人教版數(shù)學(xué)九年級全冊壓軸題專題精選匯編

專題多邊形與圓

一.選擇題

1.（2021?紹興）如圖，正方形48CQ內(nèi)接于。O,點夕在AB上，則N8PC的度數(shù)為（

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.（2021?海陵區(qū)一模）一個適當(dāng)大的正六邊形，它的一個頂點與一個邊長為定值的小正六邊形ABCQE”的

中心O重合，且與邊AZ?、。。相交于G、〃（如圖）.圖中陰影部分的面積記為S,二條線段G4、BC、

?！钡拈L度之和記為/，在大正六邊形繞點O旋轉(zhuǎn)過程中，下列說法正確的是（）

A.S變化，/不變B.S不變，/變化

C.S變化，/變化D.S與/均不變

3.（2021?成都模擬）如圖，。。是正六邊形ABCDE/的外接圓，點P在。。上（尸不與A,8重合），則N

APB的度數(shù)為（）

A.30°或150°B.60?；?20°C.30°D.60°

4.如圖，點O為正六邊形的中心，P、Q分別從點A（-1,0）同時出發(fā)，沿正六邊形按圖示方向運動,

點。的速度為每秒1個單位長度，點Q的速度為每秒2個單位長度，則第2021次相遇地點的坐標(biāo)為（)

C*

D.(-1,0)

5.（2021?連云港）如圖，正方形A8CD內(nèi)接于。O,線段MN在對角線8。上運動，若。。的面積為2兀,

MN=1,則AAMN周長的最小直是（)

A.3B.4C.5D.6

6.（2018?石家莊二模）老師在微信群發(fā)了這樣一個圖：以線段A8為邊作正五邊形A8CQE和正三角形A8G,

連接AC、DG,交點為R下列四位同學(xué)的說法不正確的是：)

乙ACJLAG

TDG是AB的垂直平分線

甲三角形DCF是等腰三角形

丙AC與DE平行

A.甲B.乙C.丙D.T

7.（2018?江岸區(qū)校級模擬）如圖，。。內(nèi)切于正方形A6c。，邊8C、QC上兩點M、N,且仞N是。。的

切線，當(dāng)AAMN的面積為4時，則。。的半徑「是（）

A.V2B.272C.2D.4>/3

8.（2017?河北）已知正方形MNOK和正六邊形ABC。石/邊長均為I,把正方形放在正六邊形中，使OK邊

與八8邊重合，如圖所示，按下列步驟操作：

將正方形在正六邊形中繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使KM邊與3c邊重合，完成第一次旋轉(zhuǎn)；再繞點C順時針

旋轉(zhuǎn),使MN邊與CO邊重合，完成第二次旋轉(zhuǎn)；…在這樣連續(xù)6次旋轉(zhuǎn)的過程中，點從例間的距離

可能是（）

A(O)B(K)

A.1.4B.1.1C.().8D.0.5

二.填空題

9.（2021春?碑林區(qū)校級期末）如圖，在正六邊形中，連接CE,AD,AQ與CE交于點O,連接

OB,若正六邊形邊長為4,則08的長為

10.（2021?徐州模擬）如圖，正六邊形/18CQE廠內(nèi)接于。O,連接則NCBO的度數(shù)是

11.（2021?江西）如圖，在邊長為6近的正六邊形448口中，連接CF,其中點N分別為和

FB,則M-ra的值為

16.（2020?浙江自主招生）如圖所示，己知4B=10,點尸是線段48上的動點，以AP為邊作正六邊形APCQM,

以為底作等腰三角形BPM連接PO,DN,則的面積的最大值是.

17.（2020?浙江自主招生）如圖，正六邊形ABCOE/中，P、。兩點分別為AACF、aCE尸的內(nèi)心.若AF=

18.（2017?浦東新區(qū)校級自主招生）如圖，邊長為5的圓內(nèi)接正方形48co中，尸為CO的中點，連接AP

并延長交圓于點E,則DE的長為.

19.（2021?鼓樓區(qū)二模）如圖，在正六邊形ABCDE”中,以4。為對角線作正方形40。。，AP.DP與BC

分別交于M、N.

（1）ZBAM=°；

（2）若AB=4,求MN的長.（參考數(shù)據(jù)：仁L73,結(jié)果精確到01，可以直接利用⑴的結(jié)論）

Q

20.(2020秋?廬陽區(qū)期末)已知，正方形A3C。內(nèi)接于。。，點P是弧AQ上一點.

(1)如圖1,若點尸是弧4。的中點，求證：CE=CD；

(2)如圖2,若圖中PE=O￡求延的值.

EC

21.(2()20秋?金寨縣期末)如圖，正五邊形A8CQE內(nèi)接于。O,戶為加上的一點(點。不與點D,￡重合),

求NCPD的余角的度數(shù).

22.(2020?通遼)中心為O的正六邊形的半徑為6c7小點PQ同時分別從A,。兩點出發(fā)，以

Icm/s的速度沿A凡DC向終點F,C運動，連接PH,PE,QB,QE,設(shè)運動時間為/(S).

(1)求證：四邊形P8Q￡為平行四邊形：

(2)求矩形PBQE的面積與正六邊形ABCDEF的面積之比.

23.(2021?武漢模擬》如圖，正方形/WCQ內(nèi)接于。0,E是BC的中點，連接人￡DE,CE.

(1)求證：AE=DE；

(2)若CE=1,求四邊形4ECO的面積.

24.(2019秋?墾利區(qū)期中)七年級數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)校的“數(shù)學(xué)長廊”中興奮地展示了他們小組探究發(fā)現(xiàn)的

結(jié)果，內(nèi)容如下：

(1)如圖1,等邊三角形4BC中，在A3、AC邊上分別取點M、N,使8M=AN,連接BN、CM,發(fā)現(xiàn)

BN=CM,且NNOC=60。，試說明：NNOC=60。.

(2)如圖2,正方形/WC。中，在AB、8c邊上分別取點M、N,使連接AN、DM,那么N

DON=度，并說明理由.

(3)如圖3,正五邊形48coE中，在A3、邊上分別取點M、N,使AM=4N,連接AN、EM,那

么AN=,且NEON=度.(正〃邊形內(nèi)角和(〃-2)X180。，正多邊形各內(nèi)角相等)

D.U

一口‘「??

B匕--------------CB1―------------'C△------------b

圖1.圖2圖3

25.（2019?鼓樓區(qū)校級模擬）如圖,圖1、圖2、圖3、…、圖〃分別是。。的內(nèi)接正三角形人/3C，正四邊

形A6c。、正五邊形A4C。區(qū)…、正〃邊形44co...，點〃、N分別從點8、C開始以相同的速度在。

0上逆時針運動.

（1）求圖1中NAPN的度數(shù)是________；圖2中，4APN的度數(shù)是________,圖3中N4PN的度數(shù)

是________.

（2）試探索/APN的度數(shù)與正多邊形邊數(shù)〃的關(guān)系（直接寫答案）

3y'c

?/“M

圖1圖2圖3圖n

26.（2018?平房區(qū)二模）如圖，在正六邊形ABCQE/中，對角線AE與B/相交于點M,8。與CE相交于

點M

（1）求證：AE=FB\

（2）在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出所有與全等的三角形.

BC

27.（2017?槐蔭區(qū)一模）（1）如圖1,在圓內(nèi)接正六邊形ABCQE/中，半徑OC=4,求正六邊形的邊長.

(2)如圖2,在△ABC中，AB=\3,BC=10,邊上的中線A/)=12.求證：AB=AC.

人教版數(shù)學(xué)九年級全冊壓軸題專題精選匯編

專題多邊形與圓

一.選擇題

1.（2021?紹興）如圖，正方形A3CQ內(nèi)接于。。，點P在標(biāo)匕則N8PC的度數(shù)為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【思路引導(dǎo)】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到8c弧所對的圓心角為90。，則N8OC=90。，然后

根據(jù)圓周角定理求解.

【完整解答】解：連接08、OC,如圖，

_____八

???正方形A8CO內(nèi)接于。。,

???標(biāo)所對的圓心角為90。，

/8。。=90°,

/.NBPC=L/BOC=45。.

故選：B.

2.（2021?海陵區(qū)一模）一個適當(dāng)大的正六邊形，它的一個頂點與一個邊長為定值的小正六

邊形A8CQE/的中心。重合，且與邊AB、CO相交于G、H（如圖）.圖中陰影部分的

面積記為5,三條線段GB、BC、CH的長度之和記為/,在大正六邊形繞點0旋轉(zhuǎn)過程

中，下列說法正確的是（）

C

AG\B

A.S變化，/不變B.S不變，/變化

C.S變化，/變化D.S與/均不變

【思路引導(dǎo)】如圖，連接。4,0C.證明△"0。g△GOA（ASA）,可得結(jié)論.

【完整解答】解：如圖，連接0A,0C.

：?4H0C=4G0A,

{￡LOHC^AOGA中，

，ZH0C=ZG0A

'0C=0A,

Z0CH=Z0AG

:.△HOglXGOk（ASA）f

：,AG=CH,

???5用=5四邊彩桃8（7=定值，/=G4+BC+C〃=AG+4G+8C=2BC=定值，

故選：D.

3.（2021?成都模擬）如圖，。。是正六邊形A8CQEF的外接圓，點P在。。上（P不與A,

8重合），則NAP3的度數(shù)為（）

A.30°或150。B.60。或120。C.30°D.60°

【思路引導(dǎo)】構(gòu)造圓心角，分兩種情況，利用同弧所對的圓周角是圓心角的?半求得答

案即可.

【完整解答】解：連接04,OB,如圖所示：

.…=*6/,

當(dāng)點Q不在BA上時,

ZAPB=—ZAOB=30°,

2

當(dāng)點尸在AB上時,

乙4。8=180。--ZAO5=180°-30°=150°,

2

故選：A.

4.如圖，點0為正六邊形的中心，P.。分別從點八（-1,0）同時出發(fā)，沿正六邊形按

圖示方向運動，點P的速度為每秒1個單位長度，點Q的速度為每秒2個單位長度，則

第2021次相遇地點的坐標(biāo)為（）

C.D.(-1,0)

【思路引導(dǎo)】連接。出證△AOB是等邊三角形，得A8=Q4=1,過8作BG_LOA于點

G,則AG=[o4=±,BG=V^4G=^，得B（1,返），C（L3E

22222222

,再由題意得P，。第一次相遇地點的坐標(biāo)在點C（技,，第二次相遇地點

在點E（2，-YZ）,第三次相遇地點在點A（-I,0）,如此循環(huán)下去，即可求出第2021

22

次相遇地點的坐標(biāo).

【完整解答】解：連接08,如圖所示：

VA（I,0）,O為正六邊形的中心，

：.OA=\,ZAOB=——=60°,

'：OA=OH,

.??△AO8是等邊三角形,

：.AB=OA=\,

過8作8G_LO4于點G,

則AG=ZoA=3,BG-

-DC-------，QU-V-----

222

???正六邊形的邊長=1,

工正六邊形的周長=6,

???點P的速度為每秒1個單位長度，點Q的速度為每秒2個單位長度,

???第1次相遇需要的時間為：6-（1+2）=2（秒），

此時點戶的路程為1x2=2,點的。路程為2x2=4.

此時P,Q相遇地點的坐標(biāo)在點C（/，亨），

以此類推：第二次相遇地點在點E（二，-"），

第三次相遇地點在點A（-1,0）,

…如此下去，

720214-3=673...2,

???第2021次相遇地點在點E,E的坐標(biāo)為（』，-近）,

故選：C.

5.（2021?連云港）如圖，正方形ABC。內(nèi)接于。O,線段MN在對角線8。上運動，若。O

的面積為2兀，MN=1,則aAMN周長的最小值是（）

【思路引導(dǎo)】由正方形的性質(zhì)，知點C是點A關(guān)于8。的對稱點，過點。作

且使。V=l,連接AH交8。于點M取NM=1,連接AM、CM,則點M、N為所求點，

進(jìn)而求解.

【完整解答】解：。。的面積為2兀，則圓的半徑為亞，則8。=2亞=人0

由正方?形的性質(zhì)，知點。是點4關(guān)于BD的對稱點，

過點C作C4〃8D,且使C/V=l,

連接44交8。于點N,取NM=1,連接AM、CM,則點M、N為所求點,

理由：???4C〃MM且4C=MM則四邊形MCAN為平行四邊形,

則A'N=CM=AM.

故AAMN的周長=AM+4N+MN=AA+1為最小,

則A，A=｛（2&）2+12=3,

則△/1MN的周長的最小值為3+1=4,

故選：B.

6.（2018?石家莊二模）老師在微信群發(fā)了這樣一個圖：以線段A8為邊作正五邊形A3CDE

和正三角形ABG,連接AC、DG,交點為P,下列四位同學(xué)的說法不正確的是（）

乙ACJLAG

TDG是AB的垂直平分線

甲三角形DCF是等腰三角形

丙AC與DE平行

B.乙C.丙D.丁

【思路引導(dǎo)】利用對稱性可知直線DO是正五邊形ABCDE和正三角形A8G的對稱軸，

再利用正五邊形、等邊三角形的性質(zhì)一一判斷即可；

【完整解答】解：???五邊形A8COE是正五邊形，△/IBC是等邊三角形，

???直線DG是正五邊形ABCQE和正三角形A3G的對稱軸，

???QG垂直平分線段A8（丁正確），QG平分NCQE.

,/ZABC=ZBCD=ZEDC=108°,

：,ZBCA=ZBAC=36\

AZDCA=72°.正三角形ABG中，ZBAG=60°,

/.N8AC+N84G=36°+60°=96。，

，AC與AG不垂直（乙不正確）.

由NCOE+NQCA=108°+72°=180°,DE//AC（西正確）.

：?4CDF=EDF=/CFD,，△CZ）尸是等腰三角形（甲正確）.

總之，丁、甲、丙正確，乙不正確，

故選：B.

7.（2018?江岸區(qū)校級模擬）如圖，內(nèi)切于正方形/^CD,邊BC、。。上兩點M、N,

且MN是。。的切線，當(dāng)△4MN的面積為4時，則00的半徑，?是（）

A.V2B.2/2C.2D.4>/3

【思路引導(dǎo)】設(shè)。。與MN相切于點K,設(shè)正方形的邊長為2”.因為8C、CD、MN是

切線，可得BE=CE=CF=DF=a,MK=ME,NK=NF,設(shè)MK=ME=x,NK=NF=y,

在RsCMN中，因為MN=x+y,CN=a-y,CM=a-x,可得到(x+y)?=(a-v)2+

(a-x)2,推出ax+ay+xy=cr,根據(jù)S&AMN=S正方形ABCD-S&、BM-S&CMN-SAADN，構(gòu)建方

程求出。即可解決問題.

【完整解答】解：設(shè)。。與相切于點K,設(shè)正方形的邊長為2a.

,:BC、CD、MN是切線，

:.BE=CE=CF=DF=a,MK=ME,NK=NF,設(shè)MK=ME=x,NK=NF=y,

在RtZkCMN中，?:MN=x+y,CN=a-y,CM=a-A,

:.(x+j)2=(a-y)2+(a-x)2,

ax+ay+xy=cr,

■:S&AMN=S正方形ABCD~S&ABM-S&CMN-S&ADN=4,

/.4^2--x2^x(a+x)-—(a-x)(t7-y)--x2^x(a+y)=4,

222

3,1

/.—d2--(ax+ay+xy)=4,

乙乙

；?層=4,

，a=2或?2（負(fù)值舍去）,

?二A3=2a=4,

???。。的半徑為2.

故選：C.

8.（2017?河北）已知正方形MNOK和正六邊形A8CDEF邊長均為1,把正方形放在止六邊

形中，使OK邊與八月邊里合，如圖所示，按下列步驟操作：

將正方形在正六邊形中繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使KM邊與BC邊重合，完成第一次旋轉(zhuǎn)；

再繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，使MN邊與CO邊重合，完成第二次旋轉(zhuǎn)；…在這樣連續(xù)6次旋

轉(zhuǎn)的過程中，點8,M間的距離可能是（）

D

A(0)B(K)

A.1.4B.1.1C.0.8D.0.5

【思路引導(dǎo)】如圖，在這樣連續(xù)6次旋轉(zhuǎn)的過程中，點M的運動軌跡是圖中的紅線，觀

察圖象可知點8,M間的距離大于等于2?加小于等于1,由此即可判斷.

【完整解答】解：如圖，在這樣連續(xù)6次旋轉(zhuǎn)的過程中，點M的運動軌跡是圖中的紅線，

故選：C.

二.填空題

9.(2021春?碑林區(qū)校級期末)如圖，在正六邊形A8COE廠中，連接C￡,AD,與CE

交于點。，連接。8,若正六邊形邊長為4,則。8的長為，攻_.

【思路引導(dǎo)】在RtaACO中，求出OC,可得結(jié)論.

【完整解答】解：在正六邊形人8CQEE中，BC=CD=DE=4,ZBCD=ZCDE=\20°,

：,ZDCE=ZDEC=3(f,

^ADLCE,

，OC=OE=CD-cos30°=2M，

?：4BC0=4BCD?NOCO=90°,

=22

???^VBC-<0="42+(2收2=2"

故答案為：2攻.

10.(2021?徐州模擬)如圖，正六邊形A8CDEF內(nèi)接于?。，連接8D,則NCB。的度數(shù)是

30。

【思路引導(dǎo)】求出N8CD,利用等腰三角形的性質(zhì)求解即可.

【完整解答】解：在正六邊形ABCQE/7中，/8CQ=120。,

?:CB=CD,

AZCBZ)=ZCD5=-i(180o-120°)=30°,

乙

故答案為：30。.

II.(2021?江西)如圖，在邊長為6加的正六邊形"CD/下中，連接BE,CF,其中點M,

N分別為8E和。尸上的動點.若以M,N,。為頂點的三角形是等邊三角形，且邊長為

整數(shù)，則該等邊三角形的邊長為9或10或18.

【思路引導(dǎo)班接。FOB4足則△04〃是等邊三角形.解直角三角形求出。匕可得結(jié)論.當(dāng)

點N在OC上，點M在OE上時，求出等邊三角形的邊長的最大值，最小值，可得結(jié)論.

【完整解答】解：連接DFQ區(qū)5H則AObb是等邊三角形.

設(shè)6E交。尸于J.

:六邊形ABCDEF是正六邊形，

:.由對稱性可知，DFlBE,ZJEF=60a,EF=ED=6^3,

，F(xiàn)J=DJ=￡F-sin60°=6倔堂=9,

2

：.DF=\S,

???當(dāng)點M與8重合，點N與尸重合時，滿足條件，

???△QMN的邊長為18,

如圖，當(dāng)點N在。C上，點M在OE上時，

等邊△DMN的邊長的最大值為6心10.39,最小值為9,

的邊長為整數(shù)時，邊長為10或9,

綜上所述，等邊△QMN的邊長為9或10或18.

故答案為：9或10或18.

12.（2021?曲江區(qū)校級模擬）如圖，正八邊形A8CQE/G”內(nèi)接于0。，若AC=4,則點。

到AC距離為2.

【思路引導(dǎo)比接03交AC于根據(jù)園內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)得到NAO8=N8OC=45。,

AB=HC,由垂徑定理可求得AM,得至在等腰R3AOC中，根據(jù)勾股定理求

出。4,在等腰RIA4OM中，根據(jù)勾股定理求出。M,即為點。到AC距離為2.

【完整解答】解：連接08交AC于M,

:正八邊形A3CQEFG”內(nèi)接于。0,

op：A。

AZAOB=ZBOC=——=45°,AB=BC,

8

AAB=BC，4OC=90。，

：.AM=CM=-AC=2,OMLAC,

2

'：OA=OC,

ZOAM=ZOCA=-*180°-ZAOC)=45°,

2

：.ZOAM=ZAOB,

在Rt^AOC中，

yOA=OC,OA2+OC2=AC2,

222

：.2OA=AC=4=\6t

???OA=2亞，

在RtZkAOM中，

,：OM2+AM2=OA\

???2。4=(2A/2)2,

：.OM=2,

工點O到AC距離為2,

故答案為：2.

13.（2021?建鄴區(qū)一模）如圖，AD是正五邊形A8CDE的一條對角線，以C為圓心，CB為

半徑畫弧交A。于點F,連接C凡則NCTO=72。.

【思路引導(dǎo)】由多邊形的內(nèi)角和與正多邊形的定義求得NCO￡=NE=108。，AE=DE,

由等腰三角形的性質(zhì)求得/￡D4=54。，進(jìn)而求得NCDP=72。，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)

即可求得NCFD.

【完整解答】解：.?.五邊形A6CPE是正五邊形，

：?/CDE=NE=(5-2)X180_=|08otAE=DEf

：.ZEDA=ZEAD=—(180°-ZE)=54°,

2

：?NCDF=/CDE?ZEDA=1O80-36°=72°,

?:CF=CD,

：?4CFD=4CDF=TT,

故答案為：72.

14.（2020秋?海曙區(qū)期末）如圖，正六邊形"CQE尸中，G,〃分別是邊Ab和OE上的點,

194

GF=—AB=2,NGCH=60。，則線段E”長—.

3―5一

C0

【思路引導(dǎo)】作GP〃八B,交BC于點P,AN//BC交GP千春、N,可得四邊形A8PN是

平行四邊形，根據(jù)六邊形A8C0E尸是正六邊形，可得A4NG是等邊三角形，然后證明zsCPG

s/\HDC,對應(yīng)邊成比例即可解決問題.

【完整解答】解：如圖，作G尸〃AB,交BC于點P,AN〃BC交GP千點、N,

，四邊形ABPN是平行四邊形,

:,PN=AB=6,

,/六邊形ABCDEF是正六邊形，

AZBAF=ZB=ZBCD=ZD=120°,AF=AB=BC=CD=6,

：.ZBAN=ZNAG=4GN=60。，ZCPG=ZD=I2O0,

???△ANG是等邊三角形，

：.NG=AN=AG=6-2=4,

:.PG=NG+PN=4+6=10,

,/4PCGMDCH=/BCD-ZGC//=120°-60。=60。,

NDHC+NDCH=180。?ZD=18O0-120°=60°,

:?/PCG=/DHC,

?：/CPG=/D,

:?△CPGSXHDC,

,PC=PG

??麗CDt

?:PC=BC-BP=6-4=2,尸G=10,CQ=6,

?nw-6

5

624

：.EH=ED-DH=6--^-=—?

55

故答案為：舉.

5

15.(202()?寧波模擬)如圖，正五邊形ABC。七內(nèi)接于半徑為4的圓O,作。/_L8C交。O

于點F,連接的，F(xiàn)B,則FA?FB的值為16.

【思路引導(dǎo)】連接。4OB,OB交AF于J.利用相似三角形的性質(zhì)證明。尸=四?四,

再證明△4Q/g△O//,推出即可解決問題.

【完整解答】解：連接04,O&OB交AFfJ.

???BF=CF，

???五邊形A3COE是正五邊形，

工408=72。，N80F=36。，

???ZA0F=108°,

?：OA=OF,

：.ZOAF=NOFA=NFOJ=36°,

：.OJ=JF,

*：AO=AJ,OB=OF,ZOAJ=ZFOB,

：.A4OJS2AOFZ;(SAS),

：?OJ=BF,

ZOFJ=ZAFO,/FOJ=/OAF,

.FO=FJ

FAOF,

:.OF2=FJ>FA,

*：FJ=OJ=FB,

:.FA?FB=O產(chǎn)=16.

故答案為16.

16.(2020?浙江自主招生〕如圖所示，已知A8=10,點P是線段A8上的動點，以AP為邊

作正六邊形APCOKR以夕3為底作等腰三角形6PN,連接PO,DN,則aPON的面枳

【思路引導(dǎo)】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求得EF//AD,DP1AB,DP1ED,正六邊形的每一

個內(nèi)角為120。，進(jìn)而求得NADP=30。，從而求得尸。=5以，設(shè)以=x.則P3=10-x,

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得PM=gpB=g(10-x),根據(jù)三角形的面積就可得出“PDN

=±PD.PM=-近(x-5)2+至叵，從而得出的面積的最大值.

244

【完整解答】解：連接人。，作NM_LP8于M,

'/六邊形APCDEF是正六邊形，

：,EF//AD,DPA.AB,。0_L￡。，正六邊形的每一個內(nèi)角為120。，

/.Z4D/?=60°,

；?N4OP=30°

：.PD=y/~3PA,

*：DPLAB,NM±PB

:?PD〃MN,

；?PM就是△PEW的。。邊的高，

?PA=x.貝lJP8=10-x,

;在等月要中，MN_L尸〃，

：.PM=-PB=^~(10-x),

22

5APDJV=__=—(10-x)=-—(x-5)-■1—(0<x<10),

22244

???△PQN的面積的最大值為：至區(qū).

故答案為：岑I

17.（2020?浙江自主招生）如圖，正六邊形ABCQEV中，P、Q兩點分別為"CRhCEF

的內(nèi)心.若A尸=2,貝！尸。的長度為2加-2.

【思路引導(dǎo)】先判斷出PQ_LCT,再求出AC=2近，AF=2,CF=2AF=4,利用AACT

的面積的兩種算法即可求出PG,然后計算出PQ即可.

【完整解答】解：如圖，

:。、。兩點分別為△AC”、的內(nèi)心，

???/^是NAR7的角平分線，/Q是NCFE的角平分線,

???ZPFC=-Z/AFC=30°,Z0FC=—ZCFE=30°,

22

/.ZPFC=ZOFC=30°,

同理，ZPCF=ZQCF

：.PQ±CF,

???△PQF是等邊三角形，

:.PQ=2PG；

易得AAC尸會且內(nèi)角是30。，60°,90。的三角形，

，AC=2夷，AF=2,CF=2AF=4,

5AA(T=2*A尸xAC=Lx2x2/^=2。*^，

22

過點。作PM_LARPNLAC,PQ交Cr于G,

???點產(chǎn)是ZVICF的內(nèi)心，

:.PM=PN=PG,

S^ACF=SARAF+SARALSAPCF

=-AFxPM+^-ACxPN+^CFxPG

222

="x2xPG+-ix2V3xPG+—x4xPG

222

=(1+V3+2)PG

=(3+V3)PG

=2乃

3=備如1,

APQ=2PG

=2(V3-1)

=2蟲-2.

故答案為：2夷?2.

18.(2017?浦東新區(qū)校級自主招生)如圖，邊長為5的圓內(nèi)接正方形46co中，。為CO的

中點，連接AP并延長交圓于點石，則的長為

【思路引導(dǎo)】連接CE,作出日J(rèn)LC7X運用相似三角形的性質(zhì)，得出E凡P廠的長，再

根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論.

【完整解答】解：連接C￡,作

ZDAP=ZPCE,ZAPD=/CPE,

：./\APD^/\CPE,

.AP=DP

'CP-PE'

TP為邊CQ的中點

?JQ=B|,%=而謝=孚

里5

工=5

旦~W

2

:.PE=S,

2

*：FE//AD

，△APDs^EPF,

.AP_DP

**PE而’

嫗5

?2=2

.?返PF

~2

.?.￡F=^pE2_pF2=1,

DE=2

?，.VEF?DF2=Vl2+32=5^f

故答案為：V10.

三.解答題

19.（2021?鼓樓區(qū)二模）如圖，在正六邊形ABCDEf'中，以A。為對角線作正方形APOQ,

AP.。戶與BC分別交于M、N.

（1）ZBAM=15°；

（2）若A8=4,求MN的長.（參考數(shù)據(jù)：73=1.73,結(jié)果精確到0.1,可以直接利用（1）

的結(jié)論）

【思路引導(dǎo)】（I）利用正多邊形的性質(zhì)分別求出NO",即可.

（2）連接BE交AO于點0,連接0P交BC于〃.想辦法求出OP,0H,再求出P”,

利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.

【完整解答】解：（1）在正六邊形ABCOE尸中，NQ44=60。，

在正方形4Q。尸中，ZDAP=45°,

：.ZBAM=ZDAB-NQAP=60°-45°=15。，

故答案為：15.

（2）連接BE交A。于點0,連接0P交BC于H.

在正六邊形4BCDE尸中，CO=BC=4B=4,ZBAF=ZABC=ZC=ZCDE=120°,

AO.BO平分N8AF、ZABC,0A=0B,

???ZBAO=ZABO=ZCfiO=—xl20°=60°,

2

是等邊三角形，

：,BC//AD,AO=BO=AB=4,

???AO=24O=8,

在正方形4PDQ中，AP=DP,NAPO=90。，

'：AO=DO,

：.PO=-AD=4,POLAD,N4尸0=NO?O=』NAPO=45°,

22

*：AD//BC,

，NMHP=N40尸=90。,

：,ZBHO=90°,

：^inZO13H=—,

OB

YNOBH=60。,BO=4,

.??OH=4xsin60°=2加，

,?PH=MH=OP-OH=4-2近,

Z.MN=2MH=8-4V3-1.1.

20.（2020秋?廬陽區(qū)期末）已知，正方形48CO內(nèi)接于。O,點戶是弧人。上一點.

（1）如圖1,若點P是弧AQ的中點，求證：CE=CD；

（2）如圖2,若圖中PE=OE,求延的值.

EC

【思路引導(dǎo)】（1）連接。巴由是正方形的性質(zhì)得到ACLBD,OB=OD=OC,由等腰直

角三角形的性質(zhì)得到E8=EQ,NOQC=/OCO=45。，NEBD=NEDB,

由圓周角的性質(zhì)得到NPOQ=￡NA4Q=22.5。，進(jìn)而得到NEQC=67.5。，ZCED=67.5°,

根據(jù)等腰三角形的判定即可得到CE=C。：

（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)和圓周角定理及角平分線的性質(zhì)證得N1=N2=NPQE,由三角

形內(nèi)角和定理求出N2=30。，根據(jù)含30。直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得到DE=2OE,

OD=yJ~3OE,進(jìn)而得到OD=OA=y/3OE,AE=（夷-I）OE,EC=（V3+1）OE,

代入即可得到結(jié)果.

【完整解答】（1）證明：如圖1,連接OE,

???四邊形A8CQ是正方形，

：,AClBDtOB=OD=OC,

：.EB=ED,ZODC=^OCD=45°,

/.ZE13D=ZEDB,

???點P是弧AO的中點，

，NPBD=1Z4BD=—xA^AOD=22.5°,

222

/.ZEDC=45°+22.5O=67.5°,

AZCED=180°-45°-67.5°=67.5°,

:?/CED=/EDC，

:?CE=CD;

（2）解：如圖2,連接D￡,DP,

???四邊形48CQ是正方形，

.,.ZBAD=ZEOD=90°,OA=OD,

???NP=/84Q=90。，

■:PE=OE,

：?ZPDE=N2,由（I）知Nl=/2,

/.zi=Z2=zroE,

/.Zl+Z2+ZPDE=90°,

AZ2=30°,

.\OE=—DE,

2

：?DE=2OE,

?**OD=VDE2-OE2=第OE，

.0E_V3

??—■—?,

0D3

：.OD=OA=y/~3OE,

：,AE=OA-OE=（V3-1）OE,EC=OE+OC=（避+1）OE,

21.（2020秋?金寨縣期末）如圖，正五邊形48COE內(nèi)接于。O,尸為加上的一點（點尸不

與點、D,￡重合），求NCP。的余角的度數(shù).

B,

o?

【思路引導(dǎo)】連接OC，OD,先由正五邊形的性質(zhì)求出NCO。的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定

理求出NCPO的度數(shù)，即可解決問題.

【完整解答】解：如圖，連接OC,OD.

???五邊形ABCDE是正五邊形，

，ZCOD=——=72°,

5

???ZCPD=—ZCOD=36°,

2

:.ZCPD的余角的度數(shù)為90°-36°=54°.

22.（2020?通遼）中心為。的正六邊形人的半徑為6cm,點、P,。同時分別從A,3

兩點出發(fā)，以3加5的速度沿A凡QC向終點凡C運動，連接PB,PE,QB,QE,設(shè)

運動時間為I（5）.

（1）求證：四邊形PBQE為平行四邊形：

（2）求矩形P8QE的面積與正六邊形48CZ）石尸的面積之比.

【思路引導(dǎo)】（1）證明△A8P0Z\O￡Q（SAS）,可得8P=￡Q,同理P￡=3Q,由此即可

證明；

（2）求出r=05或6s?時，四邊形PBQE是矩形，求出矩形面積和正六邊形面積，即可得

山結(jié)論.

【完整解答】（1）證%???六邊形ABCQE尸是正六邊形，

：,AB=BC=CD=DE=EF=FA,NA=ZABC=ZC=/D=/DEF=NF,

???點P,。同時分別從A,。兩點出發(fā)，以1c〃內(nèi)速度沿AF,DC向終點F,C運動，

：,AP=DQ=t,PF=QC=6-t,

'AB二DE

在和△￡>￡?中一ZA=ZD?

AP=DQ

/.^ABP^^DEQ(SAS),

：.BP=EQ,

同理可證PE=QB,

???四邊形PEQB為平行四邊形.

(2)解：連接BE、04,^^AOB=——=60°,

6

?；0A=0B,

???△A03是等邊三角形，

，A8=OA=6,BE=2OB=\2,

當(dāng)/=0時?，點P與A重合，Q與。重合，四邊形PBQE即為四邊形ABDE,如圖1所示：

則NEAP=NAE尸=30°,

/.ZBAE=120°-30°=90°,

???此時四邊形A3QE是矩形，即四邊形PBQE是矩形.

當(dāng)/=6時，點P與尸重合，。與C重合，四邊形Q8QE即為四邊形/8CE,如圖2所示：

同法可知話=90。，此時四邊形PBQE是矩形.

綜上所述，f=0s或6s時，四邊形PBQE是矩形，

:.AE=d122-6?=^V3?

???矩形PBQE的面積=矩形ABDE的面積=ABxAE=6x6加=36加；

正六邊形ABCDEF的面積=6A4。8的面積=6x』矩形ABDE的面積=6x2x36次=

44

54遭，

，矩形PRQE的面積與正六邊形ARCDEF的面積之比="1.

O

B?0

圖1

23.（2021?武漢模擬）如圖，正方形A8CD內(nèi)接于。O,￡是標(biāo)的中點，連接人E,DE,CE.

（1）求證：AE=DE；

（2）若CE=1,求四邊形A￡CO的面積.

E

【思路引導(dǎo)】（1）欲證明只要證明標(biāo)=加.

（2）連接3Q,過點。作交EC的延長線于「證明AADEg/XCOr（A4S）,

推出AE=C凡推出5乂加=5式加，推出5封邊形AE8=Sgb，再利用等腰三角形的性質(zhì)構(gòu)

建方程求出。E,即可解決問題.

【完整解答】（I）證明：???四邊形A8C。是正方形，

：.AB=CD,

:.AB=CD,

???￡是標(biāo)的中點，

BE=EC,

:.AE=DE，

：?AE=DE.

(2)解：連接30,過點。作OF_LO￡交EC的延長線于立

???四邊形人8c。是正方形，

/./DBC=NDEC=45。,DA=DC,

NEDF=90。,

AZF=90o-45o=45°,

：.DE=DF,

丁ZADC=ZEDF=9Q\

???ZADE=NCDF,

在AAOE和ACZ)/中，

fZADE=ZCDF

\ZAED=ZF，

IDA=DC

/.(A4S),

：.AE=CF,

?，?SBADE=S&CDF，

:.S網(wǎng)邊彩AECD=S&DEF，

\,EF=42DE=EC+DE,EC=\,

，\+DE=42DE,

：.DE=42+\,

：?S&DEF=費DE2=V2+-^-?

乙乙

24.(2019秋?墾利區(qū)期中)七年級數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)校的“數(shù)學(xué)長廊”中興奮地展示了他們小

組探究發(fā)現(xiàn)的結(jié)果，內(nèi)容如F：

(1)如圖1,等邊三角形ABC中，在AB、AC邊上分別取點M、N,使BM=AN,連接

BN、CM,發(fā)現(xiàn)BN-CM,R./NOC—60。,試說明：Z/VOC-60".

(2)如圖2,正方形ABCO中，在A4、3c邊上分別取點M、N,使AM=BN,連接AN、

DM,那么N/)ON=90度,并說明理由.

(3)如圖3,正五邊形ABCDE中，在AB、BC邊上分別取點M、N,使AM=8N,連接

AN、EM,那么AN=EM,且NEON=108度,(正〃邊形內(nèi)角和(n-2)xl80°,

正多邊形各內(nèi)角相等)

【思路引導(dǎo)】(I)利用△A8C是正三角形，可得N4=N/WC=60。，AB=BC,X