直接列舉法求得)10，0；7，2；4，4；1，6．………………7分(2)根據(jù)題意：每人至少一杯飲料且奶茶至少二杯時(shí)，即y≥2且x＋y≥8由(1)可知，有二種購買方式．……………10分

20.（1）解:設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)做需要天就能完成任務(wù)依題意得:

……（3分）

解得=100

經(jīng)檢驗(yàn)=100為所列方程的解答：乙隊(duì)單獨(dú)做需要100天就能完成任務(wù).

……（5分）(2)依題意得∵

∴

……（7分）∵∴

又∵∴12＜x＜15∵x、y都是正整數(shù),

∴x為方程的解.答：甲隊(duì)實(shí)際做了14天，乙隊(duì)實(shí)際做了65天.

……（9分）

【答案】（1）（2）設(shè)利潤為

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，綜上知：在第11周進(jìn)貨并售出后，所獲利潤最大且為每件元.

1）y=(60-x-40)(300+20x)=(20-x)(300+20x)=-,0≤x≤20；（2）y=-20,∴當(dāng)x==2.5元,每星期的利潤最大，最大利潤是6135元；

幾何題20．解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°．∴∠AEC＋∠AFC＝180°．∴A、E、C、F四點(diǎn)共圓；…………………4分(2)由(1)可知，圓的直徑是AC，設(shè)AC、BD相交于點(diǎn)O，∵ABCD是平行四邊形，∴O為圓心．∴OM＝ON．∴BM＝DN．…………………8分

23．(1)∵∠A、∠C所對(duì)的圓弧相同，∴∠A＝∠C．∴Rt△APD∽R(shí)t△CPB，∴，∴PA·PB＝PC·PD；………3分(2)∵F為BC的中點(diǎn)，△BPC為Rt△，∴FP＝FC，∴∠C＝∠CPF．又∠C＝∠A，∠DPE＝∠CPF，∴∠A＝∠DPE．∵∠A＋∠D＝90°，∴∠DPE＋∠D＝90°．∴EF⊥AD．………7分(3)作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，同垂徑定理：∴OM2＝(2)2－42＝4，ON2＝(2)2－32＝11又易證四邊形MONP是矩形，∴OP＝………………7分

答案略

22．(1)證明：在△ADM與△CBM中，

∵∠DMA=∠BMC，

∠DAM=∠BCM，

AD=CB．

∴△ADM≌△CBM(AAS)．

(2)解：△ADM≌△CBM

∵AB=CD，

∴弧ADB=弧CBD，

∴弧AD=弧CB

∴．AD=CB

與(1)同理可得△ADM≌△CBM．

二次函數(shù)25．解：(1)設(shè)拋物線的解析式為：y＝a(x－m＋2)(x－m－2)＝a(x－m)2－4a．…………2分∵AC⊥BC，由拋物線的對(duì)稱性可知：△ACB是等腰直角三角形，又AB＝4，∴C(m，－2)代入得a＝．∴解析式為：y＝(x－m)2－2．…………5分(亦可求C點(diǎn)，設(shè)頂點(diǎn)式)(2)∵m為小于零的常數(shù)，∴只需將拋物線向右平移－m個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，可以使拋物線y＝(x－m)2－2頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)．………7分(3)由(1)得D(0，m2－2)，設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得△BOD為等腰三角形．∵△BOD為直角三角形，∴只能OD＝OB．……………9分∴m2－2＝|m＋2|，當(dāng)m＋2＞0時(shí)，解得m＝4或m＝－2(舍)．當(dāng)m＋2＜0時(shí)，解得m＝0(舍)或m＝－2(舍)；當(dāng)m＋2＝0時(shí)，即m＝－2時(shí)，B、O、D三點(diǎn)重合(不合題意，舍)綜上所述：存在實(shí)數(shù)m＝4，使得△BOD為等腰三角形．……………12分

21．解：（1）點(diǎn)E坐標(biāo)是（0，），點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，2）．……（2分）

(2)∵拋物線過E（0，），A（1，2）兩點(diǎn)，

得:

∴

拋物線的解析式是:．

………（4分）(3)過D點(diǎn)作DF⊥AC，垂足為F點(diǎn)，并延長DF至G點(diǎn)，使得DF=FG，則D點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)為G點(diǎn)．連結(jié)CG，則CD=CG，∠DCA=∠ACG．再連結(jié)BG交AC于Q點(diǎn)，連結(jié)DQ，則DQ=QG．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與Q點(diǎn)重合，即B、P(Q)、G三點(diǎn)共線時(shí)，依“兩點(diǎn)之間，線段最短”．這時(shí)△PBD的周長有最小值．

……（5分）

又過G點(diǎn)作GH⊥x軸，垂足為H點(diǎn)．

∵△ABC是等邊三角形，

BC=4

∴∠DCA=∠ACG=∠HCG

=60，DC=CG=2，

∵GH=CGsin60=，

CH==1．∴OH=OC+CH=3+1=4．即G點(diǎn)的坐標(biāo)(4,)．∴BH=OB+OH=1+4=5在Rt△GBH中，BG=△PBD周長=BD+BP+DP=BD+BQ+DQ=BD+BG=

……（6分）設(shè)線段AC的解析式,A點(diǎn)的坐標(biāo)(1,)，C點(diǎn)的坐標(biāo)(3,0)得

線段AC的解析式：同理可得線段BG的解析式：AC與BG的交點(diǎn)是方程組的解，得則此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

……（7分）

此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)在上述（2）小題所求的拋物線上．